Continue wiskunde Voorkennis

T.08.1.3.1

Continue wiskunde Voorkennis Voorlopige versie september 2006 © 2006 Open Universiteit Nederland

OUN

Continue wiskunde

Inhoud Voorkennis continue wiskunde Introductie Leerkern 1 2 3

4 5

6 7 8

9 10 11

Getallenverzamelingen Wat is een functie? Polynomen 3.1 Constante functies 3.2 Lineaire functies 3.3 Kwadratische functies Gebroken lineaire functies Goniometrische functies 5 .1 Hoek en hoekgrootte 5.2 Sinus 5 .3 Cosinus en tangens 5.4 De goniometrische functies sin, cos en tan Het schakelen van functies Inverse functie Machten, exponenten en logaritmen 8 .1 Machten en machtsfuncties 8 .2 Exponentiële functies 8 .3 Logaritmen en logaritmische functies Absolute waarde Vergelijkingen en ongelijkheden Literatuur

Samenvatting Zelftoets Terugkoppeling 1 2

Uitwerking van de opgaven Uitwerking van de zelftoets

Bijlage: Standaardfuncties

2

OUN

Voorkennis

Voorkennis continue wiskunde

INTRODUCTIE

In dit overzicht worden de belangrijkste begrippen en technieken behandeld die u nodig hebt voor het bestuderen van de cursus Continu wiskunde. Centraal staat het begrip functie. Het uitgangspunt daarbij is het idee dat een functie niets anders is dan een mechanisme dat aan een invoergetal op de een of andere manier een uitvoergetal koppelt. Verder gaan we in op de gebruikelijke terminologie bij functies. We behandelen wanneer functies monotoon zijn op een interval. Ook de begrippen inverteerbaarheid en inverse functie worden behandeld. Naast deze wat meer theoretische zaken komen de standaardfuncties uit de continue wiskunde aan de orde. Met name de polynomen, goniometrische, exponentiële en logaritmische functies worden uitvoerig behandeld. Tot slot worden de elementaire technieken voor het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden herhaald. In het materiaal zijn veel opgaven opgenomen. U hoeft die niet allemaal te maken, maar we raden u aan om bij de onderdelen die u minder goed beheerst wel veel opgaven te maken. In het literatuuroverzicht vindt u bovendien verwijzingen naar boeken die ook veel oefenmateriaal bevatten. LEERDOELEN

Na het bestuderen van dit overzicht wordt verwacht dat u – de verschillende getalverzamelingen kent, evenals de eigenschappen van bewerkingen op deze getallen – weet wat het begrip functie inhoudt – de terminologie kent die bij functies gebruikt wordt: invoer, uitvoer, origineel, beeld, domein, bereik, samengestelde functie, grafiek – weet wat intervallen zijn en de verschillende notaties voor intervallen kent – de begrippen monotoon (niet-)dalende/stijgende functies kent – een aantal standaardfuncties kent, waaronder de polynomen, de goniometrische, exponentiële en logaritmische functies, en hun grafieken kunt tekenen – met behulp van de standaardfuncties nieuwe functies kunt maken – van een functie kunt uitmaken of zij een inverteerbare functie is, eventueel na inperking van het domein – weet dat de exponentiële en logaritmische functies elkaars inverse zijn. Studeeraanwijzingen In de bijlage bij deze leereenheid staat een uitgebreid overzicht van alle besproken functies.

OUN

3

Continue wiskunde

LEERKERN 1

Getallenverzamelingen

Het getalbegrip heeft zich waarschijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met die waarop u zelf de getallen geleerd hebt. De basis is het tellen. Dat kan zijn het aftellen van een rij objecten of gebeurtenissen (de eerste, de tweede, de derde, ...), of ook het tellen van een aantal voorwerpen: één glas melk, twee boterhammen, drie mandarijnen, enzovoorts. Op deze manier ontstaat de verzameling natuurlijke getallen, aangegeven met het symbool N. We laten tegenwoordig deze verzameling beginnen met 0, dus:

Natuurlijke getallen

N = {0, 1, 2, 3, ...} Hier hanteren we een gebruikelijke notatie voor de expliciete definitie van een verzameling: tussen de accoladen worden de elementen opgesomd. Met de puntjes geven we aan dat er geen grootste natuurlijke getal bestaat. Bij elk natuurlijk getal m is er immers een natuurlijk getal m + 1 dat groter is, er kan dus onbeperkt doorgeteld worden. Binnen de natuurlijke getallen kunt u elk tweetal getallen optellen en vermenigvuldigen, maar bijvoorbeeld 5 – 7 ‘kan niet’. Aftrekken is wel altijd mogelijk na toevoegen van de negatieve getallen. Samen met de natuurlijke getallen vormen de negatieve getallen de verzameling van de gehele getallen Z:

Gehele getallen

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Om een soortgelijke reden is het nodig om ‘breuken’ te introduceren. De verzameling Q van de rationale getallen was het resultaat: ⎧⎪ p ⎫⎪ p Q = ⎨ p, q ∈Ζ, q ≠ 0 en zoveel mogelijk vereenvoudigd ⎬ q q ⎭⎪ ⎩⎪

Rationale getallen

Het symbool ∈ betekent: is element van; we gebruiken ∉ voor ‘is geen element van’. Verder wordt in het rechterlid een bekende notatie voor verzamelingen gebruikt: {x⏐...} is de verzameling van alle x die voldoen aan de voorwaarden die na de streep beschreven worden. In het rationale getal p/q heet p de teller en q de noemer. Een belangrijke eigenschap van de rationale getallen is dat hun waarde niet verandert als teller en noemer met hetzelfde getal (ongelijk 0) vermenigvuldigd of door hetzelfde getal (ongelijk 0) gedeeld worden. Dat betekent dat we breuken kunnen vereenvoudigen en dat we breuken met verschillende noemers kunnen optellen en aftrekken (door de breuken ‘gelijknamig’ te maken). VOORBEELDEN

Een voorbeeld van het vereenvoudigen van een breuk is (de teller en noemer worden door 15 gedeeld): 15 1 ⋅ 15 1 = = 45 3 ⋅ 15 3

Een voorbeeld van het aftrekken van twee breuken is:

4

OUN

Voorkennis

1 58 7 174 7 – 174 –167 167 – = – = = =– 3 7 21 21 21 21 21

Rekenregels

«

We brengen de volgende rekenregels nog even in herinnering. Voorwaarde is steeds dat de noemer ongelijk aan 0 is. In de tweede regel zijn optellen en aftrekken samengenomen. ap a = bp b a c ad bc ad ± bc ± = ± = b d bd bd bd a c ac ⋅ = b d bd a c a d ad / = ⋅ = b d b c bc

VOORBEELD

Een voorbeeld van het delen is: 2 6 2 7 2 ⋅ 7 14 7 / = ⋅ = = = 3 7 3 6 3 ⋅ 6 18 9

Irrationale getallen Reële getallen

«

Tenslotte zijn er behalve de rationale getallen nog andere getallen, zoals π (dat een rol speelt in de formule voor de omtrek van een cirkel) en 2 (dat de lengte van de diagonaal geeft van een vierkant met zijde 1). Dit zijn voorbeelden van irrationale getallen. De rationale getallen en de irrationale getallen vormen samen de reële getallen. Overigens zullen we in antwoorden altijd de exacte waarde van reële getallen laten staan, dus bijvoorbeeld π + 2√2, tenzij een benadering gevraagd wordt of handig is in verband met de plaatsing op de getallenrechte. De onderlinge samenhang tussen de vier verzamelingen blijkt in figuur 1. Daar zijn de getallenverzamelingen N, Z, Q en R met getallenlijnen weergegeven. Over de rationale getallen is nog op te merken dat als ze allemaal geplaatst zouden worden, het zou lijken alsof de getallenlijn helemaal vol zou lopen: inktpuntjes hebben immers een zekere dikte. Toch zijn er wiskundig gezien nog gaten: de plaatsen van de irrationale getallen. Pas als ook de irrationale getallen geplaatst zijn, is de getallenlijn helemaal vol.

FIGUUR 1 De getallenverzamelingen N, Z, Q en R Met figuur 1 is ook bedoeld weer te geven dat elke verzameling een deelverzameling is van elke verzameling er onder:

OUN

5

Continue wiskunde

N⊂Z⊂Q⊂R Het teken ⊂ staat voor: is deelverzameling van, dus A ⊂ B betekent: de verzameling A is een deelverzameling van de verzameling B. Dit betekent: voor elk element a ∈A geldt dat a ∈B. Voor de volledigheid merken we nog op dat we de deelverzamelingen van Z, Q en R die uit de positieve elementen bestaan, weergeven met een plusteken: Z+, Q+ en R+. De deelverzamelingen die de negatieve elementen bevatten, worden door een minteken aangegeven: Z–, Q– en R–. Het getal 0 is dus geen element van de verzamelingen Z+, Q+, R+, Z–, Q– en R–. OPGAVE 1

Herschrijf tot een zo eenvoudig mogelijke breuk: a 25 − 16 4 b c

5 6 · 9 7 4 /3 7 14

OPGAVE 2

Herschrijf tot een zo eenvoudig mogelijke breuk: 2ab a a + 3c c 4+a a b · ab 2 − b 3ab 6b c / 2b a De reële getallen van klein naar groot geordend, worden weergegeven door de getallenlijn. Delen van de getallenlijn, de intervallen, zijn dan aaneengesloten deelverzamelingen van R. De definitie is als volgt. Interval

DEFINITIE 1

Een deelverzameling I van R heet een interval als aan de volgende voorwaarde is voldaan: als a, b ∈I, dan geldt dat elke x met a < x < b ook een element van I is. Stel dat a en b reële getallen zijn met a < b. We onderscheiden de volgende intervallen: [a, b] = {x ∈R⏐a ≤ x ≤ b} = {x ∈R⏐a ≤ x < b} = {x ∈R⏐a < x < b} <–∞, b] = {x ∈R⏐x ≤ b} <–∞, b> = {x ∈R⏐x < b} [a, +∞> = {x ∈R⏐x ≥ a} = {x ∈R⏐x > a}

een gesloten interval een halfopen interval een halfopen interval een open interval een onbegrensd interval een onbegrensd interval een onbegrensd interval een onbegrensd interval

Merk op dat volgens definitie 1 ook R een interval is. We gebruiken hier de symbolen +∞ en –∞ (spreek uit: plus oneindig en min oneindig) om aan te geven dat de betreffende verzamelingen naar

6

OUN

Voorkennis

rechts of naar links onbegrensd zijn (+∞ en –∞ zijn dus geen getallen!). Meestal wordt in plaats van +∞ alleen ∞ geschreven. De onbegrensde intervallen worden ook wel als volgt genoteerd: 〈←, b] = {x ∈R⏐x ≤ b} 〈←, b〉 = {x ∈R⏐x < b} [a, →〉 = {x ∈R⏐x ≥ a} 〈a, →〉 = {x ∈R⏐x > a} VOORBEELD

In figuur 2 staan voorbeelden van intervallen. Een open rondje geeft aan dat we het getal niet meetellen, een gesloten rondje dat we het wel meetellen.

FIGUUR 2

Intervallen op de getallenlijn

«

Wat is een functie?

2

Een functie is een mechanisme dat bij een bepaalde invoer een bepaalde uitvoer oplevert. In een plaatje ziet dat er zo uit:

FIGUUR 3

Een schematische voorstelling van een functie

Stellen we, zoals in figuur 3, de invoer voor door x en de uitvoer door y, dan wordt de functie wel als volgt genoteerd: x → y. De letters x en y zijn gebruikelijk, maar andere komen ook voor (als de invoer een tijdstip is, wordt bijvoorbeeld de letter t gebruikt, en als de invoer een natuurlijk getal is, de letter n). De functie zelf krijgt ook een naam. Meestal, zoals in figuur 3, is dit kortweg f, maar ook hier worden allerlei andere symbolen gebruikt. De notatie is dan: x→y

of

x → f(x)

Vaak kan het verband tussen invoer en uitvoer uitgedrukt worden met behulp van een formule. Is zo’n formule gegeven, dan worden functies in het algemeen als volgt genoteerd: f: x → ... Functievoorschrift

of korter

f(x) = ...

Op de puntjes staat dan die formule. We zeggen wel dat f(x) = ... het functievoorschrift van f is.

OUN

7

Continue wiskunde

VOORBEELD

f : x → x2 + 1, f(4) = 17 g(x) = 10 − x 2 , g(3) = 1 De enige eis die we aan een functie stellen, is dat bij een bepaalde invoer één uitvoerwaarde hoort. Het is overigens niet zo dat verschillende invoerwaarden ook verschillende uitvoerwaarden hoeven te hebben. Soms is niet door middel van een formule, maar bijvoorbeeld in een tabel expliciet gegeven welke invoer welke uitvoer oplevert.

VOORBEELD

Tabel 1 zou het resultaat van een serie metingen kunnen zijn. Een functie, gegeven door een tabel

TABEL 1 x

y

1 2 3 4 5 7

33 12 7 9 9 3

Vanwege de eis dat bij een bepaalde invoer één vaste uitvoer hoort, mag in de tabel bij x = 1 dus niet ook nog bijvoorbeeld de waarde y = 35 verschijnen. « De in- en uitvoer van een functie vormen een geordend paar (x, y) of, als de functie f heet, het paar (x, f(x)). Het paar is geordend, want op de eerste plaats staat de invoer en op de tweede plaats de uitvoer. Het paar (3, 7) dat in tabel 1 voorkomt, is dus niet hetzelfde als het paar (7, 3) dat ook in de tabel voorkomt. Grafiek Oorsprong

8

Van een functie is een grafiek te maken. Zo’n grafiek bestaat uit punten in een plat vlak dat van een coördinatenstelsel is voorzien. Een coördinatenstelsel wordt bepaald door twee onderling loodrechte getallenlijnen die elkaar snijden in een punt dat de oorsprong van het coördinatenstelsel heet. De oorsprong, meestal met een hoofdletter O aangegeven, valt samen met het nulpunt van de twee assen. De invoergetallen staan op de horizontale as, de uitvoergetallen op de verticale. Elk invoer-uitvoer-paar (a, f(a)) is het coördinatenpaar van een punt van de grafiek. In figuur 4 staat de grafiek van een functie waarvan geen functievoorschrift gegeven is. In de grafiek is het punt (a, f(a)) aangegeven. Merk op dat de eis dat bij een invoer precies één vaste uitvoer hoort, betekent dat een verticale lijn de grafiek hoogstens in één punt mag snijden. Een horizontale lijn mag de grafiek wel in meer dan één punt snijden. In dat geval zijn er verschillende invoergetallen met dezelfde uitvoer. In tabel 1 hebben 4 en 5 dezelfde uitvoer 9.

OUN

Voorkennis

FIGUUR 4

Voorbeeld van de grafiek van een functie

In de wiskunde worden de volgende termen bij functies gebruikt. Een invoerwaarde wordt meestal origineel genoemd, en een uitvoerwaarde functiewaarde of beeld. De verzameling van alle originelen bij een bepaalde functie heet het domein van die functie. De verzameling van alle functiewaarden of beelden heet de waardenverzameling of het bereik.

Origineel Functiewaarde of beeld Domein Waardenverzameli ng of bereik

Als f een functie met domein D en bereik B is, heet f wel een functie van D naar B. De notatie daarvoor is f: D → B Vaak wordt niet expliciet vermeld wat het domein van een functie is. We maken hier de afspraak dat, als er niets over de invoerverzameling van een functie wordt gezegd, we de grootst mogelijke deelverzameling van R nemen waarvoor het functievoorschrift zinvol is. Zowel bij het domein, als bij het bereik is men vaak niet eenduidig in het spraakgebruik. Men spreekt van een functie van R naar R (f: R → R), ook in het geval dat het domein en/of bereik echte deelverzamelingen van R zijn. Men spreekt bijvoorbeeld over de functie x → √x als een functie van R naar R, terwijl het domein en het bereik beide de niet-negatieve reële getallen zijn. De lezer of toehoorder wordt geacht dit zelf correct in te vullen. Er zijn gevallen waarin alleen de beelden van een deel van de originelen van belang zijn. Stel dat A een deelverzameling van het domein D is, dan noteren we de beelden bij de functie f van de elementen van A met f(A) = {f(a)⏐a ∈A} VOORBEELD

Bij de functie f: x → x2 is het beeld van de verzameling {x ∈R⏐–2 ≤ x ≤ 3} de verzameling {x ∈R⏐0 ≤ x ≤ 9}, dus f({x ∈R⏐–2 ≤ x ≤ 3}) = {x ∈R⏐0 ≤ x ≤ 9}

«

We wijzen erop dat x, y en f slechts namen zijn. In de praktijk worden ze vaak zo gekozen, dat ze goed aansluiten bij de namen van de grootheden waarvoor men een wiskundige beschrijving geeft. Zo is bijvoorbeeld de functie f: x → 1/cosx

OUN

9

Continue wiskunde

met als domein alle x met –π/2 < x < π/2, dezelfde functie als de functie u: ϕ → 1/cosϕ

met –π/2 < ϕ < π/2.

Soms is er een interval in het domein van een functie waar geldt dat met toenemende invoer ook de uitvoer toeneemt. In figuur 5 is [p, q] zo’n interval. We zeggen dat de functie f monotoon stijgend is op [p, q].

FIGUUR 5

De functie f is op [p, q] monotoon stijgend

Op een vergelijkbare wijze kan een functie monotoon dalend op een interval zijn. We geven de definities van deze twee begrippen en ook van twee nauw verwante begrippen. DEFINITIE 2

Gegeven een functie f gedefinieerd op een interval I. De functie f heet monotoon stijgend, als voor elke x, y ∈I met x < y geldt: f(x) < f(y). De functie f heet monotoon dalend, als voor elke x, y ∈I met x < y geldt: f(x) > f(y). De functie f heet monotoon niet-dalend, als voor elke x, y ∈I met x < y geldt: f(x) ≤ f(y). De functie f heet monotoon niet-stijgend, als voor elke x, y ∈I met x < y geldt: f(x) ≥ f(y).

Monotoon stijgend Monotoon dalend Monotoon nietdalend Monotoon nietstijgend

Opmerking: wat wij monotoon stijgende functies noemen wordt in de literatuur ook wel strikt monotoon stijgend genoemd. OPGAVE 3

Bepaal van de volgende functies een zo groot mogelijk domein a f(x) = b f(x) =

x(1 − 2x) 1 x x+2

OPGAVE 4

2 1 + x2 De grafiek van deze functie ziet u in figuur 6. a Bepaal het domein en het bereik van f. b Bepaal f({x ∈R⏐–1 ≤ x ≤ 3}.

Gegeven is de functie f(x) =

10

OUN

Voorkennis

De grafiek van de functie f uit opgave 4

FIGUUR 6

3

Polynomen

Functies als x → 3x – 4 en x → x2 + 2x – 1 zijn voorbeelden van een grote klasse van veelvoorkomende functies: de polynomen of veeltermfuncties. Wij zullen steeds de term polynomen gebruiken. Eén van de redenen voor het feit dat ze veel voorkomen, is dat bij het berekenen van een functiewaarde alleen de elementaire rekenkundige bewerkingen optreden: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen (machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen) en we geen gebruik maken van delen. Polynoom

De algemene vorm van een polynoom is: f(x) = a0 + a1x + ... + an–1xn–1 + anxn

Graad Coëfficiënt

met an ≠ 0, n ∈N

De exponent n van de hoogste macht van x heet de graad van de polynoom; de getallen a0, a1, ..., an heten de coëfficiënten. De lineaire en kwadratische functies (zoals x → 3x – 4, x → x2 + 2x – 1) zijn polynomen van graad n met respectievelijk n = 1 en n = 2. De eenvoudigste polynoom van de eerste graad, x → x, heet de identieke functie. Constante functies, x → c (c ≠ 0), hebben graad 0.

Identieke functie Constante functie

In de volgende deelparagrafen zetten we de belangrijkste eigenschappen van constante, lineaire en kwadratische functies bij elkaar. 3.1

Constante functie

CONSTANTE FUNCTIES

Functievoorschrift

x→c

Bijzonderheden

Bij deze functie is de uitvoer c, ongeacht de invoer. De grafiek is een horizontale lijn, die de y-as snijdt in c. De constante functies vormen tezamen een verzameling functies: voor elke c is er precies één zo’n functie. Men noemt c in dit verband de parameter van die verzameling. De keuze van de parameter bepaalt welke functie men uit de verzameling beschouwt.

Parameter

Grafiek

FIGUUR 7

De functie x → c

OUN

11

Continue wiskunde

3.2

Lineaire of eerstegraadsfunctie

LINEAIRE FUNCTIES

Functievoorschrift

x → ax + b

Bijzonderheden

Hier is een klasse van functies gedefinieerd, één voor elke a, b ∈R. Deze a en b zijn weer parameters. Voor a = 1 en b = 0 krijgen we de functie x → x. Deze functie heet de identieke functie. In het algemeen is de grafiek een rechte lijn met richtingscoëfficiënt a, die de y-as in b snijdt en de x-as in –b/a. De richtingscoëfficiënt is de verhouding tussen een verticale en een horizontale verandering: a = Δy/Δx. Deze verhouding is dus constant. Voor a > 0 is een lineaire functie monotoon stijgend op R; voor a < 0 is een lineaire functie monotoon dalend op R.

Identieke functie

met a ≠ 0

Grafiek

FIGUUR 8 3.3

Kwadratische of tweedegraadsfunctie Parabool

Discriminant abc-formule

De functie x → ax + b met a ≠ 0

KWADRATISCHE FUNCTIES

Functievoorschrift

x → ax2 + bx + c

Bijzonderheden

Hier is weer een klasse van functies gedefinieerd: één functie voor elke waarde van de parameters a, b en c. De grafiek is een parabool, voor a > 0 een dalparabool, voor a < 0 een bergparabool. De parabool is een symmetrische figuur, waarvan de symmetrieas ligt bij x = –b/2a. De grafiek snijdt de y-as bij c. Er zijn alleen snijpunten met de x-as in het geval b2 – 4ac ≥ 0. De uitdrukking b2 – 4ac heet de discriminant. De snijpunten worden gevonden door de vergelijking ax2 + bx + c = 0 op te lossen. Als b2 – 4ac ≥ 0, dan zijn volgens de abc-formule de oplossingen x=

–b + b 2 – 4ac 2a

met a ≠ 0

en

x=

–b – b 2 – 4ac 2a

Als b2 – 4ac > 0, dan zijn er twee verschillende snijpunten met de x-as. Als b2 – 4ac = 0, dan zijn er twee samenvallende snijpunten. Als b2 – 4ac < 0, dan is er geen snijpunt.

12

OUN

Voorkennis

Grafiek

FIGUUR 9 VOORBEELD

De functie x → ax2 + bx + c met a ≠ 0

De functie f(x) = –3x2 + 5x – 2 heeft als grafiek een dalparabool, want de coëfficiënt voor de kwadratische term is negatief. De symmetrieas heeft vergelijking x = –5/(–6), dus x = 5/6. De oplossingen van de vergelijking – 3x2 + 5x – 2 = 0 zijn volgens de abc-formule: x=

−5 + 5 2 − 4·(−3)·(−2) = 2·(−3)

2 3

en x =

−5 − 5 2 − 4·( −3)·( −2) =1 2·( −3)

De snijpunten van de grafiek met de x-as zijn dus de punten ( 32 , 0) en (1, 0). OPGAVE 5

Geef het functievoorschrift van de lineaire functie waarvan de grafiek de punten (a, b) en (c, d) bevat. OPGAVE 6

Het volgende verband tussen de variabelen x en y is gegeven: x y + =1 p q

Hierbij zijn p en q ongelijk 0. a Herschrijf dit verband in de vorm y = ... b Bepaal de snijpunten van de grafiek met de x-as en de y-as. OPGAVE 7

Gegeven de functie f(x) = x2 – 2x. a Herleid dit functievoorschrift tot de vorm f(x) = a(x – p)2 + q. b De grafiek van f wordt gespiegeld in de x-as. Geef het functievoorschrift dat bij de gespiegelde grafiek hoort. OPGAVE 8

Gegeven de functie f(x) = x2 + px + 1. Voor welke waarden van p snijdt de grafiek van f de x-as? OPGAVE 9

Gegeven de functie f(x) = ax2 + bx + c met a ≠ 0. Een ander functievoorschrift voor deze functie is f(x) = a(x – p)2 + q. a Druk p en q uit in a, b en c. We geven de discriminant aan met D = b2 – 4ac. Veronderstel D ≥ 0. In dit geval heeft deze functie ook het voorschrift f(x) = a(x – s)(x – t). b Druk s en t uit in a, b en c.

OUN

13

Continue wiskunde

4

Gebroken lineaire functies

Een veelvoorkomende functie is de gebroken lineaire functie. Deze wordt verkregen door een lineaire functie, x → ax + b, te delen door een andere lineaire functie, x → cx + d. We krijgen zo de functie: Gebroken lineaire functie

Functievoorschrift

x→

ax + b cx + d

met ad ≠ bc, x ≠ –d/c en c ≠ 0

Om te voorkomen dat er door 0 gedeeld wordt, moet –d/c als origineel worden uitgesloten, zodat het domein R – {–d/c} is (met ‘A – B’ bedoelen we alle elementen van A die niet tot B behoren). De voorwaarde ad ≠ bc wordt gegeven om te voorkomen dat de noemer deelbaar is op de teller, waardoor de functie eigenlijk constant is (bijv (2x + 4)/(x + 2) = 2). Bijzonderheden

Hyperbool Asymptoot

De constanten a, b, c en d zijn parameters. De grafiek is een hyperbool. De verticale lijn waar de grafiek naartoe kruipt, is de lijn x = –d/c, de horizontale lijn waar de grafiek naartoe kruipt, is de lijn y = a/c. Deze lijnen zijn de asymptoten van de grafiek. De hyperbool is puntsymmetrisch in het snijpunt van de asymptoten, wat wil zeggen dat bij puntspiegeling ten opzichte van dit snijpunt de hyperbool op zichzelf wordt afgebeeld.

Grafiek

FIGUUR 10

VOORBEELD

ax + b cx + d

met ad ≠ bc, x ≠ –d/c en c ≠ 0

In figuur 11 staat de grafiek van de functie x → 3x/(x – 1). De horizontale asymptoot is de lijn y = 3, de vertikale asymptoot is de lijn x = 1.

FIGUUR 11

14

De functie

De grafiek van een gebroken lineaire functie

OUN

«

Voorkennis

OPGAVE 10

Gegeven de functie f (x ) =

3x – 6 2x + 1

a Bepaal van de grafiek de asymptoten en de snijpunten met de assen. b Herleid het functievoorschrift tot de vorm f (x ) =

a +c x– b

OPGAVE 11

Gegeven de functie f(x) =

ax + 2 bx + 3

Bepaal a en b zodat f puntsymmetrisch is ten opzichte van het punt (6, 6). OPGAVE 12

In figuur 12 ziet u de grafieken van de functies f en g. Het functievoorschrift van f is f(x) =

2+ x 3 − 2x

De grafiek van g ontstaat uit die van f door een verschuiving over een afstand 3 naar links. Geef een functievoorschrift voor g.

FIGUUR 12

De grafiek van de functies uit opgave 12

OUN

15

Continue wiskunde

5 gonè (grieks) = hoek metron (grieks) = maat

Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het oorspronkelijk om het meten van hoeken (in het platte vlak) ging. Tegenwoordig gaat het bij goniometrie om functies van R naar R. Maar bij het werken met die functies moet regelmatig worden teruggegrepen op hun meetkundige afkomst. In deze paragraaf herhalen we de voorkennis die u over het onderwerp goniometrie moet hebben. Het betreft hier de begrippen sinus, cosinus en tangens, meestal afgekort tot sin, cos en tan. De volgorde van bespreken is als volgt. Eerst herhalen we de basisbegrippen hoek (in het platte vlak) en hoekgrootte in graden en radialen. Daarna komt de sinus, cosinus en tangens van een van een hoek tussen 0 en 2π radialen aan de orde. We beschikken dan over voldoende gereedschap om ons doel te kunnen bereiken: de functies sin, cos en tan van R naar R. 5.1

Gestrekte hoek

Rechte hoek

Goniometrische functies

HOEK EN HOEKGROOTTE

De basis van de goniometrie is de hoek in het platte vlak. Om het begrip hoekgrootte in graden te definiëren, bekijken we eerst een bijzondere hoek: de gestrekte hoek, waarbij de twee halve rechte lijnen in elkaars verlengde liggen. De grootte hiervan is per definitie vastgesteld op 180 graden. Door deze hoek in even grote delen op te delen, ontstaan andere hoeken. Zo geeft opdelen in twee even grote delen twee rechte hoeken, elk van 90 graden. Het opdelen kan bijvoorbeeld gedaan worden met behulp van een gradenboog. Zie figuur 13.

FIGUUR 13

Hoekgrootte in graden

De gestrekte hoek met een grootte van 180 graden, twee rechte hoeken elk met een grootte van 90 graden en de gradenboog

Op de gradenboog kan de gestrekte hoek opgedeeld worden in 180 hoekjes van 1 graad. De grootte van een hoek in graden wordt nu bepaald door het aantal malen dat er een hoek van 1 graad inpast. In het vervolg zullen we niet de graad, maar de radiaal als eenheid voor de hoekgrootte gebruiken. We gebruiken die in de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R.

16

OUN

Voorkennis

Om tot de radiaal als maat voor de hoekgrootte te komen, gaan we als volgt te werk. Er wordt een cirkel met straal 1 getekend, de eenheidscirkel, waarbij het middelpunt met het hoekpunt samenvalt. De lengte van de door de hoek uitgesneden cirkelboog is een maat voor de grootte van de hoek. Preciezer gezegd: het reële getal dat de lengte van die eenheidscirkelboog tussen de benen van de hoek aangeeft, is de grootte van de hoek. De eenheid is de radiaal, afgekort tot rad, maar wordt vaak weggelaten. Om de grootte van een hoek in radialen te vinden, gebruiken we dat de omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan 2πr en van de eenheidscirkel dus 2π ≈ 6,28 (het symbool ≈ staat voor ‘ongeveer gelijk aan’). Zo heeft een gestrekte hoek een grootte van π ≈ 3,14 rad en een rechte hoek een grootte van 12 π ≈ 1,57 rad.

Eenheidscirkel

Radiaal Omtrek van een cirkel

Om een indruk te krijgen van een hoek met een grootte van 1 rad, kunnen we het volgende doen. We nemen een cirkel en een touwtje met een lengte gelijk aan de straal van die cirkel. We krijgen dan een hoek van 1 rad als we dit touwtje langs de cirkelomtrek tussen de benen van de hoek leggen. Trekken we vervolgens het touwtje strak, terwijl we de uiteinden ervan op de cirkelomtrek houden, dan ontstaat een gelijkzijdige driehoek. We zien dus dat een hoek van 1 rad net iets kleiner dan een hoek van 60 graden is. In feite is een hoek van 1 rad ongeveer 57,2958 graden.

FIGUUR 14

Een hoek van 1 rad en een gelijkzijdige driehoek

We kunnen dus, naar analogie met de gradenboog, een ‘radialenboog’, maken: een halve cirkel met straal 1 en langs de cirkelboog een verdeling van 0 tot en met π ≈ 3,14. Zie figuur 15.

FIGUUR 15 Omrekenen van graden en radialen

Een hoek van π rad, 21 π rad en een ‘radialenboog’

Om een hoekgrootte van graden naar radialen om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van 1 graad even groot is als een hoek van π/180 radialen ≈ 0,01745 radialen. Om een hoekgrootte van radialen naar graden om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van 1 radiaal even groot is als een hoek van 180/π graden ≈ 57,2958 graden.

OUN

17

Continue wiskunde

OPGAVE 13

Hoe groot is een hoek van 30 graden in radialen? Hoeveel graden komt overeen met 0,1π rad? En met 2 12 rad? In de volgende tabel staat van een aantal veelvoorkomende hoeken de grootte in graden en radialen. TABEL 2

Een aantal hoeken in graden en radialen

hoekgrootte in graden

hoekgrootte in radialen

0 30 45 60 90

0 π/6 π/4 π/3 π/2

In de praktijk worden de begrippen hoek en hoekgroote niet steeds onderscheiden, maar slordig door elkaar gebruikt. Uit de definitie dat een gestrekte hoek 180 graden of π radialen is, volgt dat de som van de drie hoeken van elke driehoek ook 180 graden of π radialen is, zie figuur 16.

FIGUUR 16

5.2

De som van de drie hoeken van een driehoek is 180 graden of π radialen: ∠A = ∠C1, ∠B = ∠C2, ∠A + ∠B + ∠C = ∠C1 + ∠C2 + ∠C = π.

SINUS

In deze paragraaf laten we eerste zien hoe de sinus van een hoek tussen 0 en 2π wordt gedefinieerd. De gang van zaken is als volgt. We kiezen een coördinatenstelsel waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en het eerste been van de hoek met de positieve x-as. We tekenen een cirkel met straal 1, waarvan het middelpunt samenvalt met het hoekpunt van de gegeven hoek. De sinus van de hoek is nu de ycoördinaat van het snijpunt van het andere been met de cirkel. Zie figuur 17.

18

OUN

Voorkennis

De definitie van de sinus van een hoek tussen 0 en 2π radialen: sin∠(MA, MB) = yB, sin∠(MA, MC) = yC

FIGUUR 17

Met behulp van deze definitie en wat eenvoudige meetkunde is nu voor een aantal eenvoudige hoeken de sinus te bepalen: Enige veelvoorkomende hoeken en hun sinus

TABEL 3 graden

radialen

sinuswaarde

0 30 45 60 90

0 π/6 π/4 π/3 π/2

0 1/2 1

2 /2 3 /2

Een gevolg van de gegeven definitie is dat de sinus van een hoek tussen 0 en π positief is, en van een hoek tussen π en 2π negatief. OPGAVE 14

Bepaal met behulp van de definitie en de gegeven sinuswaarden de sinus van 2π/3, 3π/2 en 7π/4. 5.3

Sinus van een hoek

COSINUS EN TANGENS

In de vorige paragraaf is de definitie van de sinus gegeven met behulp van een cirkel met straal 1. Diezelfde methode passen we nu toe om ook de cosinus en tangens te definiëren. We brengen weer een coördinatenstelsel aan waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en de positieve x-as met het eerste been. Ook nu tekenen we weer een eenheidscirkel, waarvan het middelpunt met het hoekpunt (en de oorsprong) samenvalt. Het hoekpunt heet weer M, het snijpunt van het tweede been met de cirkel heet B. Verder noemen we weer ∠(MA, MB) = α. Zie figuur 18.

OUN

19

Continue wiskunde

FIGUUR 18

De definities van sin, cos en tan van een hoek met behulp van de eenheidscirkel

In de figuur zijn de coördinaten van B gelijk aan (x, y). Voor de volledigheid is de definitie van de sinus weer herhaald. sinα = y cosα = x tanα = y/x = sinα/cosα

Sinus, cosinus en tangens van een hoek tussen 0 en 2π radialen.

met de gebruikelijke uitzonderingen als de noemer 0 wordt. De benaderde waarden van sinus, cosinus en tangens kunt u bijvoorbeeld met behulp van een rekenmachine vinden. Uit deze definities volgen een aantal verbanden die voor alle hoeken gelden. sin2α + cos2α = 1 cosα = sin(π/2 – α) De tweede verklaart de naam co-sinus: de sinus van het complement. Het complement van een scherpe hoek is de hoek waarvan de grootte gelijk is aan de aanvulling (complement) tot een rechte hoek. Zo is de aanvulling van een hoek met een grootte van α gelijk aan π/2 – α. OPGAVE 15

Verklaar de genoemde twee eigenschappen. Denk bij de eerste aan de stelling van Pythagoras. De tweede is rechtstreeks met de definitie te doen. Vergeet daarbij niet, een tekening te maken. OPGAVE 16

Hoe groot zijn de cosinus en tangens van hoeken van 0, π/6, π/4, π/3 en π/2? 5.4

DE GONIOMETRISCHE FUNCTIES SIN, COS EN TAN

Na deze voorbereidingen kunnen we de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R geven. Definities van x → sinx, x → cosx, x → tanx

20

Voor elke toegelaten x ∈R definiëren we sinx, cosx en tanx als volgt. Eerst reduceren we x tot x' ∈[0, 2π] door een geheel veelvoud van 2π bij

OUN

Voorkennis

x op te tellen of ervan af te trekken. Vervolgens definiëren we, lettend op het domein: sinx = sinx'

domein R

cosx = cosx'

domein R

tanx = tanx'

domein R, x ≠ 21 π + k · π, k ∈Z

In deze definitie is x' dus zo gekozen dat het verschil van x en x' een geheel veelvoud van 2π is en x' ∈[0, 2π]. Van de functies x → sinx, x → cosx, beide met domein [0, 2π] en x → tanx met domein [0, 2π], x ≠ 21 π, x ≠ 1 21 π staan in figuur 19 de grafieken. Grafieken van sin, cos, tan

FIGUUR 19

De grafieken van sin, cos en tan beperkt tot originelen uit [0, 2π]

In tabel 4 staat een aantal veelvoorkomende functiewaarden. Enige veelvoorkomende sinus-, cosinus- en tangenswaarden

TABEL 4

sin0 = 0

cos0 = 1

sin(π/6) = 1/2

cos(π/6) =

3 /2

tan(π/6) =

sin(π/4) =

2 /2

cos(π/4) =

2 /2

tan(π/4) = 1

sin(π/3) =

3 /2

cos(π/3) = 1/2

tan(π/3) =

cos(π/2) = 0

tan(π/2) = –

sin(π/2) = 1

Eigenschappen van de sinus-, cosinusen tangensfunctie

tan0 = 0 3/3

3

Uit de hier gegeven definities volgt dat de grafieken van de functies x → sinx, x → cosx en x → tanx van R naar R periodieke herhalingen zijn van de in figuur 19 gegeven grafieken. We kunnen dit op de volgende manier wat preciezer formuleren:

OUN

21

Continue wiskunde

Voor elke x ∈R en elke k ∈Z geldt: sinx = sin(x + k · 2π) cosx = cos(x + k · 2π) Sinus en cosinus zijn periodiek met periode 2π. Tangens is periodiek met periode π.

We zeggen wel: de sinus- en cosinus-functies zijn periodiek met periode 2π. Voor de tangensfunctie geldt dat ze op het interval [π, 2π] een herhaling is van het deel op het interval [0, π]. Deze functie is dan ook periodiek met periode π: Voor elke x ≠ 21 π + n · π (n ∈Z) en elke k ∈Z geldt: tanx = tan(x + k · π)

Meer eigenschappen

Met behulp van de gegeven definitie zijn allerlei verbanden tussen sin, cos en tan af te leiden. De belangrijkste zetten we hier onder elkaar: tanx = sinx/cosx sin2x + cos2x = 1

(sin2x staat voor (sinx)2)

sin(–x) = –sinx sin(π – x) = sinx cos(π – x) = –cosx cos(–x) = cosx tan(–x) = –tanx

sinx = cos(π/2 – x) cosx = sin(π/2 – x) tanx = 1/tan(π/2 – x) sin(2x) = 2sinx · cosx cos(2x) = cos2x – sin2x = 1 – 2sin2x = 2cos2x – 1 sin(x + y) = sinx · cosy + cosx · siny sin(x – y) = sinx · cosy – cosx · siny cos(x + y) = cosx · cosy – sinx · siny cos(x – y) = cosx · cosy + sinx · siny OPGAVE 17

Laat zien met behulp van sin2x + cos2x = 1: 1 + tan2x = 1/cos2x. OPGAVE 18

Laat zien, uitgaande van cos2x = cos2x – sin2x, met behulp van sin2x + cos2x = 1: cos2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen

22

Tot slot van deze paragraaf gaan we in op het oplossen van goniometrische vergelijkingen. We bespreken eerst een voorbeeld.

OUN

Voorkennis

VOORBEELD

Los op: sinx = –0.5 voor x ∈R. Uitwerking In tabel 4 staat dat sin(π/6) = 21 . Met behulp van een tekening (figuur 20) vinden we nu twee oplossingen: 7π/6 en 11π/6. Merk op dat dit in overeenstemming is met formules sinx = sin(π – x) en sinx = sin(x + k · 2π): π – 11π/6 = –5π/6, en dus sin(7π/6) = sin(–5π/6) = sin(–5π/6 + 2π) = sin(11π/6). Nu gebruiken we de periodiciteit (sinx = sin(x + k · 2π)) van de sinusfunctie om alle oplossingen op te schrijven: x = 7π/6 + k · 2π

of

x = 11π/6 + k · 2π

met k ∈Z

De oplossingen van de vergelijking sinx = –0.5

FIGUUR 20

«

De in het voorbeeld beschreven procedure is algemeen geldig. Voor vergelijkingen waarin de cosinus of de tangens voorkomt, gelden vergelijkbare formules. We presenteren hier alleen de resultaten, inclusief die voor vergelijkingen met de sinus. Oplossen van goniometrische vergelijkingen

sinx = sinα

De oplossingen van de vergelijking sinx = sinα (α gegeven) zijn: x = α + k · 2π

cosx = cosα

x = π – α + k · 2π

met k ∈Z

De oplossingen van de vergelijking cosx = cosα (α gegeven) zijn: x = α + k · 2π

tanx = tanα

of

of

x = –α + k · 2π

met k ∈Z

De oplossingen van de vergelijking tanx = tanα (α gegeven) zijn: x=α+k·π

met k ∈Z

OPGAVE 19

Los de volgende vergelijkingen op. a cosx = 0.5 b tanx = –1 c sin2x = – 12 2 d 2cos2x = 3 OPGAVE 20

Los de volgende vergelijkingen op. a sin2x + 2cos2x = 2 b cos2x – sin2x = 12 2

OUN

23

Continue wiskunde

OPGAVE 21

Los de volgende vergelijkingen op. a cosx = sin(x + 18 π) b sin2x = cos(x – 14 π) OPGAVE 22

Toon aan cosx – 1 =

− sin 2 x voor x ≠ –π + k · 2π cos x + 1

met k ∈Z

OPGAVE 23

a Bepaal a, b en c zodat cos2x = a + bcoscx. b Bepaal m en n zodat sin2xcos3x = cosmx – cosnx. OPGAVE 24

Bepaal alle nulpunten van de functie f(x) = sin(1/x). OPGAVE 25

Herschrijf cos(1 12 π− x) tot een uitdrukking waar alleen de sinus in voorkomt. 6

Het schakelen van functies

Een manier om nieuwe functies te maken, is het schakelen van functies achter elkaar, zodat een ketting van functies ontstaat: de uitvoer van een functie treedt op als invoer voor de functie die de volgende schakel in de ketting is.

Functieketting

VOORBEELD

Gegeven zijn de functies f: x → 2x en g: x → sinx. De uitvoer van de functie f is de invoer voor de functie g. Dit levert de functie x → sin(2x); zie figuur 21.

FIGUUR 21

Schakelen van 2x en sinx tot sin(2x)

Concreet betekent dit voor het origineel π/6: π/6 → 2 · π/6 = π/3 → sin(π/3) =

3/2

In het algemeen ziet een ketting van twee functies, eerst y = f(x), dan z = g(y), er als volgt uit. Zie figuur 22.

FIGUUR 22

24

Een ketting van twee functies

OUN

«

Voorkennis

Samenstelling van f en g

g o f, uitspraak: g na f

VOORBEELD

Nu treedt de uitvoer y = f(x) van de functie f op als invoer van de functie g. Let erop dat de invoer bij de functie g in figuur 22 y genoemd wordt en de uitvoer z (en niet weer x en y), om verwarring te voorkomen. De uiteindelijke uitvoer is dan z = g(y) = g(f(x)). Per saldo hebben we dus de functie x → g(f(x)) gemaakt. Deze functie heet de samenstelling van f en g en wordt genoteerd als g o f (uitspraak: g na f). Let op de volgorde waarin de functies f en g werken! Om bij de functie z = g(f(x)) de uitvoer z van de invoer x te berekenen, wordt van binnen naar buiten gewerkt: eerst f dan g. Meestal gaat het erom bij een gegeven functieketting te analyseren uit welke schakels deze bestaat. We geven hier een voorbeeld. Los op de vergelijking: 2cos2x + cosx – 1 = 0. Uitwerking Het linkerlid van de gegeven vergelijking is een ketting van twee functies: eerst de functie y = cosx, gevolgd door de functie z = 2y2 + y – 1. Door nu eerst de vergelijking 2y2 + y – 1 = 0 op te lossen, vinden we y = 1/2 of y = –1. Omdat y = cosx, is de gegeven vergelijking gelijkwaardig met cosx = 1/2 of cosx = –1. De oplossingen zijn dus: x = π/6 + k · 2π of x = – π/6 + k · 2π of x = π + k · 2π

OPGAVE 26

Gegeven de functies f : x → Bepaal g o f en f o g.

met k ∈Z

«

x en g : x → sinx.

OPGAVE 27

Schrijf de functie x→

1 (x − 2)2

op twee verschillende manieren als samenstelling van twee functies f en g. OPGAVE 28

Los op: 3sin2x + 2sinx – 1 = 0. OPGAVE 29

De functie y = x/(x – 2) is op te vatten als een ketting van drie functies f o g o h. Door de functie y te herschrijven kan dit met functies f en h van de vorm x → ax + b en voor g een functie van de vorm x → c/x. Bepaal deze functies f, g en h. OPGAVE 30

Gegeven de functies f: x → x2 en g: x → x . a Kies het domein D van f zodanig, dat g(f(x)) = x, voor alle x ∈D. b Is het bereik B van f het grootst mogelijke domein van g? c Geldt ook: f(g(y)) = y voor alle y ∈B?

OUN

25

Continue wiskunde

7

Inverse functie

In opgave 30 levert het schakelen van twee functies de identieke functie x → x op. In deze paragraaf bespreken we onder welke voorwaarde dat het geval is. Veronderstel dat f een functie is met domein D en bereik B waarvoor geldt: x ∈D → f(x) = y ∈B Veronderstel verder dat we voor alle y ∈B de pijlen kunnen omkeren en weer bij de oorspronkelijke x ∈D terugkomen. Zie figuur 23. Blijkbaar is er dan een functie, zeg g, waarvoor geldt: y ∈B → g(y) = x ∈D Een voorbeeld van deze situatie is de functie x → 2x + 4 met D = R en B = R. De functie g is hier: y → (y – 4)/2 = 21 y – 2 met y ∈R. We zeggen dat g de inverse functie van f is.

FIGUUR 23

De functies x → 2x + 4 en y → 21 y – 2

Merk op dat in figuur 23 de getallenlijn met de invoergetallen bij de inverse functie verticaal staat, in tegenstelling met wat gebruikelijk is. De invoergetallen heten hier ook y in plaats van x. Als u dat wilt kunt u het rechterplaatje spiegelen in de lijn y = x en de variabelen aanpassen om de meer gebruikelijke grafische voorstelling uit figuur 24 te krijgen.

FIGUUR 24

De functie x → 21 x – 2

We hebben hier dus de situatie dat het na elkaar schakelen van de functies f: x → 2x + 4 en g: x → 21 x – 2 tot de functie g o f de identieke functie x → x oplevert. Dit omkeren van de pijlen, dus van f-beeld y teruggaan naar het origineel x, is alleen mogelijk als aan de volgende eis voldaan is: er zijn geen twee verschillende originelen x1 en x2 met

26

OUN

Voorkennis

hetzelfde beeld y. De hiervoor besproken functie x → 2x + 4 met D = R en B = R voldoet aan deze eis. Een voorbeeld van een functie die niet aan deze eis voldoet, is de functie f: x → x2 met x ∈R. Immers –2 en 2 hebben hetzelfde beeld 4. Door het domein van f tot bijvoorbeeld [0, ∞> te beperken, kunnen we ervoor zorgen dat f wel aan de eis voldoet. Voor elke y ∈[0, ∞> geldt dat er precies één x ∈[0, ∞> is met y = x2, namelijk x = √y. De functie die in dit geval van het bereik van f teruggaat naar het domein van f, is precies de wortelfunctie. We zeggen dat f inverteerbaar is op [0, ∞> en dat y = x2 en x = √y elkaars inverse zijn. Zie figuur 25.

FIGUUR 25

Op R horen bij de meeste beelden van de functie x → x2 twee originelen, op [0, ∞> bij elk beeld precies één.

De definities van inverteerbaar en inverse functie luiden als volgt. DEFINITIE 3

Inverteerbaar Inverse functie of inverse

Stel dat f een functie is met D als domein en B als bereik. De functie f heet inverteerbaar als bij elk element y in het bereik B precies één element x in het domein D bestaat zodat f(x) = y. De functie die voor elke y ∈B de bijbehorende x ∈D bepaalt, heet de inverse functie of kortweg de inverse van f. Deze functie wordt genoteerd met f –1. Dus voor een inverteerbare f met domein D en bereik B geldt: als f: D → B en x → y = f(x), dan f –1: B → D en y → x = f–1(y) Merk op dat hier de ‘exponent’ –1 niet betekent ‘tot de macht –1’, dat wil zeggen ‘1 gedeeld door’, maar ‘de inverse van’. Van de eigenschappen van inverteerbare functies vermelden we hier de volgende. – Als het punt (x, y) op de grafiek van een inverteerbare functie ligt, dan ligt (y, x) op de grafiek van diens inverse functie. De grafieken van een functie en haar inverse zijn dus elkaars gespiegelde in de lijn y = x. – Is f een inverteerbare functie met domein D en bereik B, dan geldt voor elke x ∈D dat f –1(f(x)) = x, en voor elke y ∈B dat f(f –1(y)) = y: de samenstelling van een functie en haar inverse is de identieke functie. – De inverse van de inverse van een functie is weer de oorspronkelijke functie (f –1)–1(x) = f(x) voor alle x ∈D. – Verder geldt dat een functie die monotoon stijgend of monotoon dalend is op een interval, op dat interval inverteerbaar is.

OUN

27

Continue wiskunde

Omdat veel standaardfuncties op delen van hun domein monotoon zijn, kunnen we door het domein in te perken van zo’n functie een inverteerbare functie maken. Zo hebben we hiervoor de functie f(x) = x2 inverteerbaar gemaakt door het domein te beperken tot [0, ∞>. OPGAVE 31

Gegeven f(x) = ax + b. a Voor welke waarden van a is f inverteerbaar? b Geef in het geval f inverteerbaar is, het voorschrift van f –1. OPGAVE 32

Gegeven f(x) = x2 + 2x. a Bepaal de kleinste waarde van a zodat f inverteerbaar is op het domein [a, ∞〉. b Bepaal voor deze waarde van a een functievoorschrift van f –1. 8

Machten, exponenten en logaritmen

Exponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 34 is niets anders dan de herhaalde vermenigvuldiging 3 · 3 · 3 · 3. In de macht 34 is 4 de exponent van deze macht bij het grondtal 3. In deze paragraaf herhalen we de definities voor het geval de exponent van een macht niet een positief natuurlijk getal is. Vervolgens kunnen we dan op twee manieren functies definiëren: is de exponent vast, dan krijgen we de zogeheten machtsfuncties: x → xa; is het grondtal vast, dan krijgen we de zogeheten exponentiële functies: x → ax. Door van deze laatste functies de inverse te nemen, krijgen we de logaritmische functies: x → alogx.

Macht, exponent en grondtal

8.1

MACHTEN EN MACHTSFUNCTIES

We beginnen onze beschouwingen met te herhalen wat we bedoelen met machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen:

Machtsverheffen

Voor elke x ∈R en elk positief natuurlijk getal n geldt: xn = x · x · ... · x (n factoren) Stap 1: exponent 0

Vervolgens leggen we vast wat we onder een macht met exponent 0 verstaan. Voor x ∈R geldt: x0 = 1. Merk op dat door deze definitie 00 gelijk is aan 1. U moet daar niet teveel achter zoeken.

Stap 2: negatieve gehele exponenten

Hierna volgt de definitie van een macht met een negatieve gehele exponent. Voor x ∈R, x ≠ 0 en k is een negatief geheel getal geldt: xk = 1/x–k. De reden voor de beperking x ≠ 0 is dat er niet door 0 gedeeld mag worden.

28

OUN

Voorkennis

Stap 3: rationale exponenten

Nu herhalen we de definitie van een macht met een gebroken exponent. Eerst nemen we exponenten van de vorm 1/n, n = 1, 2, ... Voor x > 0 en n is een positief natuurlijk getal geldt:

x 1/ n = x . n

Wellicht ten overvloede roepen we in herinnering dat de n-de wortel uit x (x > 0) gedefinieerd is als de inverse bewerking van verheffen tot de n-de macht. Zo geldt 5 32 = 2 , want 25 = 32. En de definitie van een macht met een willekeurige gebroken exponent is als volgt. Voor x > 0 en m/n ∈Q met n > 0 geldt:

x m/n

=

n

xm

( ).

m = nx

Merk op dat in deze definitie het geval m < 0 is meegenomen. Zo geldt bijvoorbeeld: 2 –5/ 3 = 3 2 –5 = 3 1/2 5 = 1/3 2 5 = 1/25/3

Beperken tot positieve grondtallen

De reden dat we ons bij machten waarvan de exponent geen geheel getal is, tot positieve grondtallen beperken, is de volgende. Stel, we zouden op de volgende wijze (–2)1/3 berekenen: (–2)1/3 = (–2)2/6 = ((–2)2)1/6 = 41/6 = (22)1/6 = 22/6 = 21/3 Nu geldt echter ook dat (–2)1/3 = –21/3, want 3 –2 = – 3 2 . Om dit soort ongerijmdheden te vermijden, sluiten we negatieve grondtallen bij nietgehele exponenten uit. Het grondtal 0 sluiten we uit om te voorkomen dat er bij een negatieve exponent door 0 gedeeld wordt.

Stap 4: reële exponenten

Op machten met irrationale (dus reële, maar niet-rationale) exponenten gaan we op deze plaats niet al te diep in. We volstaan met op te merken dat elk irrationaal getal p willekeurig dicht door rationale getallen q te benaderen is. De macht xp benaderen we nu met de macht xq, en de definitie hiervan is in stap 3 gegeven.

Rekenregels voor machten

De volgende vier regels gelden: voor x > 0, y > 0 en a, b ∈R

Regel 1

(xy)a = xaya

Regel 2

xa · xb = xa+b

Regel 3

(xa)b = xab

Regel 4

xa/xb = xa–b De vierde regel volgt overigens uit de tweede regel via de eigenschap dat delen door een getal y ≠ 0 hetzelfde is als vermenigvuldigen met 1/y.

OPGAVE 33

Schrijf als wortel en vereenvoudig zo mogelijk: 4 2/3 ; 3–1/7; 163/4.

OUN

29

Continue wiskunde

OPGAVE 34

Schrijf als macht van 2: 23 43 2

;

23 ·( 12 )4 (2

2

44

)−2

De nu volgende regels voor het rekenen met wortels zijn een speciaal geval van de regels voor machten: (

a) a2 a2

2

=a =a = –a

ab = a = b

a⋅ b a b

voor alle a ≥ 0 en alle b > 0

We gebruiken nu de gegeven definities om twee typen functies te definiëren: de machtsfuncties en de exponentiële functies. In de macht xy kan x variabel en y vast genomen, we krijgen dan de zogeheten machtsfuncties, dat zijn dus functies van het type x → xa. Nemen we x vast (positief) en y variabel, dan krijgen we de zogeheten exponentiële functies, dat zijn functies van het type x → ax. Op deze exponentiële functies komen we in paragraaf 8.2 terug.

Machtsfunctie Exponentiële functie

VOORBEELDEN

Voorbeelden van machtsfuncties zijn: x → x0, x → x, x → x2, x → x–3, x → x1/2, x → x–1/2 en x → x√2 ≈ x7/5 (want √2 ≈ 1.4). In figuur 26 staat van een aantal van de genoemde functies de grafiek.

FIGUUR 26

Domein van een machtsfunctie

30

voor alle a ≥ 0 voor alle a ≥ 0 voor alle a ≤ 0 voor alle a ≥ 0 en alle b ≥ 0

De grafieken van de functies x → x2, x → x–3, x → x1/2, « x → x–1/2

In het algemeen geldt voor het domein van een machtsfunctie het volgende: Is de exponent een natuurlijk getal, dan is het domein R. Is de exponent een negatief geheel getal, dan is het domein R – {0}. Is de exponent een niet-geheel positief reëel getal, dan is het domein {x ∈R⏐x ≥ 0}. Is de exponent een niet-geheel negatief reëel getal, dan is het domein {x ∈R⏐x > 0}.

OUN

Voorkennis

OPGAVE 35

Schets de grafiek van x → x0, x → x, x → x3 en x → x–√2. Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 36

Gegeven voor elke gehele n < 0 de functie x → xn. a Geef het domein en bereik van de functie x → xn. Maak onderscheid tussen even en oneven waarden van n. b Welke asymptoten heeft de grafiek? c Geef aan op welk interval de functie monotoon is. Machtsfuncties met een positieve exponent zijn monotoon stijgend op het interval [0, ∞>, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de exponent negatief, dan zijn zij monotoon dalend op het interval <0, ∞>, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de exponent 0, dan is er sprake van de constante functie x → 1, en die is niet inverteerbaar. In opgave 3.25 hebt u hiervan voorbeelden gezien. We kunnen van regel 3 gebruik maken om van een inverteerbare machtsfunctie de inverse te bepalen. Er geldt het volgende. Inverse van een inverteerbare machtsfunctie

De functie x → xa met a > 0 is inverteerbaar op [0, ∞>. De inverse is x → x1/a. De functie x → xa met a < 0 is inverteerbaar op <0, ∞>. De inverse is x → x1/a. Het bewijs komt neer op het toepassen van regel 3: (xa)1/a = x, voor alle x in het domein van x → x1/a. Merk op dat voor het geval a een positief natuurlijk getal is, hier niets anders staat dan dat verheffen tot de a-de macht en trekken van de a-de wortel inverse bewerkingen zijn. In figuur 27 staan de grafieken van twee machtsfuncties en hun inversen.

FIGUUR 27

De grafieken van x → x3, x → x–1/3 en hun inversen

OPGAVE 37

Waarom is x → x–2 niet inverteerbaar op R – {0}? Wat is de inverse van x → x–2 op <0, ∞>? Teken de grafiek van de functie x → x–2.

OUN

31

Continue wiskunde

OPGAVE 38

Gegeven de functie f: x → x3/2. a Geef het functievoorschrift van f –1. b Los op: f(x) = f –1(x). We bekijken de functie g: x → x–1/3. c Teken de grafiek van g. d Is g inverteerbaar? Zo ja, geef dan het functievoorschrift van g–1. 8.2 VOORBEELDEN

EXPONENTIËLE FUNCTIES

Hiervoor hebben we al de definitie van een exponentiële functie gegeven. Voorbeelden van exponentiële functies zijn: x → 1x, x → 2x, x → (1/2)x. In figuur 28 staan van de laatste twee functies de grafieken.

FIGUUR 28

De grafieken van de functies x → 2x, x → (1/2)x

Het algemene voorschrift van een exponentiële functie is van de vorm x → ax met a > 0, a ≠ 1 De constante a is een parameter en heet het grondtal.

Grondtal Domein van een exponentiële functie

De drie voorbeeldfuncties hebben als domein R en dat geldt ook in het algemeen: alle exponentiële functies hebben als domein R. Omdat de exponenten de gehele R doorlopen, nemen we als grondtal uitsluitend positieve reële getallen.

Bijzonderheden

Voor a > 1 is de exponentiële functie monotoon stijgend op R; voor 0 < a < 1 monotoon dalend op R. De grafiek heeft een horizontale asymptoot voor y = 0. Het snijpunt met de y-as ligt bij 1.

OPGAVE 39

Schets de grafieken van de exponentiële functies x → 1x, x → 3x, x → (1/3)x. Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 40

De grafieken van de functies f(x) = 3 · 32x en g(x) = ( 3 )x hebben precies een snijpunt. Bereken de coördinaten van dit snijpunt. OPGAVE 41

De grafiek van de functie f(x) = 3 · 3x is te verkrijgen uit de grafiek van g(x) = 3x door alle y waarden met 3 te vermenigvuldigen. De grafiek van f kan ook verkregen worden uit die van g door een verschuiving. Welke verschuiving is dit?

32

«

OUN

Voorkennis

8.3

LOGARITMEN EN LOGARITMISCHE FUNCTIES

Voordat we de definitie van de logaritme van een positief getal bij een gegeven grondtal herhalen, beginnen we met een voorbeeld. Voor de functie f: t → 2t geldt dat 4096 een functiewaarde is. De vraag is nu: van welk origineel? Omdat 4096 een macht van 2 is, 212 = 4096, is het gevraagde origineel 12. We zeggen: 12 is de logaritme van 4096 voor het grondtal 2 en noteren dit als 2log4096 = 12. In woorden kunnen we dit ook nog als volgt zeggen: ‘De logaritme van 4096 voor het grondtal 2 is de exponent van de macht van 2 die 4096 is.’ Stel nu dat we het origineel van 10 000 willen bepalen. Noemen we dat origineel t, dan moeten we dus t ∈R zo bepalen dat 2t = 10 000. Omdat 213 < 10 000, 214 > 10 000 en t → 2t een monotoon stijgende functie is, volgt dat t een waarde tussen 13 en 14 heeft. Analoog definiëren we nu de logaritme van 10 000 voor het grondtal 2 als het getal t waarvoor geldt dat 2t = 10 000. We noteren dit als t = 2log10 000. Het reële getal 2log10 000 ligt dus tussen 13 en 14. We definiëren 2log10 000 dus als de oplossing van de vergelijking 2t = 10 000. Dat er precies één oplossing is, volgt uit het feit dat de functie f: t → 2t monotoon stijgend op R is, dus inverteerbaar, en dat 10 000 in het bereik [0, ∞> van f ligt. In figuur 29 is dit in beeld gebracht.

VOORBEELD

FIGUUR 29

Definitie van logaritme

De logaritme als oplossing van een exponentiële vergelijking

«

De definitie van de logaritme van x voor het grondtal a luidt nu algemeen: het is de exponent van die macht met grondtal a die precies x oplevert. Anders gezegd: als x = at, dan t = alogx. Bij deze definitie is de beperking tot positieve grondtallen niet genoeg, we moeten ook het grondtal 1 uitsluiten, immers de functie x → 1x is niet inverteerbaar. Bovendien bestaan alleen van positieve reële getallen de logaritmen, want machten met een positief grondtal zijn positief.

Rekenregels van de logaritme

Uit de hier gegeven definitie volgen een aantal rekenregels (de beperking dat de grondtallen groter dan 0 en ongelijk aan 1 zijn, schrijven we er niet steeds bij, evenmin als de voorwaarde dat alleen de logaritmen van positieve getallen bestaan):

OUN

33

Continue wiskunde

Regel 1

alog1

= 0, want a0 = 1.

Regel 2

aloga

= 1, want a1 = a.

Regel 3

aalogx = x, want vul in de hiervoor gegeven definitie van een logaritme in x = at voor t de uitdrukking alogx in.

Regel 4

alogpq

= alogp + alogq

Het bewijs van deze regel is wat bewerkelijker. We stellen alogp = x en alogq = y, dus ax = p en ay = q. Dan volgt: pq = ax · ay = ax+y. Volgens de definitie van de logaritme volgt uit pq = ax+y dat x + y = alogpq, dus alog p + alogq = alogpq. Regel 5

alog(p/q)

Regel 6

alogpq

= alogp – alogq

= q · alogp

Het bewijs van regels 5 en 6 moet u in opgave 44 zelf leveren. Regel 7 Verandering van grondtal

alogp

= glogp/gloga

Voor het bewijs herschrijven we deze regel tot: alogp

· gloga = glogp

Op het linkerlid hiervan passen we nu regel 6 toe: alogp

· gloga = glog(aalogp)

Volgens regel 3 is de laatste uitdrukking inderdaad gelijk aan glogp. OPGAVE 42

Bereken de volgende logaritmes: 2log16; 27log3; 4log(1/2); 1/3log(1/9). OPGAVE 43

Moderne luchtschepen verliezen 2 % van hun gasinhoud per dag via hun wand. Als zo’n luchtschip helemaal gevuld is, bevat het 38 000 liter gas. We nemen aan dat op t = 0 het luchtschip gevuld is, en dat het gasverlies een continu proces is. Met I(t) geven we de hoeveelheid gas op tijdstip t aan, met t in uren. Bij benadering geldt het volgende wiskundige model: I(t) = 38000 · 0,9992t voor t ≥ 0. Zo’n luchtschip kan niet meer vliegen als er minder dan 80 % is van de hoeveelheid gas op tijdstip t = 0. Bereken het tijdstip waarop dat het geval is. OPGAVE 44

Bewijs de regels 5 en 6. OPGAVE 45

Los op: 2log(x2 – 1) = 1/4. OPGAVE 46

Laat zien dat voor elke p, elke a > 0, a ≠ 1, elke b > 0 geldt: aplogbp = alogb.

34

OUN

Voorkennis

Voor elk grondtal a > 0, a ≠ 1, is de exponentiële functie x → ax met x ∈R inverteerbaar, immers voor 0 < a < 1 is de bijbehorende exponentiële functie monotoon dalend, voor a > 1 is de bijbehorende exponentiële functie monotoon stijgend. Uit regel 3 volgt dat de functie x → alogx (x > 0) de inverse is van de functie x → ax met x ∈R, er geldt immers dat aalogx = x, voor alle x > 0. In figuur 30 staan de grafieken van twee exponentiële functies, één met grondtal a > 1 en één met grondtal 0 < a < 1, en de bijbehorende logaritmische functies die hun inverse zijn. Voor a > 1 is de logaritmische functie monotoon stijgend op <0, ∞>; voor 0 < a < 1 is de logaritmische functie monotoon dalend op <0, ∞>. De grafiek heeft een verticale asymptoot voor x = 0. Het snijpunt met de x-as ligt bij 1.

FIGUUR 30

De grafieken van twee exponentiële functies en hun inversen

OPGAVE 47

a Geef de inverse van de functie x → (√2)x met x ∈R. b Geef ook het domein van de inverse. c De gegeven functie is te herschrijven tot x → 2px. Bepaal p. d Elke exponentiële functie x → ax is te herschrijven tot x → 2px. Druk p in a uit. 9

Absolute waarde

Met de absolute waarde van een reëel getal wordt aangegeven hoe ver dat reële getal van 0 afligt. Zo is de absolute waarde van 3,14 gelijk aan 3,14, de absolute waarde van π gelijk aan π, van 0 gelijk aan 0 en van –√2 gelijk aan √2. De absolute waarde wordt met behulp van twee verticale streepjes genoteerd, dus ⏐3,14⏐ = 3,14, ⏐π⏐ = π, ⏐0⏐ = 0 en ⏐–√2⏐ = √2 Dit betekent dat de absolute waarde van een niet-negatief getal dat getal zelf is, en dat de absolute waarde van een negatief getal verkregen wordt door het tegengestelde van dat getal te nemen. In dit laatste geval kan men ‘populair’ zeggen: het minteken wordt in een plusteken omgezet. Absolute waarde

De absolute waarde van x ∈R is dan als volgt gedefinieerd: ⎧x x = ⎨ –x ⎩

voor x ≥ 0 voor x < 0

OUN

35

Continue wiskunde

Door nu van alle reële getallen x de absolute waarde te nemen, krijgen we de functie x → ⏐x⏐. In figuur 31 staat de grafiek ervan.

FIGUUR 31

De grafiek van de functie x → ⏐x⏐

Een uitdrukking als ⏐x – 3⏐ is nu de afstand van x – 3 tot 0, dus de afstand van x tot 3. Is nu bijvoorbeeld gegeven dat ⏐x – 3⏐ < 41 , dan betekent dit dat x minder dan 41 van 3 afligt, dus tussen 2 34 en 3 41 ligt. Met andere woorden: {x ∈R⏐⏐x – 3⏐ < 41 } = <2 34 , 3 41 >. In het algemeen geldt voor reële d > 0, dat {x ∈R⏐⏐x – a⏐ < d} =

FIGUUR 32

Het interval {x ∈R⏐⏐x – a⏐ < d} =

Komt u nu een uitdrukking tegen met daarin de absolute waarde, dan is het vaak handig die met behulp van de zojuist gegeven definitie weg te werken. We geven een voorbeeld. VOORBEELD

De uitdrukking ⏐x2 – 5x + 4⏐ is als volgt zonder absolute waarde te schrijven. We gaan daartoe na voor welke waarden van x geldt dat x2 – 5x + 4 ≥ 0, respectievelijk < 0. Omdat x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4), geldt dat x2 – 5x + 4 ≥ 0 voor x ≤ 1 of x ≥ 4 x2 – 5x + 4 < 0 voor 1 < x < 4 We vinden dus: ⏐x2 – 5x + 4⏐ = x2 – 5x + 4 voor x ≤ 1 of x ≥ 4 ⏐x2 – 5x + 4⏐ = –x2 + 5x – 4 voor 1 < x < 4 De grafiek van x → ⏐x2 – 5x + 4⏐ krijgen we dan door het deel dat onder de x-as ligt, ‘om te klappen’ zodat het boven de x-as komt te liggen. Immers, de absolute waarde maakt van negatieve waarden positieve waarden. «

OPGAVE 48

Teken de grafiek van de functie f: x → ⏐x2 – 5x + 4⏐ en los op: f(x) = x. Er is nog een andere manier om ervoor te zorgen dat er bij een nietnegatief getal niets gebeurt en dat bij een negatief getal het minteken in een plusteken wordt omgezet: door eerst te kwadrateren en vervolgens

36

OUN

Voorkennis

Verband tussen absolute waarde en de wortel

uit dat kwadraat de wortel te trekken. De wortel uit een niet-negatief getal a is immers per definitie het niet-negatieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan a. Zo is bijvoorbeeld ⏐1,1⏐ = √1,12 = 1,1 en ⏐–3⏐ = √(–3)2 = √9 = 3. In het algemeen geldt dus het volgende verband tussen de absolute waarde en de wortel: ⏐x⏐ =

Driehoeksongelijkheid

x2

voor alle x ∈R

Voor de absolute waarde geldt de zogeheten driehoeksongelijkheid: Voor elke x en y geldt: ⏐x – y⏐ ≤ ⏐x⏐ + ⏐y⏐ Vanuit de absolute waarde als afstand langs de getallenlijn is dit duidelijk: ⏐x – y⏐ is de afstand tussen x en y, ⏐x⏐ is de afstand tussen x en 0 en ⏐y⏐ is de afstand tussen y en 0. De uitdrukking ⏐x⏐ + ⏐y⏐ is dus de som van de afstanden van x en y tot 0, dus de afstand van x via 0 naar y. Liggen x en y aan dezelfde kant van 0, dan is deze laatste afstand groter: ⏐x – y⏐ < ⏐x⏐ + ⏐y⏐. Liggen x en y aan weerszijden van 0, dan zijn beide afstanden gelijk: ⏐x – y⏐ = ⏐x⏐ + ⏐y⏐. Merk op dat als we y vervangen door –y in ⏐x – y⏐ ≤ ⏐x⏐ + ⏐y⏐, we de volgende variant krijgen: ⏐x + y⏐ ≤ ⏐x⏐ + ⏐y⏐ OPGAVE 49

Geef een algebraïsch bewijs van de driehoeksongelijkheid: voor elke x en y geldt: ⏐x ± y⏐ ≤ ⏐x⏐ + ⏐y⏐ Dit bewijs kan beginnen met: (⏐x ± y⏐)2 = (x ± y)2 = ... OPGAVE 50

Gegeven: x → ⏐2x + 4⏐. Teken de grafiek van deze functie en los op: ⏐2x + 4⏐ = 7. 10

Vergelijkingen en ongelijkheden

In deze paragraaf, die enigszins los staat van de voorgaande, brengen we een aantal technieken in herinnering waarmee u vergelijkingen en ongelijkheden kunt oplossen. VOORBEELDEN

x2 – 2x + 1 = 0 is een vergelijking in x. Door het linkerlid in factoren te ontbinden, vinden we (x – 1)2 = 0, dus x = 1 is de oplossing van de vergelijking x2 – 2x + 1 = 0. –2x + 1 ≥ 0 is een ongelijkheid in x. Dit is te herleiden tot –2x ≥ –1. U gaat gemakkelijk na dat alle x ≤ 1/2 oplossing zijn van deze ongelijkheid. «

OUN

37

Continue wiskunde

Alle oplossingen van een vergelijking of van een ongelijkheid vormen samen de oplossingsverzameling van die vergelijking respectievelijk ongelijkheid. In het eerste voorbeeld is de oplossingsverzameling {1}, in het tweede voorbeeld het interval <–∞, 1/2]. De vraag is nu hoe op een efficiënte manier de oplossingsverzameling van een vergelijking of ongelijkheid bepaald kan worden. Gelukkig is daar een aantal technieken voor. Daarbij herschrijven we een vergelijking of een ongelijkheid in een aantal stappen tot een vorm die zoveel eenvoudiger is, dat we de oplossingsverzameling ervan gewoon kunnen aflezen. Bij dat herschrijven moet de oplossingsverzameling intact blijven. Het intact blijven van de oplossingsverzameling wordt wel genoteerd met ⇔. Dus bijvoorbeeld x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 0.

Oplossingsverzameling

We laten als voorbeeld twee belangrijke herschrijfregels zien. Met deze twee regels kunt u al een aardig aantal vergelijkingen en ongelijkheden oplossen. We gaan ervan uit dat u met dit soort herschrijfregels bekend bent. Herschrijfregel 1

We mogen aan beide kanten van een vergelijking of ongelijkheid dezelfde term optellen of aftrekken. We mogen beide kanten van een vergelijking of ongelijkheid met dezelfde factor ongelijk 0 vermenigvuldigen of door dezelfde factor ongelijk 0 delen, maar is de factor negatief, dan verandert in een ongelijkheid het teken.

Herschrijfregel 2

We laten de werking van deze regels zien aan de hand van een aantal eenvoudige voorbeelden. Achter de berekening staat telkens welke regel we gebruiken. VOORBEELDEN

2x + 5 = 7 2x = 2 x=1

1: van beide kanten 5 aftrekken 2: nu beide kanten door 2 delen dit is de oplossing

5x – 12 = 17 5x = 29 x = 29/5

1: bij beide kanten 12 optellen 2: nu beide kanten door 5 delen dit is de oplossing

–3x + 5 > 17 –3x > 12 3x < –12 x < –12/3 = –4

1: van beide kanten 5 aftrekken 2: met –1 vermenigvuldigen (teken verandert) 2: nu beide kanten door 3 delen dit is de oplossing

–3x + 5 < 2x + 12 –5x + 5 < 12 –5x < 7 x > –7/5

1: van beide kanten 2x aftrekken 1: van beide kanten 5 aftrekken 2: beide kanten door –5 delen (teken verandert) dit is de oplossing

OPGAVE 51

Los op voor x in R: a 2x – 5 < 12 b –3x + 6 = 4x – 17

38

OUN

«

Voorkennis

Als u beide zijden van een vergelijking met x wilt vermenigvuldigen, dan moet u de situaties x > 0 en x < 0 afzonderlijk bekijken (waarom?). Let hierop bij de volgende opgaven. OPGAVE 52

Los op voor x ∈R: a 5/(3 + x) > 12 b 1/x < 5 – 2/x Om een ongelijkheid van de vorm f(x) < 0 (respectievelijk f(x) > 0) op te lossen, schetsen we de grafiek van f(x) en bepalen daarmee de waarden van x waarbij de grafiek van f onder (respectievelijk boven) de x-as ligt. Door de vergelijking f(x) = 0 op te lossen, worden de nulpunten bepaald. OPGAVE 53

Los de volgende ongelijkheden op. a x2 – 5x – 6 < 0 b x2 – 2x + 6 < 0 OPGAVE 54

Los de volgende ongelijkheden op. a sin2x > 0 b 2cosx < 1 c sin2x – 2sinx + 1 ≤ 0 OPGAVE 55

Los de volgende ongelijkheden op. a 32x ≥ 1 b (1/3)x + 1 < 9 c 10log2x ≤ 0 d 2log(x2 + 3x) ≤ 4 OPGAVE 56

Om opgaven op te lossen waarin ⏐f(x)⏐ voorkomt, moeten de situaties f(x) > 0 en f(x) < 0 afzonderlijk bekeken worden. Los nu op: a ⏐x2 – 1⏐ > x – 1 b ⏐22x – 1⏐ > 2x – 1 OPGAVE 57

Los op:

2x – 4 =

x2 + 3 .

OUN

39

Continue wiskunde

SAMENVATTING

In deze voorkenniseenheid hebben we het begrip functie als een ‘black box’ geïntroduceerd, dat wil zeggen: als een recept om bij een invoergetal x een uitvoergetal y te maken. Dit wordt genoteerd als x → y. Verder is de terminologie rond functies besproken. Vervolgens zijn intervallen, dat zijn aaneengesloten deelverzamelingen reële getallen, gedefinieerd. Functies waarbij met toenemende invoer de uitvoer toeneemt, heten monotoon stijgend. Functies waarbij bij toenemende invoer de uitvoer afneemt, heten monotoon dalend. Op voor de hand liggende wijze zijn monotoon niet-dalende en monotoon niet-stijgende functies gedefinieerd. Veelvoorkomende functies zijn de polynomen, dat zijn functies van de vorm f(x) = a0 + a1x + ... + an–1xn–1 + anxn met an ≠ 0, n ∈N. Een tweede groep veelvoorkomende functies is de goniometrische. In deze leereenheid is het proces besproken dat begint met het begrip ‘hoek’ en eindigt met de definities van de functies x → sinx, x → cosx en x → tanx x. Een manier om uit twee functies een nieuwe functie te maken is door het schakelen van twee functies: de uitvoer van de eerste functie is invoer bij de tweede. We krijgen dan een zogeheten samengestelde functie. In bepaalde gevallen, bijvoorbeeld bij monotone functies, is het mogelijk het functierecept om te draaien. Soms moet daarbij het domein ingeperkt worden. We spreken dan van een inverteerbare functie. Dit bracht ons op de inverse functie f–1: y → x, de functie die bij het uitvoergetal y het invoergetal x teruggeeft. Het samenstellen van een functie met haar inverse levert de identieke functie x → x op. De derde groep veelvoorkomende functies zijn de machtsfuncties x → xa, de exponentiële functies x → ax en de logaritmische functies x → alogx. De eerste twee zijn generalisaties van het machtsverheffen. De logaritmische functies zijn de inversen van de exponentiële functies. De belangrijkste definities en rekenregels zijn herhaald. Aan het eind van de leereenheid kwam een bijzondere functie aan de orde: de absolute waarde. Tevens zijn de standaardmethoden om eenvoudige vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen herhaald. In de bijlage bij deze leereenheid wordt in vogelvlucht een grote verzameling standaardfuncties en hun eigenschappen besproken.

40

OUN

Voorkennis

LITERATUUR

Voor wie nog meer wil oefenen bevelen we de volgende boeken aan: Pach, F. en H. Wisbrun, Wiswijs, 2e druk, Wolters-Noordhoff 2004 geeft veel uitleg, voorbeelden en opgaven over elementaire voorkennis. Craats, J. van de en R. Bosch, Basisboek wiskunde, Pearson, 2005 biedt een schat aan oefenmateriaal en beknopte theorie en behandelt ook onderwerpen die in Wiswijs niet aan de orde komen. Voor een deel zijn dit ook onderwerpen zoals differentiaalrekening en integraalrekening die u niet hoeft te beheersen voordat u aan de cursus Continue wiskunde begint. Croft, A. en R. Davison, Foundation maths, Prentice Hall, 2002 is Engelstalig met ongeveer dezelfde onderwerpen als het vorige boek, minder opgaven en meer uitgewerkte voorbeelden:

ZELFTOETS

1

Gegeven de gebroken lineaire functie x→

ax + b cx + d

met ad ≠ bc en c ≠ 0

Een andere manier om deze functie te geven, is: x→

p +r x–q

a Druk p, q en r uit in a, b, c en d. Aanwijzing: vermenigvuldig teller en noemer met ac waarbij u a /c buiten haken houdt (dus in feite de teller met c en de noemer met a vermenigvuldigt). b Geef het domein en bereik, zowel in termen van a, b, c en d, als van p, q en r. c Deze functie is óf monotoon stijgend op het domein óf monotoon dalend. Druk dit uit zowel in termen van a, b, c en d, als van p, q en r. 2

Los op: 3x4 + 2x2 – 5 = 0.

3

Gegeven: f(x) = 2log(x2 + 2x) en g(x) = 2log(3x – 3). a Geef van beide functies het domein. b Los op: f(x) = 2g(x).

4

a Gegeven: f(x) = sinx + cosx. Los op f(x) = 0. b Teken de grafiek van g(x) = ⏐sin2x⏐. c Los op: g(x) = 1/2.

OUN

41

Continue wiskunde

42

OUN