Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
ANTWOORDEN Op de volgende bladzijde is een uitgebreide normuitwerking weergegeven. Op het tentamen mag worden volstaan met de essentie. Belangrijke opmerkingen t.a.v. verbanden en relaties zijn echter wel noodzakelijk maar mogen kort worden gemeld. De schetsen kunnen daarentegen nooit uitgebreid genoeg zijn, zij zijn vaak de grondslag voor communicatie tussen ingenieurs en mogen dus niet ontbreken!
OPGAVE 1 Voor theorievragen zie de leermiddelen.
-9-
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
OPGAVE 2 De constructie is hieronder nog eens weergegeven : S1
A
B 2,0 m
2,0 m
3,0 m
S3
S2
C
2,0 m
x-as
3,0 m
z-as
De bijbehorende invloedslijnen t.g.v. een eenheidslast zijn hieronder weergegeven: Invloedslijn voor BV
w=1,0
BV 2,0 -2,0 1,0
Invloedslijn voor MB
1,0
Invloedslijn voor VB-rechts
-1,0
-3,0
Invloedslijn voor VS3-links 5,0 kN/m
Invloedslijn voor MC
M C − max = 5,0 × ( 12 × 5,0 × −3,0) = −37,5 kNm 1,0
Invloedslijn voor w-S1
rechte lijn
rechte lijn
kromme lijn 1,0
kromme lijn
Invloedslijn voor w-S2
1,0
kromme lijn
rechte lijn
- 10 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
OPGAVE 3 a) Met het gegeven verplaatsingsveld is de rektensor te bepalen:
ε xx =
∂u x ∂x
= 18 × 10 − 4 ; ε yy =
∂u y ∂y
= 6 × 10 − 4 ; ε xy =
1 ⎛⎜ ∂u x ∂u y ⎞⎟ + = −8 × 10 − 4 2 ⎜⎝ ∂ y ∂ x ⎟⎠
De cirkel van Mohr voor de rekken is hieronder weergegeven.
x
ε yx
y
(ε
r = 10
(ε
8
(2) y
yy
; ε yx ) = (6;8)
rekcirkel
xx
)
; ε xy = (18;−8)
4
× 10 −4
3
(1) x
ε2 y
ε1
m=12
2
6
18
22
1 2
ε yy ε xx
1 2
8
RC
(ε
yy
)
; ε yx = (6;−8)
ε xy
x
(ε
xx
; ε xy ) = (18;8)
b) Vezels evenwijdig aan AD en DC zijn vezels van de tensor met als assenstelsel het x-y-assenstelsel. Uit de cirkel zijn deze tensorcomponenten te vinden door vanuit het RC een lijn te trekken evenwijdig aan de richting van de vezel. Hieruit volgt: ⎡ε xx ε xy ⎤ ⎡18 8⎤ ε =⎢ × 10 − 4 ⎥=⎢ ⎥ ε ε yy ⎦ ⎣ 8 6⎦ ⎣ yx c) Uit de hoofdrekken zijn de hoofdspanningen te bepalen :
σ1 =
E 62,5 × 10 3 ( ε + νε ) = (22 × 10 − 4 + 0,25 × 2 × 10 − 4 ) = 150 N/mm 2 1 2 2 2 1 −ν 1 − 0,25
σ2 =
E 62,5 × 10 3 ( ε + νε ) = (2 × 10 − 4 + 0,25 × 22 × 10 − 4 ) = 50 N/mm 2 2 1 1 −ν 2 1 − 0,25 2
- 11 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
y 70
σ yx
A 50
40
(2)
D
C
B
100
75
(σ 1
40
yy
; σ yx ) =
(70;40)
(1)
(100,−50)
2
σ3
Maatgevende cirkel van Mohr voor Tresca (werd niet gevraagd)
C
3
50
2
1
σ2
1
150
m=100
σ yy
σ1
130
70
σ xx
150 B
D 130
x 40
(σ
RC A
xx
; σ xy ) =
spanningscirkel N/mm2
(130;40)
σ xy
d) De cirkel van Mohr voor de spanningen is hierboven weergegeven. Voor ieder vlakje is steeds een lokaal assenstelsel aangenomen waarvan de lokale x-as samenvalt met de uitwendige normaal zoals ook in het dictaat is uiteengezet. Dit is niet noodzakelijk maar een eigen keuze. Merk op dat de relatieve positie van het RC gelijk is aan die in de rekcirkel, zie ook opgave 1. e) Theorie zie dictaat. Hoofdspanningen zijn (0; 50; 150). De veiligheidsmarge volgens von Mises volgt uit:
[(150 − 50) 6
γ2
2
]
+ (50 − 0 ) + (0 − 150 ) ≤ 13 × 240 2 2
2
⇒ γ = 1,81
Merk op dat volgens Tresca geldt : γ = 120 / 75 ⇒ γ = 1,60 (maximale cirkel !)
- 12 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
OPGAVE 4 a) De constructie is enkelvoudig statisch onbepaald. Er zijn 2 plastische scharnieren nodig om een mechanisme te laten ontstaan. Op drie plaatsen in de constructie kunnen scharnieren ontstaan. Daarmee zijn er drie mogelijke mechanismen. Het bezwijkmechanisme is dat mechanisme met de laagste bezwijklast en waarvoor geldt dat nergens in de constructie de volplastische sterkte wordt overschreden. b) Hieronder zijn de mogelijke mechanismen weergegeven:
Mechanisme 1 met plastische scharnieren in A en C:
RCCB
δθ
δθ
4a
C
Mp 2a
2a
B
δθ A
Mp
F
Mp
3a
1,5a
1,5a
Met behulp van virtuele arbeid kan hiermee de bezwijklast worden gevonden:
− M p × δθ − M p × δθ − M p × δθ + Fp × 1,5a × δθ = 0 ⇔ staaf AC
staaf CB
- 13 -
Fp =
2M p a
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
Mechanisme 2 met plastische scharnieren in A en D:
RCDB
3δθ
C
3δθ
Mp 2a
F
Mp 2a
B
δθ A Mp
3a
1,5a
1,5a
Met behulp van virtuele arbeid kan hiermee de bezwijklast worden gevonden: − M p × δθ − M p × δθ − M p × 3δθ + Fp × 1,5a × 3δθ = 0 ⇔ staaf ACD
Fp =
10M p 9a
staaf DB
Mechanisme 3 met plastische scharnieren in C en D: Mp
F
C
δθ
2a
δθ
Mp Mp
2a
A
3a
1,5a
B
1,5a
Met behulp van virtuele arbeid kan hiermee de bezwijklast worden gevonden: − M p × δθ − M p × δθ − M p × δθ + Fp × 1,5a × δθ = 0 ⇔ staaf CD
Fp =
2M p a
staaf DB
Het maatgevende mechanisme is mechanisme 2 met een bezwijklast van: Fp =
10M p 9a - 14 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
c) De momentenlijn voor het maatgevende mechanisme is hieronder weergegeven. 1/3 Mp 1/3 Mp
Mp
Mp
De momentenlijn kan worden gevonden door eerst de verticale oplegreactie in B te bepalen. Deze volgt direct uit gegeven dat het moment in D bekend is. Ga dit zelf na.
- 15 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
OPGAVE 5 a) De ligging van het NC kan worden bepaald ten opzichte van b.v. de rechter bovenhoek R : Q
a
R
2a
y NC
P
dikte t z 2a
S
y NC =
(t × a × 2 × a + t × 2 × a × a ) 2 = a = 120 mm (6 × t × a ) 3
z NC =
(t × a × 12 a + t × 3 × a × 32 a ) 5 = a = 150 mm (6 × t × a ) 6
De doorsnede grootheden t.o.v. het NC kunnen nu worden bepaald: EI yy = E × (ta × ( 43 a ) 2 + 121 t × (2a ) 3 + 2ta × ( 13 a ) 2 + 3ta × ( 23 a ) 2 ) = 4ta 3 × E 31ta 3 ×E 6 7ta 3 = E × (ta × ( 43 a ) × (− 13 a ) + 2at × ( 13 a ) × (− 56 a ) + 3at × (− 23 a ) × ( 23 a )) = − ×E 3
EI zz = E × ( 121 ta 3 + ta × ( 13 a ) 2 + 2ta × ( 56 a ) 2 + 121 t × (3a ) 3 + 3ta × ( 23 a ) 2 ) = EI yz
b) Het moment in de doorsnede is: ⎡M ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ M = ⎢ y ⎥ = ⎢1 ⎥ = ⎢ 8⎥ ⎣ M z ⎦ ⎣ 4 Fl ⎦ ⎣2 × 10 ⎦
Nmm
De kromming in de doorsnede kan worden bepaald met: ⎡ M y ⎤ ⎡ EI yy ⎢ M ⎥ = ⎢ EI ⎣ z ⎦ ⎣ yz
EI yz ⎤ ⎡κ y ⎤ EI zz ⎥⎦ ⎢⎣κ z ⎥⎦
Invullen van de waarden levert: 4 ⎡ 0 ⎤ 5 ⎡ 23328 × 10 = × 2 10 ⎢ ⎢2 × 10 8 ⎥ 4 ⎣ ⎦ ⎣− 13608 × 10
− 13608 × 10 4 ⎤ ⎡κ y ⎤ ⎥⎢ ⎥ 30132 × 10 4 ⎦ ⎣κ z ⎦
Hieruit volgt voor de kromming: ⎡κ y ⎤ ⎡0,2628⎤ −5 ⎢κ ⎥ = ⎢0,4506⎥ × 10 ⎦ ⎣ z⎦ ⎣
Op de volgende bladzijde is de doorsnede getekend waarin het krommings- en belastingsvlak zijn aangegeven met resp. de letters k en m.
- 16 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
k
m 120
n.l.
R
150
70
24 N/mm2
198 N/mm2
120
70
NC
540
T
46 N/mm2
k Mz 320
schaal 1:5 maten in mm
m
S 2
288 N/mm
schuifspanning
normaalspanning c) De neutrale lijn kan worden voorgesteld door de vergelijking:
κy × y + κz × z = 0 Bij afwezigheid van normaalkracht gaat de n.l. per definitie door het NC en snijdt de doorsnede op y = -120 mm op z = 70 mm. Dit is in de bovenstaande figuur weergegeven. Het functievoorschrift voor de n.l. kan hiermee dus vereenvoudigd worden tot: 70 y + 120 z = 0 d) De spanning voor ieder vezel in de doorsnede kan worden bepaald met:
σ ( y, z ) = E × ε ( y, z ) = E × (κ y × y + κ z × z ) Deze spanningsverdeling vormt een vlak. Voor het gedeelte RS zal de spanningsverdeling kunnen worden weergegeven met een rechte lijn. Om deze te kunnen bepalen zijn alleen de spanningen in b.v. R en S noodzakelijk. punt R S
y -120 -120
z -150 390 - 17 -
Spanning [N/mm2] -198,25 288,37
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
19 jan 2005
e) De schuifspanningsverdeling is parabolisch indien het normaalspanningsverloop lineair is. Bij afwezigheid van normaalkracht zal de extreme schuifspanning optreden daar waar de neutrale lijn de doorsnede snijdt. Om voor het deel RS de parabolische schuifspanningsverdeling te kunnen teken kan gebruik worden gemaakt van drie punten: -
S, schuifspanning is per definitie nul T, maximale schuifspanning t.p.v. de n.l. (te bepalen) R (te bepalen)
Aangezien het een niet-symmetrisch profiel betreft moet de schuifspanning bepaald worden met de algemene formule: m
σ mx s
(a) x
s x( a ) RM( a ) =− V ; σ xm = ( a ) M b
σ xm A(a)
x
Hierin is RM de resultante van de normaalspanningen op het afschuivende deel t.g.v. alleen een buigend moment in de totale doorsnede. Het moment en de dwarskracht die hierbij moet worden gebruikt zijn:
M = M y2 + M z2 = 200 × 10 6 Nmm V = Vy2 + Vz2 = 200 × 10 3 N Zowel het moment als de dwarskracht zijn positief. Op een positief aangenomen snede net links van C werkt de dwarskracht daarom omlaag. Als begonnen wordt met de schuifspanning in T en het afschuivende deel het deel ST is levert dit voor de schuifspanning: 1
σ xm = − 2
× 288,366 × 320 × 10 × 200 × 103 = −46 N/mm 2 6 10 × 200 × 10
Met de hierboven weergegeven tekenafspraak voor de schuifspanning blijkt in T de schuifspanning dus omlaag te werken hetgeen volkomen overeenkomt met de omlaag werkende dwarskracht in de snede. Voor punt R wordt op identieke wijze voor de schuifspanning gevonden:
σ xm = −
10 × ( 12 × 288,366 × 320 − 12 ×198, 252 × 220) × 200 × 103 = −24 N/mm 2 10 × 200 × 106
Het resultaat is in de tekening op de vorige bladzijde aangegeven.
- 18 -
