BAB II FUNGSI
2.1 Definisi Jika nilai dari suatu besaran, misal y, bergantung pada nilai besaran lainnya, misal x, maka kita dapat mengatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Cara lain untuk menyatakan ketergantungan y terhadap x adalah dengan cara simbolik yaitu y = f(x) (dibaca “y adalah fungsi dari x”). Lambang-lambang lain untuk menyatakan fungsi diantaranya adalah : h, F, G, f dll. Selanjutnya fungsi dapat
D
K
(a)
D
(b)
Gambar 2.1 D
K
K
Gambar 2.2 didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gambar 2.1). Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu pasangan pada himpunan K disebut daerah definisi atau daerah asal (domain). Sedangkan anggota-anggota pada himpunan K yang merupakan pasangan anggota-anggota himpunan D disebut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut kodomain. Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi 1
definisi diatas maka hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 2.2). Jadi fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat satu keluaran untuk setiap masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu. 2.2. Jenis-jenis fungsi Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu fungsi ril dan fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini hanya mencakup fungsi ril saja. 2.2.1 Menurut jumlah peubah bebas 2.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal Fungsi peubah bebas tunggal mempunyai satu peubah bebas. Contoh 2.1 : a) y = 2x + 3 c) y = sin x
adalah
fungsi
yang
hanya
b) y = x 2 d) x 2 + y 2 =r 2
2.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang mempunyai lebih dari satu peubah bebas. Contoh 2.2 : a) w = xy b) u = sin (x+y) c) v = cos xy d) t = xy+ z 2.2.2 Menurut cara penyajiannya 2.2.2.1 Fungsi eksplisit Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah bebasnya ditulis atau disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah tak bebasnya. b) y = x2 - 1 Contoh 2.3 : a) y = x-5 c) y = sin x d) y = (x-1)2 Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x) 2.2.2.2 Fungsi implisit Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan tak bebasnya ditulis pada ruas yang sama. Contoh 2.4 : a) x + y = 0 b) x2 + y2 = r2 Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0 2.2.2.3 Fungsi parameter Bentuk umum dari fungsi parameter adalah:x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter. ìïx = t2 - 1 Contoh 2.5: í ïîy = t + 2 Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3 berikut.
2
Fungsi
Aljabar
Rasional
Bulat
Transenden
Irasional
Pecah
Eksponen
Hiperbolik Invers
Trigonometri Invers
Logaritma
Trigonometri
Hiperbolik
Gambar 2.3
2.2.3 Fungsi aljabar Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi pangkat rasional. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional. Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah. 2.2.3.1 Fungsi rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x) dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial-polinomial dan Q(x) ¹ 0. Selanjutnya jika Q(x) ¹ konstan maka fungsi rasional disebut juga fungsi pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan maka fungsi rasional disebut fungsi bulat. A. Fungsi bulat Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan. Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi polinomial karena bentuknya sama seperti bentuk polinomial. Suatu fungsi yang mempunyai bentuk : f (x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+. . .+ a1x + a0
( 2.1 )
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien an, an-1, an-2,. . ., a1, a0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan masingmasing sukunya disebut monomial. Pangkat n pada fungsi polinomial adalah bilangan bulat tak negatif. Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya. Berikut diberikan beberapa contoh fungsi - fungsi polinomial.
3
Berdasarkan Polinomial Derajad
Jumlah suku 2
x –x–6 x3+ 2x2 - x + 5 x5 -5 x+2 x6-4x3- 7x + 5
Trinomial Polinomial Monomial Monomial Binomial Polinomial
2 3 5 0 1 6
(fungsi kuadrat) (fungsi kubik) (fungsi konstan) (fungsi linier)
a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan yang mempunyai adalah mengelompokkan suku-suku faktor/faktor-faktor peubah yang sama. Sebagai contoh sukusuku 3xy dan -2xy adalah dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku tersebut dapat dilakukan operasi penjumlahan dan / atau pengurangan. Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut : Keterangan
Jenis suku 3
3
ax dan bx ax2 dan bx2y a dan b
Mempunyai faktor peubah yang sama Mempunyai faktor peubah yang tidak sama Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang sama, karena masing-masing suku dapat ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0
Contoh 2.6 Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi : -2x 2 +5x+7xy dan -3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2 Penyelesaian : Penjumlahan (-2x2+5x+7xy)+(-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2) = -2x2 +5x+7xy-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2 = -3x3 - 6x2 + 6x - 3x2y + 10xy – 2 Pengurangan (-2x 2 +5x+7xy)-(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) = -2x2 +5x+7xy+3x3 +4x2 –x+3x2y-3xy+2 = 3x3+2x2+3x2y+4xy+4x+2 b. Perkalian monomial Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu : Hukum I : am. an =am+n Contoh 2.7 a Selesaikan perkalian : 52.53 ; x .xb ; xy2 .x3y
4
( 2.2 )
Penyelesaian : 52.53 = 52+3 = 5 5 = 3125 a = xa+b x .xb 2 3 xy .x y = x.x3.y2 .y = x4 .y3
Hukum II :
[am]n= amn
( 2.3 )
Contoh 2.8 Selesaikan : [42]3 dan [x3]4 Penyelesaian : [42 ]3 = 46 =4096 [x3 ]4 = x12
Hukum III :
[ambn]k= amk.bnk
( 2.4 )
Contoh 2.9 Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2 Penyelesaian : [{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375 [x3y2]2 = x6 y4 c. Perkalian fungsi polinomial Proses perkalian dus fungsi polinomial dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing monomialnya dengan bantuan hukum distributif. Contoh 2.10 Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6) Penyelesaian : 2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x Contoh 2.11 Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2) Penyelesaian : (3x+2)(x2 -3x+2) = 3x3 -9x2 +6x+2x2 -6x+4=3x3 -7x2 +4 d. Perkalian istimewa polinomial Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan, sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah binomial-binomial konjugat. Hasil perkaliannya adalah : (axm+byn)(axm - byn) = (axm)2 - (by)2
5
(2.5)
Contoh 2.12 Selesaikan perkalian (5x2+6) (5x2-6) Penyelesaian : (5x2+6) (5x2-6) = (5x2)2 -(6)2 = 25x4 - 36 e. Pemfaktoran polinomial Memaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut tentukan faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada tabel berikut. Langkah I (tentukan faktor yang sama) a x b
Polinomial ax2+ay2 3x3+2x+x 3a2b+5ab-4b2
Langkah II (keluarkan faktor yang sama) a(x2+y2) x(3x2+2x+1) b(3a2+5a-4b)
f. Pembagian polinomial Pembagian dua buah monomial dapat mengikuti hukum-hukum berikut ini. Hukum IV :
xm xn éx ù ê ú ëy û
Hukum V :
dilakukan
= xmx -n = xm -n
m
=
( 2.6 )
xm
( 2.7 )
ym
Hukum VI : ( Pangkat nol) a0=1 ; a / 0
Hukum VII (Pangkat negatif) :
Contoh 2.13 é x3 ù Sederhanakan fungsi : ê ú 2 êë y úû Penyelesaian : é x3 ù ê 2ú ëê y ûú
-4
=
x -12 y -8
=
y8 x 12
6
-4
dengan
1 am
= a- m
( 2.8 )
( 2.9 )
Soal-soal 1. Selesaiakan : a) (x+6y) – (2x2 -7x+12) à 1 b) (x2+2xy+y2) – (3x-x2y+y)
c) (x3+6x2+12x+8) + (2x2y+3xy-7) d) (4y2-x2) + (2x2y-3xy2)
2. Selesaikan : a) (3x-9)(-2x12)(-5x-2) b) (x 3y)(xy3)(x2y2)
e) (4x4y5z6) f ) (-2p5 q4 r3 )3
é - 2x - 3 ù c) ê ú 2 ëê 3y ûú
4 t
g) 3 (3
à1
d) (-3x2y3)2 (44 y4)3
1-t
2
)
h) a2k+1 a3-4k ak+5
3. Selesaikan perkalian polinomial berikut ini ! a) x(x-2) à(6) e) (x 2 -5)(x 2 -3x+2) b) -2xy(x 2 y-3xy 3 ) c) abc(2a-5b-2c+7)
f) (2s 2 -t 3 +4s 2 t)(s 2 -2st+t 2 ) g ) (x 4 +2x 2 )(x 4 -2x 2 ) à 6
d) 5xy 2 z 3 (2x 2 z-3yz 3 +4xy 2 )
h) (-2m+5n)(2m+5n)
4. Faktorkan fungsi-fungsi berikut ! a) 5s – 5t b) 6ab – 12ac + 18ad 5. Selesaikan ! a) s-4 . s2
c) 9xy + 12y – 6xz – 8z d) 8ax – 20a + 10 bx – 25b
d) (4x2y-3)-3
b) (r-4 . s3)( r5 . s-1)
é x -1 ù e) ê ú -1 êë y úû
c) (x2y-2)-1(x-1) à1
f)
g) (-5a2 b-3)2 (3a-3 b-1)
-1
h)
(5x 2 ) -3 (3x 2 )3 (2x 3 ) - 5
48x 6 y -8 6x 4 y - 2
g. Fungsi konstan Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial yang mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam bentuk : y = f(x) = a0 atau y = konstan
( 2.10 )
Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 2.4 berikut. y y = a0 ; a0 > 0 x 0 y = a0 ; a0 < 0 Gambar 2.4 Grafik fungsi konstan
7
h. Fungsi linier Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi linier disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk : y = f(x) = a1x + a0 atau y = mx + n
( 2.11 )
Persamaan 2.11 adalah persamaan garis yang memotong sumbu x pada saat y = 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0. Perhatikan persamaan 2.11. Jika x = 0 maka y = n dan jika y = 0 maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan 2.11 menunjukkan sebuah garis yang melalui titik-titik (0,n) dan (-n/m,0). Biasanya persamaan 2.11 disebut persamaan “Perpotongan-Kemiringan sebuah Garis (SlopeIntercept Equation of a Line)”.Grafik persamaan 2.11 ditunjukkan pada Gambar 2.5 dibawah ini. y
(0,n) (-n/m,0)
x 0
Gambar 2.5 Grafik fungsi linier Jika persamaan garis pada persamaan 2.11 melalui titik (x1,y1) maka : y1 = mx1 + n ® n = y1 - mx1
( 2.12 )
Dengan mensubstitusi harga n pada persamaan 2.12 ke persamaan 2.11 maka didapat : y - y1 = m(x - x1) atau y = m(x - x1) + y1
( 2.13 )
Biasanya persamaan 2.13 disebut persamaan “Kemiringan-Titik sebuah Garis (Point-Slope Equation of a Line)”. Grafik persamaan 2.13 ditunjukkan pada Gambar 2.6. y (x,y) (x1,y1) 0
Gambar 2.6 Grafik persaman 2.13
8
x
Jika persamaan garis 2.11 melalui titik (x2,y2), maka : y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2
( 2.14 )
Jika persmaan 2.14 dikurang persamaan 2.13 maka didapat : y1 – y2 y2 – y 1 y1 – y2 = m(x1 – x2) atau m = ¾¾¾ = ¾¾¾ x1 – x2 x2 – x1
( 2.15 )
Dengan memasukkan harga m pada persmaan 2.15 ke persamaan 2.13 didapat : y2 – y1 y2 – y1 y – y1 = ¾¾¾ (x – x1) atau y = ¾¾¾ (x – x1) + y1 (2.16) x2 – x1 x2 – x1 Persamaan 2.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) dan disebut persamaan “Dua titik dari suatu garis (two point equation of a line)” seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.7. y
(x2,y2) (x1,y1)
x
0
Gambar 2.7 Grafik persaman 2.16 Kesimpulan : Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa : 1. Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumbu x atau sumbu y diketahui maka gunakan adalah persamaan 2.11. 2. Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut melalui titik tertentu, misal (x1,y1), maka gunakan persamaan 2.13. 3. Jika suatu garis melalui titik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka gunakan persaman 2.16. Cara menggambar garis Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n Buat tabel sebagai berikut : 1. Jika n ¹ 0 x y 0 n -n/m 0 2. Jika n = 0 x y 0 0 a m.a dimana a adalah sembarang bilangan ril 9
Contoh 2.14 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3 dan memotong sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan garis tersebut ! Penyelesaian : (gunakan persamaan 2.11) Persamaan garis y = mx + n Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0. Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat : n=1/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = -1/3 x+1/3 Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. x y 0 1/3 0 1 Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0). y (0,1/3) (1,0)
0
x
Gambar 2.8 Contoh 2.15 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan memotong sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tersebut ! Penyelesaian : (gunakan persamaan 2.11) Persamaan garis y = mx + n Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Dengan mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat : n=1. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = 2x+3/2 Cara menggambarkan garis lihat petunjuk. x y 0 3/2 0 -3/4 Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,3/2) dan (-3/4,0). y (0,3/2) (-3/4,0) x 0 Gambar 2.9 Contoh 2.16 Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1 dan melalui titik (-2,3). Tentukan persamaan garis tersebut ! 10
Penyelesaian (gunakan persamaan 2.13) : y = m(x - x1) + y1 ® m = -1 ; x1 = -2 ; y1 = 3 Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1 y (0,1) (1,0) x
0 Gambar 2.10
Contoh 2.17 Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2). Tentukan persamaan garis tsb ! Penyelesaian (gunakan persamaan 2.16) : y - y1 1 é2 - 4 ù y= 2 (x – x1) + y1 = ê (x +3) + 4 = - (x+3) + 4 ú x 2 - x1 4 ë5 + 3 û y= -
1 13 1 x+ = - (x – 13) 4 4 4
y (0,13/4) (13,0) 0
x
Gambar 2.11
Soal-soal 1. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut ! a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2 . Memotong sumbu x pada x = -1 b) Kemiringan (koeffisien arah) = -3/4. Memotong sumbu x pada x = 3 c) Kemiringan (koeffisien arah) = 1/4. Memotong sumbu y pada y = 1 d) Kemiringan (koeffisien arah) = 1. Memotong sumbu y pada y = -2 2. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut ! a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2. Melalui titik (-2,-1) b) Kemiringan (koeffisien arah) = 2/3. Melalui titik (3,0) c) Kemiringan (koeffisien arah) = -4. Melalui titik (-1/2,3) d) Kemiringan (koeffisien arah) = -1. Melalui titik (0,3/2) 3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik berikut dan gambarkan grafiknya ! c) (-1,-2) dan -2,2) a) (0,1) dan (2,5) d) ( 2,-1) dan (2,6) b) (0,-1) dan (3,8) 11
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a2x2 + a1x + a0 atau y= f(x) = ax2 + bx + c
(2.17)
dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat pada persamaan 2.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga persamaan 2.17 menjadi : ax2 + bx + c = 0. Untuk menentukan titik potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama kita harus menentukan akar-akarnya. Pemaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar tersebut. Untuk memaktorkan persamaan kuadrat pertama-tama kita tulis dalam bentuk : b c ax2 + bx + c= a(x2 + x + ) = a(x2+Bx+C), dimana B = b/a dan C = a a b c c/a. Memaktorkan x2 + x + berarti menuliskannya dalam bentuk : a a (x + m)(x+n), dimana mn = C
dan m + n = B
( 2.18 )
Akar-akar dari persamaan 2.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n Contoh 2.18 Faktorkan persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0 Penyelesaian : B = 1 dan C = -6 mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3 Jadi : x2 + x – 6 = (x - 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 2 dan x2 = -3 Contoh 2.19 Faktorkan persamaan kuadrat : x2 -4x – 12 = 0 Penyelesaian : B = -4 dan C = -12 mn = -12 dan m + n = -4. Didapat m = -6 dan n = 2 Jadi : x2 + x – 6 = (x - 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya adalah : x1 = 6 dan x2 = -2 - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat. Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa persamaan kuadrat yang memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax2 + bx + c = 0 dengan x Î bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk : b2 b b b2 +c=0 a(x2 + x ) + c = a(x2 + x + )4a a a 4a2
12
b2 b2 b 2 b 2 c - c ® (x + ) = ) = 2 4a 2a 2a a 4a
a(x + x+
b =± 2a
x= x1 =
b2 4a
2
-
c = ± a
b2 4a
2
-
4ac 4a
2
= ±
- b ± b 2 - 4ac b 1 b 2 - 4ac = ± 2a 2a 2a - b + b 2 - 4ac 2a
;
x2 =
1 b 2 - 4ac 2a
atau :
- b - b 2 - 4ac 2a
( 2.19)
Persamaan 2.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan Besaran b2 – 4ac disebut diskriminan atau disingkat D.
tersebut kuadrat.
Contoh 2.20 Tentukan akar-akar dari persamaan : x2 + 4x - 21 = 0 dengan menggunakan persamaan kuadrat ! Penyelesaian : Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21 x1 =
- 4 + 4 2 - 4(1)(-21) - 4 + 10 - b + b 2 - 4ac = =3 = 2(1) 2 2a
x2 =
- 4 - 4 2 - 4(1)(-21) - 4 - 10 - b - b 2 - 4ac = = = -7 2(1) 2 2a
- Grafik fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan bentuknya adalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril, a ¹ 0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah tergantung dari nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a < 0 maka grafik akan membuka kebawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita mengenal beberapa istilah penting yaitu : i) Verteks Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari nol (negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik koordinat verteks adalah V(h,k), dimana : h= -
b 2a
dan
k=c-
b2 4a
( 2.20 )
ii) Sumbu simetri Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri adalah : x=h= -
b 2a
(2.21 )
13
iii) Titik potong dengan sumbu x Untuk menentukan apakah sebuah parabola memotong sumbu x atau tidak, kita perlu memeriksa harga diskriminan. Jika diskriminan (D) = 0 maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya menyinggung sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x pada x1 dan x2. iv) Titik potong dengan sumbu y Titik potong dengan sumbu y pada y = c Contoh 2.21 Diketahui fungsi kuadrat y=f(x) = -x2 + 5x -6 Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y Penyelesaian : Dari soal siketahui : a = -1, b = 5 dan c = -6 5 5 25 1 b b2 52 h= =; k=c= -6 = -6+ = = 4 4 2a 4a -2 2 4(-1) 5 1 5 Verteks = V(h,k) = V( , ). Sumbu simetri x = h = 2 4 2 Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 -x2 + 5x -6 = -(x-3)(x-2) = 0 ® x1 = 3 dan x2 = 2 Jadi parabola memotong sumbu x pada x =2 dan x = 3 Titik potong dengan sumbu y ® x = 0. Didapat :y = -6 Jadi parabola memotong sumbu y pada y = -6. Parabola membuka keatas karena a < 0 y 1/4 0
x = 5/2 2
3
-6 sumbu simetri Gambar 2.12
14
x
Soal-soal (12 Juli 2010) Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y dari fungsi kuadrat berikut ini ! 2 1. y = -5x2 3. y = x2 – 2x 5. y = x2 – 3x -4 3 4 2 1 2. y= (x + 2 )2 4. y =2x2 + 4x + 5 6. y = x –7 5 2 j. Fungsi pangkat tinggi Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akar-akar dan menggambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan fungsi pangkat tinggi tersebut. - Pemaktoran fungsi pangkat tinggi Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan salah satu faktor dari f(x) Û f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu faktor dari polinomial. Berikut adalah contoh pemaktoran fungsi pangkat tinggi. Contoh 2.22 Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi : F(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24 Penyelesaian : Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error. Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1) ¹ 0, maka x = 1 bukan akar dari f(x). Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0. Karena f(1) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x) dan x – 2 adalah salah satu faktor terkecil dari f(x). Untuk mencari faktor lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah didapat, yaitu x3 - 3x2 - 10x + 24 dibagi dengan x – 2.
x–2
x2 - x - 12 x3 - 3x2 - 10x + 24 x3 - 2x2 - x2 - 10x + 24 - x2 + 2x - 12x + 24 - 12x + 24 0
Hasil bagi x3 - 3x2 - 10x + 24 dengan x – 2 adalah x2 - x - 12. Berarti x2 - x – 12 adalah faktor lain dari x3 - 3x2 - 10x + 24 dan selanjutnya x3 - 3x2 - 10x + 24 dapat ditulis dalam bentuk : (x – 2)(x2 - x – 12). Akan tetapi faktor x2 - x – 12 masih mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunyai derajad dua, yaitu : x2 - x – 12 = (x – 4)(x + 3). Sehingga secara keseluruhan : x3 - 3x2 - 10x + 24 dapat ditulis dalam bentuk :x – 2)(x – 4)(x + 3). Jadi faktor-faktor dari :x3 - 3x2 - 10x + 24 15
adalah :(x – 2), (x – 4) dan (x + 3), sedangkan akar-akarnya adalah : x = 4, 2 dan -3. - Menggambar Grafik fungsi pangkat tinggi Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh 2.23 Gambarkan grafik fungsi f(x) = x3 – x Penyelesaian : Faktorkan f(x) ® x3 – x = x(x – 1)(x + 1). x
: - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + ++ + + + ++
x–1
: ------------- -------0+++++
x+1
: - - - - - 0 + + + + + + + + + ++ + + + + +
x3 – x
: - - - - - -0 + + + ++0 - - - - - - -0 + + + + + -1
0
1
Grafik dari fungsi f(x) = x3 – x adalah : y 1 -1
0 Gambar 2.13
Soal-soal Gambarkan grafik dari fungsi2 berikut ini! 1. y = x3 + 1 3. y = 1/4 + 2x3 4 4. y = x3 – 2x2 – 9 2. y= 1 – x
5. y = x3 + 4x2 + x – 9
B. Fungsi pecah a. Daerah definisi (domain) Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x) dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x) ¹ 0. Dalam bentuk formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi : f(x) =
P(x) , Q(x) ¹ 0 Q(x)
( 2.22 )
Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita
16
dapatkan akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah. Contoh 2.24 Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut ! 2x - 1 x+3 b) a) 2 3 x -x-2 4x + 4x 2 + x Penyelesaian : a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) 2x - 1 adalah : Himpunan daerah definisi fungsi : 2 x -x-2 {x½x semua bilangan ril, x ¹ 2 dan x ¹ -1} b) Perhatikan Q(x) : 4x3 +4x2 + x = 4x(x + 1/2)2 x+3 adalah : Himpunan daerah definisi fungsi : 3 4x + 4x 2 + x {x½x semua bilangan ril, x ¹ 0 dan x ¹ - 1/2} b. Grafik fungsi pecah Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut : i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x). ii) Tentukan daerah definisi atau domain dari f(x) dengan cara menentukan Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x). iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor dari P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak kontinu dari f(x). iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0. Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu y. v) Coret faktor/faktor-faktor yang sama antara pembilang dan penyebut. vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot tegak jika x – c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v. vii) Misal fungsi pecah berbentuk : f(x) =
an x n + an - 1 x n - 1 + ... + a1 x + a0 b m x m + b m - 1 x m - 1 + ... + b1 x + b 0
- Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar. - Jika n = m maka garis y = an/bm adalah asimtot datar. - Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar. viii) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot tegak (positif atau negatif). Contoh 2.24
17
Gambarkan grafik y = f(x) =
3x 2 - x - 2 2x 2 - x - 1
Penyelesaian : (x - 1)(3x + 2) 3x 2 - x - 2 i) = 2 (x - 1)(2x + 1) 2x - x - 1 ii) Q(x) = (x-1)(2x+1) = 0 ® x = 1 dan x = -1/2. Jadi daerah definisi (domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan -1/2. iii) Karena (x - 1) adalah faktor dari P(x) dan Q(x), maka f(x) tak kontinu pada titik x = 1. iv) Titik potong dengan sumbu x. P(x) = 3x2 – x – 2 = 0 ® (x-1)(3x+2) ® x = 1 dan x = -2/3. Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x = 1 dan x = -2/3. Titik potong dengan sumbu y. x = 0 ® y = 2. Jadi titik potong dengan sb. y terjadi pada y = 2. v)
3x 2 - x - 2 2x
2
- x -1
=
(x - 1)(3x + 2) 3x + 2 = (x - 1)(2x + 1) 2x + 1
vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v, maka x= -1/2 adalah asimtot tegak. vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar viii) x–1: -------------------- 0+++++ 3x + 2 : - - - - - 0+++++++++++++++++ + + + + 2x + 1 : - - - - - - - - - - - - -0+ + + + + + + + + + + 3x 2 - x - 2 :+++++ 0 - - - - - - ¥ + + + + + ? + + + + + 2x 2 - x - 1 -2/3
-1/2
1
y
x -2/3
18
-1/2 0
Gambar 2.14 Soal-soal (12 Juli 2010) Gambarkan grafik fungsi pecah berikut ! 1 1 1. f(x) = 6. f(x) = x 4(x + 1) 4 1 x -1 7. f(x) = 2. f(x) = x x +1 1 1 3. f(x) = 8. f(x) = x -1 (x + 1)2 4. f(x) = 2 + 5. f(x) =
1 x
1
9. f(x) = -
2
-1
x3
10. f(x) =
x 2
x -9 2
x2 + 1
2.2.3.2 Fungsi irasional Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk : f(x) =
n
( 2.23 )
g(x)
dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional (Df) dapat dijelaskan sebagai berikut : bila n adalah bilangan ganjil ìïD g Df = í ïî{x g(x) ³ 0} bila n adalah bilangan genap
( 2.24 )
Dimana Dg adalah daerah definisi dari g. Contoh 2.25 Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari : y = 9x - x 2 Penyelesaian : Karena n adalah bilangan genap (dalam hal ini 2) maka : 9x – x2 ³ 0 9x – x2 ³ 0 ® x(9-x) ³ 0 x
: - - - - - - 0++++++++++++++
9 - x :++++++++++++++0 - - - - - 9x-x2 : - - - - - - 0+++++++0 - - - - - [ 0
] 9
Jadi daerah definisi atau domain dari Daerah nilai dari
9x - x 2 adalah 0 £ x £ 9
9x - x 2 dicari dengan cara :
y = 9x - x 2 ® y2 = 9x - x 2 ® x2 – 9x + y2 = 0 Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = -9, c = y2 19
Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b2 -4ac Selanjutnya kita cari harga diskriminannya, yaitu :D = b2 -4ac Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga harus ril. Artinya D ³ 0. Secara otomatis b2 -4ac ³ 0. Jika kita masukkan nilai a, b dan c maka didapat : (-9)2 -4(1)(y2) ³ 0. 4y2 £ 81 ® -9/2 £ y £ 9/2 Akhirnya didapat dua pertaksamaan, yaitu: y ³ -9/2 dan y £ 9/2. Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol, maka pertaksamaan y ³ -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan yang digunakan adalah y £ 9/2 dan y ³ 0. Jadi daerah nilai untuk f(x) =
9x - x 2 adalah : 0 £ y £ 9/2.
Soal-soal 1. y =
x +1
2. y =
1-x
3. y =
x2 - 4
4. y =
x(x - 3)
2.2.4 Fungsi komposisi Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai : (f
o
g)(x) = f(g(x))
( 2.25 )
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai : (g
o
f)(x) = g(f(x))
( 2.26 )
Contoh 2.26 Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) Penyelesaian : a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 = x2 + 8x + 16 b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4 Soal-soal Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi : 1. f(x) = x2 – 4 ; g(x) = x + 1 2. f(x) = x – 3
x x x 4. f(x) = x
3. f(x) =
; g(x) = x2 + x – 2
2.2.5 Fungsi satu ke satu 20
1 +1 ; g(x) = -1 x2 +2 x-2 ; g(x) = -2 x+2
Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah definisi menghasilkan lebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua). Sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu. 2.2.6 Fungsi invers Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga : i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku : f(x) = y Û g(y) = x
( 2.27 )
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis : g = f-1 atau
x = f-1(y)
( 2.28 )
Contoh 2.27 Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2 Penyelesaian : y = x3 + 2 ® x3 = y – 2 ® x = ( y – 2 )1/3 f-1 (y) = ( y – 2 )1/3 f-1 (x) = ( x – 2 )1/3 Soal-soal Tentukan invers fungsi-fungsi berikut serta gambarkan grafikf(x) dan f-1(x) ! x-4 1. f(x) = 3x – 2 3. f(x) = 4 – x3 5. f(x) = x+4 - 2x 3 + 3 2. f(x) = -3(x+5) 4. f(x) = (7 – x)5 6. f(x) = x3 + 8 2.2.7 Fungsi transenden 2.2.7.1 Fungsi eksponen Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan x sebagai f(x) = a disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat x a dapat dijelaskan sebagai berikut : x x i) a > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari a adalah semua bilangan positif. ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1 iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x x iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari a
21
ìïa x < az untuk a > 1 v) Jika terdapat x < z, maka : í ïîa x > az untuk 0 < a < 1
(2.29)
x
Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik a akan menanjak pada arah kanan (Gambar 2.15a). Sedangkan bila a < 1maka grafiknya akan menurun kearah sebelah kanan (Gambar 2.15b). y y
x
0 (a)
x
0 (b)
Gambar 2.15 x
Fungsi eksponen e x Fungsi yang mempunyai bentuk e disebut fungsi eksponen natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional yang besarnya adalah 2,7182818… Persamaan eksponensial ìïa x = az maka x = z Misal a > 0 dan a ¹ 0. Jika : í ïîa x ¹ az maka x ¹ z
(2.30)
Contoh 2.28 2 x Jika 27 = 3 x - 4 , tentukan harga x ! Penyelesaian : 2 2 2 x x 3x 27 = 3 x - 4 ® (33) = 3 x - 4 ® 3 = 3 x - 4 ® 3x = x2 - 4 x2 - 3x – 4 = 0 ® (x-4)(x+1) = 0 Sehingga didapat : x1 = 4 dan x2 = -1 Contoh 2.29 x Tentukan nilai basis a jika f(x) = a melalui titik (2,9) ! Penyelesaian : x f(x) = a ® 9 = a2 ® 32 = a2 Jadi a = 3 Soal-soal x Tentukan nilai basis a jika f(x) = a melalui titik : 1 1 i) (3,8) ii) (5, ) iii) (-8, ) 25 64
iv) (
1 1 ) , 4 81
2.2.7.2 Fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a¹ 1. 22
Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a x
(ditulis alog y) adalah bilangan unik x sedemikian rupa sehingga a =y. Jadi : a
log y = x Û y = a
x
( 2.31 )
dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y sama dengan a pangkat x”. Jika harga y pada persamaan 2.31 sama dengan satu maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi : a
log 1 = 0
( 2.32 )
a
( 2.33 )
log a = 1
Contoh 2.30 Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi bentuk logaritma ! a) 103 b) 6251/4 Penyelesaian : a) y = 103 Û 10log y = 3 b) y = 6251/4 Û
625
log y = 1/4
Contoh 2.31 b) 16log ¼ Hitung : a) 2log 32 Penyelesaian : y y a) y= 2log 32 ® 2 = 32 ® 2 = 25. Jadi y = 5 y 4 y 4y 16 b) y= log 1/4 ® 16 = 1/4 ®((2) ) = 2-2 ® 2 =2-2. Jadi y = -1/2 Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a ¹ 1 fungsi logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai : a a a f(x) = log x untuk x>0. Jika kita tulis log x = log x, maka dari persamaan 2.31 didapat :
alog x
a
= x untuk x > 0 x
Jika kita tulis persamaan a ditulis menjadi : a
( 2.34 ) x
= a , maka dari persamaan 2.31 dapat
x
log a = x, untuk setiap bilangan x ril
( 2.35 )
Hukum-hukum logaritma : a)
b
b
b
log PQ = log P + log Q 23
b
n
b
c) log P = n log P
b)
b
log
P b b = log P - log Q Q
b
d) log
n
1 n
P =
b
log P
Logaritma natural Logaritma natural adalah logaritma Logaritma natural ditulis sebagai : e
yang mempunyai basis e.
log x = ln x
( 2.36 )
Soal-soal 6
1. log
mn r2
e
2. log
a b
a
3 4
3. log (x2y )
é x3y2 ù b 4. log ê ú 5 ëê z ûú
4
2.2.7.3 Fungsi trigonometri A. Pengukuran sudut Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara kedua garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas y sisi ujung
a x 0
sisi awal
Gambar 2.16 pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang terletak pada koordinat Kartesius (lihat Gambar 2.16). Biasanya verteks sudut diletakkan berimpit dengan titik asal (origin) sedangkan sisi awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang digambarkan dengan cara diatas disebut sudut dalam posisi standar. B. Sudut dalam satuan derajad Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita melakukan pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari
24
sumbu x positif dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka o besarnya sudut yang diukur adalah 360 . Gambar 2.17 adalah o o o o contoh pengukuran sudut-sudut 360 , 180 , 90 , -90 . y
y
360
o
180
o
x
x
0
0
y
y
90
o
0
0 -90
o
Gambar 2.17
Contoh 2.32 Gambarkan sudut-sudut -2700 dan 1350 Penyelesaian : y
y
135
o
x 0
-270
o
x 0
Gambar 2.18
C. Sudut dalam satuan radian Perhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua buah sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong lingkaran dan akan menghasilkan panjang busur tertentu pula 25
(lihat Gambar 2.19a). Jika panjang busur = t maka sudut yang diapit oleh dua sisi yang memotong lingkaran adalah t/r radian. y t radian r
r
t x
0
(a) y
2p r
x
(b) Gambar 2.19 Selanjutnya perhatikan Gambar 2.19 b. Keliling lingkaran adalah 2pr. Berarti sudutnya (satu putaran) adalah 2p radian. Telah kita ketahui bahwa satu putaran o o sama dengan 360 . Jadi 2p radian = 360 . Selanjutnya didapat : 0
é180 ù o ’ ’’ 1 radian = ê ú = 57 17 45 ë p û é 180
ù
t radian = ê .t ú ë p û
0
( 2.37 )
( 2.38 )
é p ù 1o = ê ú radian ë180 o û
( 2.39 )
é p ù qo = ê . qú radian o ë180 û
( 2.40 )
26
Contoh 2.33 Ubah sudut 20o kedalam satuan radian ! Penyelesaian : ù é p 20o = ê . 20 ú radian (lihat persamaan 2.40) o û ë180 p = radian. 9 Contoh 2.34 Ubah sudut p/6 radian kedalam satuan derajad ! Penyelesaian : é180 p ù p/6 = ê . 6 úû ë p = 30o
0
(lihat persamaan 2.38)
Soal-soal 1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian ! b. 45o c. 60o d. 75o a. 30o 2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad ! p p p p a. radian b. radian 45o c. radian d. radian 8 4 3 2
D. Fungsi trigonometri sudut lancip Fungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar 2.20 adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi siku-siku sedangkan c adalah sisi miring. Sudut q dan g adalah sudut-sudut lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 2.20 maka kita dapat menyimpulkan bahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak dihadapan sudut siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip pada Gambar 2.20, dalam hal ini sudut q, maka sisi siku-siku b disebut juga sebagai sisi pembatas sudut q. Begitu juga jika kita tinjau sudut g maka a disebut juga sisi pembatas sudut g.
c
g a
q
b Gambar 2.20 27
Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya kita definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut : sisi dihadapan sudut q a sin q = ( 2.41a ) = sisi miring c sisi pembatas sudut q b cos q = ( 2.41b ) = sisi miring c sisi dihadapan sudut q a = tan q = ( 2.41c ) sisi pembatas sudut q b sisi pembatas sudut q b = cot q = ( 2.41d ) sisi dihadapan sudut q a sisi miring c sec q = ( 2.41e ) = sisi pembatas sudut q b sisi miring c csc q = ( 2.41f ) = sisi dihadapan sudut q a Dari persamaan 2.41a s/d 2.41b dapat dibuat hubungan sbb. : sin q tan q = ( 2.42a) cos q cos q cot q = ( 2.42b) tan q 1 sec q = ( 2.42c) cos q 1 csc q = ( 2.42d) sin q Masih tetap mengacu pada Gambar 2.20 dan teorema Pythagoras : c2 = a 2 + b 2 (bagi semua ruas dengan c2) c2
=
a2
c2 c2 Didapat :
+
b2 c2
é aù ®1 = ê ú ëcû
2
2
éb ù + ê ú (subs. ke pers. 2.41a dan 2.41b) ëcû
sin2q + cos2q = 1
( 2.43 )
Bagi persamaan 2.43 dengan cos2q didapat : sin2 q cos 2 q 1 + = 2 2 cos q cos q cos 2 tan2q + 1 = sec2q Jika persamaan 2.43 dibagi dengan sin2q didapat : sin 2 q cos 2 q 1 + = 2 2 sin q sin q sin 2
28
( 2.44 )
1 + cot2q = csc2q
( 2.45 )
Persamaan 2.42 s/d 2.53 disebut identitas trigonometri Contoh 2.35 Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika harga sin q = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya ! Penyelesaian : y
5 4 0
q
x x=?
Gambar 2.21 Dari trorema Pythagoras : 52 = x2 + x2 ® x = 5 2 - 4 2 =3 Didapat : cos q = 3/5 ; tan q = 4/3 ; cot q = ¾ ; sec q = 5/3 ; csc q = 5/4 Soal-soal 1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran pertama, lengkapilah tabel berikut. Sudut
sin
a
1 2
cos
tan
cot
sec
csc
2
b
5
6 7
q
3
g
2
2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran kedua, lengkapilah tabel berikut. Sudut
a
sin
cos
3 5 -1
b
5
29
tan
cot
sec
csc
2
q
- 3
-4 5
g
E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 30o, 45o dan 60o. Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30o, 45o dan 60o pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.21. Misal terdapat sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai sudut-sudut lancip 30o dan 60o serta panjang sisi miring 1 satuan (Gambar 2.21a).
300 1
300 300 b
600
600 a
600 a
a
(a)
(b) Gambar 2.21
Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun dengan segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan maka akan terbentuk segitiga baru yang sama sisi (lihat Gambar 2.21b). Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = ½. Untuk menghitung panjang sisi b kita gunakan teorema Pythagoras, yaitu : 3 1 3 = 12 = a 2 + b 2 ® b 2 = 1 – a 2 = ®b= 3 4 4 2 Jadi : Sudut
sin
cos
300
1 2
1 3 2
600
1 3 2
1 2
tan
cot
sec
csc
1 3 3
3
2 3 3
2
2
2 3 3
1 3 3
3
Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 450 terlebih dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai 450 1 450 30
b
a Gambar 2.22 sudut lancil masing - masing 450. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 2.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku– siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 450 disebut segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang berhadapan dengan sudut 450 mempunyai panjang yang sama ( a = b ). Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan bahwa : Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
csc
450
1 2
1 2
1
1
2
2
Untuk sudut-sudut 00 dan 900 dapat dilihat pada tabel berikut. Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
csc
00
0
1
0
¥
1
¥
900
1
0
¥
0
¥
1
F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut Untuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan Gambar 2.22 berikut. y
P L sin A cos B L sin A L
Q S
L cos A
L sin A sin B L cos A sin B A 0
B
R Gambar 2.22
31
T
x
sin(A+B) =
PQ + QR L sin A cos B + L cos A sin B = OP L
sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA
cos(A+B) =
( 2.46 )
OT - RT L cos A cos B - L sin A sin B OR = = L L OP
cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB sin(A + B) = cos(A + B) sin A cos B + cos A cos B tan(A+B) = cos A cos B cos A cos B
tan(A+B) =
tan(A+B) =
( 2.47 )
sin A cosB + sinBcosA cosAcosB - sinAsinB sin B cos A cos A cos B sin A sin B cos A cos B
tan A + tan B 1 - tan A tan B
( 2.48 )
Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut tumpul seperti 900 + a atau sudut tumpul lainnya. Contoh 2.36 Tentukan harga sin 1350. Penyelesaian : Sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900 1 1 1 = (1)( 2) + ( 2 )(0) = 2 2 2 2
G. Grafik fungsi trigonometri y
1 -2p
-3/2 p
-p/2
p
0
-p
-1
32
p/2
(3/2)p
2p
x
Gambar 2.23 Grafik fungsi sinus
y
1 -p
-3/2 p
-p
-p/2
0
p/2
3p/2
p
p
x
-1 Gambar 2.24 Grafik fungsi cosinus y
-3p/2
-p
-p/2
0
p/2
p
3p/2
x
Gambar 2.25 Grafik fungsi tangent y
-3p/2
-p
-p/2
0
33
p/2
p
3p/2
x
Gambar 2.26 Grafik fungsi cotangent y
1 -3p/2
-p
-p/2
0
p/2
p
3p/2
x -1
Gambar 2.27 Grafik fungsi secant
y
2p
-3p/2
-p
-p/2
0
p/2
p
3p/2
2p
1 -1
Gambar 2.28 Grafik fungsi cosecant
34
x
Soal-soal 1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika : a. sin a = 3/5 ; p/2 < a < p b. cos a = -4/5 ; c. tan a = - 2 ;3p/2 < a < 2p ; p/2 < a < p e. sec a = -6
d. cot a = 4/ 6 ; f . csc a = 5/4 ;
p < a < 3p/2 p < a < 3p/2 0 < a < p/2
2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut : a. sin a + ½ b. cos a - 1/2 c. sin (a - p/2) d. cos (a + p/2) H. Hukum sinus Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut. C
g E a
b k
h
a A
b D
B c Gambar 2.29
h ® h = a sin b a h Perhatikan segitiga ADC ® sin a = ® h = b sin a b sin b sin a Dari (*) dan (**) didapat : a sin b = b sin a ® = a b k Perhatikan segitiga AEC ® sin g = ® k = b sin g b k Perhatikan segitiga AEB ® sin b = ® k = c sin b c sin g sin b Dari (#) dan (##) didapat : b sin g = c sin b ® = c b Dari (***) dan (###) didapat : sin b sin g sin a = = a b c
Perhatikan segitiga BDC ® sin b =
Persamaan 2.49 disebut hukum Sinus. Soal-soal Soal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29. 35
(*) ( ** ) ( *** ) (#) ( ## ) ( ### )
(2.49)
1. 2. 3. 4. 5.
a= a= b= b= b=
60o ; 70o ; 30o ; 35o ; 25o ;
b = 50o dan b = 10 b = 45o dan c = 20 g = 115o dan c = 8 g = 125o dan c = 7 g = 40o dan a = 5
I. Hukum Cosinus Untuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut. C
g E a
b k
h
a A
b D
B c Gambar 2.30
Perhatikan segitiga ADC ® h = b sin a Perhatikan segitiga BDC ® (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 = (BC)2 – (AB - AD)2 h2 = a2 – (c - b cos a)2 2 b sin2a = a2 – c2 + 2bc cos a - b2 cos2a b2 sin2a + b2 cos2a = a2 – c2 + 2bc cos a b2 (sin2a + cos2a) = a2 – c2 + 2bc cos a b2 = a2 – c2 + 2bc cos a b 2 + c 2 - a2 Sehingga : a2 = b2 + c2 - 2bc cos a atau cos a = (2.50) 2bc Perhatikan segitiga BDC ® h = a sin b Perhatikan segitiga ADC ® (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 = (AC)2 – (AB - BD)2 h2 = b2 – (c - a cos b)2 2 a sin2b = b2 – c2 + 2ac cos b - a2 cos2b a2 sin2b + a2 cos2b = b2 – c2 + 2ac cos b a2 (sin2b + cos2b ) = b2 – c2 + 2ac cos b a2 = b2 – c2 + 2ac cos b a2 + c 2 - b 2 Sehingga : b2 = a2 + c2 – 2ac cos b atau cos b = (2.51) 2ac Perhatikan segitiga AEC ® k = b sin g Perhatikan segitiga AEB ® (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 = (AB)2 – (BC - CE)2 k2 = c2 – (a - b cos g)2 36
b2 b2 b2 b2
sin2a = c2 – a2 + 2ab cosg - b2 cos2g sin2g + b2 cos2g = c2 – a2 + 2ab cos g (sin2g + cos2g ) = c2 – a2 + 2ab cos g = c2 – a2 + 2ab cos g
Sehingga : c2 = a2 + b2 - 2ab cos g atau cos g =
a2 + b 2 - c 2 2ab
(2.52)
Persamaan 2.50 s/d s.52 adalah hukum Cosinus. Soal-soal 1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut a, b dan g jika panjang sisinya adalah : i) a = 5 ; b = 7 ; c = 8 iv) a = 7 ; b = 5 ; c = 4 ii) a = 4 ; b = 8 ; c = 9 v) a = 9 ; b = 4 ; c = 8 iii) a = 6 ; b = 9 ; c = 7 vi) a = 8 ; b = 6 ; c = 7 2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika diketahui : i) a = 45o ; b = 5 ; c = 4 iii) b = 120o ; a = 6 ; c = 9 o ii) a = 60 ; b = 9 ; c = 10 iv) b = 90o ; a = 8 ; c = 4
2.2.7.4 Fungsi trigonometri invers Kita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika fungsi tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai nilai tunggal untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x3 + 1 adalah fungsi satu ke satu untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akan tetapi f(x) = x2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga x yang berbeda akan menghasilkan harga f(x) yang r=tunggal. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x2 tidak mempunyai invers. Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk harga x = 0, x = p dan x = 2p akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0. Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Akan tetapi jika kita batasi domain fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi trigonometri menjadi fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu ke satu jika -p < x < p. Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1 atau arcsin) didefinisikan sebagai : y = sin-1 x Û x = sin y , untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1 atau arccos) didefinisikan sebagai : y = cos-1 x Û x = cos y , untuk -1 £ x £ 1 dan 0 £ y £ p. iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1 atau arctan) didefinisikan sebagai : y = tan-1 x Û x = tan y , untuk setiap harga x dan -p/2 £ y £ p/2. iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1 atau arccot) didefinisikan sebagai : y = cot-1 x Û x = cot y , untuk setiap harga x dan 0 £ y £ p. 37
v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1 atau arcsec) didefinisikan sebagai : y = sec-1 x Û x = sec y , untuk setiap harga |x| ³ 1 dan 0 £ y £ p, kecuali y = p/2. vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1 atau arccosec) didefinisikan sebagai : y = cosec-1 x Û x = cosec y , untuk setiap harga |x| ³ 1 dan 0 £ |y| £ p/2. y
y
-p/2 -1 1
p 0
1
p/2
x
p/2
-1
Grafik sin-1x
0 Grafik cos-1x
Gambar 2.31 Sifat-sifat fungsi trigonometri invers i) arcsin(sinx) = x untuk -p/2 £ x £ p/2 sin(arcsinx) = x untuk 1 £ x £ 1 ii) arccos(cosx) = x untuk 0 £ x £ p cos(arccosx) = x untuk -1 £ x £ 1 iii) arctan(tanx) = x untuk -p/2 £ x £ p/2 tan(arctanx) = x untuk semua harga x Contoh 2.37 Tentukan harga y jika : -1 1 a. y = sin ( 2 ) untuk -p/2 £ y £ p/2 2 1 -1 b. y = sin (2 ) untuk -p/2 £ y £ p/2 2 Penyelesaian : 1 -1 1 a. y = sin ( 2 ) Û sin y = 2 . Jadi y = p/4 2 2 1 1 -1 b. y = sin (2 ) Û sin y = 2 . Jadi y = - p/4 2 2
38
1
x
y
p/2 -1/ 2
p/4 1
0
-1
x
1/ 2 -p/4 -p/2 Gambar 2.31
Soal-soal Tentukan harga dari : 1. arcsin 1 2. arcsin (-1) 3. arccos 0 4. arccos (-1) 5. arctan 0 6. arctan 1
7. 8. 9. 10. 11. 12.
arcsin (sin p/3) arcsin (sin p/6) arccos (cos p ) arccos (cos 2p/3 ) arctan (tan p/3 ) arctan (tan -5p/6 )
13. 14. 15. 16. 17. 18.
arcsin (cos p/3) arccos (p/4) arctan (p/2) arctan (cos 4p) sin (arcsin 1/2) sin(arccos 1/2)
2.2.7.5 Fungsi hiperbolik A. Definisi Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa dengan fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut dapat dilihat dari definisi yang diberikan berikut ini. sinh x =
ex - e - x 2
( 2.53a )
cosh x =
ex + e - x 2
( 2.53b )
tanh x = coth x = sech x =
ex - e - x
ex + e - x x
e -e
-x
=
2 ex + e - x
cosech x =
sinh x cosh x
=
ex + e - x
cosh x sinh x
=
2 ex - e - x
1 cosh x
=
1 sinh x
B. Identitas hiperbolik Dari persamaan 2.53a dan b didapat : é ex - e - x ù ú 2 êë úû
sinh2 x = ê
2
=
e2x - 2 + e -2x 4
39
( 2.53c ) ( 2.53d ) ( 2.53e ) ( 2.53f )
é ex + e - x ù ú 2 êë úû
cosh2 x = ê
2
e2x + 2 + e -2x 4
=
Sehingga : cosh2 x - sinh2 x =
e2x + 2 + e -2x 4
e2x - 2 + e -2x 4
cosh2 x - sinh2 x = 1
( 2.54 )
Dengan membagi persamaan 2.54 dengan cosh2 x didapat : 1 - tanh2 x = sech2 x
( 2.55 )
Selanjutnya jika persamaan 2.54 dibagi dengan sinh2 x didapat : coth2x - 1 = cosech2 x
( 2.56 )
Persamaan 2.54 s/d 2.56 adalah Identitas hiperbolik. Selain identitas tersebut diatas masih terdapat identitas hiperbolik lainnya seperti yang terdapat pada soal-soal. Soal-soal Buktikan identitas hiperbolik berikut : 1. sinh x + cosh x = e 2. cosh x - sinh x = e
x
-x
3. sinh (-x) = - sinh x 4. cosh (-x) = cosh x 5. sinh 2x = 2 sinh x cosh x 6. cosh 2x = cosh2x + sinh2x
tanh x + tanh y 1 + tanh x tanh y tanh x - tanh y 14. tanh (x-y) = 1 - tanh x tanh y x cosh x - 1 15. sinh2 = 2 2 cosh x + 1 2 x 16. cosh = 2 2 2 tanh x
13. tanh (x+y) =
17. tanh 2x =
1 + tanh2 x x sinh x 18. tanh = 2 1 + cosh x
7. sinh (x+y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x 8. sinh (x-y) = sinh x cosh y - sinh y cosh x 9. cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 10. cosh (x-y) = cosh x cosh y - sinh x sinh y 11. (sinh x + cosh x)n = sinh nx + cosh nx 12. (sinh x - cosh x)n = sinh nx - cosh nx
2.2.7.6 Fungsi hiperbolik invers Pada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural.
40
Teorema-teorema -1
sinh x = ln (x + x2 + 1 )
( 2.57 )
Bukti : -1
y = sinh x Û x = sinh y = y
-y
ey - e -y 2
2x – e + e = 0. Selanjutnya kalikan semua ruas dengan ey didapat: 2y y 2xey - e + 1 = 0 atau e2y - 2xe -1 = 0 Dengan menggunakan persamaan kuadrat : 2x ± 4x2 + 4 = x ± x2 + 1 2
y
e =
Berarti ey mempunyai dua harga yaitu x + x2 + 1 dan x - x2 + 1 . Perlu diperhatikan bahwa : y
- harga e dan
x2 + 1 selalu positif untuk sembarang harga x
x2 + 1 selalu lebih besar dari x untuk sembarang harga x
- harga
Dari dua fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan y
bahwa : e = x + x2 + 1 . Sehingga : y = ln ( x + x2 + 1 )
( terbukti )
Gambar 2.32 Grafik sinh x dan arcsinh x
-1
cosh x = ± ln (x + x2 - 1 ) , x ³ 1 ; y ³ 0
( 2.58 )
Bukti : -1
y = cosh x Û x = cosh y = y
2x – e - e
-y
ey + e -y 2
= 0. Selanjutnya kalikan semua ruas dengan ey didapat: 41
2y
y
2xey - e - 1 = 0 atau e2y - 2xe +1 = 0 Dengan menggunakan persamaan kuadrat : y
e =
2x ± 4x2 - 4 = x ± x2 - 1 2
Berarti ey mempunyai dua harga yaitu x + x2 - 1 dan x - x2 - 1 . Perlu diperhatikan bahwa : y - harga e selalu positif untuk x ³ 1 -
x2 - 1 ³ 0 untuk x ³ 1
- harga
x2 - 1 selalu lebih kecil dari x untuk x ³ 1
Dari tiga fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan y
y
bahwa : e = x + x2 - 1 atau e = x - x2 - 1 . Selanjutnya perhatikan bahwa : x - x2 - 1 = ( x - x2 - 1 )
x + x2 - 1 x + x2 - 1
=
x2 - x2 + 1 x + x2 - 1
=
1 x + x2 - 1
= ( x + x2 - 1 )-1 y
y
Jadi : e = x + x2 - 1 atau e = ( x + x2 - 1 )-1 y = ln ( x + x2 - 1 ) atau y = - ln ( x + x2 - 1 ). Disini dapat kita lihat bahwa untuk setiap satu nilai x (peubah bebas) berpasangan dengan dua nilai y (peubah tak bebas). Hal ini melanggar definisi fungsi ; yaitu setiap satu nilai x tepat berpasangan dengan satu nilai y. Berdasarkan hal tersebut diatas maka y diambil harga positifnya saja, yaitu : y = cosh-1 x= ln ( x + x2 - 1 ) , y ³ 0 dan x ³1 (terbukti)
Gambar 2.33
42
Grafik cosh x dan arccosh x
1 1+x ln , çxç< 1 2 1-x
-1
tanh x =
( 2.59 )
Bukti : -1
y = tanh x Û x = tanh y = y
xe + xe xe
2y
-y
y
–e +e
+x–e
2y
-y
ey - e -y ey + e - y
= 0 ® kalikan dengan e
+ 1 = 0 ® (x-1)e
2y
y
+ (x+1) = 0 1
e
2y
1+ x y é1 + x ù 2 1+x = ®e =± =± ê ú untuk çxç< 1. 1-x 1-x ë1 - x û 1
é1 + x ù 2 Karena e selalu positif , maka e = ê ú , çxç< 1 ë1 - x û y
y
é1 + x ù 1 ln ê ú , çxç< 1 ( terbukti ). 2 ë1 - x û
atau y =
1 x +1 ln , çxç>1 2 x -1
-1
coth x =
( 2.60 )
Bukti : -1
y = coth x Û x = coth y = y
xe - xe xe e
2y
2y
-y
y
–e -e
-x–e
2y
-y
ey + e -y ey - e - y
= 0 ® kalikan dengan e
- 1 = 0 ® (x-1)e
y x +1 = ®e =± x -1
2y
y
- (x+1) = 0 1
x +1 é x + 1ù 2 =± ê ú untuk çxç>1. x -1 ë x - 1û 1
é x + 1ù 2 Karena e selalu positif, maka e = ê ú , çxç>1 ë x - 1û y
atau y =
y
é x + 1ù 1 ln ê ú , çxç>1 ( terbukti ). 2 ë x - 1û
43
-1
sech x = ln
1 + 1 - x2 , 0>x³1 x
( 2.61 )
Bukti : -1 y = sech x Û x = sech y x=
1 -1 1 1 ® cosh y = ® y = cosh cosh y x x -1
Jadi sech x = cosh -1
-1 1
sech x = ± ln (
x
= ± ln ( 1 + 1 x
x
1 - x2 ) , 0 < x £ 1
1 + 1 - x2 ). x
-1
Karena sech x hanya mempunyai satu harga untuk srtiap satu harga x, -1
maka : sech x = ln (
-1
cosech x = ln
1+
1 + 1 - x2 ) , 0 < x £ 1 (terbukti) x
x2 + 1 , x>0 x
( 2.62 )
Bukti : -1 y = cosech x Û x = cosech y x=
1 -1 1 1 ® sinh y = ® y = sinh sinh y x x -1
Jadi cosech x = ln (
1 + x2 + 1 1 1 ), x > 0 + 1 + x2 ) = ln ( x x x
( terbukti )
2.2.7.7 Fungsi genap dan ganjil Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi : f(x) = f(-x)
2.63
dan dikatakan ganjil jika memenuhi : f(-x) = -f(x)
2.64
Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 2.63 dan 2.64 maka persamaan tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil. Contoh 2.38 Diketahui i) f(x) = x3 ii) f(x) = x2 + 3 iii) f(x) = x - 2 Tentukan apakah fungsi tersebut termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya ? 44
Penyelesaian i) f(x) = x3 f(-x) =(-x)3 = -x3 =-f(x) Karena f(-x) = -f(x), maka x3 adalah fungsi ganjil. ii) f(x) = x2 + 3 f(-x) = (-x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x) Karena f(-x) = f(x), maka x2 + 3 adalah fungsi genap. iii) f(x) = x - 2 f(-x) = -x - 2 = - (x+2) Karena f(x) ¹ f(-x) ¹ -f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil. Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga : f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(-x) = g(-x) . h(-x)
( ** )
atau
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil maka berlaku g(-x) = - g(x) dan h(-x) = - h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat : f(-x) = {-g(x)}.{- h(x)} f(-x) = g(x) . h(x) (***) Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x) Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi ganjil menghasilkan fungsi genap Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga : f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(-x) = g(-x) . h(-x)
( ** )
atau
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap maka berlaku g(-x) = g(x) dan h(-x) = h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat : f(-x) = g(x) . h(x)
(***)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x) Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi genap menghasilkan fungsi genap Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :
45
f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(-x) = g(-x) . h(-x)
( ** )
atau
Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya maka berlaku g(-x) = g(x) dan h(-x) = -h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :f(-x) = g(x) .{-h(x)} = -{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan mensubstitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = - f(x). Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil
Soal-soal : Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut dan tentukan fungsi-fungsi apakah genap, ganjil atau tidak keduanya ! 1. f(x) = x3 4. f(x) = x3 + x 7. f(x) =
1+ x
2
1-x
4
2. f(x) = x x
3. f(x) = x4 – 2x2 + 1
5. f(x) = sinh x
6. f(x) = cosh x
8. f(x) =
2
x +1 x +1
9. f(x) = sin(cos x)
10. f(x) = cos x3
2.2.9 Fungsi Periodik Suatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga : f( x + p ) = f ( x )
( 2.64 )
dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan fungsi-fungsi x, x2, x3, ex dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak memenuhi persamaan 2.64. Dengan mengacu pada persamaan 2.64 kita dapatkan bahwa : f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x) .............................. f(x+np) = f(x)
;
n = 1, 2, 3, . . . . . . .
( 2.65 )
Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gambar 2.34 dibawah ini.
46
p Gambar 2.34 Grafik fungsi priodik Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi yang didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah konstanta, maka berlaku : f(x+p) = ag(x+p) + bh(x+p)
( 2.66 )
Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x) juga mempunyai periode p. Contoh 2.39 Tentukan periode dari f(x) = sin x Penyelesaian : sin (x+p) = sin x sin x cos p + cos x sin p = sin x ® didapat p = 2p
47
