Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Centrummaten
×
+ ×
+ ×
+ × + + +
+
+
× +
+
+
×
+ ×
=
= !
"
×
$
×
!
% "
×
!
%
" ) ) ) ) ) ) " -
4 ""
) )
% ! " -
× + ×
# '
% $
(
) -
.
%
#
1 & ) ) $ " % - . $ ! " #( ) *+ ,
& %
!""
- !
. 0 &
# #
×
!
.
$ -
×
! % ! " $
# !
-
""
#-
&# ! ) ) ) ) ) ) ) ) , ! #!
"
, !
#%
#-
"
+ × + × + ×2 + × + ×3 = + + + + + + 1 " ! #-
"
/
" " -
*+ , $ !"" ! "
-
!""
#$ =
≈ ( ) *+
,
!
≈ !""
% "
#-
%
5%" # #%
& #-
%
!
$ #
#&
$
!
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
0
%"" #" ≈ + +
$ -
! 6 #3 $
!
#-
%
" 3
%" #-
!
"
$
""
-
!
; :
88 %
; %
#
!
"
!
! / ! ! "" &
!
#
"
% +
% %
: &# !
% ! + + + =
$
! 3 3 3 3 3 3 2 ;
!
! (
! ! "
"
="
&
%
-
"
2 ;
%
!
!""
; %
< %" " ; %""
3 &"
$ $ = = $ 7
% %
%""
"" .
#%"" : !
. "
" % #88 % !"" " "" 88 !" 7" + % ! #!"" 88 % !"" " "" 9 + # " #" % !"" " % #+ " % #= + 7
-
% %
-
)
*+
,
!
"> "
2
3
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
0
"" #
"
> 0
&
"" # "
0 3
1 # ?
%
# ! 1 # &
"> 0
#
"
: &# $ !
# # 3
, $
1 #
"
""
#
&
" ! %
!
!
# ! &# # !"
!"" "
!
&
"--
"
! !
.
! ! ""
"" A % ! 1 #!
- &
%
7 %"" # " 22 #
3 # "" ! + × ) ×( ) ) B 2 3 % ) , ! - &" ) 2 ) ) 2 )3 ) ) 2 ) , + 3 ≈2 2 7 4 C @D # ! @ @ %" % A # #%"" +
4 "" % E % &# % E E &# G &# + E "
% #%""
!
@
% -
#
%
! %
# !
""
&
! 22
"" !
"
%
# % 1 # 3 @
!
; %
@
" & ! % #% !"
!
% "
22
/ ! # ""
@
" # " % ! ! ## ) ) 2 ) 3* , ! % " ! -
! F #
-
+ -
" " -" %"
" %
# &" #
& # %" " #! - & !
@
@
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
"
#%"" " E! @ @ % & % " ! #%
! " #
#
# " #%""
F!
-
% %
: !
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 1_1 Frequenties
×
≈
! "
" "
≈
×
≈
" "
"
#
×
" "
$
#%
& '"
×
≈
"
$
(
)
) * )" +
,)" -.
) %
/
#
!
(
%
# "
"
" " '"
"
0 ,$
%
-
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
#
1
' $
( ( ( (
& 2
!
/
%
/
) )" ) )
& 0' ) *)" 3)
" … " " '& … '"' … "'& %
$
×
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
1
0 /
! #
"
%
%
2
% ) *)" +) × )' *) +) ×
4
%
/ %
# /
% #
%
2
5 6 & 5 "'&
6
% * " % 0' * 0&
" "
! 7
! & !
% 6' & % "0' 6 "0
"
$ %
7
"
$
$ $
≈
"
"
&8 $ ≈
"
"
& 8 !
%
! !
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 1_2 Klassenindeling
!"# '
%
&
#
(
)
(
)
* (
+
$
)
* (
(
,- . /
0
1
(
0
( /
0
%
(
( 3/ (
(
41 ( 1
( 55
( /
(
2
(
0 (
(
55 (
0 (
0
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
/
(
6
(
@/ A "=: 2 ,,:
,-
A ,,: 2 ,=: A ,=: 2 ,:
9
,8 -
A ,: 2 =: A =: 2 9,:
8
8 9-
A 9,: 2 9=: A 9=: 2 8,: A 8,: 2 8=:
!
98 888
"
7
× ,- + - × ,8 + 9 ×
* "!" ≈ 9-:9, 7 / # ' ( (
;
.
/
/ (
( - + -×
( 8 + 8 × 9- + ! × 98 + × 8- × 88 = 9,
/ * "!- % 9, ≈ 9-:(
(
( )
* "!/
2
8* <8= 0 / 8 : 8-: 8": 8,: 8 : 89: 88: 8! 8= + ( !* 8=# % - ? 8,: 8= < 8* ? = . ( 9=: > 8=: # % - ? 8,: ( 8=: < 9=: ? * ( . 8* > !* # % - ? 8 !* < 8* ? *
8* :
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
1 ( 9 9 8 9
!
, 8
( 9 9 8 8 =
8 8 9 8
( , 8 9 9
(
= 9 8 9 !
@/
,
@/ -
9 8 ! =
* = ,
/ , +
A": 2 ,: ,: < ": ?
(
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
+ @/ , 8 ! 9
-:,= -: -: " -: -: 8
.
B -: " (
(
( (
@/ -: " ( .
(//
( 0 ( / ( / : / ( -: " ( C ( ( , × -:,= > 8 × -: > ! × -: " > 9 × -: > × -: 8# % "* ? 8 :=- % "* ≈ -: " ( A-: * 2 -: 1 0 A-:,!2 -: * ( ( -: " (: 0 ( -: " A-: -2 -: , D 0 0 0 : ( ( F) 0 / ! %- ? , 0 0 >,? 0
/ * <,
-: 8: -: 9:
* <, > * # % - ? -: + 8 % , - ≈ * :",8 C @ ==, * :",8 * :""* * :- * :* 8
*
(
' 'E
' @/ 0
==, ( @ == * :"* :"* :-,8 *: *8
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
==, ==
+
(
@/ (
==, 55
==, /
/
/
0
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 1_3 Cumulatieve frequentie
! (
(
# '
! " *
) * + !
" * + ,
" " "
$#
"
+ ,
%
"
"
) * ),
) *
&
&
&
* ", *,
&
+ , *,
! ! *!
", + +*
'
#
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
&
(
.
'
/
<)
, ,- ,
,
& ") 1")* ")+1"* "* 1"** "*+1"+ "+ 1"+* "++1"! "! 1"!*
0 &
-
")" ")* "* "** "+ "+* "!
- ")* - "* - "** - "+ - "+* - "! - "!*
'
&
& " " ",) ")! "* !) )
&
"+
)
' " ) "*, ! "" ),* )*,
"+*
(
& 0
&
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
" 2 )
' ) '
"!
&
,2 "
"!) & ' " ** )*, ),* "!* &
' " ' '
")
"!
- "!* &
**
'
(
'
)+
' #
& '
")"
, "
& ' &
'
&
- ")* ' &
' (
' '
'
,
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
3 ' '
/
#
'
"!+,
,
' &
(
,,,
"!+, " )+ * ++ ) !* ! ",, "
" * "! ! !
! 4 '
,-"! ,
,
, - "! ,-) ) - *! ≥ +,
& '
,
&
,
&
( ,,,
+, " ", ,
)" +) !* , ",, ,
"!+, ,,,
5
"!+,
" 6 ,6 ' ' 6
& ' 5 / 8
,,, # & # 6 '
& ( ,,,
'
,
'
# '
' &
(
, ' # 7
*
)+ *6 ' ' )" 6 ' & '
,6 ' / # 7
* 6 * 6 /
'
'
'
"!+,
)
'
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 1_4 Data in beeld
×
≈ !
"
#$
" ! "
$
$ %
&%
$
'
!%
$
%
( ) $ % * & % * +% * " " "
% ≈
% *
%
1 5
1 5
% % ,+ %
×
$
$ $
$ $ -
$
% *+ % , &
% .
%
$ .
% % % , % * & % * +% * % $
% * /
%
% ) 12 16
$
0 ) & + *&
12 16
$ +
, +&
+&
12 16
1
×
,
$
×
≈ )
)
$
2 )
-
%
( $
%
) 3
$ $
4$
% )
%
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
$
"+5
6
7 $
$
!5
+5 !5& $ +
$
$ $ !5
+ $
!5&
8 !5 8
!5& !5& $
!5&
$
6 6
-
7 7
$
% $$
-
!5 $
)
)
$
%
$$
% 9
:
%
$
%
%
$
& %
$ 9
+
:
+
$ 9
$ $
5
$
9
+
+
$
$
2
+ $ : 5% & & ;
$ !! " !!+
!5 " !! 8 !!+
&
!! &
.
×
5 ≈
$
5 ≈ & ++ $
5
&
<
$) $ !%
5 %
$ 5 ×
5 ≈
!
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
= ! ! ! !
$ ≈
&+
$
5
$
$
$ 5
5 !5
$
$
$
$
?
&+
!5+
$
5 : $$ )
5 ,@* + +* 7 $
+* $
$
$ 6 5 *5
*
7 . 6+ + *
$ $
6
AA
$ ;
%
$ $) !5
$
% ,+
$
&
+ $
% " 5
+ + !5
$
@, 8
$
)
$
$
$ !!
%
!5
$
!5
$
!5+ <
+ % $
5
$ $
$ !5
<
>
<
5 5 7×
+*
% ≈ & 5%
)
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 1_5 Spreiding
!
" # " # "%%
$ # $
&% )" $#+ $%% #% )"
,
" !
"'% ( $#+
&% ( )" * ,
#% $#+ "'%
"%%
#%+ " %
$%% ,
" % - "'% . "% "#% )
#+ "/ %
$%% $ #
"%%+ ,
$ # - "/ % . &#
$# / - $# . #& % "'
, &&
/ "#
&#
4
)" )
&4
0&& 1 3 $ . && # 4 $ ) - )" . &4 - 4 . "%
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
8
8
8
9
5 $ /7 $ &" 7 $& 7 $ $& 7 $ &/ 7 $ #" 7 $# 7 $ ##7 $# 7 $ #/ 7 $ '" 7
$ &"] $& ] $ &#] $& ] $ &/ ] $ #"] $# ] $ ##] $# ] $ #/ ] $ '"] $' ]
% " % $
% " " ' "& $& $ ' 4 / &%
4 "% 4 & $ " "
9
5 %+ $ #+ $ #+ #+ "#+ #+ '%+ 4%+ / %+ / #+ / #+ "%%+
9 5
" " $
" $ &
& # ' # #
"" "' $$ $ $ # 4 &%
$
5 $ #+ #+ "%+ " #+ $ #+ &%+ ##+ ' #+ 4%+ 4 #+ / #+ "%%+
5 0
2 !
6 $ #"7 $ # ] 8
%
%$8
$ '$ $ &$ 9 $ '$ $ '$ - $ &% . % $$
$ '$ - $ &$ . $ &% #%+ $ #$
)" 5 ) . $ ## 9
)
)" . $ &/
8
5
$#+ #+ 8 )" . $ #% ) - )" . $ ## - $ #% . % %# 8 ) . $ #' ) - )" . $ #' - $ &/ . % %
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
6
(
9
8
$ &% $ &$ $ && $ &' $ &4 $ #% $ #$ $ #& $ #' $ #4 $ '% $ '$
9
: 8
9 8
3
9
! $" #
8
$%-$"
"/ # $" # - "/ # . $
5 5 $%-$" $$-$ $&-$# $'-$ $4-$/
#& "$4$ %'# # 4 $" #%%%
" "+ $# '+ '" + "" '+ % &+ "%%+
5 " "+ $' + 44 %+ / / '+ "%%+
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
; 5
<
5
<
#%+ =
$%>$" $ "/ # 1 "
"%%+
"/ # 4#+
$& $" # ? % 4# × $ . " 4#+
*
. $" $ 5
0#& × $% # 1 "$4$ × $$ # 1 %'# × $& # 1 # 4 × $' # 1 $" × $4 #2 3 #%%% . $& "/ $ , $" "/ $ $ "/ $ $%-$" $" "/ $ $" # 5 0$" # - $" "/ $2 3 $ × #& ≈ 4 $$-$ $&-$# "$4$ %'# $# # $ "/ $ 0$ "/ $ - $# #2 3 $ × # 4 ≈ &4/ 4 1 "$4$ 1 %'# 1 &4/ . &4&& &4&& 3 #%%% × "%%+ ≈ / ' / +
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
#& 0# ' 1 ' $2 3 $ . # / 4$- &.&4 $% ""' ""' 3 $% . # 4 ""' 1 $% × % & . "$& "$& 3 $% . ' $ 00# ' 1 % &2 1 0' $ 1 % &22 3 $ . 0' % 1 ' '2 3 $ . '
""' × " " . "$ ' "$ ' 3 $% . ' 4 ≈ ' & 00# ' × " "21 0' $ × " "22 3 $ . 0' "' 1 ' 4$2 3 $ . ' &/ ≈ ' # 4 $ × " " - & × " " . # $4 ≈ #
0# 42 & 4 &% &% &4 #% #& #& #& #' '$ '$ '' '' '4 '4 % & & 4$
$& $% "4 "4 "% %4 %& %& %& %$ %& %& %4 %4 "% "% "$ "' "' $& $$ & $$ & 3 $% . " "$ %&
%& $$ & =
" "$ ""
"" "" $$ & × " " 3 $% . " $ $
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 1_6 Standaardafwijking 29
a b
c
d e
f
30
a b c d
Haar gemiddelde cijfer is (6,7 + 6,8 + 7,0 + 7,2 + 7,6 + 7,9) : 6 = 43,2 : 6 = 7,2. cijfer
x−x
(x − x)2
6,7 6,8 7 7,2 7,2 7,6 7,9
−0,5 −0,4 −0,2 0 0 0,4 0,7
0,25 0,16 0,04 0 0 0,16 0,49
Het gemiddelde van de kolom x − x is (−0,5 − 0,4 − 0,2 + 0 + 0 + 0,4 + 0,7) : 7 = 0 : 7 = 0. Als je bij de verschillen met het gemiddelde het teken in acht neemt dan is het gemiddelde van deze verschillen altijd nul. Het gemiddelde van de kolom (x − x)2 is (0,25 + 0,16 + 0,04 + 0 + 0 + 0,16 + 0,49) : 7 = 1,1 : 7 ≈ 0,1571. De wortel hieruit is ongeveer 0,3964. Dit is een maat voor de spreiding omdat het verschil met het gemiddelde voor elk waarnemingsgetal meetelt. De verschillen kunnen elkaar niet meer opheffen zoals bij opdracht c. Door het kwadrateren worden de verschillen in de tweede kolom altijd positief.
Voor het gemiddelde staat het symbool x . Voor de standaardafwijking staat het symbool σx . n = 10 betekent dat het aantal ingevoerde gegevens 10 is. x = 7,2 en σ ≈ 0,396
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
31
32
a bcde
a
verandering
gevolg voor het gemiddelde
gevolg voor de standaardafwijking
frequenties × 10 salarissen × 5 frequentie + 10 salarissen + 10 000
blijft zoals het was wordt 5× zo groot wordt ongeveer 65273 wordt + 10 000 meer
blijft zoals het was wordt 5× zo groot wordt ongeveer 48274 blijft zoals het was
e
Er zijn 8 van de 25 pakje met een gewicht onder de 100 g. Dat is 8 : 25 × 100% = 32%. De pakjes met 105 en 106 gram komen het meest voor. De pakjes met 105 gram liggen bovendien het meest centraal van de verdeling dus de fabrikant heeft het gewicht op 105 gram ingesteld. De pakjes van 97, 98 en 99 gram hebben een ondergewicht. Dat zijn 1 + 1 + 2 = 4 pakjes van de 60. Dat is 4 : 60 × 100% ≈ 6,7% Voer op je rekenmachine de gewichten uit de eerste kolom in als List1 of L1 en de frequentie uit de tweede kolom als List2 of L2. Met de statistiekfuncties vind je dan als gemiddelde ongeveer 105 gram als standaardafwijking 3,3 gram. De controledienst concludeert dat de vulmachine wat hoger staat ingesteld.
a
Uit het steel-blad-diagram lees je de volgende frequenties af:
b
c d
33
x ≈ 52666,67 ; σx ≈ 42342,52
x −σ
b c d
x
x +σ
Het gemiddelde is 5,955 gram. De standaardafwijking is ongeveer 1,342 gram. Het gemiddelde plus de standaardafwijking is 5,955 + 1,342 = 7,297 gram. Het gemiddelde min de standaardafwijking is 5,955 - 1,342 = 4,613 gram. Tussen 4,613 en 7,297 gram liggen 26 kastanjes. Dat is 26 : 40 × 100% = 65%
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
e
Uit het steel-blad-diagram lees je de volgende frequenties af: x −σ
f
x
x +σ
Het gemiddelde is ongeveer 7,33 gram. De standaardafwijking is ongeveer 1,866 gram. Het gemiddelde plus de standaardafwijking is 7,33 + 1,866 = 9,196 gram. Het gemiddelde min de standaardafwijking is 7,33 - 1,866 = 5,464 gram. Tussen 5,464 en 9,196 gram liggen 24 kastanjes. Dat is 24 : 40 × 100% = 60% Aangenomen dat de kastanjebomen vergelijkbare grootte en ouderdom hebben kun je verwachten dat boom B, met gemiddeld zwaardere kastanjes, in het park staat omdat de groeimogelijkheden voor de boom hier gunstiger zijn dan bij de parkeerplaats.
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 1_7 Verwerken en toepassen
"
#
" "
./ 0 #* * .#* * 0 #* .#* 0 ##* .##* 0 ## .## 0 # * .# * 0 #
! " " "
# #*
#* # #/ # #1 #*
# $ " &
" 1
#
1# #
3 2
" % "
" "
"
"
%
"
" -
%
%
)" "
# #
'
"
2* 2
2
# $
'
1 2
" #* * * " * "
% ( +#* * * * * × #* * *
, ** ***
#* * * "
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
#/ 3 * #/ 3 1 ** *** " " ## * * * * * ## * * * * * * * * ## " ** *** " # ** *** # *** *** ** # " (
4 5 6 7 #/ 21
2 * *** 2 * *** 8 ** ***
"
#/ 3 * ≈ " ( #/ 3 1 " (
( ≈
#/ 3 1 * * * * " #*
** *** *** "
9 7
.#3 * * 0 # * * ;1;* ;*
"/ : # ( 2 × #* * < ≈ #* 2< ;1;#;#
9 . * * 0 #* * *
#*
**
.# * * 0 #3 * * -
#* * *
= 9
=
*<
2* * 8
" #/
@
#
. ***0
9
* × #* * <
#*
(
.# * * 0 * * * >" ( = #/ * * 8 + ,
**
*
= /** 8 . 3**0 1
5
2
?
= # ** 8 ** >"
@
# **
1
***
= #* * 8 #* * 8 ( = #* * 8 = #* * 8
=
1/ ; # #* * 8
** @
2
1* * * 1
?
1 ** % <
#/ *< ( *<
< #/
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
A
B
# > = *3
B
> 9 A B
=
#* * 8
C>
=
C> ≈ 1/ # 5 ** 8
#
C> ≈
; > ≈ #/ #
* 5
>
3* < D
D D E "
=
D
1 (
1
× * 3*
*2
*** 8
-
C>
=
2 /< ( /1 / 1 × * 2/
** 8
! 13
D "
"
#/ <
7 F
**<
#/ < #/ < 7
( / 1 × * #/ ≈ / 2 < *2 (
( D ( ( 7 *2 × * *2 #3 (
" (
1 < "
D ( "
(
5 * 2 8 #3 ; 1 9 "
B
" = #* * 8
!
7 (
" = #* * 8
1
#2 < 13 H # ; 1
D ( 1<
G
( (
D " D ( # 2 # 2×*1 ( (
1
( 13 H 13 × * #2 ; 1 × * 1 D ( ( D ( D (
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij Testbeeld
! #
"
#
# ""
&' ×
'$ × #
# " × ()
$×
# * $) ≈ '$ , $) ≈ ' %' # + "" "" # "#
" # -
# / %
.
" #
1 #
# !
#
-
"
!
-
"
#
!
%'
" ##
# # # ""
!
2 -
" ! 2
"! " ! ! '$ 4 "# %
# "
- 0 "
#
'$ !
" / #
"
- / - "! "
+ ! 3
#
# "
$
" "
# #
$ %
#
"
!
×
+ '$
"
'$ '$ "
-
)
# "! # $ ×$≈
# '$ " $
"! "
-"
) " )
"#
× '$ # ×
$ $
# ! %
5
"6# -
5
" &
"
-
"
# -
(
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
"
$%' "
!
#
"- "
$% " #
!# !
) 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
%$8 $%$8 %$8 %$8 ,%$8 *%$8 %$8 %$8 '%$8 %$8 %$8
$%$ %$ %$ ,%$ *%$ %$ %$ '%$ %$ %$ $%$
# 7
%$8
$ *
*
"#
%$
" #
! "
# # "" " × $ × ()
$ .
# . # & $× ×
5
×
,× ) ≈
# " !"
*×$ %
"
7 *%$8 #
# ! ×*
%$ !
" ) ×
'×
×
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
! "
#
- 5 1 -# -
#
" . 7 4 -
"6# "
#
"
!
"
"
7 '8
%
% $
%
%7
8
% …%
8 ! 5
" "#
# -
5 "#
" # 7 '8 7 8 7 8 $ 7 $8 7 8 7 8 , 7 ,8 * 7 *8 7 8
-
-
"6# %
1
- 5 3 ! -
"6#
! "
5
"
"
5
-
5
, '
' $
$ ' '
*
5
" .
!
!# !
! "#
'%$ 8 # -
%$ 8
5
%$ %
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
""
"
#
7 %' 7' % 7 % 7 % 7 % $ 7$ % '$ 7'$ %$ 7$ %
/
1
"" %
5
"" # " ! # # " + ! : " ## + " ## # # + ! # + ! )
"#
5
"6#
# # # !
"" " ## "# "- ! # "- ! # "- ! #
"
!
! $9
#
%+ -
*' **
$9
#
+ ! :)
-
' ' '
'
+ ! +)
"
'
" #
#
"" "" #
: "
; %+ $ !
" ""
<
! :
!
=
#
"!
# > ;> , ;' # % &# ! > ; > ** ; *, # $% > ; > $' ; , # ' %, ": % %+ - ! #
# + !
=
" "!
: % %+ (
"#
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
/ % ! #
-
5
"6#
! ""
" #
# "!
#
#
-
"
# $% $$% $% … @ - 5 ! ! @ ' - @' ? !# ! $ % "> ;> $; $ 4 ! # !# ! " $ % > ; > ,$ ; $ ? ! # # 4 ! ! " # " "" ! %, - ! # %* 4 ! # ! " # " # % ,% / % # # " "" # # A % "" ! ! # " # "" " ! # ! " # " " # ! = # "" ! ! # " # # !
? @
-
#
!
# -
"
"
vwo A1 deel 3 — Statistiek_1 — Statistische verwerking
Uitwerkingen bij 2_0 Voorkennis: Stochasten en kansverdelingen
=
=
=
⋅
⋅ ⋅ =
=
=
=
=
=
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
≈
=
=
=
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
≈
=
=
⋅ ⋅ =
≈
=
=
⋅
⋅
≈ ⋅
⋅ ⋅ =
≈
= =
!
⋅
+ ⋅
+ ⋅
"#$ % "
(
$ − >
= <
!
=
)
&*
! (
⋅
$ &
$ =
<
"
# $
+ ⋅
+ =
⋅
=
$$ "#$ %
' $$
'
⋅
=
+
⋅
+ ⋅
+ ⋅
+
+
⋅
=
*
$ & + "$ , + ⋅ + ⋅ %
⋅
= =
+
+
$
-
+
+ "$
⋅
+
-&
⋅
+
⋅
=
"#$
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
"
=
=
=
=
=
=
= =
=
=
=
=
⋅
=
=
⋅ ⋅
=
= = =
⋅ ⋅ ⋅ = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
, = ⋅ + ⋅
! (
#
+ ⋅ +
%$% '
+
$
&
&
⋅
'
(
$
⋅
=
%
%
%$
'
= & '
$ - &&
$ $*
$*
'
$ -
.
/
$
#
=
=
/ =
=
+
=
/ =
=
+
+
= ⋅ ⋅
=
/ =
=
+
+
+
=
⋅ ⋅
=
/ =
=
+
+
+
=
⋅ ⋅
=
/ =
=
+
+
+
=
⋅ ⋅
=
/ =
=
+
+
=
/ =
=
+
/ =
=
⋅
$ $ =
/ =
⋅ ⋅
=
= ⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
=
=
/,
"
! / =
⋅
+ ⋅
+
+
⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
!
⋅ +
! 0 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
"
+
=
⋅
=
⋅ +
⋅
=
=
& -$1
! $ $ &
$ & %
,
! $ $ &
$ & %
,
! $ $ &
$ & %
,
⋅
= ⋅
⋅
= =
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij 2_1 Standaardafwijking bij een kansverdeling
⋅ +
⋅ +
⋅ + ⋅ + " # $ , , , , -. % $ ) # -. 0 $ (5 ( "& 7+ "
82 4 =
+ ⋅ 82 4 =
⋅
=
= ⋅
=!
# % & % '( ) % *
# /
% & % '0& ,0 /
# 0& ,0 1 =
4=
82
⋅
⋅ +
/
+ *
+
,
"
6
,
1=
/
=
, + 3 4+
12 ,
1=
+ =
⋅
'" * #$ " 5
(% / /
+
#
= ..
/ $
/
$
9
+
82 = 4 82 4 =
# ⋅
: )
#
$
.
+
⋅
/
+
$ ⋅
/ +
#
⋅
+ ⋅
$
#/
/
*
+
=
/
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
* #9 + ⋅ + ⋅
!⋅ +; ⋅ ( 2< 4 = ⋅
( 2& 4 = ( 2 4 − ( $ * )
+)
/ * * + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅
* =
( 2< 4 = ( 2 4 ⋅
/ # #$ $
* #$
+ #
$
/ +
* #$ ! ⋅ +; ⋅
+
⋅
* #$ , , -.
, , %
-. , , -.
!
⋅ +
$
⋅
=
=
2
$
$4
; '"
0
1 =
, , #
"
5
,
"
6
,
(5 ( "& 7+
6
,
(5 ( "& 7+ /
, , %
'"
-. 0 ) / $ / -
, #
/
"
5 /
,
"
.
$
$$
# $$
# .
#
825 = 4 = 82 × 4 =
=
$ * 9
× 4=
⋅
825 = 4 = 82 ×
× 4=
⋅
⋅
825 = 4 = 82 ×
× 4=
⋅
⋅
825 = 4 = 82 × 4 =
=
!
)
+
$
$
#
$
$$
+
$
825 = 4 = 82 ×
/
/
+
* $
1 =
,
.
# .
)
+
⋅
#$
+
= = =
3 825 = 34 " , -.
! .# ,
%
$
0
, !
'"
, 1 =
* #$ -.
,
#
"
,
/
*
*
3=
!
5
,
"
6
,
(5 ( "& 7+
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij 2_2 Binomiale verdeling =
=
⋅
⋅
=
! =
=
=
=
=
=
=
=
=
" #
⋅
⋅
=
#
=
$ =$ %
&
' & +
& )
" # ! (
=
(
0 1
<
* =
)
=
=
=
≤
=
> ≤
≤
* =
−
= −
≤
=
≤
−
≥" = −
-
≤
= −
& (
!
= )
) & (
)&
.
)&
!
*
)&
!
=
) )& "
)
)&
!
!' )& =
!
*
)&
!
≤# = ≤
=
,
&& & (
=
<
&
)
* ! ) & , & * & ) ≥ = − ≤ = −
/≤
+
!' ! )
&&
! ≥ / = − ≤
≥" = −
(
) )& )& ) )& !
) )& &
=
, ) )& > ,
#
) ) ≤# =
≤
=
/
≤
=
//"/
/
& #
,
- ".
!
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
= (
=" =
2
(
5 6
4
!
, *
-
)
)
&
.
(
* ?
& & )&&
# 8 8 )
$=
"//
0 *
78
0 *
=
>7 8 (
⋅
⋅
−
? ? 0@ A! "
! = ⋅
= , C
=
*
(
; =
)
)&& )
5 ,
"(
.
=
! )
"//
&
5 =
"" (
& &
A )
(&
&
6
)
⋅/ =
; =
⋅/⋅
? E =
⋅
+ ?
≤
⋅
%
="
7
8
8 )
78
0
=
/
=
+;
?
−; <
; =
>7 8
? ? 0@ A!
; = "⋅
⋅
−
=
&
(
B
)
"
⋅
−
=
& ( ⋅
=
* &F !
-
.
( )
=
,
=
*
(
?
""
$=
=
)
D
(
=
=
+
0
−
"
=
; E =
(
& .0
<
#
#
7
& 8 7 & 8 7 9 :" )
1
B
7
/
5 8 8 1
7
#
# .0 + ) ; =
(
/
7
& 8 7 & 8 7 9 :" ) <
*
)
#
1 ,
4
! (
5 = 5 8 8 1
" 3
;
=
≤
=
⋅
! * &F
⋅
(
!
=/# "
+/# "= /# "
= −/ # "= < /# = ≤ / −
//##
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij 2_3 Verdelingen, continu en discreet =
= ⋅ ⋅ ⋅ = =
! " ' "" & % ! '" % $ &
+
$ &
/
# (!
$
#
" !
, $ , , % $
$ $ 1
,
# # "
#
( &
" .
% "
% "
"" $
" % "# ( %
# % "&
$$
$
,
&
&
"! $
"!
(! #
$
%
"
0
0
%
, % !
"$ ! $$
&"
&
" % $ $ % $ $ 0
$ % $$
$
& ""
$ (!
& $
$
-&" (!
(! % (! %
&
%
$
#0 "
#
% ) % *
&
" &
=
""
%
& "$ "!
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
3$ $ 4
# %& , % " ,
" $ " $
*
%
!% , %
" !
"
5&
$
"
$ "
$
* 6 #
6 $ %
, % 0 & %
"
, % ""
,
$ $ + (! ( & " $ , % $ " % !% %
$
, , %
"
! $
"
"
" $
2
&
(!
&
" " " (!
$ "
(!
"
(! & & %
%
, % $ % #
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij 2_4 Normale verdeling
!
"
()
×
% +
+ + # + % + &' = ( )
# $
* =
#%*
,
#& $ - #$ $
#$ $ - ## $ . − / = #$ $ − # = # ) . + / = #$ $ + # = #' 0# $ #% $
,
#
#×% (
0#( $ #' $
,
#
# × #& # × % ( + %) % + &# + &$' + & % + (& # × * = #) * % . − ⋅ / = #$ $ − ⋅ # = # %
# × #& =
(& #
. + ⋅ / = #$ $ + ⋅ # = ( ( , " × &' + ) + ( $ + % ( + %) % + &# + &$' + & % + #& + ( ( + ) ( + ' #& ' 1 ' #& ' × * = ) $* % " .−/ =%%−
2 3, 2
'
%'
$=
) ".−/ =%' −
4
' .+/ =%%+ $ =% ' ) × * = #%* % #& = % # . + / = % ' + #& = & &&
× * = #( * % 2 " . − ⋅/ =% %− ⋅ $ = % . + ⋅/ = % %+ ⋅ ' 3, % &% ' × * = ) %* % 2 4 " . − ⋅ / = % ' − ⋅ #& = $ . + ⋅ / = % ' + ⋅ #& = $ ' ) 3, $ $ ' ) × * = )(* %
3,
% #
× &#
& &&
$=&%
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
* 0
$
0
($
0
%
$
0 %
&
) $
0 &
$
%
0 $
#
% $
0 #
(
$$
0 (
'
$
0 '
)
$
0 )
$ .−/ = $ #− $ = & 3, & ( . − ⋅/ = $ #− ⋅ $ = &× $+)
, 2 + , + 7
.+/ = $ #+ $= ( ) × %+% $+ $ $+ × $ = #' * # . + ⋅/ = $ #+ ⋅ $ = ' # $+ %+% $+ $ $+
$+
# × $ = ) &*
, 4 5=
+
$#
/= $
6 $#
,
)
×$ # = $ &
% &
$ #
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij 2_5 Rekenregels voor stochasten =
+ =
+ !
"
# =
$
#⋅
& ='' ," = *⋅
.
1 = 2⋅
+#
3 + #(
% 1 = 2 ⋅% 3
*! % " = * ⋅ ( ## =
/ = ' '+#=0 '
$
#⋅%
!
" = * ⋅ ' ' = ((
$
,/ =
/
$ = ( ## )
%
=
$ %
#
+$
!
% / =%
-* = ( ##
1 = 2 ⋅ (* + #( = 00
$
$ % 1 = 2 ⋅( * = ' * $ )
4
4(
! 5 6 6 8
, (
8 8
6 , ( # 6(, *7 (*7 (* 9 :2 #, . 6 6( 3
.
4
,6 . 1 4 (, 4 ( = ( *
) ( =(⋅' =
= 0*
4
0
<, 6 ( % 4( =
=( =>
>
=# =>
( +> (
>
=' =>
# +> (( +> #
>
=* =>
' +> (# +> #( = (⋅' + '⋅ ' + '⋅' =
>
=- => ( ' +> ## =
>
=0 =>#' =
'
( > 8 6 6
=
#
( -
# -
2 (; ." =!
( -
=(⋅'+'⋅
⋅' =
4 2
=
!
>
2
=
% 4
'
'
=
# -
=(⋅'+'⋅'+'⋅
⋅'+'⋅' =
'
=
' ' -
( -
-
' ' -
* ' -
( -
0 -
, (
6 , 6(,
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
8
9 :2 #, .
% 4 + 4( = %
6
2 (; +
% 4 + 4(
(
. $
4 ,6 4 + 4( =
2
$ % 4 + 4(
= ;' % 4
=
(
, % 4 + 4( -2 ? ) # 0 + # = ##2 . ) +
-2 ?
= ' (*
= #; (
8 3 ' (* = 0* + ( * #; ( ≠
4 + 4( =
6(
-; (
(
4
(
(
= (*
+ % 4(
@+%
." =! + % 4(
% 4
% 4(
=% 4
@−%
$
. 1 <, 6 4 + 4(
$
(
# 0 − # = (0-
$
! ) ) -* − ( = *# # 0 + -* = #0(
)
%= # #0( − ## ( = ##2 2
$ $
4 # ' * ( # ' * > 4 = # = > ( + > ( = ( ⋅ - ⋅ * = #( > 4 = ' = > # + > # = ( ⋅ - ⋅ * = #( > 4 = # => ( +> ( +> ( +>
-* + ( = 00 (
+ (( = ## ( #0( + ## ( = ' * (
- (# ('
(*
( = '⋅ - ⋅* =
!
' #
) A > 4 =A
#
'
*
( #
( #
( #
( ( #
#
'
' #
*
#
-
' #
( #
(#
('
(*
( #
( #
( #
! 8 6 6 8 8 +
, 6 , ( 6(, 9 :2 #, .
4 6
3
. , ,
$
4 $
4 = '
6( ,6
. (
1
<, 6
% 4 =-' 2 (
4
." =!
!
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij 2_6 De
-wet
!
"
+
!
⋅&
2
&,
!
3
+
(%" ' =
)*
+
(%" ' =
+ )*
* ⋅ (%&' =
7%& = ' = 7%
=
5 (%& ' = (%& ' = 1111 = (%& * ' = ) * * ⋅ (%&' 6 (%" ' =
* ⋅ (%&' =
(%" ' = ' + 7%
' = 7%
' + 7%
7%& = ' = 7%
' + 7%
'=
' + 7%
' + 7%
3 : 2 2 ! "
;
* ⋅ )* =
*
* ⋅ (%&' ' + 7%
' + 7%
& 3 8 8 84 4 8 7%& = ' = 7% ' = ⋅ = 7%& =
3
=
$ %" ' = * ⋅ $%&'
2
$ &$ ! / 0 1 3 ,& +&
= *
+ )*
$ %" ' = * ⋅
.
1
$ %& ' = $ %& ' = 1111 = $ %& * ' = 2
-
(%&' = ) *
*
41 " =& +& +& $ %" ' =
$ %&' =
#
⋅ ⋅ '=
'=
⋅ ⋅ =
1 = ⋅ ⋅
=
9 : ; 7%& = ;'
+ $ %&' = $ %&'
! (%&' =
" ," < 2 = $ %" ' = ⋅ 2
"
,& <#
# &, (%&'
) = ,
$ %&' = !
)
(%" ' =
-
(%&' = .
⋅
*
$ &$ ! / 0 1
5 =) 5
2
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
$ %&' = $%&' =
=
$% ' = * ⋅ (% ' = 2
2
* =
*⋅
(%&'
(%&' =
)
=
⋅ * = *
6
* #
(%&' =
(%&' = *
" , =
< , 2 $% ' = ⋅
"
, 2 66 (%&' * (%&' = = =
*
= 5* #
66 = * * 66
(% ' =
,& <#
" , =
=
*
5) #
$ %&' = $%&' =
"
=
** #
6
! ,# :6 # , ,# 5 > 6 = 2, > : : , ? + ⋅ ( = 66 @ * 6 1 = > , # 2 2
2
5
=
< , , # $% ' = ⋅ *
,& <# (%&' =
= =6 (%&' =
, (%&' 3
5
=
=
# 3
= * , # 5
? − ⋅(
9
(% ' =
? + ⋅(
#
3
, 66
*
⋅ 5=
1 6
1
1
=
#
3 #
=
%< * > : 6
=
5 '1 1
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij 2_7 Verwerken en toepassen 37
a b
38
Lager,want σ is groter.
Stel X = aantal trekkingen, dan is: P(X = 1) = P(r) = 25 6 P(X = 2) = P(wr) = 35 ⋅ 24 = 20 = 103 P(X = 3) = P(wwr) = 53 ⋅ 24 ⋅ 23 = 51 P(X = 4) = P(wwwr) = 53 ⋅ 24 ⋅ 31 ⋅ 22 = 101 x P(X = x)
1 0,4
2 0,3
3 0,2
4 0,1
De som van de kansen is 1. Op je rekenmachine List1 of L1: 1, 2, 3, 4 List2 of L2: 0,4; 0,3; 0,2; 0,1 Op de TI83: 1-Var Stats L1, L2 geeft E(X) = 2 en σ (X) = 1 Op de Casio doe je 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR. 39
a
Stel X = aantal keer dat het gekozen getal verschijnt, dan is n = 3 en p =
b
E(X) = 3 ⋅ 61 = 0,5
c
Stel W = de winst voor de klant, dan is: P(W = −50) = P(X = 0) = ( 56 )3 = 1225 16 P(W = 50) = P(X = 1) = 3 ⋅ 61 ⋅ ( 56 )2 =
75 216
P(W = 100) = P(X = 2) = 3 ⋅ ( ) ⋅ ( 56 ) = 1 2 6
P(W = 150) = P(X = 3) = ( ) = 1 3 6
d
1 6
15 216
1 216
w
−50
50
100
150
P(W = w)
125 216
75 216
15 216
1 216
De som van de kansen is 1. 75 15 1 E(W) = −50 ⋅ 125 216 + 50 ⋅ 216 + 100 ⋅ 216 + 150 ⋅ 216 = −3, 94 euro
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
40
ab
Op je rekenmachine: List1 of L1: 0, 24 List2 of L2: 31 , 23 Op de TI83: 1-Var Stats L1, L2 geeft E(X) = 16 en σ (X) = 11,314 Op de Casio doe je 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR. List3 of L3: 0, 18, 42 List4 of L4: 21 , 41 , 41 Op de TI83: 1-Var Stats L3, L4 geeft E( Y) = 15 en σ (Y) = 17,234
c
Op de Casio doe je 1Var Xlist: List3, 1Var Freq: List4 en EXE 1VAR. S = X + Y , dus E(S) = 16 + 15 = 31 euro en σ(S) = 11,3142 + 17,2342 = 20, 62 euro
d
41
a b
Kosten per spel € 32,-, opbrengst per spel € 31,-, dus verlies per spel is € 1,-. Hij kan naar verwachting 40 keer spelen. 50 + 70 70 − 60 = 60 minuten, µ + 2σ = 70 dus σ = = 5 minuten 2 2 T = X1 + X2 + ...... + X10 µ=
µ = E(T) = 10 ⋅ 60 = 600 minuten
σ = σ(T) = 10 ⋅ 5 = 15,8 ≈ 15 minuten
c
42
a
b
9,5 uur = 570 minuten Met de vuistregel: µ − 2 ⋅ σ = 600 − 2 ⋅ 15 = 570 dus de kans dat de totale 100 − 95 werktijd maximaal 570 minuten is, is 2,5% (namelijk = 2,5 ). 2 10 ⋅ n = 10 n 10 Heb je alle vragen fout, dan is S = 0 en is C = ⋅0 = 0 n Het cijfer ligt dus tussen 0 en 10. n = 1 , dan heeft S twee waarden, nl. 0 en 1, met een kans van 0,75 en 0,25. C kan dan de waarden 0 en 10 aannemen.
Als je alle vragen goed hebt, is S = n en is C =
s c kans
0 0 0,75
1 10 0,25
Met je rekenmachine: List1 of L1: 0, 1 List2 of L2: 0,75; 0,25 Op de TI83: 1-Var Stats L1, L2 geeft E(S) = 0,25 en σ (S) = 0, 433 Op de Casio doe je 1Var Xlist: List1, 1Var Freq: List2 en EXE 1VAR. 10 Verder is C = ⋅ S = 10 ⋅ S , dus is 1 E(C) = 10 ⋅ E(S) = 2,5 en σ (C) = 10 ⋅ σ(S) = 4,33
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
cde
n = 10 , stel S = S1 + S2 + ...... + S10 , dan is E(S) = 10 ⋅ 0,25 = 2,5 en σ (S) = 10 ⋅ 0, 433 = 1,369 10 Verder is C = ⋅ S = S , dus is E(C) = 2,5 en σ (C) = 1,369 10 n = 20 , S = S1 + S2 + ...... + S20 E(S) = 20 ⋅ 0,25 = 5 en σ(S) = 20 ⋅ 0, 433 = 1, 936 10 Verder is C = ⋅ S = 0,5 ⋅ S , dus is E(C) = 2,5 en σ (C) = 0,5 ⋅ 1, 936 = 0, 968 20 n = 30 , S = S1 + S2 + ...... + S30 E(S) = 30 ⋅ 0,25 = 7,5 en σ (S) = 30 ⋅ 0, 433 = 2,372 10 Verder is C = ⋅ S = 31 S , dus is E(C) = 2,5 en σ (C) = 31 ⋅ 2,372 = 0, 791 30 n = 40 , S = S1 + S2 + ...... + S40 E(S) = 40 ⋅ 0,25 = 10 en σ(S) = 40 ⋅ 0, 433 = 2, 739 10 Verder is C = ⋅ S = 0,25S , dus is E(C) = 2,5 en σ (C) = 0,25 ⋅ 2,372 = 0, 685 20
f
10
20
30
40
E(S)
2,5
5
7,5
10
E(C)
2,5
2,5
2,5
2,5
10
20
30
40
σ(S)
1,369 1,936 2,372 2,739
σ(C)
1,369 0,968 0,791 0,685
De spreiding wordt kleiner naarmate er meer vragen beantwoord worden.
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
Uitwerkingen bij Testbeeld
=
=
=
= =
%
⋅
!" + &&&&&&& +
'(
#$
⋅
=
= ⋅+ =
* % =
* % ,
)
'( , +
=
* % ,
$
=
)
,
=
! !! "
!" ⋅
⋅
−%
=
⋅
⋅
=
=
−
=
*
* ->
=
% - =
⋅
+ ! +
'+ .! . !)0
/ 1
.! .
3
4
+
3
= ⋅
+
×!
4 *
+
⋅
= $# "
= #
6
⋅
= "
! ×
"
4
-7
+
( 2 - =
+ 5/ *
⋅
*
*
&
&
"
4 - 5
- = −! = - =! =
4
8! !
&
=
4
5
=
#
=
4
!
!#
⋅ #! ⋅
#
=
!#
% 5 : -=:
8! !
!
!#
3 % - = −! ⋅ ! !# + ! ⋅ 9
4
! !#
!#
4
! !#
!& !#
+ ⋅
! !#
+ ⋅
! !#
=−
"
*
(&
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
;−2 =#
−
< # ; − ⋅2 = # ;+2 =#
= #
!# < −" +
>
= =#
= 7 % = =! ⋅
1
- 7 2 - =
,
<
5/
"
5
** = **
! "
"! × "
*
5
2 = = ! ⋅
=
=
!
+
=#
&
+
&
&
$ **
$ **
*
4 2 - =
=
(4 / & !
⋅
-7 -=! =
* "
? 7 ? % ? =
+ ⋅
$ <
5
"
=
!
!#
= !
"
⋅+ ⋅ ! −+ =
1
(
= !#
*
/
" ) + ( ⋅
=
(
+
% - = ⋅+ =
− ⋅
!# <
**
3
2 - =
* *
"! <
4
1 3
1
* + **
;+2 5
; − ⋅2
=*
**
/ " = * = !$ $
⋅
" ⋅
! =! "
4 )
* &
2 ? = ; − ⋅2
⋅ ; + ⋅2
+
⋅
" ⋅ * =
! = * *
(
vwo A1 deel 3 — Statistiek_2 —Verdelingen
