TRANSFORMASI
Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif, artinya : Jika T suatu transformasi, maka tiap titik B V ada prapeta A V sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A dan A dinamakan prapeta dari B. 2. Injektif, artinya : Jika dan T( , T( maka , atau jika T( dan T( sedangkan maka . Contoh : Andaikan A . Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V. Jadi T : V
V yang didefinisikan sebagai berikut :
1) T(A) = A
. Selidiki apakah 2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis
padanan T tersebut suatu transformasi ?
Jawab : A
R
P
Jelas bahwa A memiliki peta, yaitu A sendiri. Ambil sebarang titik R pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis
sehingga ada tepat satu titik S dengan yang melalui A dan R, jadi ada satu ruas garis
S antara A dan R, sehingga AS = SR. Ini berarti untuk setiap X V ada satu Y dengan Y = T(X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V.
1) Apakah T surjektif , atau apakah daerah nilai T juga V ? untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y apakah ada X yang bersifat T(X) = Y ? Menurut ketentuan pertama, kalau Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A.
Y = T(X) A
Apabila Y
X
A, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X
sehingga AY = YX.
yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y = Jadi Y adalah titik tengah T(X). Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang surjektif.
2) Apakah T injektif ? Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik , . P,Q,A tidak segaris (kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q). A
T(P)
P
T(Q)
Q
Andaikan T(P) = T(Q) maka dalam hal ini
memilki Oleh karena T(P)
dua titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). ini berarti bahwa garis . berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa
Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P)
T(Q). Jadi, T injektif.
Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. Ditulis T : V
V.
Tugas: 1. Andaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut: Apabila P ∈ g maka P' = T ( P) = PA ∩ h a) Apakah daerah nilai T ? b) Apabila D ∈ g , E ∈ g , D ≠ E , buktikan bahwa D ' E ' = DE ; D ' = T ( D ), E ' = T ( E ) c) Apakah T injektif Jawab: g
P A
h
P’=T(P) a) Daerah nilai T adalah h b) D ∈ g , E ∈ g , D ≠ E D ' = T ( D ), E ' = T ( E )
D
E
g
A E’
D’
h
Perhatikan segitiga ADE dan segitiga AD’E’
(Bertolak belakang)
(Karena A tengah-tengah dan )
(Karena A tengah-tengah dan )
Diperoleh ∆ " ∆ menurut definisi sisi sudut sisi Akibatnya #
c) Akan dibuktikan T injektif
x
g
y A
h x’=T(x) y’=T(y) Ambil dua titik dan pada g, X ≠ Y Akan dibuktikan T ( X ) ≠ T (Y ) Andaikan Oleh karena T ( X ) = XA ∩ h dan T (Y ) = YA ∩ h Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan . Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat . Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) ≠ T (Y ) Jadi T injektif 2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis AB , K ∉ AB dan sebuah garis g sehingga g // AB dan jarak K dan AB , adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K dan g. Ada padanan T dengan daerah asal AB dan daerah nilai g sehingga apabila P ∈ AB maka T ( P) = P' = KP ∩ g .
a) Apakah bentuk himpunan peta-peta P’ kalau P bergerak pada AB b) Buktikan bahwa T injektif. c) Apabila E dan F dua titik pada AB , apakah dapat dikatakan tentang jarak E’F’ jika E’ = T(E) dan F’ = T(F)? Jawab:
K P’
A
P
a) K ∉ AB , g // AB , T: AB → g
B
P ∈ AB maka T ( P) = P' = KP ∩ g
P' = KP ∩ g sehingga P '∈ g Jadi bentuk himpunan peta-peta P’ adalah ruas garis yang berimpit dengan g. b) Akan dibuktikan T injektif Ambil dua titik dan pada AB , X ≠ Y Akan dibuktikan T ( X ) ≠ T (Y ) Andaikan Oleh karena T ( X ) = KX ∩ g dan T (Y ) = KY ∩ g Dalam hal ini XA dan YA memiliki dua titik sekutu yaitu A dan . Ini berarti bahwa garis XA dan YA berimpit, sehingga berakibat . Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) ≠ T (Y ) Jadi T injektif c) K F’
E’ E
F
Dipunyai , $ , maka # , $ sehingga $ %% $ Perhatikan ∆& $ dan ∆& $ Jelas # &$ # &$
&$ &$
(dalam bersebrangan)
& $ & $
(dalam bersebrangan)
Diperoleh fakta ∆& $ ~∆& $ menurut teorema sudut-sudut-sudut Akibatnya ( ) *) (*
Jadi
+) ( ) +(
# $ # $
Jarak $ adalah setengah jarak $
3. Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak segaris. Ada padanan T yang dedefinisikan sebagai berikut: T(A) = A, T(P) = P’ sehingga P titik tengah AP' a) Lukislah R’ = T(R) b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S c) Apakah T suatu transformasi? jawab:
A R
T(Z) = S
z P
R’ =T(R)
P’ =T(P)
c) Akan diselidiki apakah T surjektif T surjektif jika , terdapat prapeta sehingga Jika maka prapetanya adalah sendiri sebab Apabila maka terdapat tunggal dengan sehingga
Jadi adalah titik tengah
. Artinya
Jadi , terdapat prapeta sehingga Artinya T Surjektif Akan diselidiki T injektif Ambil titik , dan , , , tidak segaris Andaikan
dan maka dalam hal ini
dan memiliki Oleh karena
dan dua titik sekutu yaitu dan . Ini berarti bahwa garis
. Dengan kata lain , , segaris. berimpit, sehingga mengakibatkan
Ini suatu kontradiksa dengan pernyataan , , tidak segaris Pengandaian ditinggalkan, sehingga Dengan kata lain T injektif Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi
{
}
2 2 4. Diketahui P = (0,0), C1 = ( x, y ) | x + y = 1
{
}
C2 = ( x, y ) | x 2 + y 2 = 25
T : C1 → C2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : Apabila X ∈ C1 maka T ( X ) = X ' = PX ∩ C 2 a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A) b) Tentukan prapeta dari B(4,3) c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ’, dengan Z’ = T(Z). d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T , apakah dapat dikatakan tentang jarak E’F’? Jawab: B(4,3) F’ A P
E’
a) A = (0,1) maka T(A) = (0,5) b) Perhatikan segitiga Berlaku:
1 / 1 5 4 3 4
6
3 / 5 dan 1 5 4 6
Sehingga prapeta B adalah 7 , 8 5 5
c) Dipunyai 9 daerah asal Maka 9 : Berarti 9 / , 1 dimana / ; 1 1 Jelas 9 </ = 0 ; 1 = 0
Maka 9 : Berarti 9 / , 1 dimana / ; 1 25 Jelas 9 </ = 0 ; 1 = 0
9 # 9 # 9 ; 9
3 5 9#9 ; 1 3 9#9 5 = 1 3 5 9#9 ; 1 3 99 # 9 # 9 4 Jadi jarak 99 # 4 d) Dipunyai , $ : , $ Maka panjang busur $
$ . CDEFEF : 2A $ . 2A. 1 2A
$
Selanjutnya # dan $ # $ Maka panjang busur $
$ . CDEFEF : 2A $ . 2A. 5 2A
5. $
Karena , , segaris Dan , $, $ segaris Maka $ $ Sehingga
# $ # 5. # $ # 5. $ 5. $ Jadi # $ # 5 $
5. Diketahui f : V → V. Jika P(x,y) maka f(P) =(|x|,|y|) a) Tentukan f(A) jika A = (-3,6) b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2) c) Apakah bentuk daerah nilai f? d) Apakah f suatu transformasi? Jawab : a) f(A) =(3,6) b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2) c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I d) Ambil 4,2 , 4, =2 Jelas Selanjutnya G 4,2 dan G 4,2 Diperoleh fakta G G Jadi terdapat dan G G Artinya f tidak injektif Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi 6. Diketahui fungsi g : sumbu X → V yang didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,0) maka g(P) = (x,x2). a) Tentukan peta A(3,0) oleh g b) Apakah R(-14, 196) ∈ daerah nilai g? c) Apakah g surjektif? d) Gambarlah daerah nilai g. Jawab : a) A=(3,0), g(A)=(3,9) b) Jelas R ∈ V , dan mempunyai prapeta yaitu =14,0 pada sumbu Jadi daerah nilai c) Ambil titik # , maka # , H dengan H Jelas terdapat , 0 sehingga Jadi, g surjektif
d)
g(P)=(x,x2)
(0,0)
P(x,0)
7. T : V → V, didefinisikan sebagai berikut : Apabila P(x,y) maka i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0 ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0 a) Apakah T injektif? b) Apakah T suatu transformasi? Jawab : a) Ambil P(x1,y1) dan Q(x2,y2) sehingga P ≠ Q Akan dibuktikan T ( P ) ≠ T (Q ) Karena P ≠ Q maka x1 ≠ x2 atau y1 ≠ y2 Untuk x > 0 T(P) = (x1+1, y1) T(Q) = (x2+1, y2) Jelas x1 ≠ x2 ⇒ x1 + 1 ≠ x2 + 1 atau y1 ≠ y 2 Sehingga T ( P ) ≠ T (Q ) Untuk x < 0 T(P) = (x1-1, y1) T(Q) = (x2-1, y2) Jelas x1 ≠ x2 ⇒ x1 − 1 ≠ x2 − 1 atau y1 ≠ y 2 Sehingga T ( P ) ≠ T (Q ) b) Ambil # 0, 1 Andaikan terdapat /, 1 Sehingga # Kasus / I 0
Maka / ; 1, 1 0
J/;10 J / =1 K 0 Kontradiksi dengan pernyataan / I 0 Kasus / K 0 Maka / = 1, 1 0, 1
J/=10 J/1L0 Kontradiksi dengan pernyataan / K 0 Jadi tidak terdapat /, 1 Sehingga # Dengan kata lain T tidak surjektif Karena T tidak surjektif, maka T bukan transformasi 8.
Diketahui sebuah garis S dan titik-titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini A B C
T : V → V didefinisikan sebagai berikut : i. Jika P ∈ S maka T(P) = P ii.
Jika P ∉ S maka T(P) = P’, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas PP ' a) Lukislah A’ = T(A), B’ = T(B) b) Lukislah prapeta titik C c) Apakah T suatu transformasi ? d) Buktikan bahwa A’B’ = AB
Jawab : a) dan b) A B A’ C
B’ C’
c) Akan diselidiki T surjektif Dalam hal ini T surjektif jika , Terdapat sehingga Jika M maka prapetanya adalah sendiri sebab
N garis O dan O sumbu Jika M maka terdapat dengan tunggal sehingga
. ruas
Jadi Berarti , P/ Q Jadi T surjektif Akan diselidiki apakah T injektif Ambil , dengan . Jika , O maka T(P)=P dan T(Q)=Q Sehingga Jika , R O akan diselidiki kedudukan T(P) dan T(Q) Andaikan T(P) = T(Q) Menurut definisi sehingga O adalah sumbu ruas garis
dengan demikian O N
#
Kemudian sehingga O adalah sumbu ruas garis dengan demikian
O N
#
Karena # dan dari satu titik di luar O hanya dapat ditarik satu garis yang
berimpit, akibatnhya
dan tegak lurus O maka
Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan
Jadi harusnya Artinya T injektif Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi
d) Akan dibuktikan A’B’=AB
D
A B
A’
E
B’ Akan dibuktikan bahwa # #
Misal titik potong garis O dengan ruas garis
dan titik potong garis O
dengan ruas garis
Perhatikan ∆ dan ∆
# (menurut definisi O adalah sumbu
sehingga tengah-tengah
) # 90T
maka O N
(karena O sumbu )
(berimpit)
Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi ∆ " ∆ Akibatnya # dan # Perhatikan ∆ dan ∆
#
(diketahui)
…1)
sehingga tengah-tengah
) # (menurut definisi O adalah sumbu …2)
# 90T
maka O N
) (karena O sumbu
# = = = Berakibat #
…3)
Dari 1), 2) dan 3) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut ∆ " ∆ Akibatnya # #
