The Central Limit Theorem

The Central Limit Theorem Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII

March 30, 2015

Ayundyah

The Central Limit Theorem

Sifat-Sifat Distribusi Sampel

Sifat-sifat dari distribusi sampel tersebut dikenal dengan Central Limit Theorem 1. Bentuk distribusi dari rata-rata sampel akan mendekati distribusi normal meskipun distribusi populasi tidak normal 2. Rata-rata dari rata-rata sampel sama dengan rata-rata populasi (µ) 3. Standar deviasi dari rata-rata sampel sama dengan standar deviasi populasi (σ) dibagi dengan akar jumlah sampel. σ Dikenal dengan istilah Standar Error (SE) = √ n

Ayundyah


Distribusi Probabilitas Individu Laporan tahunan RS Sayang Ibu menyatakan bahwa ada sebanyak 500 kelahiran hidup selama setahun terakhir di RS tersebut. Rata-rata berat badan bayi adalah 3000 gram dengan simpangan baku sebesar 500 gram. Distribusi berat badan bayi mengikuti distribusi normal. Anda wajib tertarik melihat data tersebut maka hitunglah probabilitas untuk mendapatkan berat bayi sebagai berikut: a. Bayi dengan berat badan saat lahir lebih dari 3500 gram ? b. Bayi dengan berat badan bayi saat lahir antara 2500 s/d 3500 gram? c. Bayi dengan berat badan bayi saat lahir 2000 s/d 2500 gram? d. Dinas Kesehatan di mana RS tersebut berada mengatakan bahwa ada sebesar 20% kelahiran bayi BBLR (<2500 gram). Coba hitung apakah data RS tersebut memberikan prevalensi kejadian BBLR lebih tinggi atau lebih rendah dari laporan Dinas Kesehatan tersebut? Ayundyah


Distribusi Sampel Sebanyak 500 kelahiran hidup selama setahun terakhir di Rumah sakit tersebut. Rata-rata berat badan bayi adalah 300 gram dengan simpangan baku sebesar 500 gram. Distribusi berat badan bayi mengikuti distribusi normal. Anda tertarik melihat data berat badan bayi di RS tersebut (Contoh 1). Dengan berdasarkan perhitungan besar sampel, Anda mengambil sampel sebanyak 49 kelahiran hidup dari catatan medis (medical record) di RS tersebut. Coba hitung berapa probabilitas Anda akan mendapatkan nilai rata-rata sampel Anda tersebut sebagai berikut: a. Kurang dari 2800 gram ? b. lebih dari 3150 gram? c. Antara 2900 gram sampai 3100 gram d. Antara 2999 gram sampai 3001 gram (persis dama dengan 3000 gram) Ayundyah



if X is the mean of a random sample of size n taken from a population with mean µ anda finite variance σ 2 , then the limiting form of the distribution of Z=

X −µ √ σ/ n

as n → ∞ is the standard normal distribution n(z; 0, 1).

Ayundyah


(1)

Figure: Ilustrasi Teorema Limit Central

Ayundyah


Latihan Soal

1. An electrical firm manufactures light bulbs that have a length of life that is aproximately normally distributed, with mean equal to 800 hours anda a standart deviation of 40 hours. Find the probability that a random sample of 16 bulbs will have an average life of less than 775 hours. Penyelesaian Distribusi sampling dari X akan didekati dengan menggunakan 40 distribusi normal, dengan µX = 800 dan σX = √ = 10. 16

Ayundyah


"

X − µX 775 − 800 √ < P[X < 775] = P 10 σ/ n = P [Z < −2, 5] = 0, 0062

Ayundyah


#

Pembahasan Tugas

1. Suatu perusahaan penerbangan ingin menghitung probabilitas bahwa rata-rata berat badan para penumpang dalam salah satu jet akan melebihi 155 pon, apabila semua tempat duduk sebanyak 81 buah penuh (merupakan sampel, jadi n = 81).Suatu pendapat mengatakan bahwa kalau seluruh penumpang jet diselidiki satu per satu (sensus), maka akan diperoleh rata-rata sebenarnya sebesar µ= 150 pon dengan simpangan baku σ = 21 pon. Berdasarkan keterangan ini, hitunglah berapa besarnya nilai probabilitas bahwa rata-rata berat badan para penumpang jet lebih dari 155 pon

Ayundyah


Penyelesaian untuk X = 155 pon, Z=

X −µ 155 − 150 √ = √ = 2, 14 σ/ n 21/ 81

Jadi P[X > 155] = P(Z > 2, 14) = 0, 5 − 0, 4838 = 0, 0162. Maka, besarnya probabilitas bahwa rata-rata berat badan penumpang melebihi 155 pon adalah sebesar 0,0162 ≈ 1,6 %

Ayundyah


Statistik Induktif(Inference)

Statistik Induktif adalah pengambilan kesimpulan mengenai nilai sebenarnya dari parameter (yang dihitung berdasarkan populasi), yang didadsarkan atasperhitungan sampel, sehingga kesimpulan tersebut mengandung unsur ketidakpastian. Artinya kesimpulan tersebut bisa benar bisa juga salah. Statistik Induktif meliputi dua hal yaitu : 1

Teori pendugaan

2

pengujian hipotesis

Ayundyah


Taksiran (Pendugaan) Tunggal

Suatu penduga tunggal (point estimator) adalah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja. contoh: rata-rata konsumsi susu per bulan tiap keluarga sebanyak 35 kaleng (X =35 sebagai penduga dari µ), ataupun persentase nasabah yang tidak puas sebesar 24 % (ˆ p=0,25) sebagai penduga ˆ disebut penduga atau estimator µ dan p yang P. X dan p merupakan parameter. di bawah ini, akan diberikan beberapa penduga dan parameter, yaitu: Penduga X p ˆ s r b Parameter µ p σ ρ B

Ayundyah


Pendgua tunggal merupakan fungsi dari nilai observasi yang berasal dari sampel dengan n elemen. Apabila penduga diberi simbol θˆ (=theta topi) dan X1 , X2 , ..., Xn merupakan suatu sampel acak, maka ˆθ=f (X1 , X2 , ..., Xn ). Misalnya, apabila 1X Xi θˆ = X = n dan apabila θˆ = S 2 =

1 X (Xi − X )2 n−1

maka nilai θ akan berbeda-beda dari sampel yang satu dengan sampel yang lainnya. Dari suatu populasi dengan N elemen akan diperoleh sebanyak K sampel.

Ayundyah


Sifat-sifat Penduga

1 2

3

4

ˆ θ merupakan penduga tak bias dari θ jika E(θ)=θ θˆ merupakan penduga konsisten bagi θ apabila nilai θˆ cenderung mendekati nilai parameter θ untuk n yang semakin besar mendekati tak terhingga θˆ merupakan penduga yang efisien bagi θ jika penduga θˆ memiliki varians tau standar deviasi yang lebih kecil dibandingkan dengan penduga lainnya. θˆ merupakan penduga yang cukup bagi θ apabila θˆ mencakup seluruh informasi tentang θ yang terkandung di dalam sampel.

Ayundyah


Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu, minta tolonglah pada Allah, dan jangan malas (patah semangat). (HR. Muslim no. 2664).

Ayundyah


The Central Limit Theorem

Recommend Documents