Voorkennis + lijst met standaardintegralen

Scheiden van variabelen een oplosmethode voor eerste orde-differentiaalvergelijkingen © WISNET-HBO NHL update mei 2009

Inleiding Het met pen en papier berekenen van de analytische oplossing van een eerste orde differentiaalverglijking is een lastig karwei. We laten dat het liefst aan de computer over. Echter voor het ontwikkelen van het begrip en het begrijpen van de oplossingsmethoden van differentiaalvergelijkingen leren we nog slechts één methode:

Het scheiden van variabelen dy =k y dt dy = k dt y 1 dy = k dt y Hierbij komt enige techniek van het herleiden, het gebruik van breuken, rekenkregels van machten en logaritmen en integreren bij kijken. Bij de stappen die tot de oplossing leiden wordt uitleg gegeven onder de knop met verwijzingen naar rekenregels. Bovendien zijn er vaak meer manieren om de oplossing op te schrijven. Het is dan belangrijk dat rekenregels snel herkend worden ter bevordering van de communicatie tussen ingenieurs onderling. Aan de hand van de oplossingsmethode van het scheiden van variabelen zullen we een aantal voorbeelden bekijken. In de voorbeelden is steeds sprake van de functie y t tenzij anders vermeld.

Voorkennis + lijst met standaardintegralen Q Repeteer nog even de rekenregels voor machten. Q en de rekenregels voor logaritmen. Q Verder moet je goed met het vereenvoudigen van breuken en vergelijkingen met

breuken kunnen werken. Q Een lijstje met standaardintegralen is ook aan te bevelen.

f x dx

f x

x

x2 2

xn

xn C 1 n C1

cos a x a

K

sin a x

cos a x

sin a x a

1 x

ln x

1 x C1

arctan x

2x x C3

ln x2 C3

2

2

ea x a

ea x 1 1 Kx2 1

K

2

1 Kx 1 1 Cx2

arcsin x

Karcsin x

arctan x

x 1

x2

K 1 Kx2

Voorbeeld 1 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking.

d y t =k y t dt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van t.

oplossing met scheiden van variabelen dy =k y dt aanwijzing 1 Breng nu alles met y naar de linkerkant van het isgelijkteken en de rest naar rechts.

in twee stappen Dat kan ook in twee stappen: Links en rechts × dt

dy = k y dt Daarna links en rechts delen door y.

dy = k dt y aanwijzing 2 Zet links en rechts een integraalteken ervoor en bereken de integralen. Vergeet daarbij de constante niet. Z je lijstje met standaardintegralen weer eens op.

1 dy = k dt y aanwijzing 3 Bij het integreren zonder grenzen komen eigenlijk twee constanten (integratieconstanten). Eentje links en eentje rechts.

ln y CA = k tCB Dit is te herleiden tot:

ln y = k tCB KA Noem nu B KA anders, bijvoorbeeld C.

ln y = k tCC aanwijzing 4

Let op de modulusstrepen van y . Er is namelijk niet gegeven dat y altijd positief moet zijn en omdat we hier rekenen in de Reële getallen, kan onder de ln geen negatieve waarde komen te staan. We zijn dus gedekt.

aanwijzing 5 Verder gebruiken we de definitie van de logaritme en de exponentiële functie om y expliciet te maken.

ln y = p <==> y = e

p

k t CC

y =e aanwijzing 6

Je gebruikt hier de rekenregel van de machten. 3 4

3 C4

a a =a

= a7

C kt

y =e e aanwijzing 7 C

De waarde van e kan alleen positief zijn. (Kennis van exponentiële functies en grafieken.) C

Geef nu een nieuwe naam aan de constante e = C1 en neem aan dat deze ook negatief kan zijn. Daarmee vervallen de absoluutstrepen van y . kt

y = C1 e . De constante C1 wordt integratieconstante genoemd. Deze ontstaat dus bij het integreren. Als er beginvoorwaarden van de functie y t gegeven zijn, kan de integratieconstante geëlimineerd worden. (Zie voorbeelden hieronder. )

oplossen met de computer

Voorbeeld 2 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking

d 3 y t =t y t dt

De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van t.

oplossen met scheiden van variabelen dy 3 =t y dt aanwijzing 1 Links en rechts met dt vermenigvuldigen en daarna links en rechts door y delen. in twee stappen Eerst links en rechts × dt 3

dy = t y dt Daarna links en rechts gedeeld door y.

dy 3 = t dt y aanwijzing 2 Vervolgens links en rechts een integraalteken ervoor en uitrekenen.

1 3 dy = t dt y aanwijzing 3 Let op de modulusstrepen van y . Er is namelijk niet gegeven dat y altijd positief moet zijn en omdat we hier rekenen in de Reële getallen, kan onder de ln geen negatieve waarde komen te staan. We zijn dus gedekt.

aanwijzing 4 Voor een aanwijzing over de constante C zie integratieconstante. Bij voorbeeld 1 aanwijzing 3. 4

t ln y = CC 4 aanwijzing 4 Voor het expliciet maken van y gaan we de rekenregel en de definitie van de logaritme gebruiken. Zie ook aanwijzing 5 van voorbeeld 1 exponentiele functie en logaritme.

y = C1 e

4 t 4

aanwijzing 5 Zie voor bovenstaande stap de rekenregel voor machten bij aanwijzing 6 van voorbeeld 1 en tevens bij aanwijzing 7 van voorbeeld 1, de behandeling van de modulusstrepen.

met de computer

Voorbeeld 3 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal de oplossing van deze differentiaalvergelijking met als randvoorwaarde dat y = 10 als t = 1.

t

d y t dt

=y t

2

De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van t.

oplossing met scheiden van variabelen t

dy 2 =y dt

aanwijzing 1 2

Vermenigvuldig links en rechts met dt en deel links en rechts door y en deel ook links en rechts door t. in drie stappen Vermenigvuldig links en rechts met dt. 2

t dy = y dt 2

Deel links en rechts door y .

t dy 2

= dt

y Deel links en rechts door t.

dy 2

=

y

dt t

aanwijzing 2 Zet links en rechts een integraalteken ervoor en reken uit.

1 2

y aanwijzing 3

dy =

1 dt t

K2

Met de rekenregels van de machten weet je dat y

=

1 2

K1

en natuurlijk y

=

y

1 . y

aanwijzing 4 K2

Schrijf de linker integraal als y

dy en kijk of je nu begrijpt dat de berekening

daarvan oplevert: K2

y

K1

dy = Ky CA

Zie in een eerdere aanwijzing voor de behandeling van de integratieconstante.

1 K = ln t CC y aanwijzing 5 Links en rechts vermenigvuldigen met K1 en vervolgens links en rechts het omgekeerde nemen.

aanwijzing 6 Het omgekeerde van

1 1 is y en het omgekeerde van ln t CC is y ln t CC 1 y =K ln t CC

Dit is de algemene oplossing. Vervolgens moeten we de oplossing vinden die voldoet aan de randvoorwaarde y 1 = 10.

aanwijzing 7 Vul t = 1 in en dan moet y = 10 zijn. Je kunt dan de integratieconstante C berekenen en dus elimineren.

1 10 = K ln 1 CC aanwijzing 8 Ga na dat ln 1 = 0. 1 10 = K C

1 10

==> C = K

De oplossing is dus

1 y =K 1 ln t K 10 aanwijzing 9 Liever geen breuken in de breuk dus teller en noemer met 10 vermenigvuldigen.

10 y =K 10 ln t K1

oplossing met de computer

Voorbeeld 4 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal de oplossing van deze differentiaalvergelijking met als randvoorwaarde dat y = 10 als t = 0.

d Ky y t =e dt

t

sin 2 t

De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van t.

oplossing met scheiden van variabelen dy Ky = e sin 2 t dt aanwijzing 1 Scheiden van variabelen door links en rechts met dt te vermenigvuldigen en daarna y

links en rechts met e te vermenigvuldigen. Ky y

Immers e

0

e = e = 1. y

e dy = sin 2 t dt aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik op de link voor informatie over de integratieconstante. y

e dy = sin 2 t dt cos 2 t y e =K CC 2 aanwijzing 3 Als je bij een vergelijking links en rechts de logaritme neemt, moet je van het hele linkerlid doen en van het hele rechterlid in één keer de logaritme nemen.

a =b ln a = ln b cos 2 t y ln e = ln C K 2 aanwijzing 4 y

Met de bekende rekenregel voor logaritmen weet je dat ln e

= y ln e = y.

ln x

p

= p ln x

y = ln C K

cos 2 t 2

Dit is de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. Nu de oplossing met de randvoorwaarde y 0 = 10

aanwijzing 5 Vul in de algemene oplossing t = 0 en y = 10 in en dan kan C geëlimineerd worden. Hierin is cos 0 = 1.

10 = ln C K

1 2

aanwijzing 6 10

Ga na dat ln e

= 10 met de rekenregels van logaritmen. 1 10 CK =e 2 10

C=e C

1 2

aanwijzing 7 Deze gevonden waarde van C invullen in de algemene oplossing: 10

oplossing is y = ln e

C

1 cos 2 t K 2 2

aanwijzing 8 Eventueel kun je de vorm onder de ln ook nog als één breuk schrijven: 10

2 e C1 Kcos 2 t y = ln 2 en met de rekenregels voor logaritmen eventueel nog uit elkaar trekken 10

y = ln 2 e C1 Kcos 2 t

Kln 2

aanwijzing 9 Als a en b beide groter zijn dan 0 geldt de volgende rekenregel voor logaritmen:

ln a b

= ln a K ln b

met de computer

Voorbeeld 5 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal de oplossing van deze differentiaalvergelijking met als randvoorwaarde dat y = 1 als

t = 0. d 2 y y t =t e dt

t

De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van t.

oplossing met scheiden van variabelen dy 2 y =t e dt aanwijzing 1 Ky

Eerst links en rechts × dt en vervolgens links en rechts × e Ky

.

y

Immers e # e = 1. Ky

2

e dy = t dt aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik op de link voor informatie over de integratieconstante. Ky

2

e dy = t dt 3

t Ke = CC 3 Ky

aanwijzing 3 Links en rechts vermenigvuldigen met K1. 3

t e = C1 K 3 Ky

aanwijzing 4 3

t Je zou eigenlijk moeten schrijven e = K KC. 3 Ky

Maar om een overvloed aan mintekens te vermijden, kunnen we de constante KC vervangen door een andere die we C1 noemen.

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is hier impliciet geschreven. Eventueel kunnen we de oplossing ook expliciet schrijven. Echter we gaan nu eerst de constante C1 elimineren door de randvoorwaarde y 0 = 1 in te vullen.

aanwijzing 5

We moeten dus t = 0 en y = 1 invullen en vervolgens C1 berekenen. K1

Let hierbij op dat e

=

1 e C1 =

1 e

De oplossing wordt dan in impliciete vorm: 3

1 t = K y 3 e e 1

Vervolgens de oplossing expliciet maken.

aanwijzing 6 Maak van het rechterlid één breuk. 3

3 Kt e = y 3e e 1

aanwijzing 7 Links en rechts de breuken omkeren. y

e =

3e 3

3 Kt e aanwijzing 8 y

Links en rechts de logaritme nemen waarbij natuurlijk ln e

y = ln

= y.

3e 3

3 Kt e aanwijzing 9 Met de rekenregels voor logaritmen is dit nog uit elkaar te trekken.

ln a b c

= ln a C ln b K ln c 3

y = ln 3 C1 Kln 3 Kt e

met de computer

Voorbeeld 6 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t.

Bepaal de oplossing van deze differentiaalvergelijking met als randvoorwaarde dat y = 2 als t = 0. t

e d y t = y t dt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van t.

oplossing met scheiden van variabelen t

e dy = y dt aanwijzing 1

Eerst links en rechts met dt vermenigvuldigen en daarna links en rechts × y. t

y dy = e dt aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en daarna berekenen. Let op de truc met de integratieconstante. t

y dy = e dt 2

y t = e CC 2 De oplossing staat nu in impliciete vorm. Voordat we verder gaan kun je eerst de integratieconstante elimineren door de randvoorwaarde y 0 = 2 nu in te vullen.

aanwijzing 3 Vul dus y = 2 en t = 0 in bovenstaande vorm en bereken C. 4 0 = e CC 2 2 = 1 CC C=1 aanwijzing 4 Links en rechts met 2 vermenigvuldigen.

De oplossing in impliciete vorm is dus

2

y t = e C1 2 2

t

y = 2 e C2 y=

t

2 e C2

aanwijzing 5 t

t

Eigenlijk is het natuurlijk y = 2 e C2 of y = K 2 e C2 . Echter de negatieve wortelvorm voldoet niet aan de randvoorwaarde dus is alleen de positieve tak een oplossing van de differentiaalvergelijking.

met de computer O restart;dv:=diff(y(t),t) = exp(t)/y(t); d et dv := y t = dt y t O dsolve({dv,y(0)=2},y(t)); y t =

2 et C2

Voorbeeld 7 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking.

y t C2 d y t = dt tK20 De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van t.

oplossing met scheiden van variabelen y C2 dy = tK20 dt aanwijzing 1 Vermenigvuldig links en rechts met dt en deel vervolgens links en rechts door y C2.

dt dy = tK20 y C2

aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik opde link voor informatie over integratieconstanten

1 1 dy = dt y C2 tK20 aanwijzing 3 Ga eventueel nog even je lijstje met standaardintegralen volledig maken.

ln y C2 = ln tK20 Cln C aanwijzing 4 Je zou kunnen zeggen dat ln y C2 = ln tK20 CC ook zou kunnen. Maar of je nou C of ln C neemt, dit zijn beiden willekeurige constanten. De constante aan de rechter kant stel je zo algemeen mogelijk. (Zie ook bij Integratieconstante.) Echter ter voorbereiding van de volgende stap kun je beter de constante ln C noemen, want dan kunnen de logaritmen gemakkelijk bij elkaar genomen worden met de volgende rekenregel.

ln a C ln b = ln a b aanwijzing 5 Vervolgens dus aan beide kanten één logaritme maken.

ln y C2 = ln C tK20 aanwijzing 6 Omdat nu links en rechts één logaritme staat, kun je deze weghalen.

y C2 = C tK20 aanwijzing 7 Als je nu afspreekt dat de constante C1 ook negatief mag zijn, dan kunnen de modulusstrepen wel weg.

y C2 = C tK20 y = C tK20 K2 Dit is de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

met de computer O restart; dv:=diff(y(t),t) = (y(t)+2)/(t-20); d y t C2 dv := y t = t K20 dt O dsolve(dv,y(t)); y t = K2 C t K20 _C1

Voorbeeld 8 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van x. Bepaal de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking.

xy

d y x dx

2

= 2 y x K18

De functie y is een functie van x. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y x maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van x.

oplossen met scheiden van variabelen dy 2 = 2 y K18 dx

xy aanwijzing 1

Links en rechts vermenigvuldigen met dx. En links en rechts delen door x. 2

2 y K18 dx y dy = x aanwijzing 2 2

Links en rechts nog delen door 2 y K18

y dy

=

2

2 y K18

dx x

aanwijzing 3 Nu links en rechts het integraalteken ervoor.

y 2

dy =

2 y K18

1 dx x

aanwijzing 4 De rechter integraal kun je rechtstreeks uit het lijstje van standaard-integralen halen De linker integraal is met de logaritme want de graad van de teller is één lager dan de graad van de noemer. In dergelijke gevallen kun je vaak de logaritme proberen! 2

ln 2 y K18 4 aanwijzing 5

= ln x Cln C

Differentiëer maar eens de logaritme en vergeet de kettingregel niet! Je hoeft dan alleen nog maar met een 4 goed te maken!

aanwijzing 6 Het is handig bij het toevoegen van de constante in het rechterlid dat je werkt met ln C . Immers ln C is toch ook een constante. Het heeft het voordeel dat de logaritmen bijelkaar genomen kunnen worden. (Zie rekenregels logaritmen.)

2

ln 2 y K18 = 4 ln C x aanwijzing 7 Met de rekenregels van logaritmen kun je de 4 in de logaritme werken. 2

4

ln 2 y K18 = ln C x 1

aanwijzing 8 4

Je kunt direct C vervangen door C dan is het wat overzichtelijker. 1

Vervolgens kan links en rechts de logaritme weg. 2

4

2 y K18 = C x 1

Deze laatste vorm is de meest simpele afgezien van het feit dat je nog iets naar de andere kant van het isgelijkteken kunt brengen.

Voorbeeld 9 Gegeven de differentiaalvergelijking waarbij y een functie is van x. Bepaal de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking. 2

x y y' Ky x C1 = 0 De functie y is een functie van x. Voor het rekenen met de hand schrijven we niet steeds y x maar volstaan met y waarbij we in het achterhoofd houden dat y een functie is van x.

Maak y' vrij uit de differentiaalvergelijking Soms wil je y' isoleren om bijvoorbeeld de richtingscoëfficiënt van een lijnelement te bekijken. De betekenis van y' is

d y x . dx

antwoord 2

x y y' Ky C1 = 0 aanwijzing Breng eerst wat naar de rechterkant van het isgelijk-teken en deel daarna links en rechts door x y. 2

x y y' = y K1 2

y K1 y' = xy Let op dat er geen lijnelement bestaat in het punt waarvoor y' =

0 . 0

Dat zijn hier dus de punten 0, 1 en 0, K1 .

Los de differentiaalvergelijking op Het gaat om de algemene oplossing omdat er geen randvoorwaarden gegeven zijn. We gebruiken weer de methode van het scheiden van variabelen. Probeer nu eerst zelf deze som te doen. Als je som 8 kent, moet het lukken.

oplossing 2

x y y' Ky C1 = 0 xy

dy 2 Ky C1 = 0 dx

aanwijzing 1 2

Hoewel je alles met y links wilt houden, breng toch Ky C1 naar rechts.

xy

dy 2 = y K1 dx

aanwijzing 2 Vermenigvuldig links en rechts met dx en deel links en rechts door x. 2

y dy =

y K1 dx x

aanwijzing 3 2

Deel nu nog links en rechts door y K1.

y dy 2

=

y K1

dx x

aanwijzing 4 Nu de variabelen gescheiden zijn, kun je links en rechts een integraalteken ervoor zetten.

y 2

y K1

dy =

1 dx x

aanwijzing 5 De rechter integraal is weer makkelijk en de linker integraal staat ongeveer ook in je lijstje. Beide integralen met de logaritme. Bij de linker integraal heb je weer de situatie dat de graad van de teller één lager is dan de graad van de noemer, dus met ln proberen! 2

ln y K1 2

= ln x Cln C

aanwijzing 6 Het is handig om de constante ook ln C te noemen omdat vervolgens de logaritmen weer bijelkaar genomen kunnen worden. (Rekenregels van de logaritmen.) Tegelijk kan dan ook links en rechts met 2 vermenigvuldigd worden. 2

ln y K1 = 2 ln C x

aanwijzing 7 2

Werk de 2 in de rechter logaritme met de rekenregels en vervang vervolgens C door C . 1

2

2

ln y K1 = ln C x 1

aanwijzing 8 Nu kunnen links en rechts de logaritmen weggehaald worden.

2

2

y K1 = C x 1

De algemene oplossing is nu in impliciete vorm gegeven. Het wordt er niet mooier op als je vorm expliciet maakt maar misschien is iets naar de andere kant brengen ook wel elegant. 2

2

y CC x = 1 1

Als je de grafiekmanipulaties kent, kun je begrijpen dat dit een bundel ellipsen is als C groter is dan 0 1

en het is een bundel hyperbolen als C kleiner is dan 0. 1

met de computer

Voorbeeld 10 (uit het hoofd leren) Exponentiële groei Het is een eerste orde gestuurd systeem Er is nu een aantal eigenschappen na te gaan van de functie die de oplossing is van de differentiaalvergelijking:

d y t = k y t CA dt De oplossing van dit soort differentiaalvergelijkingen is de functie y t en heeft altijd deze vorm.

kt y t = KA C C e k berekening Gegeven de differentiaalvergelijking

d y t = k y t CA dt aanwijzing 1 Scheiden van variabelen

dy = dt k y CA

aanwijzing 2 Links en rechts integreren

1 dy = 1 dt k y CA aanwijzing 3 Let op de kettingregel als je de logaritme gebruikt.

ln k y CA k

= tCC

1

aanwijzing 4 Links en rechts maal k.

ln k y CA = k tCk C

1

aanwijzing 5 Links en rechts de e-macht nemen. k t Ck C 1

k y CA = e aanwijzing 6 De e-macht uitelkaar trekken.

kC 1

kt

k y CA = e e aanwijzing 7 kC 1

Stel de constante e

=C . 2

kt

k y = KA CC e 2

aanwijzing 8 Links en rechts delen door k. kt

A y =K C k aanwijzing 9

C e 2

k

C Stel de constante

2

k

= C. A kt y = K CC e k

Leer dit stappenplan uit het hoofd. Dit moet een ingenieur kennen! Het is een eerste orde gestuurd systeem.

met de computer

Voorbeeld 11 (uit het hoofd leren) Lineaire groei. Los de volgende differentiaalvergelijking op waarbij de randvoorwaarde gegeven is.

d y t dt

τ

=1

met randvoorwaarde y 0 = y . 0

oplossing τ

d y t dt

=1

1 d y t = dt τ Schrijf het differentiaalquotiënt als breuk waarbij je in gedachten houdt dat y = y t . :

1 dy = dt τ Links en rechts vermenigvuldigen met dt. dt dy = τ Links en rechts integreren waarbij de randvoorwaarden overeen moeten komen, dat wil zeggen dat als t = 0 dat y = y . 0

t

y

1 dy = y 0

0

y Ky = 0

1 dt τ t τ

y t =y C 0

t τ

Voorbeeld 12 (uit het hoofd leren) Lineaire groei. Los de volgende differentiaalvergelijking op waarbij de randvoorwaarde gegeven is.

1 d y t = 10 dt met randvoorwaarde y 0 = 5.

oplossing 1 d y t = 10 dt Schrijf het differentiaalquotiënt als breuk waarbij je in gedachten houdt dat y = y t . :

1 dy = 10 dt Links en rechts vermenigvuldigen met dt. dt dy = 10 Links en rechts integreren waarbij de randvoorwaarden overeen moeten komen, dat wil zeggen dat als t = 0 dat y = 5. t

y

1 dy = 5

0

y K5 =

1 dt 10 t 10

t 10

y t =5C

Voorbeeld 13 (uit het hoofd leren) Exponentiële groei. Ongestuurd systeem Het is gemakkelijk na te gaan dat de differentiaalvergelijking van de vorm

d y t =k y t dt een oplossing heeft met een exponentiële functie. Aan de hand van de oplossingsmethode van het scheiden van variabelen zullen we dit bekijken.

dy =k y dt Breng nu alles met y naar de linkerkant van het isgelijkteken en de rest naar rechts.

dy = k dt y Zet links en rechts een integraalteken ervoor.

Int

1 , y = k dt y

ln y = k tCC k t CC

y =e

C kt

=e e

C

Geef nu een nieuwe naam aan de integratieconstante e = C1 en neem aan dat deze ook negatief kan zijn. Daarmee vervallen de absoluutstrepen van y . kt

y = C1 e

De constante C en C1 worden integratieconstanten genoemd. Deze ontstaan dus bij het integreren.

Als er beginvoorwaarden van de functie y t gegeven zijn, kan de integratieconstante geëlimineerd worden.

Voorbeeld 14 (uit het hoofd leren) Gegeven de differentiaalvergelijking

d y t = k y t CA dt

Los op met A = 1, k = K2 en y 0 = 3 Zie voorbeeld 10 De algemene oplossing is

A kt y = K CC e k Invullen van de systeemconstanten A en k levert:

1 K2 t CC e 2 Invullen van de beginvoorwaarde y 0 = 3 1 5 3 = CC ==> C = 2 2 y=

Oplossing: K2 t

1 5e y= C 2 2 met de computer

Los op met A = 2, k = K3 en y 0 = 6 Zie voorbeeld 10 De algemene oplossing is

A kt y = K CC e k Invullen van de systeemconstanten A en k levert:

2 K3 t CC e 3 Invullen van de beginvoorwaarde y 0 = 6 2 16 6 = CC ==> C = 3 3 y=

Oplossing:

K3 t

2 16 e y= C 3 3 met de computer