G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
1a
7 Exponenten en logaritmen 1/12
y 1 = x 2 ⋅ x 3 en y2 = x 5
6 y1 = x 3 en y 2 = x 2
1b
komen op hetzelfde neer.
2
( )
y 1 = 2x 3
1c
x
en y 2 = 4x 6
komen op hetzelfde neer.
komen niet op hetzelfde neer.
3
2a
2a 2 ⋅ 4a 3 = 8a 5 .
2d
( −4a ) 4 = ( −4 ) 4 ⋅ a 4 = 256a 4 .
2b
−5a 7 ⋅ a 3 = −5a 10 .
2e
2c
−28a 6 = −28a 6 = −4a 5 . 7a 7a 1
2f
( ) = −32 ⋅ (a 4 ) = −9a 8. 5 5 ( −2a 2 ) = ( −2)5 ⋅ (a 2 ) = −32a 10 .
3a
( ab )4 ⋅ a = a 4b 4 ⋅ a 1 = a 5b 4 .
3d
(3a )3 − 8a 3 = 27a 3 − 8a 3 = 19a 3.
3b
( −2ab )3 ⋅ b = −8a 3b 3 ⋅ b 1 = −8a 3b 4 .
3e
( 21 a )
3c
(3a )2 + (2b )2 = 9a 2 + 4b 2 .
4a
De grafieken
− 3a 4
2
2
2g
( −a 3 )
2h
( 5a )3 ⋅ −3a
2i
( ) = (9a )
2
4
2 4
= 25a 8 + a 8 = 26a 8 .
25 = 32
22 = 4
en y 5 = x1 vallen samen. De grafieken
20 = 1
(a −3 )
6b
4 a 4 ⋅ 16 = a 6 = a 4 − 6 = a −2 .
6e
a 4 : 13 = a 4 : a −3 = a 4 − −3 = a 7 .
6c
a 3 = a 3 − −2 = a 5 . a −2
6f
a 7 : a 0 = a 7 − 0 = a 7.
7a
4 −3 = 13 = 1 .
a
4
36
8a
2 6a −3 ⋅ b 2 = 6 ⋅ 13 ⋅ b 2 = 6b3 .
8b
1 a −4 = 1 ⋅ 1 = 1 . 3 3 a4 3a 4
9a
De functies f (x ) = x en g (x ) = x 2 komen op hetzelfde neer.
9b
De grafieken van h (x ) = 3 x en k (x ) = x 3 vallen samen.
a
8c 8d
3a ⋅ b
−2
−2
= 3a ⋅ 12 = 3a2 . b
b
−2 3
= a −6 .
6h 1 = a 0 . −2
= a 3 ⋅ a − 8 = a 3 + − 8 = a −5 .
4
25
−2 1 = 4 . = 5 = 1 2 = 25
(2)
1
8f
( 52 )
3 −2 7
( )
8e
a
1
1
( 25 )
(7)
2a −3 = 2 ⋅ 13 = 23 . a
a
2
= 1 2 = 14 = 25 .
−2 1: 3 =
7f
81
−2
(2 21 )
( 3 −1 )
= 3−4 = 14 = 1 .
3
1
( )
( 25 )
7e
25
a
:2
6i a 3 ⋅ a 4
7c
3
:2
( ) = (a )
6g
7d
1 = 36 . = 1 2 = 25
( )
= a −12 .
a
64
5 6
:2
2 :2 2 −2 = 1 4 2−3 = 1 en 2−4 = 1 . 8 16
5c
6d
−2
:2
2 −1 = 1
a − 5 ⋅ a 2 = a − 5 + 2 = a −3 .
( 56 )
:2
21 = 2
6a
4
:2
23 = 8
van y 3 = x −1
a
= 81a 6 .
4
24 = 16
4
2
( )
= 92 ⋅ a 3
+ ( −a )2 = 1 a 2 + a 2 = 1 1 a 2 .
5b
en y 2 = x −2 vallen samen. De grafieken
van y 4 = x 0 en y 6 = 1 vallen samen (voor x ≠ 0).
7b
3 2
Exponenten nemen (trap af) steeds met 1 af. Getallen (achter =) worden steeds door 2 gedeeld.
5a
x
4c
2
(5a 4 ) + ( −a )
3f
= 125a 3 ⋅ −3a 1 = −375a 4 .
a
2
van y1 = 12
4b
9a 4
= −a 9 .
25
4
2 = 3 = 9 .
(7)
49
3 3a −2 ⋅ b 3 = 3 ⋅ 12 ⋅ b 3 = 3b2 .
a
(3a )
−2
⋅ 2b
−1
=
a
1
(3a )2
⋅2 ⋅ 1 = 12 ⋅ 2 = b
9a
b
2 . 9a 2b
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg 10a 10b
1
5 3 = 3 5.
7
11c 11d
12a 12b
2
= 11 = 31 . 7 73
5
2a 5 = 2 ⋅ a 2 .
10c
−a
10d
− 35
a
1
1 3
x2
2
1
8 = 23 = 23 − 1 2 22
1 2
12d
21
= 2 2.
1
2
2 x 2⋅ 3 x = x ⋅ x1 x x2
2 21 − 2 4 2 = 2 ⋅ 21 = 2 2 3 2 23
2
14a
1,18a + 5 = 1,18a ⋅ 1,185 ≈ 2,29 ⋅ 1,18a .
14b
1,31a − 2 = 1,31a ⋅ 1,31 −2 ≈ 0,58 ⋅ 1,31a .
14c
0, 78a + 0,6 = 0, 78a ⋅ 0, 780,6 ≈ 0,86 ⋅ 0, 78a .
14d
a 1,152a + 1 = 1,152a ⋅ 1,151 = 1,152 ⋅ 1,15 ≈ 1,15 ⋅ 1,32a .
14e
a 1,222a − 1 = 1,222a ⋅ 1,22 −1 ≈ 1,222 ⋅ 0,82 ≈ 0,82 ⋅ 1, 49a .
14f
8,35 3
14g
1 1 a 8,35 3 = 8,35 3 ≈ 1, 00 ⋅ 2, 03a .
1
a
3 = 3 ⋅ 3 a ⋅ 11 = 3 ⋅ a .
b
6
3 4
=x 21 3
.
1 2
1 41
1
= x 6. 3
+ 32
=x6
+
4 6
=x
1 61
.
.
=x
2 31 − 21
=x
1 65
.
2
1 ⋅ 3 1 = 2−3 ⋅ 3 2−2 = 2 −3 ⋅ 2 − 3 = 2−3 3. 8 4
12h
10 ⋅ 3 0,1 = 10 ⋅ 10 −1 = 101 ⋅ 10
3
1
13c
2x + 3 = 2x ⋅ 23 = 2x ⋅ 8 = 8 ⋅ 2x .
13d
3x − 2 = 3x ⋅ 3−2 = 3x ⋅ 1 = 1 ⋅ 3x . 9
9
)
a
1 1 a = 8,35 3 ⋅ 8,35 0,4 ≈ 8,35 3 ⋅ 2,34 ≈ 2,34 ⋅ 2, 03a .
a
14h
a 0, 722(a − 1,2) = 0, 722a − 2,4 = 0, 722a ⋅ 0, 72 −2,4 ≈ 0, 722 ⋅ 2,20 ≈ 2,20 ⋅ 0, 52a .
(
)
15a
x 1,8 = 50 x =
1,8
15c
3 ⋅ x 2,25 + 1 = 27 3⋅x
50 ≈ 8, 79.
2,25
15e
16a
x −3 = 5 x = −3 5 ≈ 0,58.
5 ⋅ x −1,2 + 7 = 19 5⋅x
−1,2
= 12
15d
5 ⋅ x −1 = 7
16b
4 ⋅ x 0,4 − 5 = 109 4⋅x
0,4
x −1,8 = 121 x = 15f
x −1 = 75 x = −1 75 ≈ 0, 71.
= 114
x −1,2 = 2, 4
x 0,4 = 28, 5
x = −1,2 2, 4 ≈ 0, 482.
x = 0,4 28,5 ≈ 4 336,228.
4 ⋅ x −1,8 + 16 = 500 4 ⋅ x −1,8 = 484
= 26
x 2,25 = 26 3 x = 2,25 26 ≈ 2, 61. 3 15b
2
12g
)
(
a + 0,4
2 61
=2
1
13b
1
−2
1
x
−1 1 10 = 10 −2 ⋅ 10 2 = 10 2 . 100
1
(
3
=x6
=x
12f
x
= 22 ⋅ 2 2 = 4 ⋅ 2.
1 3
1 3
2 1 4 1 = 4 3−2 = 3− 4 = 3− 2. 9
13a
2 21
1 3
2
12e
1 ⋅ 3 2 = 2 −1 ⋅ 2 3 = 2 − 3 . 2
= x2 ⋅x 3 = x2 ⋅3x .
−
x2 = x2 = x2− 3 4 3 x x4
12c
2 31
1
=x2
1
1
31
8 ⋅ 2 = 23 ⋅ 2 2 = 2 2 .
1 3
3
11h
x
1 2
x ⋅ x2 = x 2 ⋅x 3 = x 2
11g 1
3a b
− 21
b2
x =x 3 x x
3
5 1 = 5 x −1 = x − 5 .
a
1 3
10f
a3
11f
− = 1 2 = x 3.
x
5
5
11e
1 11 x ⋅ 4 x = x1 ⋅x 4 = x 4.
1 4a −2b 2 = 4 ⋅ 12 ⋅ b = 4 ⋅ 2 b .
10e
= − 13 = − 1 .
x = x 2.
11a 11b
− 31
7 Exponenten en logaritmen 2/12
−1,8
121 ≈ 0, 07.
x9 = 3 x = 9 3 ≈ 1, 06.
16c
x
1 31
x =
= 10 1 31
10 ≈ 5, 623.
− 31
2
= 10 3.
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg 16d
3
x
x 2 = 26 2 3
7 Exponenten en logaritmen 3/12
16e
5⋅3x = 8 3x = x
= 26 2
1 3
16f
1
17a
v = 67 − 50 = 17 ⇒ B = 20 + 0, 7 ⋅ 171,52 ≈ 72 (€).
17b
20 + 0, 7 ⋅v 1,52 = 97 1,52
17d
0, 7 ⋅ v 1,52 = 1 628
= 77
110 ≈ 22. Ze reed 30 + 22 = 52 km/u.
37 ≈ 28, 495. 3
Jeroen heeft geen gelijk.
Er geldt 10 = 2 ⋅ 5, maar 43 ≠ 2 ⋅ 28.
≈ 164. v = 1,52 1628 0,7 De snelheidsovertreding is 164 km/u.
18a
T = −20 (°C) en v = 60 (km/u) ⇒ F = (2 000 − 16,3 ⋅ 60)( −5 − −20) −1,668 ≈ 11 (min).
18b
20 = (2 000 − 16,3v )( −5 + 18) −1,668 2 000 − 16,3v =
3 4
v = 5 ⇒ B = 20 + 0, 7 ⋅ 51,52 ≈ 28 (€). v = 10 ⇒ B = 20 + 0, 7 ⋅ 101,52 ≈ 43 (€).
v 1,52 = 1628 0,7
1,52
3
x 3 = x 4 = 37 3
x =
20 + 0, 7 ⋅v 1,52 = 1 648
17c
v 1,52 = 110 v =
4
= 1, 6
x = 3 1, 6 = 4, 096.
x = 3 26 ≈ 132,575.
0, 7 ⋅ v
4
3 ⋅ x 3 − 1 = 36
18c
Met 40 km/u leg je 10 km af in 15 minuten. 15 = (2 000 − 16,3 ⋅ 40)( −5 −T ) −1,668
20
13−1,668
( −5 −T ) −1,668 =
−16,3v ≈ −557, 5... v ≈ 34 km/u.
15 ≈ 0, 011... 2 000 − 16,3 ⋅ 40
−5 −T ≈ 14,832... −T ≈ 19, 832... ⇒ T ≈ −19,8 (°C). Dus voor T ≤ −20 °C.
19a
P = a ⋅ Q 2,5 en bij Q = 3,2 hoort P = 8,1 ⇒ 8,1 = a ⋅ 3,22,5 ⇒ a = 8,12,5 ≈ 0, 44. 3,2
1
en bij x = 12 hoort y = 16 ⇒ 16 = a
⋅ 11,81 ⇒ a = 16 ⋅ 121,81 ≈ 1 437. 12
19b
y =a ⋅
20a
T = a ⋅ R 1,5 en bij R = 12,20 hoort T = 15, 9 (Titan) ⇒ 15, 9 = a ⋅ 12,201,5 ⇒ a =
20b
R = 35, 6 ( × 105 km) ⇒ de omlooptijd is T = 0,37 ⋅ 35, 61,5 ≈ 78, 6 dagen.
20c
15 = 0, 625 (dagen) ⇒ 0, 625 = 0,37 ⋅ R 1,5 ⇒ 0,625 = R 1,5 ⇒ R = 1,5 0,625 ≈ 1, 42 ( × 10 5 km). T = 24 0,37 0,37
x 1,81
15,9 12,201,5
≈ 0,37.
De straal van de baan is ongeveer 1, 42 ⋅ 105 km. 21a
W = a ⋅ m 0,75 en bij m = 40 hoort W = 6 700 (schaap) ⇒ 6 700 = a ⋅ 40 0,75 ⇒ a = 6700 ≈ 421. 0,75 40
0,75
21b
m = 4 (kg) ⇒ W = 421 ⋅ 4
21c
W = 50 000 (kJ) ⇒ 50 000 = 421 ⋅ m 0,75 ⇒ 50000 = m 0,75 ⇒ m = 0,75 50000 ≈ 584 (kg). 421 421
22ab
Zie de plot hiernaast. De grafiek van f is stijgend.
22c
f ( −10) = 2−10 ≈ 9, 77 ⋅ 10 −4 ; f ( −20) = 2−20 ≈ 9,54 ⋅ 10 −7 en f ( −100) = 2 −100 ≈ 7,89 ⋅ 10 −31.
22d
1 > 0. (De GR geeft 2 −500 = 0) f ( −500) = 2 −500 = 500
22e
Voor elke x is 2x > 0, dus er is geen x (origineel) te vinden waarvoor f (x ) = 2x (het beeld) = 0.
23a
Zie de plot hiernaast. De grafiek van g is dalend.
23b
x g (x ) = 31 = 4 heeft één oplossing;
≈ 1191 (kJ).
2
() x g (x ) = ( 31 ) = −4 heeft geen oplossingen.
24a
Zie de grafieken hiernaast. (gebruik TABLE op de GR)
24b
De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f bij spiegelen in de y -as.
g
f
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
7 Exponenten en logaritmen 4/12
y 3 y2 y1
25a
Zie de plot van de drie grafieken hiernaast.
25b
x y1 = 2x → y2 = 3 ⋅ 2 .
vermenigvuldigen met factor 3
(dus de grafiek van y2 ontstaat uit de grafiek van y1 bij de vermenigvuldiging met 3)
26a
Zie de plot van de grafieken hiernaast.
26b
x y = 2x → y = 2 + 5.
27a
Zie de plot van de grafieken hiernaast.
5 eenheden omhoog verschuiven
3 naar rechts verschuiven
x −3 y = 2x → . y = 2 4 naar links verschuiven
27b
x + 4. y = 2x → y = 2
27c
x −b . y = 2x → y = 2
28a
Zie de plot van de grafieken hiernaast.
28b
y = 2x → y = 23 .
28c
4x 4 y = 2x → y = 2 .
28d
ax a y = 2x → y = 2 .
b naar rechts verschuiven
1
vermenigvuldiging t.o.v. de y -as met factor 3 vermenigvuldiging t.o.v. de y -as met factor
1
vermenigvuldiging t.o.v. de y -as met factor
1
x
29a
y = 3x met H.A.: de x -as ofwel y = 0
29d
y = 0, 7 x met H.A.: de x -as ofwel y = 0 .....vermenigvuldiging t.o.v. de x -as met −3
.....translatie ( −2, 0)
y = −3 ⋅ 0, 7 x met H.A.: de x -as ofwel y = 0
y = 3x +2 met H.A.: de x -as ofwel y = 0
.....translatie (0, 5)
.....translatie (0, −1) x +2
f (x ) = 3 29b
k (x ) = −3 ⋅ 0, 7 x + 5 met H.A.: y = 5.
− 1 met H.A.: y = −1.
x
y = 3 met H.A.: de x -as ofwel y = 0
29e
y = 2x met H.A.: de x -as ofwel y = 0 .....vermenigvuldiging t.o.v. de x -as met 3
.....translatie (1, 0)
y = 3 ⋅ 2x met H.A.: de x -as ofwel y = 0
y = 3x −1 met H.A.: de x -as ofwel y = 0 .....translatie (0, 5) x −1
g (x ) = 3
+ 5 met H.A.: y = 5.
y
.....vermenigvuldiging t.o.v. de y -as met = 3 ⋅ 23x met H.A.: de x -as ofwel y = 0 .....translatie (0, 4) 3x
l (x ) = 3 ⋅ 2 29c
y = 0,5
x
29f
met H.A.: de x -as ofwel y = 0 .....vermenigvuldiging t.o.v. de x -as met 2
y = 2 ⋅ 0,5x met H.A.: de x -as ofwel y = 0 .....translatie (0, 3)
N = 1, 5t met B = 0, → en H.A.: N = 0
=
4 10
= 0, 4
30c
N = 0,3t met B = 0, → en H.A.: N = 0 .....verm. t.o.v. de t -as met − 1
.....translatie (0, −6)
.....translatie (1, 0)
N = −0,3t −1 met B = ←, 0 en H.A.: N = 0 N
.....vermenigvuldiging t.o.v. de t -as met − 2
N = −2 ⋅ 0,8t met B = ←, 0 en H.A.: N = 0 .....translatie (0, 5)
N = −2 ⋅ 0,8t + 5 met B = ←, 5 en H.A.: N = 5.
− 10 met H.A.: y = −10.
N = −0,3t met B = ←, 0 en H.A.: N = 0
N = 8 ⋅ 1, 5t − 6 met B = −6, → en H.A.: N = −6.
N = 0,8 met B = 0, → en H.A.: N = 0
y = 0,80,4x met H.A.: de x -as ofwel y = 0 .....translatie (0, −10) 0,4x
.....vermenigvuldiging t.o.v. de t -as met 8
30b
y = 0,8 met H.A.: de x -as ofwel y = 0
m (x ) = 0,8
N = 8 ⋅ 1, 5t met B = 0, → en H.A.: N = 0
t
+ 4 met H.A.: y = 4.
x
.....vermenigvuldiging t.o.v. de y -as met 2,5 1 2,5
h (x ) = 2 ⋅ 0,5x + 3 met H.A.: y = 3. 30a
1 3
30d
.....translatie (0, 1000) = 1000 − 0, 3t −1 met B = ←, 1000 en H.A.: N = 1000.
N = 0,3t met B = 0, → en H.A.: N = 0 .....verm. t.o.v. de t -as met − 1
N = −0,3t met B = ←, 0 en H.A.: N = 0 .....translatie (0, 1)
N = 1 − 0,3t met B = ←, 1 en H.A.: N = 1 .....vermenigvuldiging t.o.v. de t -as met 1000
N = 1000(1 − 0,3t ) met B = ←, 1000 en H.A.: N = 1000.
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg 31a
y = 3x
31c
.....verm. t.o.v. de x -as met y = 21 ⋅ 3x .....translatie (0, 3) f (x ) = 21 ⋅ 3x + 3.
31b
7 Exponenten en logaritmen 5/12
1 2
y = 3x .....verm. t.o.v. de x -as met −1
y = 3x
31d
.....verm. t.o.v. de x -as met 3
.....translatie (0, −5)
y = 3x − 5
y = 3 ⋅ 3x
.....translatie (4, 0) x −4
y =3
.....translatie (0, −5)
y = 3 ⋅ 3x − 5
−5
.....verm. t.o.v. de x -as met 3 x −4 x −4
h (x ) = 3 ⋅ (3
y = 3x
− 5) = 3 ⋅ 3
− 15.
.....translatie (4, 0) x −4
k (x ) = 3 ⋅ 3
− 5.
y = −3x .....translatie (0, −1)
g (x ) = −3x − 1. 32
*
33
*
34
*
35ab
y = 2x met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie ( −3, 0)
y = 2x +3 met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie (0, − 4) f (x ) = 2x +3 − 4 met Bf = −4, → en H.A.: y = −4. (neem de tabel over van de GR en teken de grafiek)
35c
f (x ) = 2x +3 − 4 = −1 (intersect) ⇒ x ≈ −1, 42. f (x ) ≤ −1 (zie plot/grafiek) ⇒ x ≤ −1, 42.
f
6
35d
f (3) = 2 − 4 = 64 − 4 = 60. x ≤ 3 (zie plot/grafiek en Bf ) ⇒ −4 < f (x ) ≤ 60.
36ab
y = 2x met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie (0, − 2)
f (x ) = 2x − 2 met Bf = −2, → en H.A.: y = −2.
()
y = 21
x
met B = 0, → en H.A.: y = 0
.....translatie (1, 0) x −1 y = 21 met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie (0, 2) x −1 g (x ) = 21 + 2 met Bg = 2, → en H.A.: y = 2.
f g
()
( )
36c
f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 2,15. f (x ) ≥ g (x ) (zie grafiek) ⇒ x ≥ 2,15.
36d
Bf = −2, → ⇒ f (x ) = p heeft geen oplossingen voor p ≤ −2.
37a
y = 2x met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie (2, − 3) f (x ) = 2x −2 − 3 met Bf = −3, → en H.A.: y = −3.
Y =5
y = 0,5x met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....verm. t.o.v. de x -as met 4
y = 4 ⋅ 0,5x met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie (3, −1)
g (x ) = 4 ⋅ 0, 5x −3 − 1 met B = −1, → en H.A.: y = −1. 37b
Bf = −3, → ⇒ f (x ) = p heeft één oplossing voor p > −3.
B = −1, → ⇒ g (x ) = p heeft geen oplossing voor p ≤ −1. g f (x ) = p heeft één oplossing én g (x ) = p heeft geen oplossing ⇒ −3 < p ≤ −1. 37c
f (2) = 20 − 3 = 1 − 3 = −2. x ≤ 2 (zie plot/grafiek en Bf ) ⇒ −3 < f (x ) ≤ −2.
g
f
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
7 Exponenten en logaritmen 6/12
37d
f (1) = −2, 5 en g (1) = 15 ⇒ AB = yB − yA = 15 − −2,5 = 17,5.
37e
f (x ) = 5 (intersect) ⇒ x = x P = 5 en g (x ) = 5 (intersect) ⇒ x = xQ ≈ 2, 415. PQ = x P − xQ ≈ 5 − 2, 415 = 2, 585.
38a
f (x ) = 2x −3 = 2
38b
x − 3 = 21
aflezen in de grafiek:
x ≈ 3,5.
39a
39b
x = 3 21 .
2x +1 = 64 = 26 x +1 = 6 x = 5.
39d
2x −3 = 1 = 13 = 2−3
39e
8
2
x − 3 = −3 x = 0. 39c
39g
(5) ( )
x + 6 = −x 2x = −6 ⇒ x = −3. 1
1
1
−1 2x = 1 2 = 12 ⋅ 2 2 = 2−2 ⋅ 2 2 = 2 2 4
39h
2
1
1
2 =2=2 2x = 1
39f
x +5
2
2
2x = 2 1 ⇒ x = 1 1 . 1 2
4
= 16 2 = 2 ⋅ 2 = 2
4 21
39i
x + 5 = 4 21
40d
40e
2
10 ⋅ 3x = 270
40g
3 ⋅ 82−x = 48
40h
8
x = 3.
(23 )2−x = 26−3x = 24
= 16 = 2
40f
= 16 = 2 x = 4.
25
5
3 ⋅ 7 3x +1 = 147
3x = 1 ⇒ x = 1 . 3
x
3 ⋅ 2 + 4 = 28
40i
3 ⋅ 2x = 24
2
100
7 3x +1 = 49 = 7 2 3x + 1 = 2
4
3
5 ⋅ 2x = 80 x 4
52x −6 = 0, 04 = 4 = 1 = 12 = 5 −2 2x − 6 = −2 2x = 4 ⇒ x = 2.
3x = 27 = 33
2−x
10
4
= 0, 01 = 1 = 1 2 = 10 −2 100 10
2x = −3 ⇒ x = −1 1 .
3x = 27 = 33 x = 3.
3x − 2 = 25
2x +1
2x + 1 = −2
x = − 21 .
2x + 1 = 17
2x = 8 = 23 x = 3.
x −2
32 = 1 16 (25 )x −2 = 14 2 5x −10 −4 2
=2
5x − 10 = −4 ⇒ 5x = 6 ⇒ x = 6 . 5
41a
Zie de grafieken hiernaast. (gebruikt een tabel) Df = Dg = » (elke x is geoorloofd) en Bf = Bg = 0, → ( y > 0).
41b
f ( x ) = g (x )
( 2)
x +4
2 21
2
1 (x 2 1
22
41c
( )
x +4
= 1 4
x
( )
= 12
x
2
+ 4)
x +2
−2 x
( )
= 2
g (x ) = 2
( 41 )
x
g
= 2 1
f
2−2x = 2 2 −2x = 1
2
x = − 41 .
Lees af: g (x ) ≥ 2 ⇒ x ≤ − 1 .
= 2−2x
3 21
32x +1 = 27 3 = 33 ⋅ 3 2 = 3 2x + 1 = 3 1
6 − 3x = 4 ⇒ −3x = −2 ⇒ x = 2 . 40c
x x 5x + 6 = 1 = 5 −1 = 5 −x
2
2x
2x = 16 = 24 x = 4. 40b
2x = 1 = 20 x = 0.
x = −1 21 .
x = 21 . 40a
1
2x −3 = 2 = 2 2
4
1 x + 2 = −2x 2 2 1 x = −2 2 −2 = −4 = − 4 . x = 2,5 5 5
Lees af in de grafiek: f (x ) ≥ g (x ) ⇒ x ≥ − 4 . 5
42a
x
×3
5
heeft als omkeerschema
x
:3
5
42b
x
...3
5
heeft als omkeerschema
x
3 ...
5
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg 43a
x
2
7 Exponenten en logaritmen 7/12
... 2 2 en log(...) = 3 heffen elkaar op 2
... 7 7 en log(...) 1 x = 7 heffen elkaar op 2
( )
43b
x = log(3).
1
x = 2 log(7).
2x = 3 (intersect) ⇒ x ≈ 1,58.
( 21 )
44a
2x = 5 (intersect) ⇒ x = 2 log(5) ≈ 2,32.
44b
4x = 0, 6 (intersect) ⇒ x = 4 log(0, 6) ≈ −0,37.
45a
2x −1 = 15 ( 2log(... nemen)
= 7 (intersect) ⇒ x ≈ −2,81.
4 + 3x +1 = 25
45c
x +1
x − 1 = 2 log(15) x = 2 log(15) + 1.
45b
x
3
7 + 42x = 12
45e
42x = 5 ( 4log(... nemen)
3
= 21 ( log(... nemen) 3
2x = 4 log(5)
x + 1 = log(21) x = 3log(21) − 1.
1 + 2x = 15
x = 21 ⋅ 4 log(5).
14 − 2x +1 = 2
45d
3 ⋅ 52x +1 = 60
45f
−2x +1 = −12 2x +1 = 12 ( 2log(... nemen)
2x = 14 ( 2log(... nemen)
x = 2log (14).
52x +1 = 20 ( 5log(... nemen) 2x + 1 = 5 log(20)
2
2x = 5 log(20) − 1
x + 1 = log(12) x = 2 log(12) − 1. 46
2x = 32 heeft als oplossing x = 2 log(32) 2 2 2 5 ⇒ log(32) = 5 of log(32) = log(2 ) = 5 2x = 32 = 25 heeft als oplossing x = 5
47a
2
47b
2
47c
2
47d
2
48a
3
48b
7
48c
3
48d
10
49a
5
49b
3
49c 49d
50a
2
2
log (4) = log (2 ) = 2. log (2) = 2log (21 ) = 1. 2
1 2
2
log ( 2) = log (2 ) = 1 . 2
log (27) = 3log (33 ) = 3. 7
2
log (49) = log (7 ) = 2.
log ( 1 ) = 3log ( 14 ) = 3log (3−4 ) = −4. 81
3
log (1 000) = 10log (103 ) = 3.
2
47h
2
48e
10
10
1 2
3
1 21
log (3 ⋅ 3) = log (3 ⋅ 3 ) = log (3
1 2
log (8) = 2 log (( 1 ) −3 ) = −3.
1 4
log ( 1 ) = 4 log (( 1 )2 ) = 2. 16 4
log (0,1 ⋅ 10) =
48g
7
48h
23
10
log (x ) = 1 (3... nemen) 1
x = 3 = 3.
10
log (10 −1 ⋅ 10 2 ) = 10log (10
49e
0,25
49f
4
log (3) = 1 (x ... nemen)
)=−1. 2
2
log (x + 3) = −1 (2... nemen) −1
x = −2 21 .
=1 2
1
1
log (4) = 4 log (4) = 4 log (( 1 ) −1 ) = −1. 4
log (0,25) = log ( 1 ) = 4log (4 −1 ) = −1. 4
1 7 1 7
4
1
log (7) = 7 log (( 1 ) −1 ) = −1. 7
1 7
log (1) = log (( 1 ) 0 ) = 0. 7
50e
3 = x 1 (dus x = 3).
x +3=2
− 21
log (23) = 23log (231 ) = 1.
49h
50d
1
10
log (1) = 7log (7 0 ) = 0.
1
3
1
10
1 2
log ( 1 ⋅ 10 ) =
49g
x
=b
2
1
100
10
) =11. 2
50c
log(b )
log (0, 01) = 10log ( 1 ) = 10log ( 1 2 ) = 10log (10 −2 ) = −2.
2
log (x ) = 8 (2... nemen)
2
)=21.
1
1
2
a
log(2 ) = a en 2
−2 log ( 1 ⋅ 2) = 2log ( 13 ⋅ 2 2 ) = 2log (2−3 ⋅ 2 2 ) = 2log (2 2 ) = −2 1 . 8 2 2
5
1
2 21
log (4 ⋅ 2) = 2log (22 ⋅ 2 2 ) = 2log (2
log (0,2) = 5log ( 2 ) = 5log ( 1 ) = 5log (5 −1 ) = −1. 3
log(...) heffen elkaar op.
2
Dus
1
47g
48f
2
log ( 1 ) = 2log ( 12 ) = 2log (2 −2 ) = −2. g ... en g log(...) heffen elkaar op. 4 2 g log(b ) a g 2 2 Dus log( g ) = a en g =b log (1) = log (20 ) = 0.
47f
log ( 1 ) = 2log (2 −1 ) = −1.
... 2 en
2
47e
x = 28 = 256.
50b
x = 21 ⋅ 5 log(20) − 21 .
50f
1 2
...
log (x − 1 ) = −1 ( (21 ) nemen)
2 x − 21 = ( 21 ) −1 = 2 x = 221 . 3 2
log (x + 1) = 2 (3... nemen)
x 2 + 1 = 32 = 9 x2 = 8 x = − 8 ∨ x = 8.
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
7 Exponenten en logaritmen 8/12
51ab Zie de tabel hieronder. x
1 8
1 4
1 2
1
2
4
8
f (x ) = 2 log(x )
−3
−2
−1
0
1
2
3
f (x ) = 2 log(x )
Zie de grafiek hiernaast. 51c
Bij 2log (x ) moet x (een macht van 2) > 0 zijn ⇒ Df = 0, → .
51d
Bf = ».
52a
y = 3 log(x ) met V.A.: de y -as (x
52d
= 0)
1
y = 3 log(x ) met V.A.: de y -as (x
= 0)
.....verm. t.o.v. de x -as met −1
.....translatie ( −2, 0) f (x ) = 3 log(x + 2) met V.A.: x = −2.
1
y = − 3 log(x ) met V.A.: x
=0
.....translatie ( −1, − 2) 1
k (x ) = − 3 log(x + 1) − 2 met V.A.: x 52b
y = 2 log(x ) met V.A.: de y -as (x
52e
= 0)
1
y = 2 log(x ) met V.A.: de y -as (x
52f
= 0)
1
y = 4 log(x ) met V.A.: de y -as (x
.....verm. t.o.v. de x -as met 4
= 0)
.....verm. t.o.v. de x -as met 3
1
1
y = 4 ⋅ 2 log(x ) met V.A.: x = 0
y = 3 ⋅ 4 log(x ) met V.A.: x = 0
.....translatie (0, 3)
.....verm. t.o.v. de y -as met 2
1 2
1
m (x ) = 3 ⋅ 4 log( 21 x ) met V.A.: x = 0.
h (x ) = 4 ⋅ log(x ) + 3 met V.A.: x = 0. 53a
= 0)
.....verm. t.o.v. de y -as met 21 y = 3 log(2x ) met V.A.: x = 0 .....translatie (0, 5) l (x ) = 3 log(2x ) + 5 met V.A.: x = 0.
.....verm. t.o.v. de x -as met 5 y = 5 ⋅ 2 log(x ) met V.A.: x = 0 .....translatie (1, 0) g (x ) = 5 ⋅ 2 log(x − 1) met V.A.: x = 1.
52c
y = 3 log(x ) met V.A.: de y -as (x
= −1.
y = 3 log(x ) met V.A.: de y -as (x
= 0)
.....translatie (4, 2) 3
f (x ) = log(x − 4) + 2 met V.A.: x = 4. 53b
Df = 4, → . Maak de tabel hieronder en de grafiek hiernaast. (gebruik de tabel op de GR hiernaast) 1 9
1 3
1
3
9
−2
−1
0
1
2
x 3
y = log(x )
54a
x =4
1
y = 4 log(x ) met V.A.: de y -as (x
= 0)
.....translatie (3, 2) 1
f (x ) = 4 log(x − 3) + 2 met V.A.: x = 3. 54b
Df = 3, → . Maak de tabel hieronder en de grafiek hiernaast. (zie het TABLE-scherm van de GR naast 53b)
x y =
55a
1 4 log( x )
16
4
1
1 4
1 16
−2
−1
0
1
2
y = 3 log(x ) .....verm. t.o.v. de x -as met 2
y = 2 ⋅ 3 log(x ) .....translatie (0, − 4) 3
f (x ) = 2 ⋅ log(x ) − 4.
x =3
55b
y = 3 log(x ) .....spiegelen in de x -as
y = − 3 log(x ) .....translatie (5, 0) 3
g (x ) = − log(x − 5).
55c
y = 3 log(x ) .....translatie ( −3, 2)
y = 3 log(x + 3) + 2 .....verm. t.o.v. de x -as met h (x ) = 1 ⋅ 3log(x + 3) + 2 2 = 1 ⋅ 3 log(x + 3) + 1. 2
(
)
1 2
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
7 Exponenten en logaritmen 9/12
56a
Vul de tabel verder. (zie de GR-schermen hieronder)
56b
Zie de grafiek hiernaast.
56c
Xmin = 0, Xmax = 10, Ymin = −1 en Ymax = 1.
57a
din = 1 + k ⋅ log(iso) met 100 ISO = 21 DIN ⇒ 21 = 1 + k ⋅ log(100) ⇒ 20 = k ⋅ log(102 ) ⇒ 20 = k ⋅ 2 ⇒ k = 20 = 10.
57b
400 ISO/ASA ⇒ din = 1 + 10 ⋅ log(400) ≈ 27. Dus 27 DIN.
57c
24 DIN ⇒ 24 = 1 + 10 ⋅ log(iso) ⇒ 23 = 10 ⋅ log(iso) ⇒ 2,3 = log(iso) ⇒ iso = 102,3 ≈ 200. Dus 200 ISO/ASA.
f ( x ) = log( x )
2
Diagnostische toets D1a
6a 3 ⋅ 8(a 2 )2 = 6a 3 ⋅ 8a 4 = 48a 7 .
D1d
(2a 2 ) 4 − (3a 3 )2 = 16a 8 − 9a 6 .
D1b
(6a )3 ⋅ (8a 2 )2 = 216a 3 ⋅ 64a 4 = 13 824a 7 .
D1e
(ab 2 ) 4 ⋅ a 2b = a 4b 8 ⋅ a 2b = a 6b 9 .
D1c
6 (6a 2 )3 = 216a4 = 13 1 a 2 . 2 (2a ) 4 16a
D1f
( )
D2a
a −3 ⋅ a 2 = a −3 + 2 = a −1 .
D3a
a −2 =
D4a
3 1 a 7 = 3 1 ⋅ a2.
D5a D5b D5c
1 .
2
2
1 =
x −3 .
1
=
x3 2
x ⋅ x 3
10ab −2 = 102a .
1
x 2⋅ x
a
x
2
1
4 21
3
.
5
3
D6c
2,16a − 1 = 2,16a ⋅ 2,16
D7a
5x 1,2 + 6 = 20 5x
2 −1
D7b
x =
1,2
D5e
3
D5f
3 3 13 = x −3 = x
1
−3 3
x
=x
3 35
.
2
= x −1 .
1
= 2x ⋅ 2 2 = 2x ⋅ 2 = 2 ⋅ 2x .
3
2
D7c
1
5 6 2 3 = 5 ≈ 0, 761. 6
x3 = x
8x ⋅ x + 5 = 21 8x 1 ⋅ x 2 = 16
=5
2
2, 8 ≈ 2,358.
3 + 35
x
1 21
x =
=2 1 21
2 ≈ 1,587.
D8a K = a ⋅ p 1,3 en bij p = 17 hoort K = 150 ⇒ 150 = a ⋅ 171,3 ⇒ a = 150 ≈ 3, 77. 1,3 17
a en bij t = 11 hoort N = 33 ⇒ 33 = D8b N = 0,83 t
D9a
a
110,83
N = 0, 9t
met B = 0, → en H.A.: N = 0 .....verm. t.o.v. de t -as met − 1
N = −0, 9t
met B = ←, 0 en H.A.: N = 0 .....translatie (0, 800)
N = 800 − 0, 9t
b2
x 4 = x 4 = x 4 ⋅ x − 3 = x 33 . 1 x x3
6⋅ x2 +3 = 8 6⋅ x
x 1,2 = 2, 8
3
5
4 = 43⋅ a .
1,27 3a + 0,6 = 1,273a ⋅ 1,27 0,6 ≈ 1,15 ⋅ (1,273 )a ≈ 1,15 ⋅ 2, 05a .
3
= 14
b2
−3 5 1 = 5 1 = 5 2 −3 = 2 5 . 8 23
x + 21
≈ 0, 46 ⋅ 2,16a .
3 1 ⋅ 3 = . (4a )2 b 4 16a 2b 4
= 4 ⋅ 4 a ⋅ 12 = 4 ⋅ 4 a ⋅ 3 1
x3 ⋅ x3 = x3 ⋅x 5 = x
12
2
16
− 32
D5d
32 = 25 = 2 3 = 2 3 .
D6b 2x − 4 = 2x ⋅ 2−4 = 2x ⋅ 14 = 1 ⋅ 2x .
1,2
1
2
x 2 = x 3.
D6a 16 ⋅ 2 = 24 ⋅ 2 2 = 2
(4a ) −2 ⋅ 3b −4 =
b3
−2 = 11 = x 2. 2
a −3 = a −3 − 2 = a −5 . a2
D2c
D4c 4a 4 b
a
1
1 2
= (3a ) 4 = 81a 4 .
D3c
b
1 3 D4b 2a −3b 3 = 2 ⋅ 13 ⋅ 3 b = 2 ⋅ 3b .
7
2
4
(a −3 )2 = a −3 ⋅ 2 = a −6 .
D2b D3b
a2
6a 2 2a
met B = ←, 800 en H.A.: N = 800.
⇒ a = 33 ⋅ 110,83 ≈ 241. D9b
N = 1,2t
met B = 0, → en H.A.: N = 0 .....verm. t.o.v. de t -as met 0, 5
N = 0,5 ⋅ 1,2t
met B = 0, → en H.A.: N = 0 .....translatie (0, 3)
N = 0,5 ⋅ 1,2t + 3 met B =
3, → en H.A.: N = 3.
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
7 Exponenten en logaritmen 10/12
D10ab Zie de grafieken hiernaast. (gebruikt een tabel)
y = 3x
g
met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie (2, − 3) f (x ) = 3x −2 − 3 met Bf = −3, → en H.A.: y = −3.
()
f
x
1 met B = 0, → en H.A.: y = 0 3 .....verm. t.o.v. de x -as met 4
y =
()
x
1 met B = 0, → en H.A.: y = 0 3 .....translatie (0, − 6)
y = 4⋅
g (x ) = 4 ⋅
() 1 3
x
y = −3
− 6 met Bg = −6, → en H.A.: y = −6.
y = −6
D10c f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 0,22. Lees in de grafiek af: f (x ) ≥ g (x ) ⇒ x ≥ 0,22. D10d Bf = −3, → ⇒ f (x ) = p heeft geen oplossingen voor p ≤ −3. D11a 5x − 1 = 125 = 53 x −1 = 3 x = 4.
D11c 2 ⋅ 42x − 1 − 3 = 61
D11b 32x − 5 = 1 = 13 = 3−3 27
3
2x − 5 = −3 2x = 2 x = 1.
2 ⋅ 42x − 1 = 64 42x − 1 = 32 = 25 (22 )2x − 1 = 25 24x − 2 = 25 4x − 2 = 5 4x = 7 ⇒ x = 7 = 1 3 . 4
D12a 7 x − 3 = 20 ( 7log(... nemen)
x − 3 = 7 log(20) x = 3 + 7 log(20).
D12b 6 ⋅ 2x + 5 = 23
D12c 10 ⋅ ( 1 )2x − 1 = 600
2 1 2x − 1 1 ( ) = 60 ( 2log(... nemen) 2
6 ⋅ 2x = 18
... log(...) en g heffen elkaar op g
4
2x = 3 ( 2log(... nemen)
1
2x − 1 = 2 log(60)
x = 2 log(3).
1
2x = 1 + 2 log(60) 1
x = 21 + 21 ⋅ 2 log(60). D13a 2 log(256) = 2 log(28 ) = 8. 1 11 D13b 3 log(3 ⋅ 3) = 3log(31 ⋅ 3 2 ) = 3log(3 2 ) = 1 1 .
2
D13c 5 log( 1 ) = 5 log( 12 ) = 5 log(5 −2 ) = −2. 25
5
D14b 3log(x − 4) = 2 (3... nemen)
D14a 2 log(x ) = −3 (2... nemen)
x =2
−3
g ... log(...) en g heffen elkaar op
= 13 = 1 . 8 2
g
...
D14c 4 log(x 2 − 5) = 1 (4 ... nemen)
2
x 2 − 5 = 41 = 4
x −4 =3 =9 x = 13.
g
en log(...) heffen elkaar op
D15a y = 2 log(x ) met D = 0, → en V.A.: x = 0 .....translatie ( −5, 0) f (x ) = 2 log(2x + 5) met Df = −5, → en V.A.: x = −5.
x2 = 9 x = 3 ∨ x = −3. f (x ) = 2 log(x + 5) y = 2 log(x )
x = −5 f
1 2
y = log(x ) met D = 0, → en V.A.: x = 0 .....verm. t.o.v. de y -as met 1 2
1 2
y = log(2x ) met D = 0, → en V.A.: x = 0 .....translatie (0, − 4)
1
1
y = 2 log(x )
g (x ) = 2 log(2x ) − 4 met Dg = 0, → en V.A.: x = 0.
1
D15b Df = −5, → en Dg = 0, → . Maak de tabel hieronder en de grafiek hiernaast. x 2
y = log(x ) y =
1 2 log( x )
1 8
1 4
1 2
1
2
4
8
−3
−2
−1
0
1
2
3
3
2
1
0
−1
−2
−3
y = 2 log(2x )
g 1
g (x ) = 2 log(2x ) − 4
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
7 Exponenten en logaritmen 11/12
Gemengde opgaven 7. Exponenten en logaritmen 1
G24a 4 a = a 4 .
G24c 1 3
− G24b 31 = 11 = a .
a
G25a
G24d
a3
3
a
a
2
1
1
a
a a ⋅4 a
1
1
a2
=
1
a 1⋅a 4
2 (3b )2 = 9b = 9b = 1,8b . 5 5b 5b
G25b (2b
2
−2 −1 3 = a2 = a 3 = a 3. 1 −11 −3 2 = a 1 = a 2 4 = a 4.
a
1
4
G25c
−2 3
) + ( 1 b −3 )2 = 8b −6 + 1 b −6 = 8 1 b −6 = 33 ⋅ 16 = 336 . 2 4 4 4 b 4b
2 3 2 G26a T 2 = 4π ⋅ r2 = 4π 2 ⋅ r 3 ⇒T = g ⋅R g ⋅R
(ab ) −3
−3 −3 = a b−3 = a −3 − 1 = a − 4 = 14 .
ab −3
ab
a
2
G25d ( 9a ) = 9a .
4π 2 ⋅ r 1,5 . Dus T is evenredig met r 1,5 . g ⋅R 2
De evenredigheidsconstante is
4π 2 = g ⋅R 2
4π 2 ≈ 3,15 ⋅ 10 −7. 9,81 ⋅ (6,37 ⋅ 10 6 )2
2 2 2 g ⋅R 2 g ⋅R 2 G26b T 2 = 4π 2 ⋅ r 3 ⇒ r 3 = ⋅T 2 ⇒ r = 3 ⋅T 3 . Dus r is evenredig met T 3 . 2 2 g ⋅R 4π 4π 2 ⋅ g R 9,81 ⋅ (6,37 ⋅ 106 )2 De evenredigheidsconstante is 3 =3 ≈ 2,16 ⋅ 10 4. 2 2
4π
G26c T ≈ 3,15 ⋅ 10
−7
⋅r
1,5
4π
6
6
met r = 6,37 ⋅ 10 + 1, 6 ⋅ 10 = 7, 97 ⋅ 10 6.
Dus T ≈ 3,15 ⋅ 10 −7 ⋅ (7, 97 ⋅ 106 )1,5 ≈ 7 088 (seconden). Dit zijn (ongeveer) 118 minuten. G26d r ≈ 2,16 ⋅ 10 4 ⋅T
2 3
met T = 24 ⋅ 60 ⋅ 60 (seconden).
4
2
Dus r ≈ 2,16 ⋅ 10 ⋅ (24 ⋅ 60 ⋅ 60) 3 ≈ 42,21 ⋅ 10 6 (m). De hoogte van een geostationaire baan is 42,21 ⋅ 10 6 − 6,37 ⋅ 106 = 35,84 ⋅ 106 m. Dit zijn 35840 km. G27a y = 2x met B = 0, → en H.A.: y = 0 f
1 .....verm. t.o.v. de x -as met 10 x 1 y = 10 ⋅ 2 met B = 0, → en H.A.: y = 0 .....translatie ( −3, −8) 1 ⋅ 2x +3 − 8 met B = −8, → en H.A.: y = −8. f (x ) = 10 f
y =
( 21 )
x
g
met B = 0, → en H.A.: y = 0
.....translatie (2, − 4) x −2 g (x ) = 21 − 4 met Bg = −4, → en H.A.: y = −4.
y = −4
()
G27b Bf = −8, → en Bg = −4, → . Zie de grafiek hiernaast. (zie tabel op de GR hierboven)
y = −8
G27c f (2) = −4,8. Nu aflezen in grafiek/plot: x ≤ 2 ⇒ −8 < x ≤ −4,8. G27d Er geldt g ( p ) − f ( p ) = 6 ∨ f ( p ) − g ( p ) = 6. g ( p ) − f ( p ) = 6 (intersect) ⇒ p ≈ 0,39. f ( p ) − g ( p ) = 6 ⇒ g ( p ) − f ( p ) = −6 (intersect) ⇒ p ≈ 3, 69. Dus p ≈ 0,39 ∨ p ≈ 3, 69. G27e f (x ) = a heeft één oplossing en g (x ) = a heeft geen oplossing. Aflezen in de grafieken: − 8 < a ≤ −4. 1
G28a 2 2
x −2
= 32 = 25
G28c
1 x −2 =5 2 1 x = 7 ⇒ x = 14. 2
52x + 1 = 2 ( 5log(... nemen) 2x + 1 = 5 log(2)
G28e 3 ⋅ 25x − 2 + 12 = 27 3 ⋅ 25x − 2 = 15
2x = log(2) − 1
25x − 2 = 5 ( 2log(... nemen)
x = 21 ⋅ 5 log(2) − 21 .
5x − 2 = 2 log(5)
5
5x = 2 log(5) + 2 ⇒ x = 1 ⋅ 2 log(5) + 2 5
5 − 2x
G28b 3 = 81 = 3 5 − 2x = 4
4
G28d
−2x = −1 ⇒ x = 1 . 2
2x
+ 4 = 220
2x
= 216 = 63
6 6
G28f 128 − 4 ⋅ 3x + 1 = 20 −4 ⋅ 3x + 1 = −108
2x = 3 ⇒ x = 1 1 . 2
3x + 1 = 27 = 33 x + 1 = 3 ⇒ x = 2.
5
G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg
7 Exponenten en logaritmen 12/12
G29a 2 log(x 2 − 5) = 3 (2 ... nemen)
G29c log(10x + 100) = 3 (10 ... nemen)
x 2 − 5 = 23 = 8 x 2 = 13 x = − 13 ∨ x = 13.
G29e
10x + 100 = 103 = 1 000 10x = 900 x = 90.
G29b 10 0,02x = 5 ( 10 log(... nemen) 0, 02x = log(5) x = 50 ⋅ log(5).
G29d
G29f
− 3 log(x 2 + 6) = −2 2
x 2 + 6 = 32 = 9 x 2 = 3 ⇒ x = − 3 ∨ x = 3. G30b 2 log(x − 1) = 1 (2 ... nemen) 1 2
2
x −1 = 2 = 2 x = 2 + 1.
y = 2 log(x ) met D = 0, → en V.A.: x = 0
log(3) = x (9 ... nemen)
( )
...
.....translatie (1, 0) f (x ) = 2 log(x − 1) met Df = 1, → en V.A.: x = 1.
9
3 = 9x = 32
log(x + 6) = 2 (3 nemen)
G30a y = 2 log(x ) met D = 0, → en V.A.: x = 0
log(16) = 2 (x ... nemen)
16 = x 2 x = −4 (vold. niet) ∨ x = 4.
5 − 3 log(x 2 + 6) = 3 3
x
x
1 = 2x ⇒ x = 1 . 2
− 2 log(x + 1) + 2 = 1 − 2 log(x + 1) = −1 1 2
2
log(x + 1) = 1 1 (2 ... nemen) 11
G31b tb = 70; tl = 22 en αc = 23, 4 ⇒ 23, 4 = 3, 97(70 − 22)0,233 ⋅ d −0,3 23,4 = 2,39... ⇒ d = −3 Ans ≈ 0, 055 (m). d −0,3 = 3,97(70 −22) 0,233 ⋅ d −0,3 G31c d = 0, 08; tl = 20 en αc = 21,5 ⇒ 21, 5 = 3, 97(tb − 20) 0,233 ⋅ 0, 08 −0,3
0,233 21,5 = 2,5... ⇒ tb = Ans + 20 ≈ 74 (°C). 3,97 ⋅ 0,08−0,3
G32a SAndré = 12, 62 − 0,2 ⋅ (52,2 − 50) = 12,18 en S Bernard = 16,37 − 0,2 ⋅ (74,1 − 50) = 11, 55. Nu is de score van André de hoogste score. G32b 12, 62 − k ⋅ (52,2 − 50) = 16,37 − k ⋅ (74,1 − 50) 12, 62 − 2,2 ⋅ k = 16,37 − 24,1 ⋅ k 21, 9 ⋅ k = 3, 75 ⇒ k ≈ 0,171. G32c S Cor = 14,32 − 0,1 ⋅ (G − 50) = 14,21 ⇒ −0,1 ⋅ (G − 50) = −0,11 ⇒ G − 50 = 1,1 ⇒ G = 51,1.
( )
2 3
≈ 14,11.
( 101 )
G32d S = 15, 71 − k ⋅ (101 − 50) = 15, 71 − 51k en T = 15, 71 ⋅ 50
( )
50 S =T ⇒ 15, 71 − 51k = 15, 71 ⋅ 101
( 101 )
−51k = 15, 71 ⋅ 50
2 3
2 3
2 3
.
(intersect of)
− 15, 71 ⇒ k ≈ 0,115.
S
0,115. G33a Voor x = 18 is P = 100 ⇒ 100 = a ⋅ log(19) ⇒ a = 100 ≈ 78,201. log(19)
G33b 78 ⋅ log(x + 1) = 75 (intersect of) log(x + 1) = 75
x + 1 = 10
75 78
78
75
x = 10 78 − 1 ≈ 8,15. Dus op stand 8,2. G33c k = −1,3 (bij een knop van 0 tot 6 zou de knop 1,7 aanwijzen) ⇒ x =
P = 78 ⋅ log(5,1 + 1) ≈ 61,3. Dus P is ongeveer 61%
2
1
Dus AB = 1 + 2 − (2 ⋅ 2 − 1) = 1 + 2 − 2 ⋅ 2 + 1 = 2 − 2.
G31a tb = 80; tl = 20 en d = 0, 04 ⇒ αc = 3, 97(80 − 20) 0,233 ⋅ 0, 04 −0,3 ≈ 27,1.
50 TCor = 14,32 ⋅ 51,1
2
x + 1 = 2 2 = 21 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 x = 2 ⋅ 2 − 1.
.....verm. t.o.v. de x -as met −1 y = − 2 log(x ) met D = 0, → en V.A.: x = 0 .....translatie ( −1, 2) g (x ) = − 2 log(x + 1) + 2 met Dg = −1, → en V.A.: x = −1.
(tb − 20) 0,233 =
= 32x
1,7 ⋅ 18 = 5,1. 6
