1. Maksimum dan Minimum a. Nilai Tengah (Mean Value Theorem)
Gambar 3 Pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 atau biasa ditulis 𝑎, 𝑏 gradien garis yang menghubungkan titik 𝑎, 𝑓 𝑎 dan 𝑏, 𝑓 𝑏 adalah 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝑚= 𝑏−𝑎 Pada selang 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏 terdapat garis singgung kurva pada titik 𝑐, 𝑓 𝑐 yang sejajar garis yang menghubungkan titik 𝑎, 𝑓 𝑎 dan 𝑏, 𝑓 𝑏 Jika 𝑓 𝑥 kontinu pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dan mempunyai turunan di 𝑥 = 𝑐 maka gradien garis singgungnya adalah 𝑓 𝑐+ℎ −𝑓 𝑐 𝑚 = 𝑓 ! 𝑐 = lim !→! 𝑐 sehingga Jika 𝑓 𝑥 kontinu pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dan mempunyai turunan di 𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝑓! 𝑐 = 𝑏−𝑎 Hal ini dikenal dengan Teorema Nilai Tengah atau Mean Value Theorem
Gambar 4 Hal khusus pada teorema nilai tengah jika 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 maka ! ! !! ! 𝑓 ! 𝑐 = !!! = = !
𝑓 𝑐
! ! !! ! !
!!!
!!!
=0
Jika 𝑓 𝑥 kontinu pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 dan mempunyai turunan di 𝑥 = 𝑐 serta 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 maka 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 = 0 sehingga 𝑓 ! 𝑐 = 0 Hal ini dikenal dengan Teorema Rolle. Titik 𝒄, 𝒇 𝒄 disebut titik stationer Titik stationer merupakan salah satu titik kritis dalam selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Titik kritis yang lain dalam selang adalah titik pada ujung ujung selang yaitu titik 𝑎, 𝑓 𝑎 dan 𝑏, 𝑓 𝑏
b. Fungsi Naik dan Turun Fungsi Turun
Gambar 5 Fungsi dikatakan turun pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 jika 𝒇 𝒂 > 𝒇 𝒃 Karena 𝑓 𝑎 > 𝑓 𝑏 maka 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 < 0 atau negatif Karena 𝑎 < 𝑏 maka 𝑏 − 𝑎 > 0 atau positif Maka sesuai dengan teorema nilai tengah Fungsi 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 , jika 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝒇! 𝒙 = < 𝟎 𝑏−𝑎 maka fungsi turun pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Fungsi Tidak Naik Fungsi 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 , jika 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝒇! 𝒙 = ≤ 𝟎 𝑏−𝑎 maka fungsi tidak naik pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Fungsi Naik
Gambar 6
Fungsi dikatakan naik pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 jika 𝒇 𝒂 < 𝒇 𝒃 Karena 𝑓 𝑎 < 𝑓 𝑏 maka 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 > 0 atau positif Karena 𝑎 < 𝑏 maka 𝑏 − 𝑎 > 0 atau positif Maka sesuai dengan teorema nilai tengah Fungsi 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 , jika 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝒇! 𝒙 = > 𝟎 𝑏−𝑎 maka fungsi naik pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 Fungsi Tidak Turun Fungsi 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 , jika 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 𝒇! 𝒙 = ≥ 𝟎 𝑏−𝑎 maka fungsi tidak turun pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
c. Titik Ekstrim Fungsi 𝑓 𝑥 kontinu dan mempunya turunan pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 , jika 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 dan 𝑓 𝑐 adalah titik ekstrim maka Karena 𝑎 < 𝑐 maka ada ℎ > 0 sehingga 𝑐 = 𝑎 + ℎ atau 𝑎 = 𝑐 − ℎ 𝑓 𝑐 + −ℎ − 𝑓 𝑐 𝑓′ 𝑐 = lim !→! −ℎ 𝑓 𝑐−ℎ −𝑓 𝑐 = lim !→! −ℎ 𝑓 𝑎 −𝑓 𝑐 𝑓′ 𝑐 = lim !→! −ℎ ! ! !! Karena 𝑓 𝑎 ≤ 𝑓 𝑐 maka 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑐 ≤ 0 sehingga lim!→! !! atau 𝑓′ 𝑐 ≥ 0
!
≥ 0
Gambar 7 Jika 𝑏 > 𝑐 maka ada ℎ > 0 sehingga 𝑏 = 𝑐 + ℎ 𝑓 𝑐+ℎ −𝑓 𝑐 𝑓′ 𝑐 = lim !→! ℎ 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑐 𝑓′ 𝑐 = lim !→! ℎ ! ! !! ! Karena 𝑓 𝑏 ≤ 𝑓 𝑐 maka 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑐 ≤ 0 sehingga lim!→! ≤ 0 ! atau 𝑓′ 𝑐 ≤ 0 Karena dalam selang 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 dari kanan 𝑓′ 𝑐 ≤ 0 , dari kiri 𝑓′ 𝑐 ≥ 0 dan nilai 𝑓′ 𝑐 maka 𝑓 ! 𝑐 = 0 Fungsi 𝑓 𝑥 kontinu dan mempunyai turunan pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 , jika 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 dan 𝑓 𝑐 adalah titik ekstrim (maksimum atau minimum) maka 𝒇! 𝒄 = 𝟎
d. Titik Ekstrim , Titik Balik dan Titik Belok Perlu diperhatikan dari bagian sebelumnya titik ekstrim haruslah titik stationer tetapi titik stationer belum tentu menjadi titik ekstrin dalam suatu selang Untuk lebih jelasnya lihat pembahsan dibawah Titik ekstrim lokal adalah titik ekstrim pada selang tertentu pada domain
Gambar 8
Pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 Titik 𝐴 disebut esktrim lokal minimum dan Titik 𝐷 disebut ekstrim lokal maksimum Perhatikan kedua titik di atas bukanlah titik stationer. Pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 Titik 𝐵 disebut ekstrim lokal maksimum dan juga merupakan titik stationer Pada selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 grafik naik 𝑓 ! 𝑥 > 0 Pada 𝑥 = 𝑏 grafik stationer 𝑓 ! 𝑥 = 0 Pada selang 𝑏 < 𝑥 < 𝑐 grafik turun 𝑓 ! 𝑥 < 0 Sehingga titik 𝐵 disebut juga titik balik maksimum
Pada selang 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 Titik 𝐶 disebut ekstrim lokal minimum dan juga merupakan titik stationer Pada selang 𝑏 < 𝑥 < 𝑐 grafik turun 𝑓 ! 𝑥 < 0 Pada 𝑥 = 𝑐 grafik stationer 𝑓 ! 𝑥 = 0 Pada selang 𝑐 < 𝑥 < 𝑑 grafik naik 𝑓 ! 𝑥 > 0 Sehingga titik 𝐶 disebut juga titik balik minimum Pada pembahasan sebelumnya grafik naik kemudian stationer dan kemudian turun maka titik stationer disebut juga titik balik Sekarang grafik turun kemudian stationer dan kemudian turun lagi maka titik stationernya disebut titik belok
Gambar 9
Pada selang 𝑥 < 𝑎 grafik turun 𝑓 ! 𝑥 < 0 Pada 𝑥 = 𝑎 grafik stationer 𝑓 ! 𝑥 = 0 Pada selang 𝑥 > 𝑎 grafik turun 𝑓 ! 𝑥 < 0 Sehingga titik 𝐴 yang merupakan titik stationer disebut juga titik belok
Titik ekstrim mutlak adalah titik ekstrim untuk semua domain
Gambar 10 Titik 𝐴 disebut titik ekstrim mutlak minimum karena berlaku untuk 𝑥 ∈ 𝑅
Gambar 11 Titik 𝐴 disebut titik ekstrim mutlak maksimum karena berlaku untuk 𝑥 ∈ 𝑅
e. Cekung Cembung
Gambar 12 Pada gambar di atas adalah titik titik pada kurva 𝑓 𝑥 yang kontinue dan mempunyai turunan pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘 Karena dari titik 𝐴 grafik turun dan stationer titik 𝐹 kemudian naik sampai titik 𝐾 maka 𝑓 ! 𝑎 < 𝑓 ! 𝑏 < ⋯ < 𝑓 ! 𝑓 = 0 < ⋯ < 𝑓 ! 𝑖 < 𝑓 ! 𝑗 < 𝑓 ! 𝑘 dalam selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘 dan berlaku 𝑓 ! 𝑥 + ℎ − 𝑓 ! 𝑥 > 0 sehingga 𝑓 ! 𝑥 + ℎ − 𝑓′ 𝑥 𝑓 !! 𝑥 = lim > 0 !→! ℎ Pada titik 𝐹 minimum lokal sehingga 𝑓 ! 𝑓 = 0 𝑓 !! 𝑓
= lim!→!
𝑓 !! 𝑓
= lim!→!
! ! !!! !!! ! ! ! ! !!! !! ! ! ! !!!
𝑓 !! 𝑓 = lim!→! ! Karena disebelah kanan titik 𝐹 grafik naik maka 𝑓 ! 𝑓 + ℎ > 0 maka lim!→!
! ! !!! !
> 0 sehingga 𝑓 !! 𝑓 > 0
Jika 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada interval 𝑎, 𝑏 maka jika 𝒇!! 𝒙 > 𝟎 Grafik cekung ke atas dan garis singgung terletak di bawah kurva Fungsi 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada interval 𝑎, 𝑏 sedemikian sehingga 𝑓 ! 𝑐 = 0 jika 𝒇!! 𝒄 > 𝟎 maka 𝑓 𝑐 adalah minimum lokal
Sebaliknya jika grafik cekung ke bawah
Gambar 13 Pada gambar di atas adalah titik titik pada kurva 𝑓 𝑥 yang kontinue dan mempunyai turunan pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘 Karena dari titik 𝐴 grafik naik dan stationer titik 𝐹 kemudian turun sampai titik 𝐾 maka 𝑓 ! 𝑎 > 𝑓 ! 𝑏 > ⋯ > 𝑓 ! 𝑓 = 0 > ⋯ > 𝑓 ! 𝑖 > 𝑓 ! 𝑗 > 𝑓 ! 𝑘 dalam selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘 dan berlaku 𝑓 ! 𝑥 + ℎ − 𝑓 ! 𝑥 < 0 sehingga 𝑓 ! 𝑥 + ℎ − 𝑓′ 𝑥 𝑓 !! 𝑥 = lim < 0 !→! ℎ
Pada titik 𝐹 maksimum lokal sehingga 𝑓 ! 𝑓 = 0 𝑓 !! 𝑓
= lim!→!
𝑓 !! 𝑓
= lim!→!
! ! !!! !!! ! ! ! ! !!! !! !!
! !!!
𝑓 !! 𝑓 = lim!→! ! Karena disebelah kanan titik 𝐹 grafik turun maka 𝑓 ! 𝑓 + ℎ < 0 maka lim!→!
! ! !!! !
< 0 sehingga 𝑓 !! 𝑓 < 0
Jika 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada interval 𝑎, 𝑏 maka jika 𝒇!! 𝒙 < 𝟎 Grafik cekung ke bawah dan garis singgung terletak di atas kurva Fungsi 𝑓 𝑥 kontinue dan mempunyai turunan pada interval 𝑎, 𝑏 sedemikian sehingga 𝑓 ! 𝑐 = 0 jika 𝒇!! 𝒄 < 𝟎 maka 𝑓 𝑐 adalah maksimum lokal Jika pada titik 𝑐, 𝑓 𝑐 grafik mengalami perubahan kecekungan maka titik tersebut disebut titik belok Pada titik belok terjadi perubahan kecekungan berarti sebelum titik belok 𝑓 !! 𝑥 < 0 dan sesudah titik belok 𝑓 !! 𝑥 > 0 atau sebaliknya sehingga pada titik belok haruslah 𝑓 !! 𝑐 = 0 Jika 𝑓 𝑥 kontinu dan mempunyai turunan kedua pada 𝑥 = 𝑐 atau 𝑓′′ 𝑐 ada dan titik 𝑐, 𝑓 𝑐 adalah titik belok grafik 𝑓 𝑥 maka 𝑓 !! 𝑐 = 0
