MELUKIS SEGMEN GARIS
√
DENGAN ,
∈
Fuat Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan
[email protected] Abstrak: Geometri mengembangkan kemampuan spasial dan membelajarkan sistem aksiomatik, keduanya dapat dibelajarkan dengan cara melukis obyek tersebut. Sebagai gambaran, kita tidak mungkin melukis ruas garis yang berukuran √5 satuan atau 2
satuan meskipun kita ketahui bahwasannya ruas garis
berukuran satu satuan hanya bisa dilukis menggunakan suatu alat bantu yakni penggaris mistar. Sedikit-dikitnya kita harus menggunakan alat bantu jangka di samping alat bantu penggaris untuk melukis ruas garis yang berukuran tersebut. Melukis ruas garis berbentuk akar mutlak menggunakan konsep Teorema Phytagoras yang kemudian terdapat 2 cara melukis yang bisa digunakan untuk akar bentuk pecahan: (1) menggunakan konsep kesebangunan dua segitiga dengan membandingkan panjangsegmen-segmennya; (2) menggunakan konsep membagi ruas garis menjadi bagian yang sama.
Kata Kunci: Melukis, Segmen Garis
Geometri dikembangkan berdasarkan sistem aksiomatik, tiada lain bahwa geometri itu membelajarkan tentang undefined, definisi, aksioma, dan teorema; serta berpikir logis. A particularly challenging issue is to prove theorems that require constructions, namely, to find proofs with additional lines, points, or arcs constructed by a compass and a straightedge (Matsuda, 2006:3). Melukis merupakan kegiatan membelajarkan yang utama dalam mengenalkan obyek geometri secara menyeluruh. Menspasialkan segmen garis yang memiliki ukuran sama dengan tentu saja √ dengan , ∈ begitu sulit. Dengan melukiskan segmen garis tersebut diharapkan
PENDAHULUAN Geometri merupakan salah satu bidang dari matematika yang mengembangkan kemampuan spasial. Menurut National Research Council (2006:3) Spatial thinking, or reasoning, involves the location and movement of objects and ourselves, either mentally or physically, in space. It is not a single ability or process but actually refers to a considerable number of concepts, tools and processes. Dalam mengembangkan kemampuan spasial harus secara menyeluruh dan lengkap mengajarkan suatu konsep, alat representasi dan proses dari penalarannya. Pemenuhan ketiganya secara langsung dapat dipenuhi apabila mahasiswa melukis obyek geometri tersebut.
37
dapat membantu kesulitan tersebut.
menyelesaikan
bilangan. Langkah-langkah ini untuk selanjutnya digunakan, a.
Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah mendeskripsikan cara melukis segmen garis √ dengan , ∈ .
Melukis ruas garis bentuk
atau
Misal: 1) = ⇒ = ⇒ = 2)
METODE Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Studi pustaka merupakan penelaahan sumber pustaka yang relevan digunakan untuk mengumpulkan data maupun informasi yang diperlukan dalam penelitian. HASIL DAN PEMBAHASAN Langkah awal sebelum melukis ruas garis adalah menentukan panjang segmen satu satuannya yang kemudian menjadi skala dalam garis bilangan. Misalkan, jika panjang segmen dan , serta panjang segmen satu satuannya berturut-turut dinyatakan dengan ruas garis berikut:
= ⇒ = ⇒ =
Gambar 1. Lukisan Ruas Garis dan
b.
Melukis ruas garis bentuk . atau . Misal: 1) = . ⇒ . 1 = . ⇒ = 2)
1
maka, untuk melukis ruas garis atau . kita gunakan konsep kesebangunan segitiga dengan membandingkan panjang sisi-sisinya dengan terlebih dahulu memisalkannya dengan . Ruas garis akan diketahui dengan cara menyalin sudut ke dimana ∠ adalah sembarang. Kemudian pindahkan ruas garis pada garis
38
= . ⇒ . 1 = . ⇒ =
Gambar 2. Lukisan Ruas Garis . dan .
Untuk melukis ruas garis dengan panjang berbentuk akarmutlak menggunakan konsep teorema Phytagoras yang berlaku√ + = , dimana dan adalah kaki-kaki sudut segitiga yang membentuk siku-siku dan adalah hipotenus. c. Melukis ruas garis berbentuk √ , ∈ bilangan asli Contoh: Akan dilukis ruas garis √5 Cara ke-1: 1 + 1 = √1 + 1 = √2 √2
+ 1 = √2 + 1 = √3
√3
+ 1 = √3 + 1 = √4
Gambar 3 Lukisan ruas garis √5 cara ke-1
Cara ke-2: 1) Langkah nomor (1) dan (2) sama dengan langkahlangkah pada cara pertama. 2) Setelah memperoleh ruas garis √2, salin ruas garis tersebut berhimpit dengan ruas garis 1. Tarik garis yang melalui ujung-ujung 2 garis tersebut, sehingga diperoleh ruas garis √3. Ulangi kembali langkah-langkah tersebut sampai memperoleh ruas garis √5.
√4 + 1 = √4 + 1 = √5 Langkah-langkahnya melukisnya adalah: 1) Buat 2 garis tegaklurus dengan panjang masingmasing 1 2) Tarik garis yang melalui ujung-ujung 2 garis tersebut, maka akan diperoleh ruas garis √2. 3) Ulang kembali langkahlangkah pada nomer 1) dengan melukis ruas garis 1 satuan yang tegaklurus dengan ruas garis √2, dan seterusnya sampai memperoleh ruas garis √5.
Gambar 4 Lukisan ruas garis √5 cara ke-2
Cara ke-3: Pergunakan akar kuadrat terdekat yang lebih kecil dari √5 pada aplikasi teorema Phytagorasnya yakni √4 = 2, seperti berikut: (2) + 1 = √4 + 1 = √5. Lukis ruas garis 2 dan 1 tegaklurus, kemudian hubungkan kedua ujung garis tersebut, maka diperoleh ruas garis √5.
39
1) Lukis ruas garis √5.. 2) Buat garis lurus sepanjang yang dibutuhkan, gunakan jangka untuk membuat ruas garis √5 berulang sebanyak 3 kali bersambung. Gambar 5 Lukisan ruas garis √5 cara ke-3
Cara ke-4: Kita gunakan teorema sudut keliling dalam semilingkaran adalah sudut siku-siku. Pergunakan akar kuadrat terdekat yang lebih besar dari √5 pada aplikasi teorema Phytagorasnya yakni √9 = 3 sebagai hipotenus, seperti berikut: (3) − (2) = √9 − 4 = √5. Langkah-langkah melukisnya adalah: 1) Buat garis 3 satuan, tentukan titik tengah untuk dibuat lingkaran dari titik tersebut sehingga adalah diameter lingkaran tersebut. 2) Buat garis 2 satuan yang melewati titik dan busur lingkaran di titik . 3) Hubungkan titik dan maka akan diperoleh ruas garis √5.
Gambar 6 Lukisan ruas garis 3√5
e.
Melukis ruas garis berbentuk √ , ∈ bilangan asli dan ∈ bilangan rasional Contoh: Akan dilukis ruas garis berbentuk misal:
=
=
√ √
⟺ =
√ √
Langkah-langkah melukisnya adalah: 1) Lukis ruas garis √2 dan √5 2) Setelah didapat ruas garis √2 dan √5, gunakan konsep kesebangunan segitiganya yakni:
=
√ √
Gambar 5 Lukisan ruas garis √5 cara ke-4
d.
Melukis ruas garis berbentuk √ , dan ∈ bilangan asli Contoh: Akan dilukis ruas garis 3√5. Langkah-langkah melukisnya adalah:
Gambar 7 Lukisan ruas garis
40
f.
Melukis ruas garis berbentuk √ , ∈ bilangan rasional dan ∈ bilangan asli Contoh: Akan dilukis ruas garis √10 Langkah-langkah melukisnya adalah: 1) Lukis ruas garis√10. (3) + 1 = √9 + 1 = √10 2) Bagi ruas garis√10 atau ruas garis menjadi 5 bagian yang sama panjang 3) Ambil 4 bagian dari 5 potongan garis tersebut, maka itulah ruas garis √10.
kesebangunan yakni: =
segitiganya,
√ √
Gambar 9 Lukisan ruas garis
cara 1
Cara ke-2: =
2 5 2 √5 = 3 6 3 √6
2 √5 √6 × 3 √6 √6 2 √30 = 3 √36 2 = √30 18 1 = √30 9 Langkah-langkah melukisnya adalah: 1) Lukis ruas garis √30 =
Gambar 8 Lukisan ruas garis √10
g.
Melukis ruas garis berbentuk √ , , ∈ bilangan rasional Contoh: Akan dilukis ruas garis Cara ke-1: misal: =
=
√ √
(5) + √5
⇔ =
= √25 + 5
= √30 2) Bagi ruas garis√30 atau ruas garis menjadi 9 bagian yang sama panjang 3) Ambil 1 bagian dari 9 potongan garis tersebut, maka itulah ruas garis √30
√ √
Langkah-langkah melukisnya adalah: 1) Lukis ruas garis √5 dan √6 seperti langkah-langkah pada Gambar 3.8. 2) Setelah didapat ruas garis √5 dan √6, gunakan konsep
atau
41
bilangan rasional positif. Bagi peneliti selanjutnya supaya bisa menemukan cara melukis ruas garis di luar pembahasan ini, misalkan saja melukis dan bilangan real lainnya. DAFTAR PUSTAKA Gambar 10 Lukisan ruas garis
cara 2
Lamhier, Lesley. 2004. Geometric Construction. Iowa State University: Matsuda, Noboru, and Vanlehn, Kurt. 2006. Gramy: A Geometry Theorem Prover Capable of Construction. Journal of Automated Reasoning 32: 3-33. National Research Council. 2006. Learning to think spatially: GIS as a support system in the K–12 curriculum. Washington, DC: National Academic Press. Soewardi. 1984. Melukis Bentuk Geometri. Jakarta: PT Gramedia, Anggota IKAPI. http://www.mathopenref.com/constr uctions.html
Kesimpulan dan Saran Melukis ruas garis berbentuk dan anggot √ , dimana abilangan rasional positif dengan ruas garis yang berbentuk akar mutlak menggunakan konsep Teorema Phytagoras yang kemudian terdapat 2 cara melukis yang bisa digunakan: a. Menggunakan konsep kesebangunan dua segitiga dengan membandingkan panjang segmen-segmennya. b. Menggunakan konsep membagi ruas garis menjadi n bagian yang sama. Saran dari penelitian ini adalah dalam penelitian ini penulis hanya membahas mengenai melukis ruas garis √ , dimana dan ∈
42
