PEMBAHASAN 1. Pengertian Kata “LOGIKA” mengacu pada suatu metode atau cara yang sistematis dalam berpikir (reasoning), dan terdapat dua sistem khusus yaitu : suatu metode dasar yang disebut dengan Kalkulus Proposisi (Propositional Calculus) dan suatu bentuk yang lebih lanjut yang disebut dengan Kalkulus Predikat (Predicate Calculus). Kalkulus adalah seperangkat aturan-aturan untuk mengkalkulasi dengan menggunakan simbol-simbol. Misalnya Kalkulus Diferensial, yang mempunyai aturan untuk mengkalkulasi kelandaian suatu kurva dengan memanipulasi ekspresi aljabar. Kalkulus Proposisi pun mempunyai seperangkat aturan-aturan dimana digunakan untuk menentukan benar atau salahnya suatu kombinasi-kombinasi dari proposisi-proposisi. Dengan Kalkulus diharapkan dapat mengurangi tindakan menebak, sehingga dapat menyelesaikan suatu permasalah dengan suatu jawaban yang dikerjakan dengan cara sistematis. Diutamakan proposisi-prosisi yang ada kaitannya dengan pembicaraan sehari-hari sehingga dengan pertolongan kalkulus diharapkan dapat bekerja dengan pemikiran dasar (basic reasoning). Dengan dasar kalkulus untuk cara berpikir (reasoning) maka ia (cara berpikir) dapat dijadikan program dan dilaksanakan oleh komputer, sehingga dengan alasan ini komputer dapat melakukan kemampuan “berpikir”, walupun secara sederhana. Jika Kalkulus ini dikembangkan menjadi Kalkulus Predikat maka akan dapat mendasari pemrogramn dengan Prolog yaitu suatu bahasa pemrograman logika. Dalam diktat ini dimulai dengan, bagaimana membentuk proposisi logis dengan menggunakan penghubung (operator) “and”, “or”, “not”, “if-the”,”if-andonly-if”, dan „if-then-else”. Selanjutnya untuk penghubung “and”, ”or” dan “not” , sesuai dengan ungkapan numerik (ilmu hitung) biasa, digunakan untuk membentuk proposisi majemuk atau kalimat dengan cara mengkombinasi kan proposisiproposisi, yang selanjutnya dapat dievaluasi atau disederhana kan, atau diselesaikan menjadi bentuk yang lebih sederhana- dengan menggu nakan Aljabar Boole. Himpunan dan relasinya serta penyajiannya juga dibi carakan beserta aplikasi sederhananya.
1
2. Logika Proposisi Lanjut
Apakah p
q
q
?
Untuk dapat menjawabnya, dibuat table kebenaran dari kedua implikasi tersebut. Jika kita perhatikan,
Tabel 1 Nilai kebenaran p
q dan q
p
q
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B
p
q
q
Berdasarkan tabel 1 diperoleh bahwa p → q = q → p.
Contoh 1: Jika Microsoft Word maka Windows system operasinya adalah implikasi yang benar, berdasarkan implikasi di atas maka: Konversennya : jika windows system operasinya maka microsoft word aplikatifnya. Inversenya : Jika bukan Microsoft word maka buka windows system operasinya. Kontraposisipnya : Jika bukan windows system operasinya maka bukan Microsoft word aplikatifnya. Maka dapat dinotasikan sebagai berikut: Implikasi
: p→q
Konvers
: q→p
Invers
:~p →~q
Kontraposisi : ~ q → ~ p
2
Table 2: kebenaran: p→q
~q → ~p
q→p
~p → ~q
S
B
B
B
B
S
B
S
S
B
B
B
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
B
p
Q
~p ~q
B
B
S
B
S
S S
Setara
Setara
Jadi dapat disimpulkan bahwa proposisi yang saling kontra positif mempunyai nilai kebanaran yang sama (ekuivalen).Bisa juga dinotasikan sebagai berikut:
p→q≡ ~q →~p q→p ≡ ~p →~q Contoh 2: Bukti bahwa: Jika x2 bilangan genap, maka x juga bilangan genap dapat ditulis : x2 = genap → x = genap Jawab : Kontraposisi dari implikasi diatas adalah : Jika x adalah bilangan genap maka x2 juga bilangan genap. Dapat ditulis : Jika x = ganjil maka x2 = ganjil Setiap bilangan bulat bukan genap adalah ganjil, sehingga x ganjil ditulis x = 2k + 1, k bilangan bulat, akibatnya : X2 = (2k+1)2
karena k bilangan bulat maka :
3
=4k2+4k+1
k2 juga bilangan bulat
=2(2k2+2k)+1
2k juga bilangan genap 2k2 + 2k juga bilangan genap
Sehingga x2 = bilangan ganjil, karena bilngan genap ditambah 1 sama dengn bilangan ganjil. Jadi kontrapositipnya benar akibatnya implikasinya juga benar.
Contoh 3 : • Implikasi
:jika memakai microsoft word maka windows adalah system operasinya.
• Konvers
: jika windows system operasinya maka microsoft word aplikatifnya
• Invers
: Jika bukan Microsoft word maka buka windows system opesarinya.
• Kontraposisi : Jika bukan windows system operasinya maka bukan Microsoft word aplikatifnya.
Biimplikasi Jika kita gabungkan dua implikasi, yaitu (p → q) ∧ (q → p), maka kita akan memperoleh biimplikasi dan cukup kita nyatakan sebagai p ↔ q. Biimplikasi p ↔ q dibaca “p jika dan hanya jika q” atau “p adalah syarat perlu dan syarat cukup untuk q”. Jadi, jika p dan q keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah, maka biimplikasinya bernilai benar. Kita cek nilai kebenaran biimplikasi pada tabel kebenaran berikut.
4
Tabel 3 : Nilai Kebenaran Biimplikasi P
q
p→q
q→p
(p → q) ∧ (q → p)
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
Catatan penting tentang cara menyatakan biimplikasi p ↔ q, yaitu:
(1) p ekuivalen q. (2) p jika dan hanya jika q. (3) p adalah syarat perlu dan syarat cukup untuk q. (4) p mengimplikasikan q dan q mengimplikasikan p. (5) Jika p, maka q dan jika q, maka p.
Selanjutnya kita cek negasi dari pernyataan majemuk. Beberapa hal peting yang harus diperhatikan:
(1) ~ p ∧ q =∽ (p ∧ q) =∽p ∨ ∽q.
(2) ~ (p → q) = p ∧ ∽q.
(3) ∽ (p ⇔ q) = (p ∧ ∽q) ∧ (q ∧ ∽p).
(4) ∽ (p ∨ q) =∽ p ∧ ∽ q.
(5) ∽ p ∧ ∽ q =∽ (p ∧ q) =∽ p ∨ ∽ q.
5
(6) p atau q, tetapi tidak keduanya (∽ (p ∨ q)).
(7) p tetapi tidak q (p∧ ∽ q).
(8) p kecuali jika q (∽ q → p).
Contoh 2.2.3. Tentukan table kebenaran dari ∽((∽p → q) → (∽q∨ r))
Jawab. Untuk menentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk, kita harus teliti dan cek nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan penyusunnya.
Table 2.8: Nilai kebenaran ∽((∽p → q) → (∽q∨ r)) p
q
R
∽p
∽q
∽p → q
(∽q∨ r)
[(∽p → q) → (∽q∨ r)]=X
∽X
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
S
B
B
S
S
S
S
B
B
S
B
B
S
Aturan Pengurutan Ekspres-ekspresi logika yang bersifat majemuk yang memiliki banyak subekspresi akan memiliki banyak tanda kurung biasa karena berbentuk fpe (A∧ B), sehingga memungkinkan fpe tersebut sulit dibaca. Berkaitan dengan perangkai, urutan ekspresi logika yang bersifat majemuk berdasarkan hirarki tertinggi seperti berikut:
6
(1) ∽ (negasi) (2) ∧ (konjungsi) (3) ∨ (disjungsi) (4) → (implikasi) (5) ⇔ (biimplikasi)
Contoh: (a) (~A∧ B),harus dibaca ((~A)∧ B), bukan (~(A∧ B)) (b) A∧ B∨ C, harus dibaca ((A∧ B)∨ C), bukan ((A∧ (B∨ C)) (c) A→B∧ C, harus dibaca (A→(B∧ C)), bukan ((A→B)∧ C) (d) A⇔ B→C, harus dibaca (A⇔ (B→C)), bukan ((A⇔ B) →C)
Aturan tambahan: jika menjumpai lebih dari satu perangkai pada hirarki yang sama, maka akan dikerjakan mulai dari yang kiri.
Contoh:
A→B→C Jadi, harus dibaca: (A→B) →C, bukan A→(B→C)
A. Tautologi Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika. Contoh:
7
Lihat pada argumen berikut: Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional: A Tono pergi kuliah B Tini pergi kuliah C Siska tidur Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan. (1) A → B (Premis) (2) C → B (Premis) (3) (A V C) → B (Kesimpulan) Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B) A
B
C
A→B
C→B
(A → B) ʌ (C → B)
A V C (A V C) →B
Hasil akhir dari kalimat majekmuk
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
B
B
S
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
S
B
B
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk : ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].
8
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran: 1. (p ʌ ~q) p
Pembahasan: P
Q
~q
(p ʌ ~q)
(p ʌ ~q) p
B
B
S
S
B
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
2. [(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
(1)
P
Q
(p q)
(p q) ʌ p
[(p q) ʌ p] p q
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
(2)
(3)
(4)
(5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk p] p q selalu benar
9
[(p q) ʌ
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:
a. (p ʌ q) q Penyelesaian: (p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q ~p v ~q v q ~p v T T .............(Tautologi)[3] Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.
Pembuktian
dengan
menggunakan
tabel
kebenaran
dari
pernyataan
majemuk (p ʌ q) q yaitu: P
q
(p ʌ q)
(p ʌ q) q
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi.
b. q (p v q) penyelesaian: q (p v q)
~q v (p v q) ~q v (q v p) Tvp T ............(Tautologi)
10
B. Kontradiksi Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponenkomponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4] Contoh dari Kontradiksi: 1. (A ʌ ~A) Pembahasan: A
~A
(A ʌ ~A)
B
S
S
S
B
S
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah. 2. P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan: P
Q
~p
(~p ʌ q)
P ʌ (~p ʌ q)
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
S
B
B
B
S
S
S
B
S
S
11
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
C. Contingent Jikaseuanilai kebenaran mengahasilkan nilai B dan S maka terjadi contingent atau formula campuran (mix formulae). Contoh : ((A ʌ B) →C) →A
Tabel kebenaran sebagai beriku: A
B
C
A ʌB
(A ʌB) →C
((A ʌ B) →C) →A
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
S
S
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
S
Definsi: Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam kebenaannya, tanpa mempedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada didalamnya, disebut kontingen.
12
Contoh Perhatikan ekspresi logika brikut ini: ((A → B) ʌ (~B→C)) →(~C→A) →(~C→A) ((A → B) ʌ (~B→C)) ((A → B) ʌ (~B→C)) →(~C→A) →(~C→A)
A
B
C
~B
~C
A→B
~B→C
~C→A
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
S
S
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
S
S
S
B
D. Ekuivalensi Logika Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya. Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika: 1. Hukum komutatif: p ʌ q = q ʌ p, pvq=qvp
13
2. Hukum asosiatif: (p ʌ q) ʌ r = p ʌ (q ʌ r) (p v q) v r = p v (q v r) 3. Hukum distributif: p ʌ (q v r) = (p ʌ q) v (p ʌ r) p v (q ʌ r) = (p v q) ʌ (p v r) 4. Hukum identitas: pʌB=p pvS=p 5. Hukum ikatan (dominasi): pvB=B pvS=S 6. Hukum negasi: p v ~p = B p ʌ ~p = S 7. Hukum negasi ganda (involusi): ~(~p) = p 8. Hukum idempoten: p ʌ p = p, pvp=p
9. Hukum de morgan: ~( p ʌ q) = ~p v ~q ~(p v q) = ~p ʌ ~q 10. Hukum penyerapan (absorpsi): p v (p ʌ q) = p p ʌ (p v q) = p 14
11. Hukum B dan S: ~B = S ~S = B 12. Hukum implikasi ke and/or: p q ~p v q
Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut. Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut: 1. Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p Jawab: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q) ~p ʌ (q v ~q) ~p ʌ B ~p ...........(terbukti) 2. Tunjukkan bahwa: ~(p v q) (~p ʌ ~q)
Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:
(1)
p
q
~p
~q
pvq
~(p v q)
(~p ʌ ~q)
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
B
(2)
(3)
(4)
(5)
15
(6)
(7)
Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q) dan (~p ʌ ~q). Jadi, ~(p v q) ʌ (~p ʌ ~q).
E.Penarikan Kesimpulan Penarika kesimpulan dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu : 1 Modus ponens premis 1 : p →q premis 2 : p
( modus ponens)
__________________ Kesimpulan: q Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“. sebagai contoh : premis 1 : Jika bapak datang maka adik akan senang premis 2 : bapak datang __________________ Kesimpulan: Adik senang 8.2 Modus Tollens premis 1 : p →q
16
premis 2 : ~q
( modus tollens)
__________________ Kesimpulan: ~p Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“. sebagai contoh : premis 1 : Jika hari hujan, maka adik memakai payung premis 2 : Adik tidak memakai payung ___________________ Kesimpulan : Hari tidak hujan 8.3 Silogisme premis 1 : p→q premis 2 : q → r
( silogisme)
_________________ Kesimpulan: p →r Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r“. sebagai contoh : Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang. __________________________________________________ Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.
17
DAFTAR PUSTAKA F.Soesianto dan Djonidwijono.2003.Logika Proporsional.Yogyakarta:Andi. Marsudi.2010.Logika dan Teori Himpunan.Malang:Universitas Brawijaya Press (UB Press). http://martblogmathematic.wordpress.com/penarikan-kesimpulan/JAM 12.00 WIB
18
19
