BAB I PENDAHULUAN
1.1. Sistem Bilangan Sistem bilangan yang akan dibahas disini adalah sistem bilangan riil. Untuk memperjelas definisi bilangan riil, berikut diberikan skema bilangan dari yang paling sederhana sampai bilangan kompleks. Bil. riil
Rasional
Bulat
Irrasional
Pecah
Nol Negatif
Cacah Asli Gambar 1.1. Skema Bilangan
Cara penyajian bilangan riil dapat menggunakan interval atau selang. Ada selang terbuka, tertutup dan selang setengah terbuka atau setengah tertutup. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh penyajian bilangan riil dengan selang : -
Selang tertutup
: {x | α ≤ x ≤ b, x ∈ R}, dengan gambar
a
b
-
Selang terbuka
: {x | α ∠ x ∠b, x ∈ R}, dengan gambar
a
b
-
Selang setengah terbuka atau setengah tertutup :
{x | α ≤ x ∠b, x ∈ R} atau {x | α ∠ x ≤ b, x ∈ R}, dengan gambar
a
b
atau
a
b
Untuk selanjutnya semesta pembicaraan yang dipakai adalah bilangan riil.
1
1.2. Himpunan Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai sifat keterikatan antara anggotanya dan yang berada dalam satu kesatuan. Cara menyajikan himpunan adalah dengan beberapa cara: dengan pendaftaran, yaitu mendaftar semua anggota yang dimiliki himpunan itu. Dengan pencirian, yaitu dengan menyebutkan ciri himpunan yang dimaksud, sedangkan dengan cara diagram Venn adalah memasukkan anggota yang memiliki ciri yang sama dalam satu himpunan tertentu, dan himpunan lain adalah anggota himpunan dengan ciri yang berbeda. Ada beberapa operasi antar himpunan, yaitu : 1. Union atau gabungan. A union B atau A gabungan B dapat dinyatakan sebagai A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B, x ∈ R}. 2. Interseksi atau irisan. A interseksi B atau A irisan., B dapat dinyatakan sebagai A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B, x ∈ R}. 3. Pengurangan. A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B, x ∈ R} 4. Penambahan. A + B = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) 5. Perkalian. A x B = {(a, b ) | a ∈ A ∧ b ∈ B, a ∈ R, b ∈ R} 6. Komplemen atau Ac adalah {a | a ∉ A, a ∈ R}
1.3. Macam-macam fungsi 1.3.1 Fungsi Aljabar 1. Polinom atau suku banyak Contoh : polinom/suku banyak F ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ..... + an x n Polinom di atas dinamakan polynomial berderajat n. 2. Fungsi rasional : f ( x) =
P( x) , Q ( x) ≠ 0 Q( x)
x3 − x 2 + 5 Contoh : f ( x) = x2 − 9
2
3. Fungsi irrasional, adalah fungsi yang bukan rasional. Sehingga nilai-nilai dalam fungsi bukan merupakan bilangan rasional.
1.3.2. Fungsi Transendental 1. Fungsi Trigonometri
Contoh : y = sin x 2. Fungsi Siklometri
Contoh : y = arc sin x 3. Fungsi Eksponen
Contoh : y = ax 4. Fungsi Logaritma
Contoh : y = log x, elog a = ln a 5. Fungsi Hiperbolik
Contoh : sinh x =
e x − e−x e x + e−x ; cosh x = 2 2
6. Kebalikan Fungsi Hiperbolik
Contoh : y = sinh −1 x x = sinh y
e y − e−y =x 2
y = cosh −1 x y = tanh −1 x 7. Fungsi Genap & Fungsi Ganjil Definisi fungsi genap dan fungsi ganjil adalah sebagai berikut : Disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x), dan disebut fungsi ganjil jika memenuhi f(-x) = -f(x)
Contoh fungsi genap : f ( x) = cos x
f ( x) =
1 x +4 2
3
f ( x) =
1 x +4 4
Contoh fungsi ganjil : f ( x) = sin x f ( x) =
1 x5
f ( x) = −
1 x
8. Fungsi Periodik Yang dimaksud fungsi periodik adalah suatu fungsi yang nilainya selalu berulang setiap selang tertentu. Sebagai contoh diberikan fungsi trigonometri sebagai berikut : f(x) = sin x = sin (x+2 k ) f(x) = cos x = cos (x+2 k ) f(x) = tan x = sin (x+ k ) f(x) = cotg x = sin (x+ k ) Fungsi diatas merupakan fungsi periodik dengan periode k.
1.3.3 Segitiga Pascal dan Binomium Newton Akan dibahas tentang penyelesaian suatu fungsi aljabar berbentuk (a+b)m, dengan m bilangan positif atau negatif. Diharapkan dapat dimengerti beda penggunaan segitiga pascal dan rumus binomium newton.
Segitigas Pascal 1 1 1 1 1
1 2
3 4
1 3
6
1 4
1
dst
Gambar 1.2 Skema Segitiga Pascal
4
Dengan menggunakan segitiga Pascal, maka perhitungan–perhitungan dibawah ini akan lebih mudah dipahami. = 1.a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 1.b 3
(a − b) 3
= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a − b) 4
= a + (−b)) 4 = 1.a 4 + 4a 3 (−b) + 6a 2 (−b) 2 + 4a (−b) 3 + 1.b 4 = a 4 − 4a 3b + 6a 2 b 2 − 6ab 3 + b 4
Dst... Jika Ditemukan persamaan berbentuk (a ± b)1 / 2 , maka pemecahannya tidak dapat menggunakan segitiga Pascal. Diperlukan rumus yang lebih umum yang selain dapat dipakai untuk mencari bentuk-bentuk (a ± b) berpangkat bulat, juga dapat dipakai untuk menemukan penyelesaian untuk (a ± b) berpangkat bilangan pecah. Rumus umum yang dipakai untuk menyelesaikan permasalahan diatas adalah Rumus Binomium Newton, yang akan dibahas berikut ini.
Rumus Binomium Newton (a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + Cn2 a n−2b 2 + ... n
∑ C ni a ( n −1) b i
i =0
Dimana
C nk =
n! n = k!(n − k )! k
n!= 1,2,3,....n
Sehingga ( a + b) n = a n +
n n −1 n(n − 1)a n − 2b 2 n(n − 1)(n − 2)a n −3b3 a b+ + + ... 1! 2! 3!
5
1.3.4 Cara Menyajikan Suatu Persamaan Ada beberapa cara penyajian suatu persamaan berdasarkan beubahpeubahnya.
1. Bentuk Implisit : Peubah bebas dan tak bebas berada dalam satu ruas. F (x,y) = 0 G (x,y,z) = 0
Contoh : x2 + 2y + 10 = 0 2. Bentuk Explisit : Peubah bebas dan tak bebas dalam ruas yang berbeda. y = f(x) ; x = f(y) ; z = f(x,y)
Contoh : y = x2 + 2x + 8 3. Bentuk Parameter Peubah merupakan fungsi dari suatu parameter x = g( ϕ ), ϕ parameter y = g( ϕ ) z = (ϕ ) Misalkan diberikan persamaan : x = 2t + t2 ; y = 5t+10t2; z = 3t2 + 6t + 5
Contoh : Sebagai Contoh diberikan suatu persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 1. Bagaimanakah persamaannya dalam bentuk implisit, eksplisit, dan bentuk parameter.
Jawab : x2 + y2 = 1 Bentuk Implisit : x2 + y2 – 1 = 0 Bentuk explisit : y2 = 1 – x2 y = ± 1− x 2
6
Bentuk parameter : x = cos t t parameter y = sin t
1.4. Koordinat Kutub / Polar Setiap titik dalam koordinat kutub dinyatakan dengan r dan v r = modulus yaitu jarak dari 0 ke titiknya (OP)
ϑ = argumen adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam dengan garis OP. O adalah titk kutub, sedangkan OX adalah sumbu kutub. Hubungan koordinat Orthogonal dengan kutub Polar adalah sebagai berikut : y = r sin ϑ , x = r cos ϑ dan r =
x2 + y2 .
Contoh : 1. r = 5 maka r =
x2 + y2
5=
x2 + y2
25 = x2 + y2 2. r = 3 cos V maka = 3 r=3
x r
x x2 + y2
x2 + y2 =
x x2 + y2
x2 + y2 = 3 x x2 – 3x + y2 = 0 2
3 2 2 x− + y = 2 3 2 3 Pusat ,0 , jari-jari = 3 2 3. r = 4 sin V
7
x2 + y2 = 4
y 2
x + y2
x2 + y2 = 4y x2 + y2 - 4y = 0 x2 + (y-2)2 = 22 lingkaran pusat (0,2) jari-jari 2
8
BAB II BARISAN BILANGAN, LIMIT FUNGSI DAN DERIVATIF
Dalam membicarakan masalah barisan bilangan, maka setiap diberikan kata barisan, yang dimaksud adalah barisan barisan bilangan.
2.1. Barisan Bilangan Definisi : Bila C adalah himpunan tak kosong, barisan bilangan dalam C adalah harga fungsi f dari A ke C, dimana A adalah bilangan asli. Cara penyajiannya adalah {C1, C2, ..... Cn} atau {Cn}, n ε A atau f(n) = Cn,
nε A Contoh :
1. 1, 1 , 1 , 1 ,....., Cn = 1 2 3 4
n
2. {1,2,3,4,....., Cn = n} 3.
{− 1,1,−1,...., Cn = (− 1) } n
Limit suatu barisan bilangan didefenisikan sebagai artinya pada setiap ε > 0 , ada bilangan indeks no = no( ε ), sehingga untuk n ≥ no berlaku |Cn – l| < ε Barisan yang berlimit disebut konvergen, sedangkan barisan yang tak berlimit disebut divergen. Nul sequence adalah suatu barisan yang limitnya nol. Contoh : Cn =
n n +1
l =1
Misal diambil ε =
1 800
Dicari bilangan indeks no yang bergantung ε ,
9
Maka, |Cn – 1| < ε n 1 −1 < n +1 800 1 n (n + 1) 1 − < − < 800 n + 1 n + 1 800
1 < 800 1 − < 800 −
−1 1 < n + 1 800 −1 −1 1 dan < n +1 n + 1 800
- n – 1 < - 800 dan – 801
799 dan n > - 801 Jadi yang memenuhi n > 799 (no = 799) Sehingga n dipenuhi adalah 800 |C800 – 1|<
1 800
2.2. Limit Fungsi Definisi : L disebut limit kiri dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kiri atau lim f ( x) = L artinya untukk setiap ε > 0 dapat x−a −
ditemukan δ (ε ) sedemikian sehingga untuk setiap harga dalam interval a − δ < x < a berlaku (f(x)–L< ε ).
L disebut limit kanan dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kanan atau lim f ( x) = L artinya setiap ε > 0 dapat ditemukan x−a +
s( ε ) sedemikian sehingga untuk setiap harga x dalam interval a < x < a + δ berlaku (f(x)–L< ε )
10
Jika lim f ( x) = lim f ( x) = L x−a −
x−a+
Maka dinyatakan f(x) mempunyai limit di x = a atau lim f ( x) = L x −a
Gambar 2.1 Skema Limit
Contoh : f(x) =
1 1 atau y = x −1 x −1
Nilai f(x) untuk x sama satu tidak terdefinisi, karena nilai f (x) menjadi pecahan dengan penyebut bernilai nol.
f(x)
= x, untuk x > 1 = x 2 , untuk x < 1 = 0, untuk x = 1
lim f ( x ) = 12 = 1
x →1−
lim+ f ( x ) = 1, karena limit kiri sama dengan limit kanan maka dengan x →1
definisi diatas terbukti lim f (x ) = 1 . x →1
Teorema-teorema tentang limit : Ada beberapa teorma-teorema penting yang tidak diberikan buktinya disini, akan tetapi dibidang teknik penggunaannya sangat penting.
11
Jika diberikan lim f ( x) = f dan lim g ( x) = g , maka : x −C
x −C
1. lim{ f ( x) ± g ( x)} = lim f ( x) ± lim g ( x) = f ± g x −C
x −C
x −C
2. lim k f ( x) = k . lim f ( x) = kf , dimana k adalah suatu konstanta. x −C
x −C
3. lim f ( x).g ( x) = lim f ( x) lim g ( x) = f .g x −C
4. lim x −C
x −C
x −C
f ( x) f f ( x) lim = x −C = ,g ≠ 0 g ( x) lim g ( x) g x −C
5. lim{ f ( x)}n = {lim f ( x)}n = f n x −C
x −C
lim g ( x )
6. lim{ f ( x)}g ( x ) = {lim f ( x)} x −C
x −C
x −C
7. lim n f ( x) = n lim f ( x) = n f , f ≥ 0 x −c
x −c
8. lim ln f ( x) = ln lim f ( x) = ln f , f > 0 X −C
x −c
9. lim k f ( x ) = k
lim f ( x ) x −c
x −c
=kf
1 1 10. lim1 + = lim1 − x −≈ x x −≈ x
−x
=e
2.3. Kekontinuan Definisi : Sebuah fungsi f dinamakan kontinu pada c, jika 1. f(c) ada (f terdefinisi di c) 2. lim f ( x) = ada, berarti limit kanan sama dengan limit kiri x−3
3. lim f ( x) = f (C ) x −3
Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, maka f(x) diskontinu di C.
12
2.4. Derivatif Skema
Gambar 2.2 Fungsi y = f(x) untuk mempermudah pemahaman derivatif.
Jika ada 2 titik : P(x,y); Q(x+∆x,y+∆y) P dan Q berada pada fungsi y = f(x) Garis singgung di P membentuk α dengan sumbu x. Garis singgung di Q membentuk α + ∆ α dengan sumbu x. tan < QPS =
∆y dengan ∆x mendekati 0, dan ∆ α mendekati 0, koefisien ∆x
arah garis singgung di P = tan α = lim
∆x →0
α =
∆x . Jika lim ada maka tan ∆y
dy = Y ' ( x) = Dy ( x) = derivatif pertama dari y ke x. dx
y = f (x) maka y + ∆y = f ( x + ∆x) dy f ( x + ∆x) − f ( x) = f ' ( x) = lim atau dy=f’(x) dx ∆ x − 0 dx ∆x
y=f(x) maka y ' =
df = f ' ( x) dx
Contoh : y = 3 1 − x 4 = (1 − x 4 )
1
3
13
du = −4x 3 dx
Misal u = 1 − x 4 dy 1 − 2 3 = u dx 3 dy dy du 1 = . = 1− x4 dx du dx 3 y=u
1
3
(
−2
) (− 4 x ) 3
3
Definisi 1. misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang bukan suatu titik. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada selang I, jika turunannya (f’) terdefinisi. 2. Derivatif pertama dari y = f(x) ke-x dy f ( x + ∆x) − f ( x) = lim dx ∆x − 0 ∆x dy = y' = = f ' ( x) dx
2.4.1 Rumus-rumus derivatif Jika u, v, w fungsi dari x, a, b, c, n = konstan : 1.
d (c ) = 0 dx
2.
d (cx) = c dx
7.
d (uvw) = uv dw + uw dv + vw du dx dx dx dx
3.
d (cx n ) = ncx n−1 dx
d u 8. = dx v
4.
d (u ± v ± w ± ...) dx
v≠0
=
5. 6.
du dv dw ± ± ± ...) dx dx dx
d (cu ) = c du dx dx d (uv ) = u dv + v du dx dx dx
v
du dv −u dx dx v2
9.
d n du (u ) = nu n−1 dx dx
10.
dy dy du = . dx du dx
11.
du 1 = dx dx du
14
dy d 12. = du dx dx du
13.
d du sin u = cos u dx dx
28.
d du e"= e" dx dx
29.
d v d vinu u = e = dx dx
d (v ln u ) = dx v du e v ln u + u dx du e v ln u ln u (1) = dx du dv vu v −1 + u v ln u dx dx
e v ln u
14.
d du cos u = − sin u dx dx
15.
d du tan u = sec u 2 dx dx
16.
d du cot u = − csc 2 u dx dx
17.
d du sec u = sec u tan u dx dx
30.
d du sinh u = cosh u dx dx
18.
d du csc u = − csc u cot u dx dx
31.
d du cosh u = sinh u dx dx
19.
d 1 du sin −1 u = dx 1 − u 2 dx
32.
d du tanh hu = sec h 2 u dx dx
20.
d 1 du cos −1 u = 2 dx 1 − u dx
33.
d du coth u = −c sec h dx dx
21.
d 1 du tan −1 u = dx 1 + u 2 dx
34.
d du sec hu = − sec hu tanh u dx dx
22.
d − 1 du cot −1 u = dx 1 + u 2 dx
35.
d du c sec hu = − sec hucthu dx dx
23.
d 1 du sec −1 u = 2 dx u 1 − u dx
36.
d 1 du sinh −1 u = dx u 2 + 1 dx
24.
d − 1 du sec cse −1u = dx u 1 − u 2 dx
37.
d ± 1 du cosh −1 u = dx u 3 + 1 dx
25.
d 1 du log u = . dx u ln a dx
38.
d ± 1 du tanh −1 u = dx 1 + u 2 dx
26.
d 1 du ln u = . dx u dx
a
27.
d du a" = a" ln a dx dx
-1 < u < 1 39.
d 1 du coth −1 u = dx 1 + u 2 dx
15
- u > 1 \ / u < −1 40.
41.
± 1 du d sec h −1u = u dx 1 + u 2 dx
d ± 1 du cesh −1u = u dx 1 + u 2 dx
Contoh : 1. f(x) = x sin x maka f’(x) = x cos x + 1.sin x = x cos x + sin x 2. f(x)
= 2x2+3x2 tan x, x ≠ 0, maka
f’(x) = 4x + 3x2.sec2 x+6x tan x x≠0 sin x ,x ≠ 0 x
3. f ( x) = f ' ( x) =
x. cos x − 1sin x ,x ≠ 0 x2 1 x
4. f ( x) = 2 x 5 − 3x 2 − +
3 , maka x2
f ( x) = 10 x 4 − 6 x + x −2 − 6 x −3
5. f ( x) =
1− x , x ≠ −1 , maka 1+ x
f ' ( x) = {(− 1)(1 + x ) − 1(1 − x )}/(1 + x) 2
Catatan : 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x) 2 1 cos 2 x = (cos 2 x + 1) 2
16
2.4.2. Turunan Fungsi Komposisi Atau Turunan Rantai Komposisi fungsi
( f 0 g )1 ( x) =
f ' ( g ( x)).g ' ( x)
Atau rantai dy dy du = . dx du dx dy dy du dv dw = . . . dx du dx dw dx
Contoh : 1. f ( x) = 2 x 2 + 3x f ( x) = ( g o h)( x)
Dibentuk
= g (h( x))
g (h( x)) = h( x)
g ( x) = x h( x) = 2 x 2 + 3
( g 0 h)1 ( x) g ' (h( x)).h' ( x)
Maka h' ( x) = 4 x + 3
f 'x =
1 2 h( x )
h' ( x )
1 2 2 x 2 + 3x g ' ( x) =
.4 x + 3
1 12 1 x = 2 2 x
Cara lain u = 2 x 2 + 3x
f ( x) = y = u y ' =
du = 4x + 3 dx
1 2 u
2
u = 2 x + 3x
dy dy du = . dx du dx f ' ( x) =
1 u
.4 x + 3
17
=
2. f(x) f(x)
1 2 2 x 2 + 3x
.4 x + 3
= sin (tan x), maka = {cos(tan x)} sec2x 1− x , maka 1+ x
3. f ( x ) = sec
1− x 1− x 2 f ( x ) = sec tan {(− 1)(1 + x ) − 1(1 − x )}/(1 + x ) 1+ x 1+ x
{
}
2.4.3. Teorema Turunan fungsi Invers Misal y = f(x) 1 f ' ( x) dx 1 = dy dy dx
x' ( y ) =
Teorema turunan Fungsi f(x) = xr, r rasional F(x) = xr
f’(x) = rxr-1
Contoh : Diberikan suatu fungsi f ( x) = 3 ( x 2 − 2 x) = ( x 2 − 2 x) 2 / 3 , maka 1
f '(x)
− 2 = ( x 2 − 2 x ) 3 ( 2 x − 2) 3
=
4( x − 1) 33 x 2 − 2 x 3
, x ≠ {0,2}
g ( x) = cos tan x = cos(tan x) 1 3
1 3 2
− 1 sin 3 tan x .sec 2 x 2 3 g ' ( x) = − sin(tan x) . (tan x) sec x = 3 33 tan 2 x
1 x ≠ π + kπ , kbulat 2
18
Contoh : 1. f ( x) =
1− x 1+ x
2. f ( x) = x sin x 3. f ( x) = 3 sin x Jawab : 1
1. f(x)
1− x 1− x 2 = = = 1+ x 1+ x 1
f’(x)
1 1 − x 2 (−1)(1 + x) − (1 − x)1 . = 2 1 _ x (1 + x) 2 −
1
1 1− x 2 −1− x −1+ x = . 2 1 + x (1 + x) 2 −
1
1 1− x 2 − 2 = . 2 1 + x (1 + x) 2 1 =− 1− x 2 1 + x (1 + x) 1 =− − 1 (1 + x) 2 .
(1 − x) 2 (1 + x)
2. f(x)
1 2
−1
2
1
(1 + x) (1 − x) 2
1 2
= x sin x = ( x sin x)
f”(x) = ( x sin x)
1 3 2
1
2
(1. sin x + s cos x)
1 −1 ( x sin x) 2 (sin x + x cos x) 2
3. f(x)
= 3 sin x = (sin x )
1
3
19
1 3
f”(x) = (sin x )
−2
3
1 −1 . cos x ( x 2 ) 2
1 12 −2 x (sin x ) 3 . cos x 6
Cari
dy dari x 3 + y 2 + x 2 y 3 = 3 dx
Di (1,1) df ( x, y ) dx
= 3x 2 + 2 y = 3+ 2
Di (1,1)
5+5
dy dy + 2 xy 3 + 3 y 2 x 2 =0 dx dx
dy dy +2+3 = 0 dx dx
dy +0 dx
Jika diminta untuk mencari 5
dy , maka dx
dy dy = - 5, maka =-1 dx dx
2.4.4. Mendeferensialkan Fungsi Implisit Fungsi implisit adalah fungsi yang berbentuk f(x,y)=0 atau (f(x,y) = c. Maka cara mencari
dy dari fungsi implisit adalah sebagai berikut : dx
Untuk memudahkan pemahaman, maka akan langsung diberikan beberapa cara : Contoh : 1. x 2 + y 2 = 25 (fungsi implisit) dy dy = 2x + 2 y =0 dx dx dy 2x + 2 y = dx dy 2y = −2 x dx
20
dy 2x =− dx 2y dy x =− dx y
2. Jika x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 5 = 0 Tentukan
dy d2y dan dx dx 2
Di titik x = 3, y = 2
x2 + y 2 − 2x − 6 y + 5 = 0 dy dy −2−6 = 0 dx dx dy ( 2 y − 6) = 2 − 2x dx dy 2( y − 3) = 2(1 − x) dx dy 1 − x = dx y − 3 dy − 2 di (3,2) = =2 dx − 1 2x + 2 y
d 2 y d 1− x = dx 2 dx y − 3
( y − 3)(−1) − (1 − x)(1) =
dy dx
( y − 3) 2
dy
(3 − y ) − (1 − x) dx = (2 − 3) 2 (3 − 2) − (1 − 3).2 = (2 − 3) 2 1 − ( − 2) 2 = =5 1
3. f ( x, y ) = x + xy 2 − x sin y (atau, x + xy2 = x sin y) 21
Cari
dy d2y dan dx dx 2
2.4.5. Mendeferensialkan Fungsi Dengan Peubah Lebih Dari Satu Secara umum jika diketahui z adalah fungsi dari u1, u2, u3,... un, dan u1, u2, u3,... un adalah fungsi dari x, maka : dz ∂z du1 ∂z du 2 ∂z du n = . + . + ... + . dx ∂u1 dx ∂u 2 dx ∂u n dx
∂z = derivative parsiil pertama dari z ke u ∂u artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan Contoh :
z = x2 + y3 + x2 y3 dz dy dy = z' = 2 x + 3 y 2 + 2 xy 3 + 3 y 2 x 2 dx dx dx ∂z = z x = 2 x + 2 xy 3 ∂x ∂z = z y = 3y 2 + 3 y 2 x2 ∂y
2.4.6. Mendeferensialkan persamaan bentuk parameter x = f (t ) y = g (t )
t = parameter
∆y / ∆t dy / dt dy ∆y ∆y / ∆t lim = lim = lim = ∆t −0 = dx ∆x −0 ∆x ∆x −0 ∆x / ∆t lim ∆x / ∆t dx / dt ∆t − 0
dy = y' dx dy • Jika =Y dt dx • =X dt
•
y' =
Y •
maka
X
22
dy dy d 2 y d dt d dt dt = 2 = = . dx dx dt dx dx dx dt dt 2 dx d y dy d 2 x 1 2 − 2 dt dt dx dt dt dt = 2 dx dt
( )
• ••
•
x y− y x
y
• ••
= y" =
• x
y' =
3
•
x
Contoh : 1. x = 2 − t y = t 2 − 6t − 5 •
dy y Maka y' = = • dx x dy • = y = 2t − 6 dt dx • = x = −1 dt dx 2t − 6 y' = = = 6 − 2t = 2(2 − t ) + 2 dt −1 = 2x + 2 = 2( x + 1)
2. x = t − sin t
0
y = 1− cos t •
dx = 1 − cos t dt • dy y= = sin t dt sin t sin t y' = = 1 − cos t y
x=
23
Sin t dinyatakan dalam y y = 1 − cos t cos t = 1 − y sin t = 1 − cos 2 t 1 − (1 − y ) 2 = 1 − (1 − 2 y + y 2 )
(sin 2 t + cos 2 t = 1)
1 −1+ 2 y − y 2 = 2 y − y 2 y' =
1 2y − y2 y
2.4.7. Mendeferensialkan fungsi pangkat fungsi Jika diketahui z = f(u,v)=uv, dimana u, v adalah fungsi dalam x maka df dapat dicari dengan 2 cara : dx
1. z = u v ln z = ln u v ln z = v ln u
Diturunkan ke – x 1 dz dv v du = . ln u + z dx dx u dx dz v du dv = u v ln u + dx u dx dx
2. z = u v v
z = e ln u = e v ln u v du dv ln u + u dx dx v du dv u v ln u + u dx dx dz = e v ln u dx
Contoh : Diketahui z = xx
24
Cara pertama : z = xx ln z = ln x x ln z = x ln x 1 dz x = 1. ln x + z dx x dz = x x (ln x + 1) dx
Cara kedua : z = xx X z = e ln X 1ln x +
x x
X
e ln X (ln x + 1) x x (ln x + 1)
25
BAB III TERAPAN DERIVATIF
3.1 FUNGSI NAIK DAN TURUN Definisi : Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0, jika ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1<x2 yang terletak dalam interval (x0-h,x0+h) berlaku :f(x1)x2 yang terletak dalam interval (x0-h,x0+h) berlaku :f(x1)>f(x2). Untuk mempermudah pemahamannya diberikan skema pada gambar 3.1
Skema :
Gambar 3.1 Skema Fungsi naik dan fungsi turun
Dalil : Jika
f’(x0)>0
y = f(x) naik di x = x0
f’(x0)<0
y = f(x) turun di x = x0
f’(x0)=0
titik stasioner dari fungsi f tercapai.
f”(x0)<0
maka titik (x0, f(x0)) titik maksimum
f”(x0)>0
maka titik (x0, f(x0)) titik minimum
Contoh : f ( x) = 2 x 4 − 4 x 2 + 3 Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f 26
Jawab : f (x)
= 2x 4 − 4x 2 + 3
f ' ( x) = 8 x 3 − 8 x = 8 x( x 2 − 1) f " ( x) = 24 x 2 − 8
Titik stasioner tercapai jika f’(x)=0 f ' ( x) = 8 x( x 3 − 1) = 0 = 8 x( x + 1) = 0 x1 = 0; x 2 = 1; x3 = −1 f (0) = 3; f (1) = 1; f (−1) = 1
f”(0) = -8<0 maka (0,3) titik maksimum f”(1) = 16>0 maka (1,1) titik minimum f”(-1) = 16>0 maka (-1,1) titik minimum Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.
Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan. Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua selang I (terbuka) 1. Jika f”(x)>0 Grafik f cekung ke atas pada I 2. Jika f”(x)<0 Grafik f cekung ke bawah pada I
27
Definisi titik belok (Ekstrim) f fungsi kontinu pada selang terbuka I a ∈ I , titik =(a, f(a)) dikatakan titik belok jika dipenuhi 2 syarat berikut : 1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x = a 2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di (a,f(a))
Contoh : f ( x) = 5 x 3 − 3 x 5 + 2 f ' ( x) = 15 x 4 + 15 x 2 = 0 x 2 (15 − 15 x 2 ) a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah b) Tentukan semua titik ekstrimnya
Jawab : f ( x) = 5 x 3 − 3 x 5 + 2, x ∈ R f ' ( x) = 15 x 2 − 15 x 4 , x ∈ R f " ( x) = 30 x − 60 x 3 , x ∈ R 1 = −60 x( x 2 − ) 2 1 1 = −60 x( x + 2 )( x − 2 2 2
x1 = 0
x2 = −
f ( 0) = 2 ;
f (−
− x<−
1 2 2
1 7 2) = 2 − 2; 2 8
1 2 2
1 2 2
x3 = f(
1 2 2
1 7 2) = 2 + 2 2 8
1 2 2 −
1 2<x<0 2
x>
1 2 2 28
(a) f cekung ke atas : 1 2 − n, − 2
;
1 2 0, 2
;
1 2, n 2
f cekung ke bawah:
1 2 ;0 − 2
(b) Karena f”(x) ada di x ∈ R dan disekitar x = −
1 1 2 , x = 0, x = 2 ada 2 2
perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya 7 7 1 1 2 ,2 − 2 ; (0,2); 2 ,2 + 2 − 8 8 2 2
Teorema-teorema yang mendukung pembahasan diatas adalah : 1. Teorema Rolle Misalkan f memnuhi syarat : (a) Kontinu pada selang tertutup (a,b) (b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a,b) (c) f(a) = f(b) maka terdapat suatu c ∈ (a, b) ∋ f ' (c) = 0 (Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’(x)=0 atau garis singgung mendatar)
Skema :
Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle
29
2. Teorema nilai Rata-rata Misalkan f memenuhi syarat : (a) Kontinu pada selang tertutup (a,b) (b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a,b) Maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sehingga f ' (c) =
f (b) − f (a ) b−a
(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas garis yang menghubungkan titik (a,f(a)) dengan (b,f(b)). Skema :
Gambar 3.3 Skema Teorema Nilai rata-rata
3.2 Teorema, Rumus Tayor Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat titik x dan x0, maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk : f ( x) = f ( x0 ) +
f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x − x0 ) + + ... + 1! 2!
f ( n ) ( x0 ) f ( n+1) (c) ( x − x0 ) n + ( x − x0 ) n+1 n! (n + 1)! c terletak antara x dan x0 Dapat ditulis F(x)=pn(x)+Rn(x) Dimana : Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n
f ( n+1 (c) Rn(x) = ( x − x0 ) (n + 1)!
30
= suku sisa uraian Taylor
Contoh : Deretkan dengan R Taylor f(x)= sin x di x0= 0
Jawab : f(x)
= sin x
f(0) = 0
f’(x)
= cos x
f’(0) = 1
f”(x)
= -sin x
f”(0) = 0
f3(x)
= -cos x
f3(0) = -1
f4(x)
= sin x
f4(0) = 1
f5(x)
= cos x
f5(0) = 1
f (x)
= f ( 0) +
f ' ( 0) f " ( 0) x+ + ... 1! 2!
= 0 + 1. x + 0 + = x−
(−1) 3 x + ... 3!
x3 x5 + − ... 3! 5!
Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin
Contoh : Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5 Tentukan semua titik ekstrimnya.
Jawab : F(x)=3x2-18x+15 Stasioner jika f’(x)=0, maka 3x2-18x+15=0 atau x2-6x+5=0 Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1=5, x2=1 F”(x)=6x-18, maka f”(5)>0, dan f”(1)<0 Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5,12) dan ekstrim maksimum di titik (1,-12)
31
3.3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut : 0 0
;
∞ ∞
.∞
; 0
; ∞
−
∞
;1
∞
; 0
0
; ∞
0
Aturan dari de l’ Hospital : 1. diketahui f(x) dan g (x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali disekitar x = a :
f (a ) = f ' (a) = f " (a) = ... = f g (a) = g ' (a) = g" (a) = ... = g
( n −1)
( n −1)
(a) = 0
(a) = 0
Sedang f(n)(a) dan g(n)(a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :
lim x→a
f ( x) f ( n ) (a) = g ( x) g ( n ) (a)
2. Kecuali untuk bentuk untuk bentuk
0 , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai 0
∞ ∞
f (a) = f ' (a) = f " (a) = ... = f ( n−1) (a) = ∞ g (a) = g ' (a ) = g" (a) = ... = g ( n−1) (a ) = ∞ Sedang f(n)(a) dan g(n)(a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka :
lim x→a
f ( x) f ( n ) (a) = g ( x) g ( n ) (a)
Contoh : 1. lim x →2
x2 − x − 2 0 2x −1 → = lim = −3 2− x 0 x→2 − 1
sin x 2 0 → 2 x →0 sin x 0
2. lim
32
2 x cos x 2 0 → x→2 2 sin x cos x 0 2 2 x cos x 0 = lim → x→2 sin 2 x 0 2 2 cos x − (2 x)(2 x) sin x 2 = lim x→2 2 cos 2 x 2 .1 = =1 2 = lim
x2 + x ∞ → 2 x→∞ 3 x + 1 ∞
3. lim
2x + 1 ∞ 2 1 → = lim = x →∞ 6 x ∞ x→∞ 6 3 2x 1 + x x =2=1 = lim x →∞ 6x 6 3 x = lim
Contoh : 1 ln( x − II ) cos 2 x x − / 2 π 2 1. limII = limπ = limπ tan x sec 2 x x→ x→ x→ x − π / 2 2
2
2
1 (cos 2 x + 1) 1 (−2 sin 2 x) = limπ 2 = limπ 2 =0 1 x −π / 2 x→ x→ 2
ex −1 ex 1 2. lim 2 = lim = tidak x →0 x →0 2 x x 0
2
terdefinisi
x2 3. lim x x→∞ e − 1 2x 2 = lim x = 0 x x →∞ e x →∞ e
= lim
33
BAB IV INTEGRAL
Integral adalah anti derivatif atau anti turunan. Rumus-rumus yang berlaku untuk derivatif tentu saja berlaku untuk integral dalam arti kebalikannya. Persoalan integral tidak hanya menggunakan rumus-rumus dasar yang merupakan kebalikan derivatif, akan tetapi perlu teknik-teknik yang cukup rumit yang akan dibicarakan berikut ini.
4.1. Dibawa ke Bentuk I : ∫ df ( x) = f ( x) + c Contoh : 1.
∫ dx = x + c
2.
∫ d tan x = tan x + c
3.
∫ d .u
4.
∫ d .lnx = lnx + c
5.
∫ d .l
= u.
x
+c
= lx + c
4.2. Rumus Dasar Integral
∫U
n
du =
1 n+1 u + c , n ≠ −1 n +1
Contoh : 1
∫ x dx = 6 x 5
6
+c
4.3. Dibawa ke Bentuk II :
∫
du = ln u + c u f ( x)
∫ f ( x)dx = ln f ( x) + c 34
: d (ax + b) = adx
Catatan
d ( x ± k ) = dx 1 xdx = (d ( x 2 ± a 2 ) 2 a a2 x 2 ± ax + b = ( x ± ) 2 + b − 2 4
Contoh : 1.
cos ec 2 x − cos ec 2 x dx = − ∫ cot x ∫ cot x dx f ( x) = cot x ⇒ f ' ( x) = − cos ec 2 x Sesuai bentuk
Maka :
2.
−∫
∫
f ' ( x) dx f ( x)
− cos ec 2 x dx = −ln cot x + c cot x
∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1) n
n
Dengan rumus ∫ u n du , maka =
∫ (ax + b) 3. = 4.
n
dx =
1 ( x + 1) n+1 + c n +1
1 (ax + b) n d (ax + b) a∫
1 1 . (ax + b) n +1 + c a n +1
∫x
ax 2 + b dx =
1 ax 2 + b d (ax 2 + b) ∫ 2a
1 (ax 2 + b)1/ 2 d (ax 2 + b) ∫ 2a 1 1 = . (ax 2 + b) 3 / 2 + c 1 2a + 1 2 1 = (ax 2 + b 3 / 2 + c 3a =
35
5.
ex x ∫ e x + 5dx = ln e + 5 + c (menggunakan rumus bentuk II)
4.4. Dibawa ke bentuk III 1 du u = tan −1 + c 2 +a a a du 1 u−a ∫ u 2 − a 2 = 2 a ln u + a + c
∫u
2
Contoh :
dx dx 1 x =∫ = tan −1 +c 2 +3 3 3 x 2 + ( 3)
1.
∫x
2
2.
∫x
2
=
dx dx d ( x − 5) =∫ =∫ 2 − 10 x − 25 ( x − 5) − 50 ( x − 5) 2 − ( 50 ) 2
1 ( x − 5) − 50 ln +c 2 50 ( x − 5) + 50
4.5 Dibawa ke bentuk IV :
∫ ∫
u = sin −1 + c a a2 − u2 du
du 2
u ±a
2
= ln u + u 2 ± a 2 + c
a2 u u 2 a ± u2 + c sin −1 + ∫ a a 2 2 a u 2 2 2 2 2 2 ∫ u ± a du = ± 2 ln u + u ± a + 2 a ± u + c a 2 − u 2 du =
Contoh : 1.
∫
dx 5 − 2x − x2
=∫
d ( x + 1) 6 − ( x + 1) 2
= sin −1
( x + 1) +c 6
2
2.
∫
1 11 1 x 2 + x + 3dx = ∫ x + + d ( x + ) 2 4 2
36
11
2 2 1 1 11 1 1 11 x + 2 4 = ln x + + x + + + x+ + +c 2 2 2 4 2 2 4
4.6. Integral Parsial u dan v merupakan fungsi dari x maka duv = u dv + v du udv = duv − vdu
∫ udv = ∫ duv − ∫
vdu
∫ udv = uv − ∫ vdu ← Contoh : 1.
∫ ln xdx = (ln x) x − ∫ xd ln x 1 = x ln x − ∫ x. dx x = x ln x − x + c
2.
∫ xe
−2 x
dx = −
1 xde −2 x 2∫
(
)
1 −2 x xe − ∫ e −2 x dx 2 1 1 1 = − xe −2 x + − e −2 x + c 2 2 2 1 1 = − xe −2 x − e −2 x + c 2 4
=−
4.7. Integral bentuk rasional Bentuk umumnya dapat diberikan sebagai H ( x) =
P( x) , dimana P(x) Q( x)
adalah numetator, sedangkan Q(x) adalah denumerator. Jika P(x)>Q(x) maka P(x) harus dibagi Q(x) terlebih dahulu. Integral dengan bentuk rasional ini terdiri dari beberapa kasus, yang masing-masing akan dibahas dibawah ini.
Kasus 1: Apabila faktor Q(x) semuanya linier dan berbeda.
37
Contoh : ( x − 1) dx − x2 − 2x x −1 x −1 = 3 2 x − x − 2 x x( x − 2)( x − 1) x −1 A B C = + + 3 2 x − x − 2 x x ( x − 2) ( x + 1)
∫x
3
= A( x − 2)( x + 1) + B( x)( x + 1) + C ( x)( x − 2) x −1
= A( x 2 − x − 2) + B( x 2 + x) + C ( x 2 − 2 x) = x 2 ( A + B + C ) + ( B − A − 2C ) x + (−2 A)
1 + B+C = 0 2 1 B − − 2C = 1 2
A+ B +C = 0 B − 2C − A = 1 − 2 A = −1 A=
⇒
⇓ 1 2 3 B − 2C = 2
1 2
B+C = −
4 2 4 C=− 6 2 =− 3
3C = −
1 −2 + B+ =0 2 3 2 1 B= − 3 2 4−3 = 6 1 = 6
38
Jadi
x −1 ∫ x( x − 2)( x + 1)dx
−2 1 16 3 dx dx + ∫ = ∫ 2 dx + ∫ x x−2 x +1 =
1 1 2 ln x + ln x − 2 − ln x + 1 + c 2 6 3
1 cx 3 ( x − 2) = ln 6 ( x + 1) 4
Kasus 2 : Jika semua akar riil dan ada yang sama.
Contoh :
∫x ∫x
(x 2
)
3
)
−1 dx ( x − 2) 3
(x 2
3
−1 A B C D E dx = ∫ 2 + ∫ + ∫ +∫ +∫ 3 3 2 ( x − 2) x x ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2)
x3 −1
= A( x − 2) 3 + Bx( x − 2) 3 + Cx 2 + Dx 2 ( x − 2) + Ex 2 ( x − 2) 2
x3 −1
= ( B + E ) x 4 + ( A − 6B + D − 4E ) x 3 + = (−6 A + 12 B − C − 2 D + 4 E ) x 2 + (12 A − 8 B) x − 8 A 1 3 7 5 −3 A = ; B = ;C = ; D = ; E = 8 16 4 4 16
(x
3
)
−1 dx = ( x − 2) 3 1 dx 3 dx 7 dx 5 dx 3 dx + ∫ + ∫ + ∫ − ∫ 2 3 2 ∫ 8 x 16 x 4 ( x − 2) 4 ( x − 2) 16 ( x − 2) 1 3 ( −7 ) 5 3 = − + ln x + − − ln x − 2 + c 2 8 x 16 8( x − 2) 4( x − 2) 16
∫x
2
Kasus 3 : Jika tidak semua akar riil dan yang tidak riil semuanya berbeda.
Contoh :
39
Ax + B ( x 2 − 2 x − 3) C ∫ ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2)dx ⇒ x 2 + 2 x + 2 + ( x − 1) x2 − 2x − 3 Ax + B C = 2 + 2 ( x − 1)( x + 2 x + 2) x + 2 x + 2 ( x − 1) 9 7 4 A = ; B = ;C = 5 5 5
Jadi : 9 x + 7 dx 4 x2 − 2x − 3 5 5 + dx = ∫ ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) ∫ x 2 + 2 x + 2 ∫ x −51dx 9 x 9 ( x + 1)dx 9 dx ⇒∫ 2 5 dx = ∫ 2 − ∫ 2 x + 2x + 2 5 x + 2x + 2 5 x + 2x + 2
Maka :
x2 − 2x − 3 91 2( x + 1) 9 dx 7 dx 4 dx ∫ ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2)dx = 5 2 ∫ x 2 + 2 x + 2dx − 5 ∫ x 2 + 2 x + 2 + 5 ∫ x 2 + 2 x + 2 + 5 ∫ x − 1 9 2 dx 4 = ln x 2 + 2 x + 2 − ∫ + ln x − 1 2 10 5 ( x + 1) + 1 5 9 2 4 = ln x 2 + 2 x + 2 − tan −1 ( x + 1) + ln x − 1 + ln c 10 5 5
Kasus 4 : Jika tidak semua akar riil dan akar yang tidak riil ada yang sama.
Contoh : ( x − 2) A Bx + C D ( 2 x − 4) + E dx ⇒ + 2 + 2 2 − 4 x + 5) x ( x − 4 x + 5) (x2 − 4x + 5 x−2 A B ( 2 x − 4) + C D ( 2 x − 4) + E = + 2 + 2 2 2 x( x − 4 x + 5) x ( x − 4 x + 5) 2 x − 4x + 5
∫ x( x
2
...dst
40
4.8. Integral Fungsi Trigonometri 1.
1
∫ sin axdx = a ∫ sin axdax 1 = − cos 2 ax + c a
2.
1
2
= 3.
1
∫ sin axdx = ∫ 2 − 2 cos 2axdx
∫ sin udu = n
1 1 x − sin 2ax + c 2 4a
− 1 n−1 n −1 sin u cos u + sin n−2udu ∫ n n
4.9. Integral fungsi pecah rasional dalam Sin dan Cos
1 Subtitusi : tan x = z 2
1 x = arctan z 2 Sin 2 x = 2 Sinx cos x X
= 2 arc tan z = 2 tan −1 z =
dx Sin x
2 dz 1+ z 2
1 1 = 2 sin x cos x 2 2 = 2.
z 1+ z
Cos z = 2 cos 2
2
.
1 1+ z
2
.
2z 1+ z 2
1 1 1 + cos t x − 1( Rumus : cos 2 t = ) 2 2 2
41
2
1 Cos z = 2 2 1+ z
−1
(
)
=
2 1+ z2 1− z2 − = 1+ z 2 1+ z 2 1+ z 2
Contoh :
2 dz 2dz 1+ z 2 =∫ =∫ 2 2 2z 1− z 1+ z + 2z +1− z 2 1+ + 1+ z 2 1+ z 2
dx ∫ 1 + sin x + cos x
= 2∫
dz dz =∫ = ln 1 + z + c 2 + 2z 1+ z
4.10. Integral dengan Subtitusi Kasus 1 : Apabila memiliki bentuk
a2 − u2
a>0 a ≤ θ ≤ II
jika u ≥ 0 2
−1 ≤θ < 0 2
jika u < 0
u = a sin θ ⇒ du = a cosθdθ Jadi
a2 − u2
= a 2 − a 2 sin 2 θ = a 2 (1 − sin 2 θ ) = a. cos θ
sin 2 θ + cos 2 θ = 1
Kasus 2 : Apabila memiliki bentuk
u2 + a2 = a2 + u2
a>0 u = a tan θ ⇒ du = a sec 2 θdθ a ≤ θ ≤ II
jika u ≥ 0
2
42
π
≤θ < 0
2
a2 + u3
jika u < 0
= a 2 + (a 2 tan 2 θ )
= a 1 + tan 2 θ = a sec 2 θ = a secθ Kasus 3 : Apabila memiliki bentuk 0 <θ < 0 <θ <
π
u2 − a2
a>0
jika u ≥ a
2
π
jika u ≥ a
2
u = a secθ ⇒ du = a secθ tan tdθ
u 2 − a 2 − a 2 sec 2 θ − a 2
= a sec 2 θ − 1 = a tan 2 θ = a tan θ
Contoh-contoh kasus 1.
∫
9 − x2 dx x2
Subtitusi : x = 3 sin θ ⇒ dx = 3 cos θdθ
⇒∫
32 − 32 sin 2 θ (3 cosθ )dθ 32 sin 2 θ
32 − 3 2 sin 2 θ 3 cosθdθ 3 2 sin 2 θ cos 2 θ =∫ dθ sin 2 θ =∫
= ∫ cot 2θdθ
(
)
= ∫ cos ec 2θ − 1 dθ = − cot θ − θ + c
43
2.
∫
x 2 + 5dx
Subtitusi
: x = 5 tan θ dx = 5 sec 2 θdθ
x2 + 5
= 5 tan 2 θ + 5 = 5 tan 2 θ + 1 = 5. secθ
∫
x 2 + 5dx = ∫ 5 secθ 5 sec 2 θdθ = 5∫ sec 3θdθ ⇒ dengan integral parsial
5 5 = secθ tan θ + ln secθ + tan θ + c 2 2 3.
∫x
dx 3
x 2 − 32
Subtitusi : x = 3 secθ dx = 3 secθ tan θdθ
x 2 − 32
= 32 sec 2 θ − 32 = 3 sec 2 θ − 1 = 3 tan θ
∫x
dx 2
x 2 − 32 =
=∫
3 secθ tan θ dθ 3 sec 3 θ .3 tan θ 3
1 1 1 dθ = cos 2θdθ 2 ∫ ∫ 27 sec θ 27
1 1 (1 + cos 2θ )dθ 2 27 ∫ 1 1 = θ + sin 2θ + c 54 2 =
44
4.11. Subtitusi Aljabar Subtitusi dilakukan sedemikian sehingga bisa merubah bentuk irrasional menjadi rasional.
Contoh :
∫ ( x − 2)
dx 1
2
3
4
= z4
Subtitusi : ( x − 2)
= 4 z 3 dz
dx
( x − 1)
− ( x − 2)
1 2
1 4 2
= (z ) = z 2
3
3
= (z 4 ) 4 = z3
( x − 2) 4
Maka :
∫
dx 1
3
( x − 2) 2 − ( x − 2) 4
4 z 3dz =∫ 2 z − z3
= 4∫
z3 dz z 2 (1 − z )
= −4 ∫
z dz z ( z − 1)
z3 = 4∫ 2 dz z − z3 = 4∫
z dz (1 − z )
= −4 ∫
z −1+1 dz ( z − 1)
1 = −4 ∫ 1 + dz z −1 = −4 z − 4 ln z − 1 + c = −4 x − 2 − 4 ln 4 x − 2 − 1 + c
45
Daftar Pustaka
Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc, Canada. Leithold, L., 1972, The Calculus With Analitic Geometry, Herper Internasional Edition, Jarper and Row, Publisgers, New York, Hagerstown, San Fransisco, London Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice Hall., Englewood Cliffs, New Jersey. Purcell, E.J., 1998, Calculus With Analitic Geometry,
46
BAHAN AJAR
KALKULUS I
Disusun Oleh : Dra. Sri Arttini Dwi Prasetyowati, MSi
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS ISLAM SULTAN AGUNG SEMARANG
47
PRAKATA
Alhamdulillah, saya menyambut baik diterbitkannya Bahan Ajar Kalkulus I yang ditulis oleh Dra. Sri Arttini DP,MSi, selaku dosen pengampu mata kuliah tersebut di Fakultas Teknologi Industri UNISSULA Semarang. Bahan ajar ni hendaknya bias digunakan sebagai acuan bagi mahasiswa maupun dosen yang bersangkutan untuk melaksanakan perkuliahan dala setiap semesternya sehingga bias memberikan kemudahan bagi mahasiswa untuk mengikuti kuliah maupun menelusuri lebih lanjut topik-topik yang diajarkan dalam buku-buku acuan yang dianjurkan. Dengan tetap memperhatikan perkembangan-perkembangan yang terjadi pada dunia keteknikan, bahan ajar memerlukan penyempurnaan sehingga bias memberikan manfaat yang optimal bagi para mahasiswa. Akhir kata, semoga bahan ajar ini bias lebih meningkatkan hasil proses belajar mengajar yang dilaksanakan khususnya di Fakultas Teknologi Industri UNISSULA Semarang. Amin.
Semarang,
Juli 2005
Dekan FTI
Ir. Muhammad Haddin, MT
48
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr. Wb. Puji syukur tak henti-hentinya penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, dengan segala hidayahNya penulis dapat menyelesaikan Buku Teknik-teknik Diferensial dan Integral. Tak lupa sholawat dan salam senantiasa terlimpahkan kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW. Buku ini merupakan pengarah dan pengantar bagi mahasiswa dalam memahami teknik-teknik penyelsaian permasalahan matematis, yang berhubungan dengan diferensial dan Integral. Untuk peningkatan kompetensi diharapkan mahasiswa juga mengikuti contoh soal-soal yang dilaksanakan dengan bimbingan seorang asisten mahasiswa, serta berusaha meningkatkan diri diluar kelas. Buku ini diharapkan dapat memandu mahasiswa didalam melaksanakan kegiatan pembelajaran selain buku-buku referensi tentang diferensial dan integral yang ada. Saran dan kritik sangat kami harapkan, mengingat buku ini masih sangat jauh dari sempurna. Kepada semua pihak yang memberikan dukungan dan bantuan dalam penyusunan buku ini, penulis menghaturkan terima kasih yang sebesar-besarnya. Wassalamualaikum Wr. Wb.
Semarang, November 2011
Penulis
49
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i KATA PENGANTAR ....................................................................................... ii DAFTAR ISI ...................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Sistem Bilangan .............................................................................. 1 1.2. Himpunan ........................................................................................ 2 1.3. Macam-macam Fungsi .................................................................... 2 1.3.1. Fungsi Aljabar ..................................................................... 2 1.3.2. Fungsi Transendental .......................................................... 3 1.3.3. Segitiga Pascal dan Binomium ........................................... 4 1.3.4. Cara Menyajikan Suatu Persamaan ..................................... 6
BAB II Barisan Bilangan, Limit Fungsi dan Derivatif 2.1. Barisan Bilangan ............................................................................ 9 2.2. Limit Fungsi ................................................................................... 10 2.3. Kekontinuan ................................................................................... 12 2.4. derivative ........................................................................................ 13 2.4.1. Rumus-rumus Derivatif .................................................. 14 2.4.2. Turunan Fungsi komposisi atau Aturan Rantai .............. 17 2.4.3. Teorema Turunan Fungsi Invers .................................... 18 2.4.4. mendeferensialkan Fungsi Implisit ................................ 20 2.4.5. Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah .................... Lebih Dari Satu .............................................................. 22 2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter ......... 22 2.4.7. Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi ................... 24 BAB III TERAPAN DERIVATIF 3.1. Fungsi Naik Dan Turun ................................................................... 26
50
3.2. Teorema Rumus Taylor ................................................................... 30 3.3. Bentuk-bentuk Tak Tertentu ........................................................... 32
BAB IV INTERGAL 4.1. Dibawa ke Bentuk I ∫ df ( x) = f ( x) + c ......................................... 34 4.2. Rumus Dasar Intergal ..................................................................... 34 4.3. Bentuk II ........................................................................................ 34 4.4. Dibawa ke Rumus III ..................................................................... 36 4.5. Dibawa ke Rumus IV ..................................................................... 36 4.6. Intergal Parsial ............................................................................... 37 4.7. Internal Bentuk Rasional ................................................................ 37 4.8. Intergal Fungsi Trogonometri ........................................................ 41 4.9. Intergal Fungsi Pecah Rasional dalam Sin dan Cos ....................... 41 4.10.Intergal dengan Substitusi .............................................................. 42 4.11.Substitusi Aljabar ........................................................................... 45
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 46
51
52
