ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 1. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y = x2 + Bx − 3A a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y = ln(Bx),
x = 1/A
a
x = 3A
a osou x. Vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e parametricky zadanou kˇrivkou (tzv. cykloidou) x(t) = A(t − sin t),
y(t) = A(1 − cos t),
t ∈ h0, 2πi,
a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku Neilovy paraboly zadan´e rovnic´ı 3 5 2 3 , y = (Ax − 3B) pro x ∈ A A 5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami xy = 2A,
x=B
a
x = A + 2B
kolem osy x?
1
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 2. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y = 2A − x2 a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y 2 = 2Ax,
x2 = 2Ay
a vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = x sin(Ax),
x = Bπ,
x = 2π
a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku parametricky zadan´ e kˇ rivky (tzv. cykloidy) x(t) = A(t − sin t),
y(t) = A(1 − cos t),
t ∈ h0, 2πi.
5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = cos2 x,
x=0
a
x = Bπ
kolem osy x?
2
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 3. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y = Ax − x2 a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y 2 = Ax + b
a
x + By − A = 0.
Vypoˇc´ıtejte d´ale jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = (Ax) sin(2x),
x = −Bπ,
x = Aπ
a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky y = ln(1 − x2 )
pro
x∈
−
B B , . 2 2
5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı elipsy x2 y2 + =1 A2 3B 2 kolem osy x?
3
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 4. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou √ y = x(2A − x x ) a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami xy = A,
x + By = 2A + 1
a vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = x3 − Ax2 ,
x = −A,
x = 2B
a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky y = ln(1 − x2 )
pro
x∈
−
B ,0 . 2
5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = A cos x,
x = −π
a
x = Bπ
kolem osy x?
4
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 5. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y=
eA/x Bx2
na intervalu x ∈ hB, 3Ai a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y 2 = 3Ax,
y = A + 2,
x=0
a vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = 2x2 − A,
a
y = Bx2 .
4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky y=
1 2
(ex + e−x )
pro x ∈ h−2A, 0i. 5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami x , y = 0 a x = Bπ y = A tan 3 kolem osy x?
5
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 6. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y = x2 + Bx − A a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou parametricky zadanou kˇrivkou ξ = B(t − sin t); A(−1 + cos t) , t ∈ h0, 2πi a osou x. Vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = (x − B)eAx ,
x = −2A,
x=A
a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky y 2 = Ax3 pro x ∈ h0, 2Ai. 5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = B(ex + e−x ),
x=0
a
x=A
kolem osy x?
6
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 7. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = A + ln x,
x = Ae
a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y 2 = 2Ax,
x2 = −2Ay
a vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami √ y = Bx, y = x + A a y = 0. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky zadan´e parametrick´ ymi rovnicemi x(t) = 2 − At2 ,
y(t) = 2Bt3 ,
mezi pr˚ useˇc´ıky s osou y. 5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = A sin x,
x=0
a
x = 2Bπ
kolem osy x?
7
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 8. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou 3√ y = e2x · ex − 2A na intervalu x ∈ h−A, Ai a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y = x2 + Ax,
Bx − y + A = 0
a vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e parametricky zadanou kˇrivkou ξ = A(t − sin t); 3B(1 − cos t) pro t ∈ h0, 2πi, a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky 1 + ex (x) f = ln x e −1
pro
x ∈ 1, ln(2A + 1) .
5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou x2 + y2 = 1 A2 kolem osy x?
8
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 9. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y = (x2 − 2A2 )e−Bx a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y = A − x2 ,
y = B − 1 + x4
a vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = Ax3 ,
y = 3A,
x=0
a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky y = ln(cos x)
pro
x∈
−
Bπ Bπ , . 3 3
5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y 2 = Ax
a
y = Bx2
kolem osy x?
9
Typeset in LATEX
ˇ FS VSB-TU Ostrava
Matematika II. (LS 2009)
Program 2. Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu – zad´ an´ı 10. Bud’te A=
a+1 , 2
B=
1 . b+1
1. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkou y = (x2 − 2A2 )arccotan (x) a osou x. 2. Naˇ crtnˇ ete plochu ohraniˇcenou kˇrivkami y = Ax − x2 ,
Bx + y = 0
a vypoˇc´ıtejte jej´ı obsah. 3. Urˇcete obsah plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami y = ln Bx,
x = Ae
a osou x. 4. Spoˇc´ıtejte d´ elku kˇ rivky y=
1 2
(ex + e−x )
pro x ∈ h0, Ai. 5. Jak´ y objem bude m´ıt tˇeleso, kter´e vznikne rotac´ı plochy ohraniˇcen´e kˇrivkami √ √ y = Ax − 1 , y = Ax + 1 , y =0 a x=A+2 kolem osy x?
10
Typeset in LATEX
