Vzdálenost dvou bod , st ed úse ky – Ž2
Vzdálenost dvou bod P i vyšet ování vzájemné polohy bod , p ímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu sou adnic (afinní). Avšak p i vyšet ování metrických vlastností (délek úse ek a velikostí úhl , speciáln kolmosti p ímek a rovin) je nutné použít kartézskou soustavu sou adnic. Pro analytické vyjád ení vzdálenosti |AB| dvou bod A, B (tj. délky úse ky AB) v kartézské soustav sou adnic platí v ta: M jme dánu libovolnou kartézskou soustavu sou adnic na p ímce, resp. v rovin , resp. v prostoru. Pak platí: Vzdálenost |AB| bod A[xA], B[xB] na p ímce je dána vzorcem AB = xB − x A . Vzdálenost |AB| bod A[xA, yA], B[xB, yB] v rovin je dána vzorcem
AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2
2
.
Vzdálenost |AB| bod A[xA, yA, zA], B[xB, yB, zB] na p ímce je dána vzorcem
( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2
AB =
2
2
.
První z t chto vzorc vyplývá z geometrického významu absolutní hodnoty rozdílu reálných ísel. Druhý vzorec plyne pro úse ku AB v obecné poloze z Pythagorovy v ty a ve speciálních polohách (když p ímka AB je rovnob žná s osou x, resp. y) plyne z prvního vzorce.
y yB
yA 0
B
⋅
A
C
xB
xA
x
T etí vzorec plyne pro úse ku AB v obecné poloze op t z Pythagorovy v ty, ve speciální poloze (když p ímka AB je rovnob žná s n kterou ze sou adnicových os, resp. sou adnicových rovin) plyne z prvního, resp. druhého vzorce.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
z
B
ρ
⋅
A y x
Vypo t te vzdálenost bod A, B, je-li dáno: a) A [1, −2] , B [ 4, 2] b) A [5, −8] , B [ −7, −3]
c) A [ −6, −3, 2] , B [5, −1, −8]
d) A [ 4, −1, −3] , B [1, −5,9]
Dosadíme vždy do vzorce pro vzdálenost: a) AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A )
b) AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A )
2
2
2
2
=
( 4 − 1)
+ 2 − ( −2 )
=
( −7 − 5 )
2
2
2
= 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
+ −3 − ( −8 )
2
5 − ( −6 )
2
=
( −12 )
2
+ 52 =
= 144 + 25 = 169 = 13 c) AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2
2
2
=
+ −1 − ( −3 )
2
+ ( −8 − 2 ) = 2
= 112 + 22 + ( −10 ) = 121 + 4 + 100 = 225 = 15 2
d) AB =
=
( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )
( −3) + ( −4 ) 2
2
2
2
2
=
(1 − 4 )
2
+ −5 − ( −1)
2
+ 9 − ( −3 )
2
=
+ 122 = 9 + 16 + 144 = 169 = 13
Ur ete íslo r tak, aby platilo AB = d : a) A [ r + 1, r − 2] , B [ 2, −3] , d = 2
b) A [ 2, r − 5] , B [ 4, −3] , d = 13
c) A [ r , −4, 5] , B [ 2, r ,5] , d = 3 2
d) A [ r + 1, −4, −3] , B [ 2, r − 3, −1] , d = 2 6
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Op t budeme dosazovat do vzorce pro vzdálenost: a) AB = d
AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2
2
=
( 2 − r − 1) + ( −3 − r + 2 ) 2
2
=
(1 − r ) + ( −1 − r ) 2
2
=
= 1 − 2r + r 2 + 1 + 2 r + r 2 = 2 + 2 r 2 Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d: 2 + 2r 2 = 2 Vy ešíme iracionální rovnici: 2 + 2r 2 = 2
2
2 + 2r 2 = 4 r2 = 1 r =1 íslo r má hodnotu 1 nebo –1. b) AB = d
AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2
2
=
( 4 − 2 ) + ( −3 − r + 5 ) 2
2
= 22 + ( 2 − r ) = 2
= 4 + 4 − 4 r + r 2 = 8 − 4r + r 2 Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d: 8 − 4r + r 2 = 13 Vy ešíme iracionální rovnici: 8 − 4r + r 2 = 13
2
8 − 4r + r 2 = 13 r 2 − 4r − 5 = 0 ( r − 5 )( r + 1) = 0 r1 = 5, r2 = −1 íslo r má hodnotu 5 nebo –1. c) AB = d
AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2
2
2
=
( 2 − r ) + ( r + 4) 2
2
+ 02 =
= 4 − 4r + r 2 + r 2 + 8r + 16 = 2r 2 + 4r + 20 Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d: 2r 2 + 4r + 20 = 3 2 Vy ešíme iracionální rovnici: 2r 2 + 4r + 20 = 3 2
2
2r 2 + 4r + 20 = 18 r 2 + 2r + 1 = 0
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
( r + 1)
2
=0
r = −1 íslo r má hodnotu –1. d) AB = d
( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2
AB =
=
(1 − r ) + ( r + 1) 2
2
2
2
=
( 2 − r − 1) + ( r − 3 + 4 ) 2
2
+ −1 − ( −3)
2
=
+ 4 = 1 − 2 r + r 2 + r 2 + 2r + 4 = 2 r 2 + 6
Nyní položíme výslednou vzdálenost rovnou hodnot d:
2r 2 + 6 = 2 6 Vy ešíme iracionální rovnici: 2r 2 + 6 = 2 6
2
2r 2 + 6 = 24 r2 = 9 r =3 íslo r má hodnotu 3 nebo –3. Ur ete íslo s tak, aby vzdálenost |AB| byla nejmenší: a) A [5,3, −2] , B [ −3, s − 1, 4] b) A [ s, −1,3] , B [1, s − 2, −5]
a) Nejprve dosadíme do vzorce pro vzdálenost
( −3 − 5 ) + ( s − 1 − 3 ) 2
AB =
2
+ 4 − ( −2 )
2
První a t etí závorka pod odmocninou je pevn daná. Zam me se na druhou závorku. Pokud bude celá závorka (v etn mocniny) nulová, bude vzdálenost nejmenší. (Nakreslete obrázek a p ípadn rozmyslete!)
( s − 4)
2
=0
s=4 Pokud s bude rovno 4, bude vzdálenost |AB| nejmenší. b) Nejprve dosadíme do vzorce pro vzdálenost AB =
(3 − 4) + ( 2 − s − 5) 2
2
+ −6 − ( −7 )
2
První a t etí závorka pod odmocninou je pevn daná. Zam me se na druhou závorku. Pokud bude celá závorka (v etn mocniny) nulová, bude vzdálenost nejmenší.
( −3 − s )
2
=0
s = −3 Pokud s bude rovno –3, bude vzdálenost |AB| nejmenší.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Vypo t te vzdálenost bod A, B, je-li dáno: a) A [ 0, −1] , B [ −1,3]
1 b) A − , 2 , B [ 0,1;1, 2] 2 c) A [ −3, 2,5] , B [ 6, −1,5] d) A
1 , −1,3 , B [ 2,1, −3] 2
Ur ete íslo r tak, aby platilo AB = d : a) A [ −1,1, r ] , B [ −4, r , 0] , d = 22
b) A [ 2r − 2, 2,1] , B [ 2, r + 5, −1] , d = 2 26
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Ur ete íslo s tak, aby vzdálenost |AB| byla nejmenší: a) A [ s, −1,3] , B [1, s − 2, −5] b) A [ s − 1, 7,1] , B [1, s + 3, −1]
Na ose x ur ete bod tak, aby jeho vzdálenost od bodu A[–2, 8] byla 10.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Vypo ítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodn te, zda je pravoúhlý, je-li dáno: a) A [ 2,3] , B [5, 4] , C [ 5, −1]
b) A [3,1] , B [ 4, −1] , C [5, 2]
c) A [1, 2, −3] , B [ 4, −2, −3] , C [1,3, −5]
d) A [ 0,1, −3] , B [ −2, −1,3] , C [ −2, −1, −3]
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
St ed úse ky Na íselné ose máme dva body A[7] a B[3]. Kde se na ose nachází st ed úse ky AB? 3 4 5 6 7 A
B S Pokud má být uprost ed, musí ležet na ísle 5, tedy S[5] . Jakým matematickým postupem k této hodnot dojdeme? 7+3 Je to pr m r z hodnot pro oba krajní body =5 2 Podívejme se, jak se situace zm ní, pokud p jde o úse ku v rovin ?
y B
yB yS
S
yA
A xB
xS
xA
x
Situace na obou sou adných osách je stejná jako p edtím. Pro st ed S [ xS , yS ] úse ky AB, kde A [ x A , y A ] , B [ xB , yB ] platí: x A + xB y + yB , yS = A . 2 2 Pro výpo et sou adnic st edu úse ky v prostoru sestavíme analogickou v tu. Pro st ed S [ xS , yS , z S ] úse ky AB, kde A [ xA , y A , z A ] , B [ xB , yB , z B ] platí: xS =
xS =
x A + xB y + yB z +z , yS = A , zS = A B . 2 2 2
Vypo ítejte sou adnice st edu S úse ky AB, jestliže platí: a) A [ −4,3] , B [ 0, −1] b) A [3, −4, −1] , B [ −3,8, −5]
Výpo et st edu provedeme dosazením do vzorce.
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
a)
x A + xB y + yB yS = A 2 2 −4 + 0 3 + ( −1) xS = = −2 yS = =1 2 2 Sou adnice st edu jsou S[–2, 1]. b) x +x y + yB z +z xS = A B yS = A zS = A B 2 2 2 −4 + 8 3 + ( −3) −1 + ( −5 ) = 2 zS = xS = = 0 yS = = −3 2 2 2 Sou adnice st edu jsou S[0, 2, –3]. xS =
Jsou dány body A, S. Vypo ítejte sou adnice bodu B tak, aby bod S byl st ed úse ky AB. a) A [ 4, −5] , S [ −3, 2] b) A [3, −2, 7] , S [ −1, 2,3]
P i ešení op t využijeme vzorce na výpo sou adnice [xB, yB] resp. [xB, yB, zB]. a) x +x y + yB xS = A B yS = A 2 2 4 + xB −5 + y B −3 = 2= 2 2 xB = −10 yB = 9 Sou adnice bodu B jsou B[–10, 9]. b) x +x y + yB xS = A B yS = A 2 2 3 + xB −2 + y B −1 = 2= 2 2 xB = −5 yB = 6 Sou adnice bodu B jsou B[–5, 6, –1].
et sou adnic st edu. P edpokládejme, že bod B má
z A + zB 2 7 + zB 3= 2 z B = −1 zS =
Vypo ítejte sou adnice st edu S úse ky AB, jestliže platí: 1 3 a) A −5, , B 5, 2 4 b) A
2, 3 , B
2, −5 3
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
c) A [ 0, 4; 0, 25; −0, 5] , B d) A
2, 2 + 3,
1 5 1 ,− ,− 5 4 2
3 3 , B − 2, 2 − 3, 6 3
Jsou dány body A, S. Vypo ítejte sou adnice bodu B tak, aby bod S byl st ed úse ky AB. 1 1 3 a) A 1, − , S , − 2 2 4 1 2 7 b) A [ −0, 7; −0,8;0, 05] , S , − , − 4 5 8
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
Ur ete bod D tak, aby obrazec ABCD byl rovnob žník, je-li dáno: a) A [1, −2] , B [5,1] , C [ −3, 4] b) A [ 2, −3,1] , B [ 4, 0, −3] , C [ −2,3, −4]
Vypo ítejte délku t žnice tc trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) A [ −5, −3] , B [ 4, −1] , C [ 2, 4] b) A [ −7, −2, 4] , B [3, 0, −2] , C [1, 4,8]
I N V E S T I C E
D O
R O Z V O J E
V Z D
L Á V Á N Í
! "
#
$
%
