Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
5 juli 2006
ANTWOORDEN OPGAVE 1 a) Voor theorievragen zie de leermiddelen. b) De cirkel van Mohr is hieronder getekend.
scale 5 N/mm2
xz
(2)
x
r=50
(σzz ; σzz) = (20,-30)
105
(σzz ; σzz) = (20,-30)
σ1
σ2
σ3 x
20
10
110
m=60
(1) xx zz
3
z
5
(σxx; σxz) = ( 5σ; -τ) = (100,-30) RC
zx
Figuur 1.1 : Cirkel van Mohr voor de spanningen c) Zie bovenstaande figuur. De normaalspanning is 105 N/mm2 en de schuifspanning is 20 N/mm2 met de in de figuur aangegeven richtingen d) De Huber-Hencky formule is een speciale toepassing van het von Mises vloeicriterium dat geldt voor spanningen in liggers die volgens het liggermodel zijn bepaald. In dit model worden geen normaalspanningen in verticale richting meegenomen. De gegevens spanningssituatie voldoet hier niet aan. Dit criterium mag dan ook zo niet worden gebruikt. Het is dus fout om te constateren: 1002 + 3 × 302 > 110 N/mm 2 (bezwijken) e) De hoofdspanningen zijn in de bovenstaande figuur weergegeven.hoofdspanningen kunnen worden afgelezen en zijn:
σ 1 = m + r = 60 + 50 = 110 N/mm 2 ; σ 2 = m − r = 10 − 50 = 10 N/mm 2 ; σ 3 = 0 N/mm 2 Controle volgens von Mises levert: 1 6 1 6
( (σ − σ ) + (σ − σ ) + ( σ − σ ) ) ≤ ((110 − 10) + (10) + (110) ) ≤ ×110 2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
2
1
1 3
1 3
2
Volgens von Mises treedt er geen bezwijken op. -8-
f y2 ⇔ 3700 ≤ 4033 13 γ = 1, 04 OK
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
5 juli 2006
OPGAVE 2 deel 1: S1
B
A
S2
C
D
z-as
5,0 m
2,0 m
3,0 m
3,0 m
2,0 1,0
MB
1,0 VB-rechts
1,0 VS1-links
1,0 kN kromme
rechte wS2
3,0
1,0
MC
Oppervlak invloedslijn voor MB: M B = 12 × 5 × 2, 0 × q = 5q Oppervlak invloedslijn voor MC: M C = 12 × 6 × 3, 0 × q = 9q Maximaal steunpuntsmoment voor C indien S1-C is belast.
deel 2: Zie voorbeeld dictaat.
-9-
3,0 m
x-as
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
5 juli 2006
OPGAVE 3 a) Daar waar het maximale moment de sterkte overschrijdt zal voor het eerst een plastisch scharnier ontstaan. Er zijn drie punten om te controleren, de inklemming A, het steunpunt B en het maximum veldmoment “ergens” tussen B en C.
q
MB
½MB
Mp
A
C
l
2Mp
l
B
Alle staven EI
z-as
Geval A
De constructie is twee-voudig statisch onbepaald maar met de voorkennis van S.O. constructies is bekend dat het inklemmingsmoment in A de helft is van het steunpuntsmoment in B. Hiermee laat zich de krachtsverdeling in de elastische fase eenvoudig bepalen door de onderstaande vormveranderingsvoorwaarde voor de rotatie in B op te lossen: − M B × l 12 M B × l M B × l q × (l )3 + = − ⇔ 3EI 6 EI 3EI 24 EI 14 M ql 2 ql 2 MB = ⇒ Mp = ⇔ q= 2 p 14 14 l Het (negatieve) inklemmingsmoment in A wordt in grootte:
ql 2 MA = 28
ql 2 ⇒ Mp = 28
⇒q=
28M p l2
Het (positieve) veldmoment halverwege BC wordt hiermee in grootte : M veld-BC =
5ql 2 − ql 2 q × l 2 5ql 2 + = ⇒ 2M p = 28 8 56 56
⇔q=
22, 4 M p l2
Dit veldmoment is niet het maximum veldmoment maar zal er niet ver naast zitten. De maatgevende doorsnede is het steunpunt B, hier zal dus het eerste volplastische scharnier ontstaan (laagste belasting q). b) Voor een (partiëel) liggermechanisme op deel BC zijn slechts twee scharnieren nodig. De plaats a van het scharnier in het veld BC is onbekend. Bekend is wel dat de laagste bezwijklast maatgevend zal zijn. a Mp
l-a
θ1
θ2 2M p
2M p
- 10 -
θ1 × a
x-as
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
5 juli 2006
De virtuele arbeid die het mechanisme levert moet gelijk zijn aan nul (evenwichtseis), hieruit volgt voor de bezwijkbelasting (let op de bijdrage van de q-last !) : − M p × δθ1 − 2 M p × δθ1 − 2 M p × δθ 2 + q × l × 12 a × δθ1 = 0 met : δθ 2 = q=
6l − 2a M p × a (l − a ) l
a × δθ1 l −a
(1)
De bezwijklast is de kleinste waarde voor q. Er moet dus gezocht worden naar het minimum voor q: dq −2 × (a × (l − a )) − (6l − 2a ) × (l − 2a ) M p = × da a 2 × (l − a ) 2 l dq = 0 ⇒ − 6l 2 + 12al − 2a 2 = 0 da a1 = l × (3 + 6) ∨ a2 = l × (3 − 6) Er is slechts 1 zinvolle oplossing mogelijk: a = l × (3 − 6) = 0,5505 × l Met formule (1) is nu de bezwijklast te bepalen: qp = 19,80
Mp l2
c) Het bezwijkmechanisme voor deze belasting is op voorhand bekend:
F 0,5l
0,5l Mp
θ
θ 2M p
θ × 12 l
2M p
Met behulp van het principe van virtuele arbeid wordt nu gevonden voor de bezwijklast: − M p × δθ − 4M p × δθ + F × 12 l × δθ = 0 Fp =
10 M p l
- 11 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
5 juli 2006
OPGAVE 4 Ten opzichte van de bovenrand QR ligt het NC op: z NC =
E1 × 65 × 5 × 0 + E2 × 40 × 5 × 20 = 10,8 mm E1 × 65 × 5 + E2 × 40 × 5
Ten opzichte van de linkerrand PQ ligt het NC op: yNC =
E1 × 65 × 5 × −32,5 + E2 × 40 × 5 × 0 = −14,9 mm E1 × 65 × 5 + E2 × 40 × 5
Het NC ligt hiermee 14,9 mm rechts en 10,8 mm onder Q.
y 40 mm
R
E1
Q NC
10,8 mm
plaatdikte 5 mm
E2 z P 14,9 mm
65 mm
Figuur 4.1 : Profiel met ligging van normaalkrachtencentrum De traagheidsgrootheden kunnen nu worden bepaald t.o.v. het NC: EA = E1 × 65 × 5 + E2 × 40 × 5 = 777,5 × 105 N EI yy = E1 ⎡⎣ 121 × 5 × 653 + 5 × 65 × (32,5 − 14,9) 2 ⎤⎦ + E2 ⎡⎣ 40 × 5 × 14,92 ⎤⎦ = 329,8 × 108 Nmm 2 EI zz = E1 ⎡⎣5 × 65 × 10,82 ⎤⎦ + E2 ⎡⎣ 121 × 5 × 403 + 40 × 5 × (20 − 10,8) 2 ⎤⎦ = 133, 2 × 108 Nmm 2
EI yz = E1 [5 × 65 × (32,5 − 14,9) × (10,8)] + E2 [5 × 40 × (−14,9) × (10,8 − 20) ] = 125,5 × 108 Nmm 2 De rek in de vezel die samenvalt met de staafas door het NC kan worden bepaald m.b.v.:
ε=
N 40 × 103 = = 51, 45 × 10−5 EA 777,5 × 105
De krommingen in y en z-richting moeten worden bepaald met de constitutieve relatie voor de doorsnede : ⎡ M y ⎤ ⎡ EI yy EI yz ⎤ ⎡κ y ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡329,8 125,5 ⎤ ⎡κ y ⎤ ⇔⎢ = 108 × ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ = ⎢ EI ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ 6⎥ ⎣1, 0 × 10 ⎦ ⎣125,5 133, 2 ⎦ ⎣κ z ⎦ ⎣ z ⎦ ⎣ yz EI zz ⎦ ⎣κ z ⎦ ⇒ zie formuleblad
- 12 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
5 juli 2006
⎡κ y ⎤ ⎡ 133, 2 −125,5⎤ ⎡ 0 ⎤ 10−8 = ⎢κ ⎥ 329,8 × 133, 2 − 125,52 × ⎢ −125,5 329,8 ⎥ ⎢1, 0 ×106 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ z⎦ −5 -1 −5 -1 ⇒ κ y = −4, 45 × 10 mm κ z = 11, 70 × 10 mm Het rekverloop over de doorsnede ligt hiermee vast:
ε ( y, z ) = ε + κ y × y + κ z × z = 51, 45 × 10−5 − 4, 45 × 10−5 × y + 11, 70 × 10−5 × z Op basis van de rekverdeling kunnen de spanningen in de punten P, Q en R voor de beide materialen worden bepaald: E GPa 210 210 110 110
P Q Q R
y 14,9 14,9 14,9 -50,1
z 29,2 -10,8 -10,8 -10,8
Spanning GPa 686 -297 -155 163
Dit spanningsverloop kan worden getekend in de doorsnede waarbij de spanningen loodrecht worden uitgezet op het (dunne) plaatmateriaal. Een schets waarbij de spanningen loodrecht op de neutrale lijn worden uitgezet is uiteraard ook een correcte presentatie. 155 N/mm2 n.l. 297 N/mm2
Q
E1
R 10,8 mm
y 163 N/mm2
E2
z
P
686 N/mm2 14,9 mm
Figuur 4.2 :
Normaalspanningen t.g.v. normaalkracht en buiging
Merk op : De neutrale lijn gaat i.v.m. de aanwezige normaalkracht niet door het NC!
De doorsnede is niet-symmetrisch waardoor er geen gebruik kan worden gemaakt van de gebruikelijke methode voor het bepalen van de schuifspanningen. Er moet dus gebruik worden gemaakt van de algmene methode: s
(a) x
sx( a ) RM( a ) V ; σ xt = ( a ) =− M b
Hierbij is het van belang dat alleen de normaalspanningen worden gebruikt t.g.v. het buigingsaandeel. De in de bovenstaande figuur aangegeven snijpunten van de nl. zijn dus niet de plaatsen waar de schuifspanningen extreem zijn ! - 13 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
5 juli 2006
Het rekverloop t.g.v. alleen buiging kan beschreven worden met:
ε ( y, z ) = 0 + κ y × y + κ z × z = −4, 45 ×10−5 × y + 11, 70 × 10−5 × z De normaalspanningsverdeling in de roestvaststalen bovenflens kan hiermee worden bepaald: E GPa 110 110
Q R
y 14,9 -50,1
z -10,8 -10,8
Spanning GPa -212 106
Het punt in de bovenflens waar de normaalspanning nul is wordt aangeduid met S. Dit punt heeft t.o.v. R een afstand van: SR = 65 −
65 × 212 = 21, 67 mm 212 + 106
De schuifspanning is nul aan de rand in R en maximaal in S. 212 N/mm2
21,67 mm Q
R S 106 N/mm2
Figuur 4.3 : Normaalspanning in de bovenflens t.g.v. buiging De grootte van de schuifspanning in S kan worden bepaald door de resultante van de normaalspaning te bepalen op het afschuivende deel SR. 1 RM( a ) = × 5 × 106 × 21, 67 = 5747 N 2 R(a) σ xt = − ( aM) V ⇔ b M 5747 σ xt = − × 1×103 = −1,15 N/mm 2 6 5 ×1, 0 × 10 t De positieve richting van de schuifspanningen zijn in blauw in de figuur hiernaast weergegeven (zie ook diktaat). De werkelijke schuifspanning heeft dus een omgekeerde richting (werd overigens niet gevraagd).
- 14 -
σ xt = σ tx x Figuur 4.4 : Tekenafspraak
