Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p ∨ −q −p ⇒ q −q −(−p) p 2. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? r∨s r⇒t −t −r s 3. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? a ∨ −a c⇒a −c −a a 4. Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 5. Jika bilangan kardinal himpunan A adalah 5. Tentukan banyaknya elemen powerset P (A) yang berkardinalitas lebih dari 2 dan kurang dari 5. 6. Jika bilangan kardinal himpunan B adalah 7. Tentukan banyaknya elemen powerset P (B) yang berkardinalitas lebih dari 2 dan genap. 7. Buktikan bahwa: (a) Jika M ⊂ φ, maka M = φ. (b) Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K, maka K = M . (c) A ⊂ (A ∪ B) (d) Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. (e) (A ∩ B) ⊂ A (f) A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B (g) A ⊂ B jika hanya jika (A ∩ B) = A (h) (A − B) ⊂ A
(i) (A − B) ∩ B = φ (j) A ∩ (A ∪ B) = A (k) A ∪ (A ∩ B) = A (l) M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ (m) M = N jika hanya jika M − N = φ dan N − M = φ (n) Jika Q ⊂ P maka P − (P − Q) = Q. (o) A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B). (p) (B − A) ⊂ Ac (q) (B − Ac ) = (B ∩ A). (r) (A − B) ⊂ (A ∪ B). (s) Jika A ∩ B = φ maka A ⊂ B c . (t) Jika A ∩ B = φ maka B ∩ Ac = B. 8. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar elemen-elemennya! (a) {x ∈ <|x2 = 3} (b) {a ∈ Z|a2 = 3} (c) {x ∈ Z|xy = 60 untuk suatu y ∈ Z} (d) {x ∈ Z|x2 − x < 115} 9. Di antara himpunan-himpunan di bawah ini, pasangan-pasangan manakah yang merupakan himpunan yang sama dan mana yang merupakan himpunan ekivalen? (a) A = {bilangan pada permukaan jam biasa} dan B = {bilangan pada aritmatika jam duabelasan}. (b) P = {x|x2 − 6x = −8} dan Q = {x|(x − 2)2 = 0}. (c) C = {x|x2 = 4, x > 0} dan D = {bilangan prima yang genap}. (d) M = {4, 5} dan N = {y|y 2 − 9y + 20 = 0}. 10. Jika representasi biner untuk A ∩ B = 00010001, untuk A − B = 10100010, dan untuk B − A = 01000100, maka tentukan representasi biner untuk: a. A b. B c. A ∪ B d. A + B 11. Jika representasi biner untuk M ∩ N = 01001100, untuk M − N = 10010000, dan untuk N − M = 00000000, maka tentukan representasi biner untuk: a. M 2
b. N c. M ∪ N d. M + N 12. Jika representasi biner untuk X ∩ Y = 00000000, untuk X − Y = 01011010, dan untuk Y − X = 10100001, maka tentukan representasi biner untuk: a. X b. Y c. X ∪ Y d. X + Y 13. Dari survey terhadap 125 responden, 59 orang membaca Kompas, 78 orang membaca Jawa Pos, 63 orang membaca Surya. 43 orang membaca Kompas dan Jawa Pos, 34 orang membaca Jawa Pos dan Surya, 38 orang membaca Kompas dan Surya, serta 25 orang membaca ketiga Koran tersebut. (a) Berapa yang hanya membaca Surya? (b) Berapa yang tidak membaca ketiganya? (c) Berapa yang membaca Kompas atau Jawa Pos? (d) Berapa yang membaca Surya atau Jawa Pos tetapi tidak membaca Kompas? (e) Berapa yang membaca Kompas dan Jawa Pos tetapi bukan Surya? 14. Dari 150 mahasiswa, 57 bermain tenis, 69 bermain catur 74 bermain volley, 30 bermain tenis dan catur, 35 bermain catur dan volley, 25 bermain tenis dan volley, serta 20 bermain ketiganya. (a) Berapa mahasiswa yang bermain volley saja? (b) Berapa mahasiswa tidak bermain volley? (c) Berapa mahasiswa bermain paling sedikit satu dari ketiga jenis olah raga tersebut? (d) Berapa mahasiswa bermain catur atau volley? (e) Berapa mahasiswa yang tidak bermain ketiganya? 15. Dari 50 pedagang, 34 beriklan melalui radio, 23 beriklan melalui televisi, 35 beriklan melalui koran, 15 beriklan melalui radio dan televisi, 11 beriklan melalui televisi dan koran, 25 beriklan melalui radio dan koran, serta 8 beriklan melalui ketiga media. Berapa pedagang yang (a) beriklan di koran atau radio? (b) beriklan di televisi dan koran tetapi tidak di radio? (c) tidak menggunakan satupun media tersebut? 3
(d) beriklan di koran atau radio tetapi tidak di televisi? (e) beriklan di koran saja? 16. Sebuah laporan hasil survey terhadap 320 rumah tangga menyatakan bahwa 216 rumah tangga mempunyai video recorder, 223 rumah tangga mempunyai dua mobil, 205 rumah tangga mempunyai piano, 120 rumah tangga mempunyai video recorder dan dua mobil, 111 rumah tangga mempunyai dua mobil dan piano, 113 rumah tangga mempunyai video recorder dan piano, 18 rumah tangga mempunyai ketiganya. Selidiki apakah laporan ini benar atau tidak? Berikan alasannya! 17. Sebuah survey terhadap 630 warga tentang alat transportasi yang mereka gunakan untuk berangkat kerja, melaporkan bahwa 250 warga naik mobil, 580 menggunakan bus, 365 naik kereta, 200 orang menggunakan mobil dan bus, 350 menggunakan bus dan kereta, 100 orang naik mobil dan kereta, sedangkan 80 orang menggunakan ketiga alat transportasi tersebut. Selidiki apakah laporan tersebut benar atau tidak? Mengapa? 18. Nyatakan apakah relasi-relasi berikut merupakan relasi ekuivalensi? Jika ya, nyatakan partisi yang dibangun dari relasi ekuivalensi tersebut! (a) x ∼ y dalam Z jika xy > 0 (b) x ∼ y dalam < jika x ≥ y (c) x ∼ y dalam < jika |x| = |y| (d) x ∼ y dalam < jika |x − y| ≤ 3 (e) x ∼ y dalam Z + jika x dan y memiliki jumlah digit yang sama (f) x ∼ y dalam Z + jika x dan y memiliki digit akhir yang sama (g) x ∼ y dalam Z + jika n − m habis dibagi 2. 19. Misalkan n merupakan bilangan bulat tertentu dalam Z + . Tunjukkan bahwa kongruensi modulo n merupakan relasi ekuivalensi dalam Z. 20. Nyatakan semua kelas residu pada Z modulo n, untuk beberapa nilai n berikut: 1,2,3,4 dan 8 21. Hitunglah banyaknya kemungkinan partisi pada sebuah himpunan S yang memiliki: 1,2,3,4 atau 5 elemen. 22. Jika fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f −1 : B → A, nyatakan sifat-sifat yang dimiliki oleh f . 23. Jika A = [−1, 1] dan fungsi f1 (x) = x2 , f2 (x) = x3 , f3 (x) = sin x, f4 (x) = x5 , f5 (x) = φx , periksalah mana yang mempunyai fungsi invers. 24. Buktikan jika f : A → B dan g : B → C mempunyai fungsi invers f −1 : B → A dan g −1 : C → B, maka komposisi fungsi g ◦ f : A → C mempunyai fungsi invers f −1 ◦ g −1 : C → A 4
25. Misal f : A → B dan g : B → A serta g ◦ f = IA , dengan IA adalah fungsi identitas pada A. Tentukan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut. (a) f adalah fungsi satu-satu. (b) g adalah fungsi satu-satu. (c) g = f −1 (d) g adalah fungsi onto. (e) f adalah fungsi onto. 26. Nyatakan apakah operator biner ∗ berikut bersifat komutatif atau asosiatif. (a) ∗ didefinisikan pada Z dengan a ∗ b = a − b (b) ∗ didefinisikan pada Q dengan a ∗ b = ab + 1 (c) ∗ didefinisikan pada Q dengan a ∗ b =
ab 2
(d) ∗ didefinisikan pada Z + dengan a ∗ b = 2ab (e) ∗ didefinisikan pada Z + dengan a ∗ b = ab 27. Misalkan himpunan S memiliki tepat 1 elemen. Berapa banyak operasi biner yang berbeda yang dapat didefinisikan pada S? Jawablah pertanyaan yang sama jika S memiliki tepat 2 elemen; 3 elemen; n elemen. 28. Nyatakan apakah operasi ∗ berikut merupakan operasi biner. Jika tidak sebutkan aksioma mana yang tidak terpenuhi. (a) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = a − b. (b) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = ab . (c) Pada R didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = a − b. (d) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = c, dengan c adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada a dan b. (e) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a∗b = c, dengan c paling sedikit 5 lebihnya dari a + b. (f) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a∗b = c, dengan c bilangan bulat terbesar yang kurang dari ab. 29. Nyatakan benar atau salah dan berikan alasannya. (a) Jika ∗ operasi biner pada himpunan S, maka a ∗ a = a, ∀a ∈ S. (b) Jika ∗ operasi biner komutatif pada himpunan S, maka ∀a, b, c ∈ S, a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a. (c) Jika ∗ operasi biner asosiatif pada himpunan S, maka ∀a, b, c ∈ S, a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a. (d) Suatu operasi biner ∗ pada himpunan S dikatakan komutatif jika ada a, b ∈ S, sedemikianhingga a ∗ b = b ∗ a. 5
(e) Setiap operasi biner yang didefinisikan pada suatu himpunan yang memiliki tepat 1 elemen adalah komutatif dan asosiatif. (f) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan sedikitnya 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. (g) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan sebanyak-banyaknya 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. (h) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan tepat 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. 30. Tunjukkan bahwa jika ∗ adalah operasi biner komutatif dan asosiatif pada himpunan S, maka (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = [(d ∗ c) ∗ a] ∗ b, ∀a, b, c, d ∈ S. 31. Untuk pernyataan-pernyatan berikut, tunjukkan bila benar, atau berikan counterexample bila salah. (a) Setiap operasi biner pada suatu himpunan yang memiliki sebuah elemen, bersifat komutatif dan asosiatif. (b) Setiap operasi biner komutatif pada suatu himpunan yang memiliki tepat 2 elemen, bersifat asosiatif. (c) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka komposisi fungsi pada F bersifat komutatif. (d) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka komposisi fungsi pada F bersifat asosiatif. (e) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka penjumlahan fungsi pada F bersifat asosiatif. (f) Jika ∗ dan ∗0 sebarang dua operasi biner pada himpunan S, maka a ∗ (b ∗0 c) = (a ∗ b) ∗0 (a ∗ c), ∀a, b, c ∈ S 32. Tentukan koefisien a, b, dan c sedemikian hingga sistem persamaan linear berikut : ax + by − 3z = −3 −2x − by + cz = −1 ax + 3y − cz = −3 mempunyai pemecahan x = 1, y = −1 dan z = 2. 33. Buktikan bahwa sistem homogen berikut : x + y + αz = 0 x + y + βz = 0 αx + βy + z = 0 mempunyai pemecahan tak trivial jika dan hanya jika α = β !
6
34. Dengan menggunakan reduksi baris, hitunglah determinan matriks berikut : 4 4 0 4 1 1 0 −1 3 0 −3 1 6 14 3 6 35. Perlihatkan bahwa jika sebuah matriks A berukuran n×n memiliki invers maka matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks elementer ! 36. Dengan menggunakan cara reduksi baris, hitunglah determinan matriks berikut sin2 α sin2 β sin2 γ cos2 α cos2 β cos2 γ 1 1 1 37. Tinjaulah sistem berikut : x + 2y − 3z = 4 3x − y + 5z = 2 4x + y + (a2 − 14)z = a + 2 tentukan nilai a supaya sistem : (a) tidak mempunyai pemecahan (b) mempunyai tepat satu pemecahan (c) mempunyai banyak pemecahan 38. Dengan menggunakan reduksi baris, hitunglah determinan dari matriks berikut 3 6 9 3 −1 0 1 0 A= 1 3 2 −1 −1 −2 −2 1 39. Gunakan reduksi baris untuk 1 1 a b 2 2 a b
memperlihatkan bahwa : 1 c = (b − a)(c − a)(c − b) c2
40. Misalkan det(A) = 5, dimana
a b c A= d e f g h i Carilah : 7
(a) det(3A) (b) det(2A−1 ) (c) det((2A)−1 ) −a −b −c (d) det 2d 2e 2f −g −h −i 41. Dengan memeriksa determinan matriks koefisien, perlihatkanlah bahwa sistem berikut mempunyai pemecahan taktrivial jika α = β. x + y + αz = 0 x + y + βz = 0 αx + βy + z = 0 42. Gunakan determinan untuk memperlihatkan bahwa untuk semua nilai λ yang riil, maka satu-satunya pemecahan dari : x − 2y = λx x − y = λy 43. Gunakanlah fakta bahwa 21375, 38798, 34162, 40223 dan 79154, semuanya dapat dibagi dengan 19. Tanpa mengevaluasi determinan secara langsung, tunjukkan bahwa 2 3 3 4 7 1 8 4 0 9 3 7 1 2 1 7 9 6 2 5 5 8 2 3 4 juga dapat dibagi dengan 19.
8
