Interafdelingsproject "Atherosclerose" vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde afd. Werktuigbouwkunde vakgroep Transportfysica afd. Natuurkunde rapport nr. WFFJ 86.019/NTF R-7814
TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN
LINEAIRE GOLFVOORTPLANTING IN VISCû-ELASTISCHE BUIZEN
.
Afstudeerverslag van J.B.A.M. Begeleiding: dr.ir A.A. dr.ir.
Horsten
van Steenhoven (W)
M.E.H.
van Dongen (N)
Afstudeerdocenten: prof.dr.ir. prof.dr.ir.
mei 1986
G. Vossers (N) J.D. Janssen (IJ)
- 2 O,
-
SAMENVATTING
Het onderzoek is gericht op de experimentele en theoretische analyse van
pulsvoortplanting
voortplanting
van
de
in deformeerbare buizen als een model hartpuls
eendimensionaal lineair model besteed
in
slagaderen.
Hiervoor
voor de is een
gebruikt waarbij met name aandacht
aan de viskeuze effecten
in
buiswand
en vloeistof.
is De
overeenkomsten tussen experiment en theorie zijn bevredigend, Het blijkt dat het visco-elastisch gedrag van de buiswand een dominerende 1-01
speelt.
De wijze waarop dit gedrag gemodelleerd wordt is niet van
grote invloed op de resultaten. geringe mate op,
Niet-lineaire
e£fecten treden in
Het onderzoek is verricht in het kader van
ánterafdelingsproject "Atherosclerose"
o
het
INHOUDSOPGAVE blz. O, Samenvatting
2
1. Inleiding
4
2. Literatuuroverzicht
2-1 Theoretische modellen golfvoortplanting 2.2 Onderzoek van materiaalgedrag 2.3 Voortplantingsexperimenten 2.4 Conclusies literatuuronderzoek
5
10 12
16
3, Experimenten
17
4 , Theorie
22
5. Resultaten 5.1 Materiaalparameters
26
5.2 Verificatie numeriek model 5.3 Voortplantingsexperimenten en -berekeningen
30 30
5.4 Niet-lineaire effecten
37
5.5 Invloed belemmering slang
37
5 6 Reflectieexperimenten
40
6. Conclusies
44
7 , Discussie en aanbevelingen
45
Literatuur
46
Bijlage A: Beschrijving pulsgenerator
48
Bijlage .B: Afleiding instationaire wrijving
52
Bijlage C: Analytische benaderingen Bijlage D: Beschrijving programmatuur
54
Bijlage E: Materiaalparameters en nauwkeurigheid numerieke resultaten
62
60
1.
INLEIDING
Dit verslag is het resultaat van een afstudeeronderzoek dat verricht is binnen het interafdelings-project "Atherosclerose" van de vakgroepen Fundamentele Werktuigbouwkunde (afd. Werktuigbouwkunde ) en Transportfysica (afd.
Natuurkunde)
van
de
Technische Hogeschool
Eindhoven, Binnen het project wordt bovendien samengewerkt met capaciteitsgroepen fysiologie en biofysica van
de
de Rijksuniversiteit
Limburg en de vakgroep Toegepaste Analyse van de Technische Hogeschool Delft e In het Atherosclerose-project wordt gewerkt aan de vroegtijdige detectie van relatief kleine vernauwingen in de vertakking halsslagader. hoofdzaak
van de
Op dit moment is binnen het project de aandacht in
gericht op
de
experimentele
en numerieke analyse van
snelheidsprofielen in complexe twee- en driedimensionale geometrieen. Een
belangrijke vereenvoudiging daarbij is
viskeuze effecten van
dat de elastische en
de vaatwanden buiten beschouwing
gelaten zijn
doordat gebruik gemaakt wordt van modellen met stijve wanden, Met dit afstudeeronderzoek is een aanzet gemaakt tot gebruik van experimentele en theoretische modelien met visco-elastische wanden.
In
hoofdzaak is de aandacht gericht op de experimentele en theoretische analyse van de voortplanting van pulsvormige drukveranderingen in een homogene rechte deformeerbare buis. Hieraan voorafgaande heeft bovendien
een uitgebreid literatuuronderzoek plaatsgevonden. Het onderzoek heeft tot doei een uitspraak te doen over de toelaatbaarheid van de verwaarlozing
van niet-lineaire effecten en
geldigheid van
verschillende beschrijvingen van wrijvingseffecten in de vloeistof en visco-elastische effecten in het wandmateriaal. De motivering voor het rerrichte werk is gelegen i n de verwclchting dat
een gedetaileerde
analyse van de golfverschijnselen in deformeerbare configuraties naast begripsvorming ook een mogelijke detectiemethode voor atherosclerose in een vroegtijdig
stadium zou
kunnen
opleveren.
Daarom wordt het
onderzoek afgesloten met enige inleidende experimenten met tot
de
golfreflectie
aan
stenoses
(lokale
betrekking
vernauwingen
verstijvingen). Eindhoven, mei 1986 Joost Horsten
en
-5- --_
.
2. LITERATUUROVERZICHT
In de literatuur wordt de golfvoortplanting in deformeerbare buizen op verschillende . wijzen benaderd. Er kan onderscheid gemaakt worden in &n-
en tweedimensionale, lineaire en niet-lineaire en elastische
en visco-elastische modellen. Dit literatuuroverzicht beperkt zich tot eendimensionale, lineaire modellen. De beperking tot een eendhensionafe beschrijving wordt gemotiveerd door de conclusie van vele auteurs dat een dergelijke globale beschrijving de experimenteel waar te nemen golfverschijnselen goed kan verklaren.
De tweedimensionale modellen concentreren zich
bovendien vaak op verschijnselen die experimenteel niet of moeilijk waarneembaar zijn (bijtr. hogere orde modes). Deze zijn voor ons daarom in dit stadium niet relevant. Over de verwaarlozing van de niet-lineaire effecten in wand en stroming is men in de literatuur minder eensgezind. Een aantal auteurs betrekken deze effecten wel in hun beschrijving, bijvoorbeeld bij grote druksprongen en reflecties aan vernauwingen, en concluderen dat in hun geval deze effecten een niet te verwaarlozen bijdrage leveren. In dit onderzoek zullen niet-lineariteiten verwaarloosd worden omdat uit vorig onderzoek binnen de projecten "Hartklepprothesen" en "Atherosclerose" is gebleken dat deze effecten, in het geval van relatief kfeine druksprongen in een lange rechte buis, n.iet domineren. In dit onderzoek zal bovendien getracht worden door de keuze van de experimenten nietlineaire effecten nog verder te elimineren, Het literatuuroverzicht beperkt zich niet tot modellen met een zuiver elastische buiswand. Het
is gebleken dat visco-elastische
effecten zowel voor in-vivo als voor in-vitro situaties een belangrijke ro-1 spelen. 2.1 Theoretische modellen golfvoortplanting
Een algemene vorm van een lineair, eendimensionaal, visco-elastisch model is:
+ AoUx = O
At
PB + p = T t X
p
=*
f(A,t,At ,Att,Attt
9
(massa)
(2.1)
(impuls)
(2* 2)
(materiaalgedrag)(2.3)
-5waarin A
het oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de buis is, p en U
de gemiddelde druk resp. snelheid over dit oppervlak, p de dichtheid van de incompressibele vloeistof en T=2r/R de schuifkracht aan de wand. De onderschriften t en x duiden op de partiële afgeleiden naar tijd resp. plaats. In dit model is verondersteld dat de diameter van de buis veel kleiner is dan de golflengte van de optredende verstoring en dat de verandering van axiale snelheid in radiële richting verwaarloosbaar is, Het model wordt uiteraard gecompleteerd met de noodzakelijke beginen randvoorwaarden en een uitdrukkicg voor de wandschuifkracht T. De
vloeistof wordt hierbij beschouwd als een Newtons medium. De modellen die hier behandeld worden verschillen in de gekozen uitdrukkingen voor T, de constitutieve vergelijking en de gebruikte begin- en randvoorwaarden. Een bekende beschrijving van een eenvoudig geval wordt gegeven door Lighthill (1978), Hij verwaarloost viskeuze effecten in vloeistof en wand. Verstoringen planten zich in dat geval onvervormd voort met de snelheid
met de compliantie C=dA/dp. co wordt de Moens-Rorteweg snelheid genoemd. Met dit eenvoudige model kan niet het optreden van demping en vervorming verklaard worden, dat wel experimenteel waargenomen worden. In meer uitgebreide modellen worden de viskeuze effecten in de vloeistof niet verwaarloosd. Zij kunnen op verschillende wijzen worden
.
gehplementeerd Een eenvoudig model voor de wandschuifkracht kan afgeleid worden voor een Poiseuille stroming. Zielke (1964) wijst erop dat een dergelijk stationair model in veel gevallen niet voldoet en leidt een instationaire laminaire uitdrukking voor de wandschuifkracht af op basis van de tweedimensionale theorie van Womersley (1955). Verder
gebruiken een aantal
auteurs een niet-lineaire empirische
uitdrukking voor een stationaire turbulente stroming (Schlichting, 1978).
Voor de constitutieve Vergelijking van het buiswandmateriaal zijn vele varianten mogelijk. Het meest gebruikt zijn lineaire modellen met een discreet retardatiespectrum (Kelvin-modellen). In een aantal gevallen wordt een algemenere beschrijving gebruikt, zoals een continu spectrum of een quasi-lineair model naar het voorbeeld van Fung (1972) (zie ook Dortmans, 1984). In principe zou men om relatie 2.3 te
verkrijgen uit kunnen gaan materiaalgedrag
bij een
van een spannings-rek relatie die het
eendimensionale
belasting beschrijft.
Het
omrekenen van een dergelijke relatie naar een druk-oppervlakte relatie levert echter een aantal problemen op (o.a. het in rekening brengen van grote vervormingen, viskeuze effecten en voorspanningseffecten),
Om
deze moeilijkheden te omzeilen postuleert een aantal auteurs daarom direkt een
druk-oppervlakte
relatie,
waarvan
de
noodzakelijke
parameters experimenteel bepaald worden. We staan nu wat nader stil bij enige voor het project relevante studies aan golfvoorplanting in rechte buizen, In deze paragraaf wordt vooral de modelvorming behandeld, in de volgende wordt de vergelijking met de experimenten gemaakt. Tabel 2.1 geeft een overzicht van de hier te behandelen literatuur. In strikte zin zijn alleen de bijdragen van Rieratord (1982), Abo-Ismaib & Wassef (1983), Franke & Seyler (1983) en van Steenhoven 8 van Dongen (1986) relevant. Allen gebruiken lineaire modellen waarin rekening gehouden wordt met viscositeit en viscoelasticiteit, Echter ook de artikelen Eolenstein
e.a.
van Gally e,a,
(1979)
en
(1980) bevatten bruikbare .elementen, ondanks het feit
dat zij niet-lineaire modellen gebruiken. De artikelen van Gally e.a., Rieutord en Abo-Ismail & Wassef zijn verwant. De overige artikelen zijn op zichzelf staande bijdragen. Gally e.a. (1979) gebruiken, ter beschrijving van de golfverschijnselen na klepsluiting in hydraulische systemen, een nietlineair, compressibel model met stationaire turbulente wrijving, Zij formuleren het materiaaigedrag als een druk-diameter relatie met behulp van een kruipcompliantie welke experimenteel bepaald
is.
Voor
de
uiteindelijke berekeningen (met behulp van de karakteristieken methode) benaderen zij het materiaal-gedrag met een meervoudig Kelvin-model waarvan zij de zeven parameters bepalen aan de hand van de experimenteel. bepaalde krulpesrnpiiantie. model eleganter
Rieutsrrd
(1982)
pûûgt
dit
te formuleren door gebruik te maken van een zgn.
Laplace-Carson transformatie. Ook Abo-Ismaii & Wassef (1983) gaan uit van het artikel van Gally
Zij zijn eveneens geznteresseerd in de golfverschijnselen in hydraulische systemen. Hun voornaamste uitbreiding betreft de implementatie van de frequentieafhankelijke wrijving volgens Zielke.
e.a.
Zij verwaarlozen daarbij de niet-lineaire effecten in vloeistof en wand en gebruiken een enkelvoudig discreet visco-elastisch model met drie experimenteel te bepalen parameters. Evenals bij Rieutord (1982) is het artikel van Franke & Seyler
--_
’
tabel 2.1 Overzicht eendimensionale modellen golfvoortplanting in rechte buizen
STROMING auteur
jaar
Abo-Ismail 86 Wassef Franke & Seyler
1983
Gally e.a. Holenstein e.a. Lighthi11 Rieutord Steenhoven & Dongen
1983 1979 19861 1978 1902 1986
niet comp visc -1in
z1
+ +
t
t
t
-
-
-
+
+
+ -
sl = stationair laminair st = stationair turbulent ist = instationair laminair ev = enkelvoudig lineair Kelvin-model mv = meervoudig lineair Kelvin-model co = continu model km = karakteristieken methode edm = eindige differentie methode imp = impedantieformulering sr = storingsrekening bvw = beginvoorwaarde
ist st st st SI
ist
-
ist
WAND niet dik visco -lin
bvw
methode
stap harm stap stap puls
kmd-edm fmp fourier km+edm km+edm
stap stap stap stap
impbedm kmfsr kmfsr km
I u, I
- 9 -
(1983)
vooral bedoeld ter beschrijving van rekenmethoden voor de
inpassing van visco-elasticiteit en besteden zij minder aandacht aan de fysische modelvorming zelf, Zij richten zich op de viskeuze verliezen bij de instationaire stromingen in pijpleidingen. Ze gaan uit van de lineaire theorie met stationaire turbulente wrijving en een meervoudig discreet model. Zij illustreren het verschil tussen het werken in tijden frequentiedomein, Voor de relatie tussen druk en flow bij periodieke signalen gebruiken ze het concept van de karakteristieke impedantie en bij niet-periodieke signalen van de impuls-responsie. Deze materie wordt ook behandeld door Westerhof e,a. (19789, Van Steenhoven & van Dongen (1986) beschrijven de voorplanting van het golffront in de aorta na sluiting van de aortaklep. Zij zijn de enigen die voor een zuiver analytische benadering kiezen.
Om dit
mogelijk
te maken behandelen zij niet-lineaire effecten en viskeuze
effecten
iri
wand en vloeistof afzonderlijk. Voor de viskeuze effecten
gebruiken zij een instationair laminair wrijvingsmodel volgens Zielke, Als
visco-elastisch model gebruiken zij de enkelvoudige Kelvin-achtige druk-oppervlakte relatie
p = A/C
+
goAt
(2.59
waarin C=dA/dp de compliantie van de buis is. Het belangrijkste onderwerp van de studie van Holenstein e.a. (1980) is de introductie van een quasi-lineair visco-elastisch model in de eendimensionale golfvoortplantingstheorieën Zij proberen een
.
beschrijving te geven van de pulsvoortplanting door het gehele arteriele systeem. Hun model is gexnspireerd door dat van Fung. Zij postuleren een niet-lineaire druk-oppervlakte relatie met een in principe experimenteel te bepalen kruipcompliantie. Zij bepalen die aan de hand
van een continu retardatiespectrum, analoog aan wat van Fung
doet voor een eendimensionale belasting. Zij passen het model toe in een niet-lineair voortplantingsmodel. Vrijwel alle auteurs passen de karakteristieken methode toe. Als alternatie€ kan echter in lineaire gevallen ook een spectraal oplossingsmethode gebruikt worden. In dat geval wordt uit de differentiaalvergelijking met behulp overdrachtsfunctie
voor
ingangssignaal bepaald.
iedere
van
fourier transformatie de
harmonische
component
van
het
Deze werkwijze heeft het voordeel dat op
eenvoudige wijze algemene
viskeuze
en
visco-elastische modellen
gebruikt kunnen worden. Engbers (1985) analyseert met deze methode de golfvoortplanting in een met water verzadigd poreus medium.
-
10
-
2.2 Onderzoek aan materiaalgedrag
We bespreken enkele karakteristieke experimenten voor de experimentele bepaling van het visco-elastische gedrag van het buiswandmateriaal (zie ook par. 2.1). Gally e.a. (1979) bepalen het spannings-rek verband van het materiaal (polyethyleen) als functie van frequentie (0.1-110 Hz) en berekenen daaruit de kruipcompliantie. Voor de toepassing in hun voortplantingsmodel benaderen ze het gedrag met een discreet model
(7
parameters). Abo-Ismail & Wassef (1983) beschijven het gedrag van PVC aan de hand van de demping van harmonische druksignalen (2-40 Hz) (zie fig.
Zen). De experimentele resultaten worden benaderd met een discreet model (3 parameters). Gerrard (1985) gebruikt een Relvin-element in zijn meest eenvoudige vorm. Hij bepaalt de elasticiteitsmodulus van latex door gewichtjes te bevestigen aan buizen van verschillende lengte. Hij meet van deze systemen de resonantiefrequentie (2-6 Hz) en het logarithmisch decrement. Figuur 2.2 geeft zijn resultaten. Gerrad zoekt bevestiging van deze resultaten bij Klip e.a. (1967), die stellen dat voor geldt dat Im(E) /Re@)
latex
frequentie-onafhankelijk is en ongeveer gelijk
aan 0.02. Klip e.a. leiden dit af uit de demping van harmonische golven. Deze ruwe indicatie valt binnen de (vrij grote) spreiding van Gerrard. Van Steenhoven & van Dongen (1986) gaan uit van een druk-diameter relatie.
Zij meten in een latex buis gelijktijdig de stapvormige druk-
en diametervariatie als functie van tijd. Het gevonden druk-diameter verband wordt benaderd met een Kelvin-achtig model (vergelijking 2.5). In hun edel gaat daarom Im(E)/Re(I) niet n m r een limiet waarde voor hoge frequenties, zoals dat wel het geval is bij Abo-Ismail & Wassef en Gerrard (zie f i g . 2.1 en 2.2). De gevonden parameterwaarde door van Steenhoven &
van Dongen stemt ondanks het verschil in experiment
globaal overeen met die behorend bij het materiaalgedrag tussen O en 3 Hz zoals beschreven door Gerrard. Van Steenhoven & van Dongen (1985) hebben tevens getracht het door hen gevonden druk-diameter verband te verklaren aan de hand van het eveneens bepaalde verband tussen spanning, rek en reksnelheid, Zij vinden op basis van lineaire theorie een grote discrepantie. Aan een benadering op grond van een geometrisch niet-lineaire theorie wordt nog gewerkt,
- 11 -
o Predicted EXpetirncntaiiy -3-?armda Solidl Model 4
fig 2.1
6
IO
20 30 40 FREOUENCY t HZ
Frequentieafhankelijke elasticiteitsmodulus van PVC volgens Abo-Ismail & Wassef (1983) o = experimenteel - = benadering met lineair viscoelastisch model
I
0
0.06 -
O
I
I
I
2
t
I
6
4
Frequency (Hz) ~.
-----
fig 2.2
~
~
- -
-
Verhouding van Im(E) tot Re(E) van latex als functie van frequentie volgens Gerrard (1985) i = metingen = op het oog getrokken curve
-
-
12
-
Als indicatie voor het visco-elastisch gedrag van slagaders geeft Milnor (1982) op dat in een groot frequentiegebied Im(E) nagenoeg constant is. 2.3 Voortplantingsexperimenten
We
beperken o n s
in deze paragraaf
tot de beschrijving van die
experimenten waarop de in par. 2.1 behandelde theorie van toepassing is:
in vitro-experimenten aan golfvoortplantingen in uniforme buizen.
Typische
tweedimensionale
experimenten,
zoals
metingen
van
snelheidsprofielen, longitudinale golven en axiale wandverplaatsing zijn buiten beschouwing gelaten. Slechts enkele auteurs geven kwantitatieve resultaten in de vorm van bijv, een beschrijving van de
of dispersierelaties. Velen beperken zich tot een kwalitatieve vergelijking van hun experimentele resultaten met de uitkomsten van een door hen ontwikkeld model. Er kan onderscheid gemaakt worden naar gebruik van stapvormige of pulsvormige drukveranderingen. Abo-Ismail & Wassef (1983), Gally e.a. (1979) en van Steenhoven & van Dongen (1986) bestuderen stapvormige signalen. Allen maken daarbij gebruik van een snel sluitende klep in een voordien stationaire stroming. Newman, Greenwald & Denyer (1981), Greenwald & Newman (1982) en Newman, Greenwald & Moodie (1983) gebruiken pulsvormige signalen. Al deze experimenten vinden plaats in het tijddomein, Een andere categorie wordt gevormd door experimenten in Ieder van de genoemde het frequentiedomein (Hardung, 1964). experimenten zal kort worden besproken en de resultaten zullen vergeleken worden met de theorie. Abo-Ismail & Wassef en Gally e.a. bestuderen het verloop van de druksprong na herhaaldelijke voiledige reflectie aan de gesloten uiteinden van een PVC c.q. polyethyleen buis, Zij vergeiijken het gemeten verloop met het verloop dat het door hun gebruikte theoretisch model (zie par. 2.1) voorspelt. De vergelijking geschiedt uitsluitend kwalitatief. Figuur 2.3 en 2.4 zijn karakteristieke resultaten. In beide artikelen wordt geconcludeerd dat de experimenten een bevestiging vormen van hun theoretische modellen, mits daarin rekening wordt gehouden met de visco-elasticiteit van het materiaal. Abo-Ismail & Wassef voegen daar nop aan toe dat tevens rekening gehouden dient te worden met de frequentie-afhankelijkheid van d e wrijvingskrachten (volgens Zielke, 1964). Van Steenhoven & van Dongen richten zich op een meer vormverstoring
- 13 kwantitatieve vergelijking van de experimentele resultaten met de theoretische voorspellingen. Zij bestuderen demping en verbreding van het drukfront in een dunwandige latex buis. Een typisch resultaat is gegeven in figuur 2.5. Zij concluderen dat niet-lineaire effecten van ondergeschikt belang
zijn, dat de verbreding van het drukfront goed
verklaard wordt aan de hand van de visco-elastische effecten en dat de verlaging van het front verklaard wordt door het instationaire karakter van de wandschuifkracht. Greenwald en Newman
C.S.
beschrijven in enkele publikaties hun
experimenten met pulsvormige signalen in dunwandige latex buizen. Zij hebben geen poging gedaan hiervoor een eigen model op te stellen. Zij beperken zich bij de interpretatie van hun experimenten tot de eenvoudige elastische theorie beschreven door Lighthill (1978) (zie par. 2.1). Er wordt geen aandacht besteed aan het visco-elastische gedrag. Een karakteristiek resultaat van hun voortplantingsexperimenten is gegeven in fig. 2.6. Een ander opvallend door hen gevonden resultaat is de afwezigheid van dispersie. Hardung tenslotte bepaalt in lange dunwandige latex buizen en met behulp van een sinuspomp de voortplantingssnelheid en demping in het frequentiebereik tot 10 Hz. Evenals Newman & Greenwald (1983) vindt hij een dispersieioze voortplanting. De bepaling van de demping is tamelijk onnauwkeurig. Tot slot nog enige opmerkingen over de dimensionering van de beschreven experimenten. De meeste
auteurs
gebruiken buizen van
relatief bescheiden lengte (tot 3m). Hardung gebruikt een lengte van 8
m en Gally e.a. vermelden een lengte van 40 m. Karakteristieke tijden van de gebruikte signalen lagen bij alle experimenten in de orde van 10 ms. De grootte van de druksprong varieert van 1 kPa (van Steenhoven & van Dongen) tot 200 P a (Galiy e.a.). De wanddikte van de PVC resp. polyethyleen buizen van Âbo-Ismail & Wassef en Gaiiy e.a. bedraagt rond 3 mm. De wanden van de latex buizen van Hardung zijn 0,25 mm dik en die van van Steenhoven & van Dongen en van Newman & Greenwald C.S. zijn dunner dan 0,l mm. Voortpiantings-snelheden variëren van 4 tot 40 m/s.
-
14
-
__
EXPERIMENTAL UNSTEADY, ViS&ÖEt,-ASTiC STEADY, Y IStQELASTIC ..-....UNSEAOY ELASTIC
--
2 x
fig 2 . 3
r a
.
CURYEI----
C W L 2
t TIME (SEC.]
WELsuRtp-
3
I
2.4 TIME
2.8 S
Vergelijking van experimentele en theoretische drukresponse op een stapvormige drukverandering aan het einde van een uniforme PVC buis volgens Abo-Psmail 8r Wassef (1983) steady = stationaire laminaire wrijving unsteady =frequentieafhankelijke wrijving
4lusU€D-
-
i
2.0
CALCULATE0
-.-
2
---
I
&n'
a
fig 2.4
I
I
TIME ( S i C l
2
3
Vergelijking van experimentele en theoretische responsie op een stapvormige drukverandering in een uniforme polyethyleen buis volgens Gally e.a.(1979), (a) einde buis (b) midden buis curve i = visco-elastisch curve 2 = elastisch
- 15 .SOms
150
1.2s 1O0 a75
o50 0.25 8 x-xo
Iml: o
o O5
fig 2.5
ais
ai0 -
.
0.20
035
û30
--
Karakteristiek resultaat van golfvoortplantingsexperiment van van Szeenhoven & van Dongen (1986)
10 kPa
I
L áOms
O
E
E
8C 100 0
.U u)
150
200
fig 2.6
Gemeten drukvoorplanting in een uniforme latex buis volgens Newman e.a. (1983)
0.M
-
16
-
2.4 Conclusies literatuuronderzoek Uit het literatuuronderzoek kunnen
de volgende conclusies worden
getrokken. Een eendimensionaal, lineair model blijkt in veel gevallen geschikt te zijn voor de beschrijving van de golfvoorglanting in deformeerbare buizen, mits daarbij tevens wrijving in de vloeistof en het visco-elastische gedrag van de buiswand in rekening gebracht worden.
Het is daarbij van belang om rekening te houden met de
frequentieafhankelijkheid van deze viskeuze effecten. Lineaire vásco-elastische materiaalmodellen beschrijven het geobserveerde gedrag redelijk goed. De keuze voor de gehanteerde modellen
(enkelvoudige, meervoudige of continue Kelvin-modellen)
wordt
over het algemeen niet beargumenteerd. Een systematisch onderzoek naar het effect van verschillende modellen op theoretische resultaten is niet verricht. spannings-rek
Het is nog niet uitgewerkt hoe de overgang van een relatie naar een druk-oppervlakte relatie gemaakt moet
worden Vrijwel alle auteurs maken bij de modelvorming gebruik van de karakteristieken-methode. In het lineaire geval kan echter ook van de eenvoudiger te hanteren spectraaloplossingsmethode gebruik gemaakt worden.
Deze biedt tevens meer mogelijkheden bij het gebruik van
gecompliceerde visco-elastische materiaalmodellen. Kwantitatieve experimentele gegevens zijn te schaars om een uitspraak te kunnen doen over de (grenzen van de) geldigheid van de verschillende viskeuze en visco-elastische modellen en de grenzen van de toelaatbaarheid van een lineaire benadering.. Doel van het verdere onderzoek is dan ook d.m.v. experimenten deze gegevens te vergaren.
c
3.
17
-
EXPERIMENTEN
Uit het literatuuronderzoek is gebleken dat er weinig kwantitiatieve experimentele gegevens voorhanden zijn. Het experimentele onderzoek is er dan ook op gericht deze gegevens te verzamelen om hieraan de toelaatbaarheid van een lineaire benadering en de geldigheid van verschillende beschrijvingen van wandschuifkracht en buiswandgedrag te kunnen toetsen. De reeds aanwezige klepsluitingsopstelling (beschreven door o.a. van Steenhoven & van Dongen (1985) en Horsten (1985)) was voor een dergelijke systematische toetsing niet geschikt. De reproduceerbaarheid van de signalen liet te wensen over, zowel het uitvoeren als het verwerken van de metingen waren tijdrovend en de toelaatbare buislengte was vrij kort. Daarom en omdat een pulsvormige drukverstoring beter aansluit bij de in-vivo situatie in de halsslagader dan de stapvormige in de klepsluitings-opstelling, is ëen nieuwe opstelling ontworpen en gebouwd, Hierbij is getracht niet-lineaire effecten zoveel mogelijk
te
beperken door gebruik te maken van kleine vloeistofsnelheden en lage pulshoogten. Figuur 3.1 geeft een overzicht van deze pulsvoortplantingsopstelling. De belangrijkste
elementen
in
de
opstelling zijn het drukvat, het magneetventiel en de deformeerbare buis
(siliconen rubber, Penrose Drain) waaraan de metingen worden
verricht.
Voor
het begin van het experinent zijn zowel buis als vloeistof in rust. De buis rust op een vlakke ondergrond en wordt door middel van een overloopvat op een statische druk van 2,4 kPa gehouden om inklappen te voorkomen. Buis en dempervat zijn via het magneetventiel met elkaar doorverbonden. Het drukvat staat op een
overdruk van ca. 50 kPa. Het experiment start door het openen van het magneetventiel, Het drukvat staat op dat moment in verbinding met de deformeerbare buis; het dempervat is dan afgesloten. Na 12-14 ms wordt het magneetventiel weer
gesloten. De demper wordt op
dat moment
werkzaam. Het magneetventiel bestaat uit een massa-veersysteem en vertoont daardoor resonantie bij de eigenfrequentie. Deze eigentrilling van ca. 40 Hz veroorzaakt bij het sluiten van het ventiel een hinderlijke verstoring (oscillaties rond de statische druk). Het dempervat met bijbehorende regelbare afsluiter breidt het systeem uit tot een massa-veer-dempersysteem.
Door een juiste instelling van de
afsluiter is het systeem kritisch te dempen, hetgeen het gewenste
perslucht
reduceerventiel
photonic sensor elastische buis
fig 3.1
Overzicht meetopstelling
-
19
-
signaal oplevert. Na het sluiten van het ventiel plant de drukpuls (pulshoogte ca. 250 Pa) zich met een snelheid van 3 , 2 m/s voort door de buis. Met behulp van twee kathetertip manometers en een photonic sensor kunnen druk- resp. diameterveranderingen op iedere plaats gemeten worden. De druksignalen worden eerst versterkt (Modular patient monitoring system).
door
een Philips versterker
In de standaarduitvoering van deze
versterker worden de signalen door een laagdoorlaatfilter (50 Hz) geleid.
In het inwendige is echter een aftakking gemaakt om de
ongefilterde signalen te kunnen gebruiken. Druk- en diametersignalen worden verder versterkt met Tektronix AMSO2 versterkers en gefilterd met Krohn-Hite 3750 filters (laagdoorlaat, -3dB kantelpunt: 200 Hz, 24 dB/octaaf).
Deze signalen worden via een ADC ( 2 kanaals, 12 bits, 2
kHz) en een microprocessor (LAM) in een computer (Prime 750) ingelezen. De triggering van de LAM gebeurt op het zelfde moment als het ventiel geopend wordt. Meting en eerste bewerking van de meetsignalen gebeurd met bestaande meet- en verwerkingsprogrammatuur (Corver , 1984) waarin kleine aanpassingen zijn aangebracht, Voor het repeterend (met tussenpozen van 0,5 tot 4s) bedienen van het magneetventiel, triggering van computer en nulstelling van versterkers en tellers is een pulsgenerator ontworpen en gebouwd (zie bijlage A). Om de nauwkeurigheid van de experimenten te verbeteren en toevallige afwijkingen te verminderen wordt steeds het gemiddelde van tien signalen genomen, De onnauwkeurigheid van een aantal grootheden zijn in dat geval: I 2% pulshoogte pulsbreedte r 4% voortplantingssnelheid I 1% Dit is bepaald door de schatter van de standaarddeviatie van het gemiddelde van 10 afzonderlijke metingen te bepalen. De onnauwkeurigheid is hier gedefinieerd als het 95% betrouwbaarheidsinterval. Met deze opstelling zijn de volgende experimenten uitgevoerd: voortplantingsexperimenten (meting van drukpulsen op verschillende plaatsen en bepaling van voortplantingssnelheid en verandering pulshoogte .en -breedte), materiaalonderzoek (bepaling van statische druk-oppervlakterelatie (compliantie) en meting van de dynamische overdrachtsfunctie tussen druk en oppervlakte tijdens een pulsvoortplanting), toetsen van de toelaatbaarheid van een lineaire benadering (door gebruik te maken van verschillende pulshoogten),
-
20
-
bepaling van de invloed van de ondersteuning op de golfvoortplanting en inleidende reflectieëxperimenten aan
lokale
vernauwingen
van de
buiswand. In figuur 3.2 is een kwalitatief beeld gegeven van een karakteristiek resultaat; de drukpuls plant zich voort naar rechts en wordt daarbij zowel lager ais breder door dissipatie en dispersie. Figuur 3.3 geeft een indruk van de frequentieinhoud van het druksignaal. Voor het bepalen van de dynamische relatie tussen druk en oppervlakte is een Fourieranalyser (HP 54238) gebruikt.
Tijdens het
onderzoek bleek de onnauwkeurigheid van deze bepaling vrij groot te zijn. Om de nauwkeurigheid van de theoretische voorspellingen, op grond van
de
materiaalparameters,
te
verbeteren
zijn
daarom
onafhankelijke materiaafexperimenten verricht (zie bijlage E).
vijf
-
21
-
x = 0,8 m
'?r
-
x=O,bm
A
A--x=O,bm f
P
A x=0,2m x=O,Om
"-4
fig 3.2
~. .
Karakteristiek resultaat pulsvoortplantingsexperimenten
.- .
fig 3 . 3
Lineair frequentiespectrum van drukpuls op x=O (numeriek bepaald)
-
22
-
4. THEORIE
Uitgaande van de conclusies uit het literatuuronderzoek en de te verrichten experimenten worden de volgende aannamen gedaan bij het opstellen van een theoretisch model voor pulsvoortplanting in een visco-elastische buis:
- niet-lineariteiten
de beschrijving van
in stroming en wandgedrag worden
-
verwaarloosd;
- de stroming wordt met een quasi-eendimensionaal beschreven
model
(gebruik makend van oppervlakte-gemiddelde druk en
snelheid);
- uniforme buis: - bet stromend medim -
is incompressibel en Newtons;
geen invloed zwaartekracht.
Het systeem wordt dan beschreven met de vergelijkingen: (massa)
(4*1)
(impuls)
(4.2)
Aangezien het stelsel lineair is substitueren we daarin de harmonische oplossingen
A = Aexp j(wt-kx),
etc.
(4.3)
De constitutieve vergelijking kan dan in de algemene vorm
fi
=
E(w)A
geschreven worden.
(4-4)
E
kan hierbij opgevat worden als het analogon van
de elasticiteitsmodulus in een
spannings-rek
relatie, Het reële
E vormt de elastische component, terwijl het imaginaire gedeelte van E de viskeuze bijdrage levert, Voor de beschrijving van E worden hier de volgende uitdrukkingen gebruikt: gedeelte van
E E E E E
i/C
zuiver elastisch
(4.5a)
= i/C
gedrag slagaders
(4.5b)
=
+ ja l/C + jwb i/C + j(c + wd)
Kelvin-model
(4.5c)
=
=
= experimented te meten
(4.5d) (4.5e)
-
23
waarin C=dA/dp de compliantie van de buis is en a en b constante parameters zijn. 4.5.b benadert het visco-elastisch gedrag van slagaders, Deze uitdrukking is moeilijk tijddomein en is daarom voor
transformeerbaar naar het
analytische berekeningen niet goed
bruikbaar. Bij de hier gekozen aanpak levert dit echter geen
problemen
Vergelijking 4.5.c is het analogon in het frequentiedomein van relatie 2.5 die door van Steenhoven & van Dongen (1986) gebruikt wordt.
op.
De visco-elastische
parameters in 4.5~en 4.5d
kleinste hadratenaanpassingen
worden
bepaald
uit
op de gemeten relatie. De parameter
in
4,5b volgt uit middeling over het gehanteerde frequentiedomein. Verder wordt
het experimentele verloop van
E als functie van de frequentie
ook direkt gesubstituteerd in het numeriek model, Ook de waadschuifkraeht T kan in een algemene vorm geschreven worden:
Voor de functie
F worden de volgende uitdrukkingen gekozen: ideale vloeistof
(4.7a)
stationair laminair
(4.7b)
instationair laminair
(4.7c)
(2 = j3/%)
JO en J, Oe en
stellen de Besselfuncties van de eerste soort en resp. le orde voor. Vergelijking 4.7.b is eenvoudig af te leiden als
de SC---” L+uIuLq U e s c h c ~ ~ fei l s een Peisecille-stroming, Bij de afleiding van 4.7.c wordt gebruik gemaakt van de tweedimensionale theorie voor
men
een instationaire (harmonische) stroming in een stijve (Womersley,l955). De afleiding hiervan is gegeven in bijlage B.
buis
Voor de oplossing van het stelsel worden 4.4 en 4.6 gesubstitueerd in 4.1 vergelijkingen in A
en 4.2. Dit levert een homogeen stelsel van 2
en U. Wanneer hiervan de determinant gelijk aan
nul gesteld wordt (omdat anders alleen de triviale oplossing wordt) levert dit de dispersierelatie
gevonden
- 24 -
Wanneer Im(E)=û en F=O (zuiver elastisch, niet viskeus geval) vinden we een dispersieloze voortplanting met als voortplantingssnelheid de Moens-Rorteweg snelheid, Een voorbeeld van de dispersierelatie (4.8) is gegeven in figuur 4.1. Het wandgedrag is beschreven net 4.5~ en de schuifkracht met 4.7~. We zien dat in dit geval zowel voortplantingssnelheid (w/Re(k)) als demping (-Im(k)) groter worden bij toenemende frequentie. De voortplanting van de drukverstoring kan berekend worden door de overdrachtsfunctie H te definiëren als
Be berekening van het signaal op een willekeurige plaats gaat daarmee als volgt in z'n werk:
1)
berekenen van overdrachtsfunctie H uit (4.8) en (4.9) met uitdrukkingen voor
E (4.5) en F (4.7);
2) Fouriertransformatie van ingangssignaaf (op x=O);
3) voortplanting van Fouriercomponenten berekenen met overdrachtsfunctie H; 4 ) uitgangssignaal (op x=x) berekenen door inverse Fouriertransformatie. De berekeningen worden uitgevoerd met frequentiestappen van 0,65 Ret uitvoeren van deze berekeningen
gebeurt met
Hz.
behulp van een
conputerprogrma. Een beschrijving hiervan is opgenomen in bijlage D,
De resultaten van de verschillende
experimenten
theoretische
kunnen vergeleken worden met
varianten,
om
zo
de
theoretische
modelvorming te toetsen, Voor enkele vereenvoudigde gevallen eiasiiische wand, ideale wandschuifkracht)
vloeistof ea eiâstfsche wand,
is tevens
een
analytische
(visco-
instationaire
benadering afgeleid
(bijlage C). Het numerieke model wordt hieraan getoetst. De berekeningen met de visco-elastische wandmodellen 4.5b t/m 4,5e worden ieder vijfmaal uitgevoerd met de eveneens vijfmaal bepaalde experimentele parameters voor het buiswandgedrag. Door middeling van pulshoogte en -breedte over deze vijf berekeningen, op iedere plaats en voor ieder wandmodel, worden de uiteindelijke resultaten verkregen. Er (i.p.v. middeling van de is gekozen voor deze wijze middeling materiaalparameters)
om een
schatting
te
kunnen
maken van de
doorwerking van de onnauwkeurigheid in Ei op de onnauwkeurigheid van de hiermee berekende pulshoogte en -breedte (zie bijlage E),
-
-100
25
F
fig 4.1
130
iHz1
Theoretische dispersierelatie wanneer voor E de lineair viscoelastische benadering (4.5~) en voor F de instationair laminaire uitdrukking (4.7~)gebruikt wordt (b=0,44 lo5 Pa s/rad m2)
-.
5.
-
26
RESULTATEN
Dit hoofdstuk bevat de resultaten van de in hoofdstuken 3 en 4 beschreven experimenten en berekeningen. 5.1 Materiaalparameters
Een voorbeeld van een experimenteel bepaalde relatie tussen druk en oppervlakte E is weergegeven in figuur 5.1. Er is tot 20 Hz redelijk constant en neemt daarna iets af tot 30 Ez. Na 30 Hz wordt het verloop grilliger, Zoals uit het coherentiespectrum is af te leiden is het resultaat boven 30 à 35 Rz niet betrouwbaar. Voor f = O Hz is de bepaling
van
versterkers.
Er
Het
gedefinieerd. Voor oppervlakte meting varieert
is
evenmin betrouwbaar vanwege drift in de gelijkspanningsniveau is daardoor niet goed f = O Hz wordt Er bepaald uit een statische druk(zie fig. 5.2). Het interval waarover de druk
hierbij
voortplantingsexperiment
gelijk
gekozen
Hieruit
hetgeen goed overeenstemt met
de
volgt gemeten
aan
bij
dat
Er( 0)=3,2
lo7
een 2 Pa/m
waarden van Er voor
frequenties boven O Hz. Het verloop van Ei is wat grilliger dan dat van Er Voor f=OHz vinden we Ei O, hetgeen overeenstemt met het feit dat in het
.
statische geval geen viskeuze verliezen optreden, Globaal bezien neemt
Ei licht
toe.
Boven 30 Hz
De demping neemt dus toe voor hogere frequenties. wordt Ei plotseling veel groter en wordt nog grillger.
Zoals reeds opgemerkt lijken
deze
resulaten
boven 30
Bz niet
betrouwbaar. In het numerieke model wordt Er benaderd met Er = 3,2 104 Pa/m2
5.1 Kleinste kwadratenaanpassing van geeft voor Ei materiaalparameters in 4.5b t/m 4.5d de intervals (zie bijlage E) a = 0,32 - 0,55 107 Pa/m2
b = 0,31 - 0,50 105 Pa sfrad c = 0,13 - 0,24 107 Pa/m2 d = 0,19 - 0,32 105 Pa s/rad
2
m
2
m
de
- 27 -
_-
E,
5
?lo coher
_ _ _ _ ~ .
fig. 5.1
Experimentele dynamische drukdlameter relatie (a) reëel gedeelte (b) imaginair gedeelte (c) coherentiespectrum
260 . A
23c
I
O0
L
fig . 5 2
P (Pa)
Statische druk-diameter relatie ter bepaling van compliantie C=dA/dp=3,P 10-*rn2/Pa
e
C A
L7 A
B
U
A
x
n A
fig. 5.3
3200
8
Vergelijking van het voorspelde verloop van pulshoogte met een analytische en een numerieke berekening, met een Gauss-profiel als ingangssignaal en een elastische, instationair viskeuze beschrijving _ _ - - __ A = analytisch 0 = numeriek
n
A
n
A
c
A n A
n
A
id -
fig. 5.4
-
n n D A
n
_ _
-
-
-
Vergelijking tussen analytische en numerieke berekening met een Gaussprofiel als ingangssignaal en een visco-elastische (Im(E)=wb), niet viskeuze beschrijving (a) verloop van pulshoogte (b) verloop van pulsbreedte
A
= analytisch =
numeriek
- 30 5.2 Verificatie numeriek model De numerieke berekenigen worden gecontroleerd aan de hand
van enkele
analytische resulaten. Het ingangssignaal wordt daarvoor zowel in het analytische aïs in het numerieke geval benaderd met een Gaussprofiel. Vervolgens wordt het verloop van pulshoogte en -breedte als functie van positie bepaald (zie bijlage C ) . In figuur 5.4 worden de analytische resulaten vergeleken met de numerieke voor het geval dat de viscositeit van de vloeistof wordt verwaarloosd en het wandgedrag beschreven wordt met een visco-elastisch model (4.5c), We zien een goede overeenkomst. De afwijkingen bedragen 1 tot 3%. Deze kunnen ontstaan door numerieke onnauwkeurigheden en toegepaste benaderingen bij de analytische oplossing. Verwaarlozing van visco-elastisciteit en het meenemen van de instationaire wandschuifkracht levert figuur 5.3
op.
Er
is
weer een goede
Ook een overeenkomst tussen analytisch en numeriek resultaat. vergelljking van de berekende pulsvoortplantingssnelheden (tabel 5.1, blz, 36) laat in beide gevallen een bevredigend resultaat zien. De onnauwkeurigheid van de numerieke resultaten wordt vooral bepaald door de bepaling van de materiaalparameters (zie bijlage E). De onnauwkeurigheid in de relatieve pulshoogte is in alle gevallen rond +0,06. De onnauwkeurigheid in de relatieve pulsbreedte neemt toe als functie van positie en varieert bij de gefitte modellen van +0,04 op x=O,lm, +0,2 op x=0,5m tot +0,3 op x=0,8m. Bij direkte substitutie van E is de onnauwkeurigheid twee maal zo groot. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat bij direkte substitutie statistische fluctuaties in het verloop van E een rol spelen die bij een lineaire aanpassing uitgemiddeld worden. Om de invloed van benadering 5.1 voor Er te controleren zijn E. direkt tevens enkele berekeningen uitgevoerd waarbij 1
gesubstitueerd werd en Er benaderd werd met 5.1.
Dit bleek geen
significante invloed te hebben.
5.3 Voortplantingsexperimenten en -berekeningen Figuur 3.2 geeft een kwalitatief beeld van het gemeten drukprofiel. Duidelijk is te zien hoe de drukpuls bij de voortplanting lager en breder wordt. Kleine details (samenhangend met hogere frequenties) dempen snel uit. Deze karakteristieken worden niet terug gevonden als viscositeit van wand
en vloeistof worden verwaarloosd (fig.
5.5)
en
- 31 ook niet als alleen de wrijving in vloeistof wordt wordt meegenomen (fig. 5.6). In het eerste geval plant de puls zich (zoals verwacht) onvervormd voort. In het tweede geval neemt de hoogte licht af maar de breedte blijft constant. Wel is een lichte vervorming waarneembaar (overeenkomstig het resultaat van hier niet opgenomen analytische exercities). Wanneer in plaats van een instationaire een stationaire wandschuifkracht wordt meegenomen wijkt het resultaat nauwelijks af van het dispersieloze geval. Figuur 5.7 en 5.8 laten zien dat het meenemen van
het
visco-elastisch
buiswandgedrag
tot
een
veel
betere
overeenstemming leidt met het experiment. Zoals op grond van figuur 5.6 verwacht kon worden is het verschil tussen beide visco-elastische berekeningen (met en zonder wandschuifkracht) gering. In figuur 5 - 9 worden een aantal vereenvoudigde modellen wat kwantitatiever
naast
elkaar
gezet.
Hieruit
komen
dezelfde
karakteristieken naar voren als uit de drukprofielen. Modellen waarin geen rekening gehouden wordt
met
het visco-elastisch wandgedrag
beschrijven het experiment slecht. Het gebruiken van een stationair wandschuifkracht model wijkt niet wezenlijk af van een dispersieloos model.
Het instationaire karakter van de wandschuifkracht kan een klein
gedeelte van de pulshoogteverandering verklaren, maar
bexnvloedt de
pulsbreedte niet. Hieruit kan de conclusie getrokken worden dat bij dit experiment, anders dan bij van Steenhoven & van Dongen (1986), de viscoelasticiteit een dominerende rol speelt, De wandschuifkracht levert hier alleen een kleine bijdrage aan de pulshoogtevermindering. Voor een nadere analyse concentreren we ons daarom op de beschrijving
van de
visco-elasticiteit. Figuur 5.10 geeft de resultaten van een aantal visco-elastische modellen:
direkte substitutie van
E en de drie benaderde modellen. In
alle gevallen is een instationaire wandschuifkracht beschouwd.
Alle
modellen beschrijven de experimenten redelijk goed, zij het dat de afname van de pulshoogte wat overschat wordt. De beste overeenkomst tussen theorie en experiment geeft model 4.5~ (maximale afwijking = 4 % ) - De grootste afwijking bedraagt 11% (model 4.5b).
verloop van de pulsbreedte is voorspellingen gering.
Ook bij het
de spreiding van de theoretische
De afwijking met het experiment is iets groter
geworden. Ook nu overschatten
de
theoretische voorspellingen de
dempingseffecten. Een mogelijke verklaring kan gevonden worden in de onnauwkeurigheid in de materiaalparameters. Het verdient aanbeveling
aan de bepaling hiervan nader aandacht te besteden, ook in het frequentiegebied boven 30 Hz, Een tweede mogelijke verklaring wordt
A -
-
fig. 5.5
Numeriek berekende pulsvoortplanting met een dispersieloos model
fig. 5.6
Numeriek berekende pulsvoortplanting met een elastische wand en een instationaire schuifkracht
A/'\_____
I
A-w w I
%
J f i g . 5.7
I
Numeriek b e r e k e n d e p u l s v o o r t p l a n t i n g met e e n v i s c o - e l a s t i s c h e wand (Im(E) = wb, b=0,44 105Pa s / r a d m2) en e e n i d e a l e v l o e i s t o f
f i g . 5.8
Numeriek b e r e k e n d e p u l s v o o r t p l a n t i n g met een v i s c o - e l a s t i s c h e wand (Im(E) = wb, b=0,44 105Pa s / r a d m2) e n een i n s t a t i o n a i r e s c h u i f k r a c h t
-
34
-
V V
7
a
7
v 7
8
s
0
o
O
0
V O
8 5
9
-
- - -.- - __
fig. 5.9
--
-_
-
--
--
___
3
.
-
-
Vergelijking van het verloop van pulshoogte (ph) en -breedte (pb) volgens experiment en enkele vereenvoudigde theoretische modellen waarin viskeuze effecten in wand of vloeistof verwaarloosd zijn 0 = experiment + = elastische wand, ideale vloeistof x = elastische wand, stationaire schuifkracht jk= elastische wand, instationaire schuifkracht V = visco-elastische wand (Irn(E)=@b, N=S) , ideale vloeistof
- 35 -
3
U
n E
b
l
S 4
"O
"V o
O
a
O
B
a
H 8
O
i
fig. 5.10
o
a
O
@
A
G
O
Vergelijking van het verloop van pulshoogte (ph) en -breedte (pb) volgens experiment en enkele visco-elastische modellen met instationaire wandschuifkracht (gemiddelden over vijf berekeningen, onnauwkeurigheden op x=0,5 m) 8 = experiment : ph 10,02, pb +0,04 v = Im(E) = a : ph f0,06, pb +0,2 Q = h ( E ) = ~ b : ph I0,06, pb +0,2 o =Im(E) = c f w d : ph +0,06, pb +0,2 = E experim. : ph +0,06, pb kO,4
- 36 Tabel 5.1
Experimentele en theoretische pulsvoortplantingssnelheden c
O
(E=druk-diameter-
relatie, T=wandschuifkracht)
MODEL
c
8
analytisch Moens-Korteweg
2.76
numeriek (Gaussprofiel)
Im(E)=O, T=instat.
2.76
IdB(E)= b, T=O
2.65
numeriek- (exp. puls) Pm(E)=O, T=instat.
2.74
Pm(E)=wb, T=O
2.67
Im(E)=wb, T=instat.
2.65
Im(E)=a, T=instat.
2.67
Im(E)=a+wb, T=instat.
2.65
E=experim., T=instat.
2.74
experimenteel eenzijdig belemmerd: Ptop Ptop Ptop
(ûj = iûû ?a
3-16
(O) = 250 Pa
3.16
( O ) = 450 Pa
3.14
tweezijdig belemmerd: %op
(O) = 250 Pa
3.39
- 37 gegeven in par, 5.4. Een andere vergelijking betreft de voortplantingssnelheden. Tabel 5,1
laat zien dat de afwijking tussen de numerieke waarden
gering is 16%. Een
onderling
(2,5%). De afwijking met het experiment bedraagt echter ca.
dergelijk verschil is
niet te verklaren uit numerieke
onnauwkeurigheden, te meer daar de numerieke waarden goed overeen komen met de analytische waarde. We komen hierop terug in par. 5.5, 5.4 Niet-lineaire effecten
De lineaire theoretische aanpak veronderstelt dat de geobserveerde fenomenen onafhankelijk zijn van de amplitude van de drukpuls. Om dit te controleren
is het voortplantings-experiment uitgevoerd met
verschillende drukpulsen:
drie
100 Pa, 250 Pa (standaardgeval) en 450 Pa
(maximaal haalbare in de gebruikte opstelling).
Figuur 5.11
geeft
hiervan de resultaten. We zien een klein maar significant verschil tussen de experimenten, Dit duidt erop dat niet-lineaire effecten een kleine rol spelen. De invloed is, in het hierbeschouwde drukinterval, iets kleiner dan het effect van de instationaire wandschuifkracht. Het blijkt dat de pulshoogte minder afneemt naarmate de amplitude groter is. Het verschil is ongeveer van dezelfde grootteorde als de afwijking die in p a r .
5.3
gevonden werd tussen het experimenteel en theoretisch gevonden verloop. Het niet-lineaire effect zou een verklaring kunnen zijn voor dit verschil. De afwijking bij het pulsbreedteverloop zou er gedeeltelijk mee verklaard kunnen worden. Een niet-lineaire benadering moet hierover echter uitsluitsel geven, Een nauwkeuriger controle op niet-lineaire effecten zou
verder
kunnen
geschieden
door
experimenteel
de
overdrachtsfunctie tussen de druk aan het begin en stroomafwaarts van de
buis
te bepalen en deze te vergelijken met (4.8) en
valt op te merken
(4.9).
Verder
dat de amplitude niet van invloed is op de
voortplantingssnelheid (tabel 5.1). 5.5 Invloed belemmering slang
In hoofdstuk 3 is beschreven dat de deforme rbare bui
ondersteund
wordt door een harde perspex ondergrond. De theorie gaat er echter van uit dat de slang niet belemmerd wordt en cylinder-symmetrisch uitzet. De slang is in een statische situatie enigszins elliptisch. Het verschil in horizontale en verticale diameter is evenwel klein (1,3%),
-
-
38
A
A O
A
n
O
A
A
O
B
CI
U
n
52
x
n
n
O
A
0 A
U
n o A
o
QS
O _.
fig. 5.11
.
--
-
Vergelijking van experimenteel bepaald verloop van pulshoogte (ph) en -breedte (pb) bij verschillende Dufshoogten (O) = i00 Pa
a: ptop(0)= 250 Pa
=: Ptop(0) pcop O:
= 450 Pa
- 39 -
O
O
c
O
V
O
O
O
0
S
o o
O
o
0
8 O
O O
V
O
O
..
-
fig. 5.12
-
-
- -
-
- - - ---
Vergelijking van experimenteef bepaald verloop van pulshoogte (ph) en -breedte (pb) bij een éénzijdig en tweezijdig belemmerde slang 0 : eenzijdig belemmerd O: tweezijdig belemmerd
--
- 40 Het is niet a priori duidelijk welke invloed deze belemmering kan hebben op de pulsvoortplanting. Het onderzoeken van deze invloed door de ondersteuning
weg
te laten stuit op praktische bezwaren.
Om
toch
enige indruk van het effect te krijgen is het experiment herhaald met een slang die tussen twee platen ingeklemd is. De uitzetting wordt dan zowel aan boven- als onderzijde belemmerd. De verwachting is dat het effect van de eenzijdige belemmering
versterkt
terugkomt bij een
tweezijdige belemmeringe De resultaten van dit experiment worden in fig. 5.12 gegeven. De invloed op de pulshoogte-verandering is verwaarloosbaar. De toename van de pulsbreedte wordt iets verminderd door de tweezijdige belemmering, hetgeen een verklaring kan zijn voor het feit dat experimenteel de pulsbreedte kleiner blijkt te zijn dan numeriek voorspeld
wordt.
Signaficant is de invloed op de voorplantingssnelheid (tabel 5.1). Deze ligt hoger dan bij de eenzijdige belemmering. Dit is plausibel, aangezien de buis in zekere zin minder compliant wordt, waardoor de voosplantingssnelheid verschil
tussen
groter wordt, Het lijkt er daarom op dat het de
gevonden
theoretische
en
experimentele
5-3) toegeschreven kan worden aan de invloed van de ondersteuning door de harde ondergrond.
voortplantingssnelheid
(par.
5 -6 Reflectieexperimenten
In het licht van de doelstellingen van het zijn als
aanvulling
op
het
project
"Atherosclerose"
pulsvoortplantingsonderzoek
enkele
.
inleidende reflectieëxperimenten vericht Hierbij wordt de reflectiecoëfficiënt bepaald
bij reflectie aan een stenose, gemodelleerd door
een perspex insnoering van de buis. De buis wordt daardoor zowel nauwer als stijver, zoals in-vivo bij het optreden van stenoses. Het ligt in de lijn der verwachting
dat de reflectie-coëfficiënt groter wordt
naarmate de stenose e r ï ì s t i g e ï , d,w,z. nauner er, langer, tmrdt, Daarnaast speelt de verhouding van de lengte van de stenose tot de golflengte van de verstoring een rol. Er zijn twee series experimenten gedaan, Een met variërende diameter en een met variërende lengte van de stenose. Het .
is een stenose van 40 mm (kortste golflengte is ca.
80 mm) en een oppervlaktereductie van 15%. De resultaten staan in figuren 5.13 t/m 5.15, De afstand tussen meetpunt en begin van de stenose bedraagt steeds 15 a. De onderste meting is een referentiemeting, gedaan op 30 cm van het meetpunt, De reflectiecoëfficiënt wordt uitgangsgeval
-_
bepaald
-
41 -
-
uit de verhouding van gemeten puls en referentiepuls. Hierdoor
wordt gecompenseerd voor demping door viskeuze effecten. Opvallend is dat de oppervlaktereductie (tussen 5 en 45%) nauwelijks van invloed is op de reflectiecoëfficiënt. De lengte is in dit experiment wel van invloed. De
reflectiecoëfficiënt
varieert
van
O, 14
tot O ,60.
ook d a t de druk negatief wordt na de gereflecteerde puls. Een theoretische beschrijving is niet mogelijk op basis van een eenvoudige lineaire theorie.. Niet lineaire modellen lijken hiervoor noodzakelijk (Kim & Corcoran, 1973, Rooz e.a., 1982 en
Opvallend is verder
PedPey, 1983).
42
c
- 43
-
Q
Ia
0 e
--
fig, 5-15 Reflectiecoefficiënt als functie van iengte vernauwing (oppervlaktereductie 15%)
- 44 6- CONCLUSIES
1) Met de ontwikkelde experimentele opstelling kunnen pulsvormige druken diametervariaties reproduceerbaar opgewekt en nauwkeurig gemeten worden, De overdrachtsfunctie tussen beide signalen is tot
30 Hz redelijk nauwkeurig te bepalen. 2)
Er is goede overeenstemming tussen de analytische en numerieke resultaten.
3)
Be pulsvoortplantingsexperimenten blijken redelijk goed beschreven te worden met een lineair, eendimensionaal, incompressibel model. De demping wordt iets overschat. De onnauwkeurigheid in de theoretische resultaten worden worden vooral veroorzaakt door onnauwkeurigheden bij de bepaling van de materiaalparameters.
4)
Het visco-elastisch dominerende factor
gedrag van het buiswandmateriaal is de bij verandering van de pulsvorm. Het
instationaire karakter van de wandschuifkracht heeft daarnaast enige invloed op de pulshoogteverandering.
5) Er treden geen significante verschillen op tussen de resultaten-van verschillende visco-elastische wandmodellen. 6)
De afwijkingen tussen experimentele resultaten en theoretische voorspellingen zijn mogelijk te verklaren uit niet-lineariteiten en uit de invloed van de ondersteuning van de buis. De amplitude van
de drukpuls behvloedt het verloop van de pulshoogte en enigszins dat van de pulsbreedte, De ondersteuning lijkt eveneens de pulsverbreding iets te verminderen en daarnaast de voortplantingssnelheid met ca, 10% te verhogen. 7 ) De experimentele opstelling is goed bruikbaar voor de analyse van
reflecties aan discontinuxteiten in een niet-uniforme rechte buis. De diameter van een stenose blijkt in dit geval nauwelijks van invloed te zijn op de reflectiecoëfficiënt. De lengte van de stenose is wel van invloed.
-
45
-
7. DISCUSSIE EN AANBEVELINGEN
De experimenten biijken in de huidige vorm goed te voldoen. De nauwkeurigheid en reproduceerbaarheid is voldoende voor dit en vergelijkbare
toekomstige
onderzoeken.
eendimensionale theorie blijkt
De
eenvoudige
lineaire
redelijk in staat het verloop
puls te beschrijven, Op deze terreinen lijken daarom peen
van de nieuwe
activiteiten noodzakelijk. Wel is het van belang verdere aandacht te besteden
aan
de
frequentie-afhankelijke
bepaling
van
de
materiaalparameters, met name bij hogere frequenties dan 30 Ez. De nauwkeurigheid is hierbij nog niet optimaal. Voorzichtigheid is geboden bij de extrapolatie van de gevonden resultaten naar hogere druksprongen, Verder experimenteel en numeriek onderzoek naar de nietlineaire effecten in stroming en wand is dan noodzakelijk.
De conclusie van Gally e.a. dat de visco-elastisciteit Onderzoek bevestigd.
(1979) en Abo-Ismail & Wassef (1983)
van de wand van belang is, wordt
in dit
De constatering dat dit effect het effect van de
Pnstationaire wandschuifkracht domineert, werd door de genoemde auteurs niet gedaan, Een verwaarlozing van dit effect leidt in ons geval niet tat grote afwijkingen, Dit in tegenstelling tot wat Zielke (1964), voor een stijve buis, en van Steenhoven & van Dongen (1986), voor een stapvormige drukverandering, concluderen. De conclusie van Hardung (1964) en Newman e.a. (1981) dat de voorplanting in latex buizen dispersieloos zou zijn, wordt in ORS geval niet bevestigd. Het lijkt verstandig het accent van het onderzoek aan deformeerbare buizen
in de toekomst te verleggen naar de bestudering van
zowel aan vertakkingen, stenoses en experimenteel onderzoek opstelling.
Een
daarnaar
kwantitatieve,
kan
combinaties van gebeuren
reflecties, beiden.
Het
met
de huidige
frequentieafhankelijke
analyse is
daarvoor op dit moment de meest aangewezen weg. De theoretische analyse zal verder uitgebreid dienen te worden. Daarbij dient gedacht te worden aan niet-lineaire en tweedimensionaie aspecten.
- 46 Abo-Ismail,A., Wassef, F.M, A, "Fluid transients in pipes with viscoelastic walls", ASME 83-fe-30, 1983 Abramowitz & Stegun, Handbook of mathematical functions, Dover Publications, New York, 1972 Corver, J., Handleiding voor het meten en verwerken van LDS-metingen, Interafdelingsproject "Atherosclerose", THE, 1984 Dortmans, A., 11Enige beschouwingen t.a.v. het gedrag van visco-elastische materialen onder lijnspanning", intern rapport E, 1984 Engbers, P., "Een fast fourier analyse van golfvoortplanting in met water verzadigde poreuze media", stageverslag nr. R-711-s vakgroep transportfysica afd. N THE, 1985 Fung, Y.C., "Stress-strain-history relations of soft tissues in simple elongation", Biomechanics: its foundation and objectives, Prentice-Hall Inc., 1972 Gally, M., Guney. M., Rieutord, E., "An investigation o f pressure transients in viscoelastic pipes", J . of Fluid Eng. 101 p49.5-499, 1979 Gerrard, J.H., "An experimental test of the theory o f waves in fluid filled deformable tubes", J. of Fluid Mechanics 156, p321-247,
1985 Greenwald, S.E. & Neman, D.L., f f Impulse propagation through junctions", Med. & Biol. Eng. & Comp. 20 p342-350, 1982 Hardung, V., "Input impedance and reflection of pulse waves", Pulsatile blood flow, McGrawhill, 1964 Holenstein, R., Niederer, P., Anliker, M., "A viscoelastic model for use in predicting arterial wave pulses", J. Biomech. Eng. 102 ~318-325,1980 Horsten, J., Voortplanting van drukgolven in rechte elastisch buizen, Interafdelingsproject "Atherosclerose", THE, 198.5
Klip, W,, van Loon, P. & Klip, D.A., "Formulas for phase velocity and damping o f longitudinal waves in thick walled visco-elastic tubes", J. Applied Physics 38 p3745-3755, 1967 Lighthill, M.J., Waves in fluids, Cambridge University Press, 1978 Milnor, W.R., Hemodynamics, William & Wilkins, Baltimore, 1982 Newman, D.L., Greenwald, S.E, PE Denyer, H.T., "Impulse propagation in normal and stenosed vessels", Cardiovasc. Res. 15 p190-195, 1081 Newman, D.L,, Greenwald, S.E. i3 Moodie, T.B., "Reflection from elastic discontinuities", Xed. PE Biol. Eng. & Conpt. 21 p697-701, 1983 Rieutord, E., "Transient response of fluid viscoelastic lines", J.
-
47
-
Fluid Eng. 104, n3, p3-341, 1982 Schlichting, H., Boundary layer theory, McGraw-Hill, 1978 Steenhoven, A,A. van & M.E. van Dongen, "Modelstudies of nonlinear wave propagation in liquid-filled viscoelatic tubes", WFFi-rapport 85.003, Technische Eogeschool Eindhoven, i985 Steenhoven, A.A. van & Dongen, M.E.H. van, "Modelstudies of the aortic pressure rise just after valve closure", J. Fluid Mech. 166 p93-113, 1986 Westerhof, N., Bos, C,G, van den R Laxminarayan, s., "Arterial reflection", The arterial system, Springer Verlag, 1978 Womersley, J.R., "Oscillatory motion of a viscous lquid in a thin walled elastic tube Io linear approximation f o r long waves", Phil. Mag. 46 pP99-221, I955
-_
- 48 BIJLAGE A: BESCHRIJVING PULSGENERATOR Functie: De pulsgenerator levert de noodzakelijke stuurpulsen voor de componenten van de in het verslag beschreven meetopstelling: magneetventiel, teller, nulstelling drukversterker en triggering LAM (laboratorium microcomputer) Met kleine aanpassingen kan de generator ook voor andere toepassingen bruikbaar zijn (zie in dat geval het schema en de raadpleeg de bij de gebruikte IC's behorende datasheets). Signalen: De stuurpulsen worden periodiek, met een instelbare herhalingstijd, herhaald. In een pulscyclus worden de volgende akties uitgevoerd: I) - nulstellen van de teller die gebruikt wordt voor het meten van de lengte van de ventielpuls (HP 5216A)
- nulstellen van drukversterker (Philips Modular Patient Monitoring System) 2)
-
starten van teller openen van magneetventiel (Kuhnke 67.101)
- triggering van LAM
3)
- sluiten van magneetventiel (na instelbare tijd)
Voor
stoppen van teller
deze functies zijn een aantal signalen beschikbaar
(zie ook
tijddiagrammen):
ZERO PRESSURE nulstelling drukversterker, rust = OV, puls = 1 5 V RESET COUNTER nulstelling teller, rust = off (hoge impedantie), puls = OV
STOP COUNTER VENTIEL MON LAM TRIG
stoppen teller, rust = OV, puls = off sturen magneetventiel, rust = OV, puls = 1 5 V monitor signaal ventielpuls, rust = OV, puls = 1 5 V triggersignaal LAM, rust=l5V, puls=OV
De topwaarde van de puls ( 1 5 V ) is afhankelijk van de voedingsspanning.
-
_ _
49
-
Functies van schakelaars en potmeters: MAN TRIG
handbediening ventielpuls instelling van duur ventielpuls
PULSBREEDTE AUTO TRIG
AAN/UIT: automatische bediening ventielpuls en nulstellingen *aan- en uitzetten
FREQ: instellen herhalingstijd automatische triggering handbediening ventiel (ventiel blijft net zolang
MAN
open als schakelaar ingedrukt blijft) Aansluiting apparatuur:
Verbind de
volgende
aansluitingen (pg
=
pulsgenerator)
- VENTIEL
(pg)
met: magneetventiel
- RESET COUNTER ( p g )
met: RESET (teller)
- STOP COUNTER (pg) - ZERO PRESSUIIE (pg)
met: STOP (teller)
- MON (Pg) - LAM TRIG
(pg)
- FREQ STD
(teller)
met: ZERO (voorzijde drukversterkers) met: oscilloscoop of transiëntrecorder met: TRIGGER (LAM) met: INPUT (teller)
Zet de schakelaars op de teller in de volgende standen:
- FREQ STD
rm
- STORAGE
ON
- FREQ PER/TIME INT - voorzijde
FREQ PER
START MAN
deze wijze wordt een inwendig 1 MHz signaal continue aan de ingang van de teller aangeboden. De teller blijft steeds in de START positie staan, maar kan alleen tellen als het STOP COUNTER signaal "off" is. De teller geer't d e l e n g t e vapp d e ventielpuls I n iiiicrûszcûiiden.
Op
-
-
amv uit/ mmvl trig
mmvl uit/ pressure Zero .
mmv2 trig
mmv2 uiti ven ti el/ mon uit
stop counter
lam trig
50
-.
3
u W
I-
VI
W
a
1
.-cn
I I
P O
c L
i3
c
IL
C
l I
I
I I
O N
rn Ln z
I
i n
x O ul
-
52
-
Bi.jlage B: AFLEIDING FREQUENTIEAFHNAKELIJKE WANDSCHUIFKRACHT De wandschuifkracht wordt in principe bepaald uit B.l
waarin u(r) P,
de axiale snelheid is, afhankelijk van radiële coördinaat
R de straal van de buis en q de
vloeistof.
Aangezien
het
dynamische viscositeit van de theoretisch model uitgaat van een
eendimensionale benadering in de gemiddelde snelheid U is toepassing van B.1 niet zonder meer mogelijk, De stationaire wrijving kan echter bepaald worden door de stroming te beschouwen als een Poiseuillestroming: u = ZU(1
- ($r 2)
B.2
Uit B.1 en B.2 volgt T = -8q/R 2
U
B.3
Met
T
=
-pWU
B.4
geeft dit voor de wrijvingsfunctie W in het stationaire geval
W
= 8q/PR2
B -5
Voor de beschrijving van de instationaire wrijving gaan we uit van de tweedimensionale oplossing van de instationaire harmonische stroming in een stijve buis volgens Womersley (1955) (of Milnor (1982) die deze theorie samenvat en b e c o m e n t a ï i e n t ) :
B.6
met
De gemiddelde s n e l h e i d over het oppervlakte
o
U is
R
=
p2
1 Ûrdr
B.7
R O Uit B,4 en B.l
volgt
B.8
(zie Abramowitz & Stegun, 1972)
-.
-
54
-
-
Biilage C: ANALYTISCHE BENADERINGEN Ter controle van de numerieke berekeningen zijn analytisch enkele vereenvoudigde gevallen berekend. De resultaten hiervan geven een globaal inzicht in het numeriek te verwachten resultaat en kunnen later worden gebruikt ter controle van de numerieke berekeningen. In deze bijlage worden eerst twee gevallen analytisch benaderd:
i) een zuiver elastische wand en een instationaire (frequentieafhankelijke) wandschuifkracht, en 2) een visco-elastsiche wand met een ideale vloeistof, In beide gevallen wordt het ingangssignaal benaderd door een Gaussprofiel met dezelfde hoogte en karakteristieke breedte als de gemeten drukpuls op x=O. De berekeningen zijn analoog aan die van van Steenhoven & van Dongen (1986). C.1 Algemeen
Uitgaande van een eendimensionale lineaire benadering wordt het systeem beschreven door (zie van Steenhoven & van Dongen, 1986):
(2+ n t
+
coaX>(u a
+ n> = s
(C. la)
coUx = O
(C.lb)
(C. IC)
A
is
de oppervlakte van de
dwarsdoorsnede van de buis, c
o
de
voortplantingssnelheid. Met de bronterm S worden viskeuze effecten in vloeistof en wand in rekening gebracht. Stelsel (C.l) wordt herschreven met de definitie van de dimensieloze grootheden
(C.2a)
-
55
-
f i = - *=O n
(C.2b)
PO
s
s/so
=
(C.2c)
de kleine parameter
pcoso to
E =
p*
en de golfcoördinaten
h =
E -
X
(C.4a)
=oto
(C.4b)
waarin de karakteristieke breedte is van de puls op x=O, de hoogte van de drukpuls en So een karakteristieke waarde van S.
PO
Dit brengt het stelsel in de algemene dimensieloze vorm
(U
f
(fi
-
fi),
s
(C.5.a)
= ‘&Üh
(C.5.b)
=
met begin- en randvoorwaarden
u=
1 2 exp(- 2s )
(subscripten h
en
ontwikkeling van O, termen volgt
(C .6. b)
h=O s
duiden
fi en S in
E
op partiële differentiatie), Na en gelijkstelling van de Oe orde
- 56 - u)s = o
(3
(a + u)h waarbij
U,
= i?
(C.7a)
s
(C.7b)
en S hier en in het vervolg van deze afleiding de Oe
orde benadering is. Substitutie van (C.6) in (C.7) geeft (C.8a)
6 = U
(C.8b)
(2.2 Elastische wand, instationaire wandschuifkracht In het elastische, instationair viskeuze geval wordt de bronterm S afgeleid uit de tweedimensionale lineaire theorie (zie bijlage B)
Door
transformatie van uitdrukking 3.8 naar het tijddomein en het benaderen voor grote orden van geeft (zie van Steenhoven & van Dongen (1986) en Zielke (3.964))
S
S = -R ,f Bs
o
(s-s')
1/2 ds'
(C.9a)
1 met
K =
2
3tgR /F n2 . cosop
Stel 3(h,s) Uit o.a.
P0q2
=
B(h,O)exp(-s
2
/2)
(C. 9b)
(C. 10)
substitutie van ((2.9) en (C.10) in (C.8b) volgt Bh(h,O)
=
2
fi(h,O) F(s)
(C.11)
F(s)
met
=
S sfexp(-s' 2 /2) KI --i72 O (s-s I
dsf
Hieruit volgt met s=O (top) en (C.6a):
n(h,O) = n(O,O> exp(4h F(0)) = n(0,O) exp(-Z1/% I'(3/4)h)
(C. 12)
Dimensievol levert dit voor de afname van de pulshoogte
(C. 13)
Met
Pa s c = 2,76 m / s =
q
O
to =
6 ms
R = 8,74 geeft dit = exp(-0,311
PH(x)/PH(O)
x)
(C. 14)
De verbreding van de puls als gevolg van instationaire effecten is niet op een dergelijke eenvoudige wijze af te schatten. C.3 Visco-elastische wand, ideale vloeistof
Als constitutieve vergelijking wordt gebruikt p = & A + g Ao t Uit (C.1)
t/m
(C.4) volgt daaruit (zie van Steenhoven &
(C.15)
van Dongen,
1986)
s = uss en dat een geschikte keuze voor So is
(C. 16)
-.
- 58 -
so = Aogopo 2 3 2
(C.17)
Cote
Uit (‘2-16) en (C.8)
volgt de diffusievergelijking (C.18)
(C.18)
en (C.7)
geven het verloop van fi als functie van h 1
fi(h,s) = (h+l)-‘exp(-
S2 m)
(C.19)
zodat voor het verloop van de top (s=O) geldt 1
fi(h,O)
Om (C.20)
= (h+l)-”
(C. 20)
in dimensievolle vorm te schrijven stel
fi(h,O)
(C.21)
= fi(h,O)
waaruit volgt voor de verandering van de pulshoogte a l s functie van x
(C. 22)
=
(1 +
10,8 x)-*
Pa s/m2). Strikt genomen is aanname (C.21) niet correct vanwege de viskeuze term in (C.15). Het is af te leiden dat dit (go
= 3,4
een overschatting van de relatieve pulshoogte van maximaal 5 x=0,8m) tot gevolg heeft.
%
(op
Om de verandering van de karakteristieke breedte sb als functie van x te vinden wordt s opgelost uit de vergelijking (C.23)
-.
- 59 waaruit volgt
sb = (h
+
1
(C.24)
1)"
Wat dimensievol geschreven kan worden als
(C.25)
=
(1 -i-10,8
1
x)"
Uit (6,221) en (C.25) volgt
(C.26) hetgeen
in
overeenstemming is met het diffusie karakter van de
elasticiteit (C-18).
visco-
-
60
-
Bijlage D: BESCHRIJVING PROGRAMMATUUR Voor
het uitvoeren van de in hoofdstuk 4 beschreven berekeningen en de analyse van experimenten en numerieke resultaten zijn o.m. de computerprogramma's CALC.F77 en ANAL.F77 geschreven. In deze bijlage wordt een
korte beschrijving van deze programma's gegeven. In de respectievelijke programmateksten is nadere toelichting opgenomen.
CALC,. F9.7 doel:
Theoretische
voorspelling
willekeurige
drukverstoring
van op
voortplanting x=o
van
een
volgens
een
eendimensionaal, lineair, visco-elasisch theoretisch model (zie hoofdstuk 4 ) . Verschillende modellen voor visco-elastisch wandgedrag en wandschuifkracht kunnen gebruikt worden. .subroutines INPUS':
FANAL :
inlezen van meetdata, meetgegevens en berekeningsgegevens; berekening van Fouriergetransformeerde p(w,O) van de gemeten druk p(t,O)
HCALC :
op x=O;
berekening van overdrachtsfunctie theoretisch model;
TRANSF : berekening van voorplanting
FSYN : OUTPUT:
x1p (u,0 1; P(w,x1 transformatie van p(w,x)
in
H( w,x)
op grond van
het frequentiedomein met
naar p(t,x);
uitvoer van berekende drukprofielen,
invoerfiles
VEL.IN . gemeten drukpulsen (m.b.v. GEG.IN INSTEL
Laser Doppler meet- en verwerkings-
programmatuur van Corver,1984); meetgegevens; door de gebruiker op te geven berekeningsparameters.
uitvoerfiles
VEL
-
61
GEG
berekende drukpulsen op verschillende plaatsen; noodzakelijke gegevens t.b.v. plotten;
X
coördinaten.
Deze files kunnen verder verwerkt worden door het Laser Doppler verwerkingsprogrammatuur (m.n. plotten) en het programma ANAL.FT7.
doel:
bepaling van verloop van pulshoogte, -breedte, -oppervlakte en
van een gemeten of berekende reeks drukpulsen op verschillende plaatsen.
-looptijd
subroutines Ib9pUT
inlezen van experimentele of theoretische data en meet- of berekeningsgegevens;
ANALYS
bepaling van verloop van hoogte, breedte, oppervlakte en
0TJ"U'T
looptijden van de pulsen op de verschillende plaatsen; uitvoer van resulaten.
invoerfiles VEL, GEG, X, INSTEL (zie beschrijving CALC.F77) uitvoerfiles naam,PR, naam.PB, naam.PO, naam.PT: verloop van pulshoogte, -breedte, oppervlakte en looptijden
De sourceteksten van CALC.F77 en ANAL,F77 zijn opgeslagen op tape nr. 1099 (Prime 750) logical file nr, 3,
-
62
-
Bi-jlageE: MATERIAALPARAMETERS EN NAUWKEURIGHEID NUMERIEKE RESULATEN De dynamische druk-oppervlakte relatie E is in vijf
onafhankelijke
experimenten bepaald. Vervolgens werd Ei lineair benaderd volgens Ei = a E.1
Ei = wb Ei=C+wd
E.2 E.3
Dlt leverde de resulaten in tabel El, De numerieke berekeningen werden met
de resultaten van af deze materiaalexperimenten uitgevoerd.
Het
uiteindelijke resultaat werd bepaald door middeling van de voorspelde pialshoogte en -breedte op ieder punt. Hieruit werd ook een schatting gemaakt voor de nauwkeurigheid van de gemiddelde numerieke waarden. Sij wijze van voorbeeld worden in tabellen E2 en E3 de berekende waarden op x=0,5m gegeven. In al de hier getoonde gevallen is gerekend met een instationaire wandschuifkracht. De nauwkeurigheid is gedefinieerd als het 9.5% betrouwbaarheidsinterval volgens de student-t verdeling op basis van vljf waarden. De onnauwkeurigheid in de pulshoogte is op iedere plaats vrijwel gelijk. De onnauwekurigheid in de pulsbreedte neemt als
toe
functie van positie. Het oplossend vermogen in het frequentiedomein was bij de experimenten 1 en 2 1,O Hz, bij de overige drie 0,25 Hz. Tabel El
exp
a
Materiaalparameters
b
C
d
--
I _
1
0,32
0,31
0,13
0,23
2
0,52
0,47
0,24
0,29
3
0,47
0,44
0,16
4
0,55
0,50
0,24
5
0,39
0,34
0,20
0,31 0,32 0,19
Tab.E2
Tab.E3 Numeriek berekende relatieve pulshoogten op x = 0,5m voor
Numeriek berekende relatieve pulsbreedten op x = 0,5m voor verschillende materiaal-
verschillende materiaal-
modellen en materiaal-
modellen en materiaal-
experimenten
experimenten
E2
E3
E2
E
E3
E I CR
w
1
gemid.
0,47 0,35 0,38 0,34 0,42
0,51 0,43 0,44 0,42 0,49
0,46 0,37 0,40 0,36 0,44
0,47 0,37 0,39 0,37
0,39 *0,06
0,46
0,41 &0,06
0,41
+0,05
1 2 3
4 5
0,44
*0,06
1
gemid.
1,46 1,84 1,75 1,89 1,56
1,7 *0,2
1,67 2,402 1,92 2,06 1,78
1,69 2,02 1,94 2,lO 1,73
1,63 2,37 2,24 2,26
1,97
