3
II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan dasar fluida ideal yang disarikan dari pustaka (Douglas 2001) dan konsep deret Fourier disarikan dari pustaka (Ross 1984) 2.1
Persamaan Dasar Fluida Ideal Fluida adalah merupakan zat yang dapat mengalir seperti air dan udara.
Persamaan dasar fluida diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Persamaan ini merupakan dasar bagi penurunan persamaan-persamaan gerak gelombang internal, seperti persamaan CLW, KdV dan BO. Jika fluida ditinjau dalam dua dimensi, maka secara sederhana hukum kekekalan massa dalam fluida tersebut dapat dinyatakan sebagai laju perubahan massa pada suatu elemen luas sama dengan selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar pada elemen luas tersebut, seperti pada Gambar 1. ρw|z+Δz z+Δz
ρu|x+Δx
ρu|x z
ρw|z x
x+Δx
Gambar 1 Elemen luas fluida dalam dua dimensi. Misalkan rapat massa fluida dinotasikan dengan ρ, kecepatan partikel fluida arah horizontal dan vertikal masing-masing dinyatakan oleh u dan w, maka dalam dua dimensi ρ, u dan w masing-masing bergantung pada koordinat ruang x dan z serta peubah waktu t. Jika ρu|xΔz dan ρw|z Δx masing-masing menyatakan massa yang masuk dalam arah horisontal dan vertikal, serta ρu|x+ΔxΔz dan ρw|z+Δz Δx
4
masing-masing menyatakan massa yang keluar dalam arah horisontal dan vertikal, maka berdasarkan hukum kekekalan massa diperoleh
ΔxΔz
∂ρ = Δz ( ρ u |x − ρ u |x +Δx ) + Δx( ρ w |z − ρ w |z +Δz ). ∂t
Kemudian, jika kedua ruas pada persamaan (2.1) dibagi dengan
(2.1) , dan
membuat Δx→0 dan Δz→0, maka diperoleh
∂ρ ∂ρ u ∂ρ w =− − ∂t ∂x ∂z atau
ρt = −(u ρ x + ρux + wρ x + ρ wz ).
(2.2)
Jika digunakan notasi turunan total terhadap waktu, yaitu D ∂ ∂ ∂ = +u +w , Dt ∂t ∂x ∂z
maka didapat Dρ = ρ t + u ρ x + wρ z . Dt
(2.3)
Substitusi persamaan (2.2) ke dalam persamaan (2.3) menghasilkan Dρ = − ρ u x − ρ wz . Dt
(2.4)
Dengan asumsi fluida tak mampat, yaitu Dρ = 0, Dt
persamaan (2.3) dan (2.4) menjadi
ρ t + u ρ x + wρ z = 0
(2.5)
ux + wz = 0.
(2.6)
dan
Persamaan (2.5) dan (2.6) disebut persamaan kontinuitas fluida yang tak termampatkan. Berdasarkan asumsi fluida ideal yang tak berotasi, maka terdapat fungsi
φ(x,y,t) yaitu fungsi potensial kecepatan yang memenuhi ∇ φ = q dengan
5
⎛ ∂ ∂ ⎞ ∇ = ⎜ , ⎟ dan q = (u , w ) . Jadi ⎝ ∂x ∂z ⎠
∇φ = (φx , φz ) = (u, w).
(2.7)
Berdasarkan persamaan (2.6) dan (2.7) diperoleh
φxx + φzz = 0,
(2.8)
yang merupakan persamaan dasar fluida ideal yang tak berotasi. Hukum kekekalan momentum dapat dinyatakan sebagai laju perubahan momentum sama dengan selisih antara momentum yang masuk dengan momentum yang keluar ditambah gaya-gaya yang bekerja pada elemen luas yang ditinjau. Berdasarkan Gambar 1 : -
Momentum masuk pada arah horizontal
: ( ρ u |x Δz + ρ w |z Δx)u
-
Momentum masuk pada arah vertikal
: ( ρ u |x Δz + ρ w |z Δx) w
-
Momentum keluar pada arah horizontal
: ( ρ u |x +Δx Δz + ρ w |z +Δz Δx)u
-
Momentum keluar pada arah vertikal
: ( ρ u |x+Δx Δz + ρ w |z +Δz Δx)w.
Laju perubahan momentum pada arah horizontal adalah Δx Δz
∂( ρu) = Δz ( ρ uu |x − ρ uu |x +Δx ) + Δx ( ρ wu |z − ρ wu |z +Δz ) ∂t + ( P |x − P |x +Δx ) Δz
(2.9)
dan laju perubahan momentum pada arah vertikal adalah ΔxΔz
∂ ( ρ w) = Δz ( ρ uw |x − ρ uw |x +Δx ) + Δx( ρ ww |z − ρ ww |z +Δz ) ∂t + ( P |z − P |z +Δz )Δx − ρ g ΔxΔz.
Jika kedua ruas persamaan (2.9) dan (2.10) dibagi
(2.10)
dan membuat
, maka persamaan (2.9) dan (2.10) masing-masing menjadi ⎛ ∂ (u ) ∂ (uu ) ∂ ( wu ) ⎞ ∂P + + =0 ⎟+ ∂x ∂z ⎠ ∂x ⎝ ∂t
(2.11)
⎛ ∂ ( w) ∂ (uw) ∂ ( ww) ⎞ ∂P + + + ρ g = 0. ⎟+ ∂x ∂z ⎠ ∂z ⎝ ∂t
(2.12)
ρ⎜ dan
ρ⎜
6
Dengan menggunakan persamaan (2.5) dan (2.6), persamaan (2.11) dan (2.12) masing-masing menjadi
ρ (ut + uux + wuz ) + Px = 0 ,
(2.13a)
ρ ( wt + uwx + wwz ) + Pz + ρ g = 0.
(2.13b)
Persamaan (2.13) sering disebut persamaan momentum (persamaan Euler). Dengan demikian dari persamaan (2.5), (2.6) dan (2.13) diperoleh persamaan dasar fluida ideal yang diberikan dalam sistim persamaan berikut :
2.2
ρ t + u ρ x + wρ z = 0
(2.14a)
ux + wz = 0
(2.14b)
ρ (ut + uux + wuz ) + Px = 0
(2.14c)
ρ ( wt + uwx + wwz ) + Pz + ρ g = 0.
(2.14d)
Asumsi Fluida Ideal dengan Aliran Tunak Asumsi fluida yang memiliki aliran yang tunak (steady) dapat diilustrasikan
dengan suatu gelombang yang difoto. Gelombang bergerak seakan-akan bingkai foto yang bergerak. Jadi kecepatan gelombang sama dengan kecepatan bingkai. Jika gelombang terus bergerak ke kanan dengan kecepatan c (c > 0), maka koordinat foto X dapat ditulis X = x – ct. Sehingga diperoleh
∂X ∂X = −c , = 1, ∂t ∂x
∂x = ∂X dan ∂t = −c∂x . Jadi dalam bentuk tunak persamaan (2.14a) dapat ditulis
−cρ x + u ρ x + wρ z = 0 atau
U ρ x + wρ z = 0 dengan U = u – c.
Dengan
cara yang sama diperoleh bentuk tunak dari
persamaan (2.14). Untuk memudahkan penulisan notasi U ditulis u. Jadi persamaan dasar fluida ideal dalam bentuk tunak adalah :
7
2.3
u ρ x + wρ z = 0
(2.15a)
ux + wz = 0
(2.15b)
ρ (uux + wuz ) + Px = 0
(2.15c)
ρ (uwx + wwz ) + Pz + ρ g = 0.
(2.15d)
Syarat Batas Ada dua macam syarat batas yang akan dibahas, yaitu syarat batas
kinematik dan syarat batas dinamik. Syarat batas kinematik terjadi karena gerak partikel dan syarat batas dinamik terjadi karena adanya gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Misalkan z = η0(x) adalah persamaan kurva yang membatasi antara air dan udara. Dalam bentuk eksplisit persamaan kurva tersebut dapat dinyatakan dengan S(x,z) = - η0(x) + z = 0. Dalam notasi turunan total
∂S ∂S DS =u +w =0. Dt ∂x ∂z Berdasarkan persamaan (2.7) diperoleh
∂φ ∂φ − η0 '( x) = 0 pada z = η0(x). ∂z ∂x
(2.16)
Persamaan (2.16) disebut syarat batas kinematik pada permukaan fluida. Selanjutnya syarat batas dinamik diturunkan sebagai berikut. Misalkan
∂q ∂q Dq = u + w = (q.∇)q. Dt ∂x ∂z
(2.17)
Persamaan (2.17) dapat ditulis
Dq = (∇ × q) × q + ∇( 12 | q |2 ). Dt
(2.18)
Dengan asumsi fluida tak berotasi, yaitu ∇×q = 0, persamaan (2.18) menjadi
Dq = ∇( 12 (φx 2 + φz 2 )). Dt
(2.19)
Persamaan (2.15c) dan (2.15d) dapat ditulis dalam notasi vektor berikut
ρ
Dq + ∇P + ρ g = 0. Dt
Substitusi persamaan (2.19) ke dalam persamaan (2.20) diperoleh
(2.20)
8
∇( 12 φx 2 + 12 φz 2 +
P
∇( 12 φx 2 + 12 φz 2 +
P
ρ
)+ g =0
atau bisa ditulis
ρ
+ gz ) = 0.
(2.21)
Kemudian diintegralkan terhadap koordinat ruang diperoleh persamaan Bernoulli 1 2
φ x 2 + 12 φ z 2 +
P
ρ
+ gz = C .
(2.22)
Konstanta C bisa digabung dalam fungsi φ. Misalkan C = 0 dan tekanan di permukaan sama dengan tekanan atmosfir yang diasumsikan nol, maka syarat batas dinamik pada permukaan fluida adalah 1 2
φ x 2 + 12 φ z 2 + gη 0 = 0 pada z = η0(x).
(2.23)
Persamaan (2.23) disebut syarat batas dinamik pada permukaan fluida.
2.4
Fluida Dua Lapisan Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri atas dua lapisan yang masing-
masing memiliki rapat massa yang konstan. Misalkan z = η(x) adalah batas antara dua fluida ideal tak berotasi dengan aliran tunak yang memiliki arus sebesar c pada z → ∞. Fluida lapisan bawah memiliki rapat massa ρ1 dengan potensial kecepatan φ1 dan fluida lapisan atas memiliki potensial kecepatan φ2 dengan rapat massa ρ2 dengan ρ2 < ρ1 seperti diilustrasikan pada Gambar 2. z
ρ2 , φ2 z = η(x) z=h
ρ1 , φ1 z=0
x
Gambar 2 Domain fluida dua lapisan
9
Berdasarkan persamaan (2.8) diperoleh persamaan dasar sebagai berikut :
φ1xx + φ1zz = 0 pada 0 < z < η
(2.24)
φ2xx + φ2zz = 0 pada η < z < ∞
(2.25)
∂φ1 = 0 pada z = 0 ∂z
(2.26)
φ2→cx pada z→∞.
(2.27)
dengan batas bawah
dan batas atas
Syarat batas kinematik pada lapisan bawah dan atas masing-masing adalah
∂φ1 ∂φ − η '( x) 1 = 0 pada z = η(x) ∂z ∂x
(2.28)
∂φ2 ∂φ − η '( x) 2 = 0 pada z = η(x). ∂z ∂x
(2.29)
dan
Sedangkan syarat batas dinamiknya adalah − ρ1 ( 12 φ1 x 2 + 12 φ1 z 2 + gη ) + ρ 2 ( 12 φ2 x 2 + 12 φ2 z 2 + gη ) = P = konstan.
(2.30)
Kemudian berdasarkan persamaan dasar dan syarat batas yang diberikan akan diturunkan persamaan CLW yang diuraikan pada bagian selanjutnya. Persamaan CLW sulit diselesaikan secara analitik, karena itu akan diselesaikan secara numerik. Metode numerik yang digunakan adalah metode pemotongan deret Fourier. Penjelasan konsep deret Fourier diberikan pada bagian selanjutnya. 2.5
Uraian Deret Fourier
Deret Fourier merupakan suatu deret yang dinyatakan oleh penjumlahan fungsi periodik dalam bentuk fungsi trigonometri (fungsi sinus dan kosinus). Berikut ini adalah salah satu definisi yang terkait deret Fourier yang digunakan pada penelitian ini.
10
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada interval –L < x < L dan integral
∫
L
−L
f ( x) cos
nπ x dx dan L
∫
L
−L
f ( x)sin
nπ x dx L
(n = 0,1,2,3,…) ada, maka ruas kanan dari persamaan f ( x) =
∞ a0 nπ x nπ x + ∑ ( an cos + bn sin ), − L ≤ x ≤ L 2 n =1 L L
disebut deret Fourier untuk fungsi f dengan
an =
1 L nπ x f ( x) cos dx ∫ L − L L
(n = 0,1, 2,...),
bn =
1 L nπ x f ( x) cos dx ∫ L −L L
(n = 1, 2,3,...).
dan
Bilangan an (n=0,1,2,…) dan bn (n=1,2,3,…) dinamakan koefisien deret Fourier dari fungsi f. Berdasarkan definisi di atas, jika bentuk simpangan gelombang η(x,t) yang dicari merupakan fungsi kontinu yang periodik dengan periode 2π, maka fungsi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk ∞
η ( x, t ) = a0 (t ) + ∑ [ ak (t ) cos( kx) + bk (t ) sin( kx) ] k =1
dengan koefisien-koefisien ak dan bk tergantung pada variabel waktu t.
(2.31)
