Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
ANTWOORDEN OPGAVE 1 100 0 a) Hoofdspanningstensor is : σ 1− 2 = 0 −20 b) De cirkel van Mohr kan getekend worden op basis van de gegeven hoofdspanningen en hoofdrichtingen. De plaats van het RC op de cirkel ligt hiermee vast.
(2)
σ yx Cirkel van Mohr voor de spanningen
r 88 N/mm 2
(σ xx ; σ xy )
RC
// x-as
8,0 N/mm2
y
36 N/mm 2
x m
σ2
σ1
σ xx σ yy (1) r = 60 N/mm2 m = 40 N/mm2
(σ yy ; σ yx )
σ 1 = m + r = 100, 0 N/mm 2 σ 2 = m − r = −20, 0 N/mm 2 σ3 = 0
σ xy // y-as
36 N/mm 2 8 N/mm 2
c) De spanningen op de vlakken kunnen worden bepaald met de cirkel van Mohr door de normaal van het vlak door het RC te tekenen en het snijpunt met de cirkel te bepalen. De spanningtensor in het x-y-assenstelsel is: 8 N/mm 2 88 −36 2 σ x− y = 36 N/mm −36 −8 d) Zie figuur rechts:
88 N/mm 2
e) Met de spannings-rek formules wordt de rektensor in 6, 0 −3, 0 het x-y- assenstelsel: ε x − y = 10−4 −3, 0 −2, 0 f) Toetsen aan Tresca houdt in dat de grootste cirkeldiameter maatgevend is:
γ=
115 = 0, 96 120
Het materiaal bezwijkt volgens het model van Tresca.
-9-
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
OPGAVE 2 De constructie is hieronder nog eens weergegeven : S1
A
D
S2
3,0 m
B 2,0 m
3,0 m
x-as C 2,0 m
3,0 m
z-as
De bijbehorende invloedslijnen t.g.v. een eenheidslast zijn hieronder weergegeven. 3,0
Invloedslijn voor MB
θ=1,0
Invloedslijn voor VB-rechts
Invloedslijn voor VA
1,5
1,0
1,0 1,0
Invloedslijn voor w-S1
rechte lijn
kromme lijn rechte lijn
kromme lijn
Invloedslijn voor ϕ-A
ongunstigste belasting configuratie voor MB
rechte lijn
1,0
5,0 kN/m
M B − max = 5, 0 × ( 12 × (−3, 0) × 6, 0) = −45 kNm
- 10 -
kromme lijn
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
OPGAVE 3 a) De constructie is drievoudig statisch onbepaald. Er zijn 4 plastische scharnier nodig om een mechanisme te laten ontstaan. Dit scharnier kan op 5 plaatsen ontstaan. Daarmee zijn er 5 mogelijke mechanismen. Mp
Mp
Mp
Mp
Mp
Mp 1
2
Mp 2 Mp
2 Mp 2 Mp
2 Mp 3 Mp
Mp
Mp
Mp
Mp 3
4
Mp
2 Mp
2 Mp
2 Mp
2 Mp 3 Mp
3 Mp Mp
Mp Mp Mp
Mp
Mp
Let op de grootte van de diverse hoeken en let op de sterkteverschillen. De mechanismen waren dermate eenvoudig dat verdere uitleg achterwege wordt gelaten.
5
3 Mp
Figuur : Vijf mogelijke mechanismen
- 11 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
Mechanisme 1 : − M p × δθ − M p × δθ − M p × 2δθ − M p × 2δθ + Fp × 2a × δθ = 0 ⇔
Fp =
6M p
= 3, 0
Mp
2a a Mechanisme 2: − M p × δθ − M p × δθ − 3M p × 23 δθ − 2 M p × 23 δθ + Fp × a × δθ = 0 ⇔ Fp =
16 M p
= 5 13
Mp
3a a Mechanisme 3: − M p × δθ − M p × δθ − 3M p × 2δθ − 2 M p × 2δθ + Fp × 2a × δθ + Fp × 3a × δθ = 0 ⇔ Fp =
12 M p
= 2 25
Mp
5a a Mechanisme 4: (maatgevend mechanisme) 4 − M p × δθ − M p × δθ − 3M p × 3 δθ − 2 M p × 43 δθ + Fp × 2a × δθ + Fp × 2a × δθ = 0 ⇔ Fp =
26 M p
= 2 16
Mp
12a a Mechanisme 5 = Mechanisme 1 De laagste bezwijklast wordt geleverd door mechanisme 4. Als nergens in de constructie de sterkte van de staafdelen wordt overschreden moet mechanisme 4 het bezwijkmechanisme zijn. Ter controle wordt de momentenlijn behorende bij mechanisme 4 getekend. TIP : De horizontale oplegreactie in B kan gevonden worden uit het momentenevenwicht van de gehele constructie om A. Vervolgens kunnen met de vrijgemaakte staven AC en BE en de bekende momenten op de uiteinden van deze staven, de verticale oplegreacties in A en B worden bepaald. Mp
Mp a
Fp A
Fp
1 6
D C
41M p
1 6
Mp
12a
3Mp
Mp
10 M p 3a B
41M p 12a
E 3M p
Mp
Merk op: Nergens in de constructie wordt de sterkte overschreden.
Figuur : Oplegreacties
Figuur : M-lijn
- 12 -
2Mp 2Mp
Mp
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
OPGAVE 4 a) Ten opzichte van de bovenrand ligt het NC op: z NC =
t × a × 12 a + 2 × t × a × a 5a = = 41, 67 mm 3a × t 6
Ten opzichte van de linkerrand ligt het NC op: yNC =
a × t × 0 + 2a × t × a 2a = = 33, 33 mm 3a × t 3
De traagheidsgrootheden kunnen nu worden bepaald t.o.v. het NC:
= 180 ×106 N
EA = 3Eat 4 Eta 3 3 1 EI zz = E 121 t × a 3 + ta × ( 13 a ) 2 + 2at × ( 16 a ) 2 = Eta 3 4 1 EI yz = E ta × (− 23 a ) × ( 13 a ) + 2ta × ( 13 a ) × (− 16 a ) = − Eta 3 3 EI yy = E 121 t × 8a 3 + 2ta × ( 13 a ) 2 + ta × ( 32 a )2
=
= 2000 ×108 Nmm 2 = 375 × 108 Nmm 2 = −500 × 108 Nmm 2
b) De doorsnede wordt belast op buiging en extensie, de ligging van de neutrale lijn is gegeven. De vergelijking voor de nl is daarmee: 1 2
a + 12 y + z = 0
c) De rekverdeling in de doorsnede wordt bepaald met: ε ( y, z ) = ε + κ y × y + κ z × z De neutrale lijn moet ook in dit vlak liggen hetgeen inhoudt:
0 = ε + κ y × y + κ z × z = C × ( 12 a + 12 y + z )
C is een nog te bepalen schalingsfactor
De rek t.p.v. het NC is bekend, deze is immers: ε =
N 36000 = = 2, 0 × 10 −4 6 EA 180 × 10
2 × 2, 0 × 10−4 = 0,8 × 10−5 50, 0 Hiermee kunnen de krommingen in het x-y en x-z vlak worden bepaald: Er moet gelden: ε = 12 Ca ⇒ C =
κ y = 12 C = 0, 4 ×10−5 ; κ z = C = 0,8 ×10−5 ; d) De momenten in deze vlakken volgen uit de constitutieve betrekking voor buiging:
M y EI yy M = EI z yz
EI yz κ y ⇒ EI zz κ z
M y = 400 × 103 Nmm M z = 100 × 103 Nmm
Het krommingsvlak staat onder een hoek:
tan α k =
κz =2 κy
Mz 1 = My 4 De doorsnede kromt dus zeker niet in hetzelfde vlak als waarin deze wordt belast!
Het belastingsvlak staat onder een hoek:
- 13 -
tan α m =
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
e) Het rek- en spanningsverloop over de doorsnede in het y-z-assenstelsel is:
ε ( y, z ) = ε + κ y × y + κ z × z = 2, 0 ×10−4 + 0, 4 ×10−5 y + 0,8 ×10−5 z en: σ ( y, z ) = E × ε ( y, z ) De spanningsverdeling over de doorsnede-delen zal lineair zijn. De spanningen in R en T zijn nul, immers hier snijdt de nl. de doorsnede. Om de spanningsverdeling te kunnen tekenen hebben we alleen de spanning in S nodig. E N/mm2 200000
S
y 33,33
Spanning N/mm2 80,0
z 8,33
Dit spanningsverloop kan worden getekend in de doorsnede waarbij de spanningen loodrecht worden uitgezet op het (dunne) plaatmateriaal. 0 Nmm2
R
41,67 mm
nl y
+
S
50 mm
NC 0 Nmm2 +
80 Nmm2 z
80 Nmm
2
33,33 100 mm Figuur : Normaalspanningen t.g.v. buiging en normaalkracht k
M = M y2 + M z2 = 412,31× 103 Nmm
κ = κ y2 + κ z2 = 0,8944 × 10−5 mm -1 m
nl
y m M
z
k
κ
Figuur : Belastingsvlak en krommingsvlak - 14 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
Schuifspanningen De doorsnede is niet-symmetrisch waardoor er geen gebruik kan worden gemaakt van de gebruikelijke methode voor het bepalen van de schuifspanningen tenzij het y-z-assenstelsel samenvalt met de hoofdrichting. Er moet dus gebruik worden gemaakt van de algmene methode: s
(a) x
sx( a ) RM( a ) =− V ; σ xt = ( a ) M b
Hierbij is het van belang dat alleen de normaalspanningen worden gebruikt t.g.v. het buigingsaandeel. De eerder bepaalde spanningsverdeling voldoet hier niet aan. We moeten ons dus baseren op het spanningsveld:
ε ( y, z ) = 0 + κ y × y + κ z × z = 0, 4 ×10−5 y + 0,8 ×10−5 z en: σ ( y, z ) = E × ε ( y, z ) E N/mm2 200000 200000 200000
R S T
y 33,33 33,33 66,67
Spanning N/mm2 -40,0 40,0 -40,0
z -41,67 8,33 8,33
40 Nmm2
R
41,67 mm
U + 40 Nmm
y N
S
-
2
+
V z
40 Nmm
50 mm
nl
2
33,33 100 mm Figuur : Normaalspanningen t.g.v. alleen buiging f) De maximale schuifspanning treedt op waar de neutrale lijn t.g.v. alleen buiging de doorsnede snijdt. Er zijn twee mogelijke punten, U en V. Uit de formule voor de schuifspanning blijkt dat de maximale schuifspanning optreedt daar waar de RM( a ) maximaal is. Op basis van het normaalspanningsverloop is in te zien dat het snijpunt in de onderflens maatgevend zal zijn. Dit punt waar de normaalspanning nul is wordt aangeduid met V. Dit punt heeft t.o.v. T een afstand van 50 mm hetgeen snel kan worden ingezien uit de bovenstaande figuur.
- 15 -
Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4
17 jan 2007
g) De grootte van de schuifspanning in V kan worden bepaald door de resultante van de normaalspaning te bepalen op het afschuivende deel VT.
1 RM( a ) = × (−40) × 50 × 6 = − 6000 N 2 R(a) σ xt = − ( aM) V ⇔ b M M = 412, 31× 103 Nmm V = 10000 2 + 25002 = 10307,76 N
T V t
σ xt = σ tx
−6000 × 10307, 76 σ xt = − 6 × 412,31× 103
x
σ xt = 25, 0 N/mm 2 Figuur : Tekenafspraak σ xt De positieve richting van de schuifspanningen zijn in blauw in de figuur hiernaast weergegeven (zie ook diktaat). Deze richting komt overeen met de richting van de dwarskracht in de y-richting. De richting van deze schuifspanning werd overigens niet gevraagd. h) De schuifspanning in S moet nul zijn. Dat is eenvoudig in te zien uit het normaalspanningsverloop.
Extra toelichting
(valt buiten de beoordeling)
De schuifspanning is nul op de uiteinden R en T en neemt parabolisch toe tot de maximale waarde in U en V voor resp. het doorsnede deel RS en ST om vervolgens weer af te nemen tot nul in S. Voor dit profiel was de schuifspanning ook snel te bepalen door je te realiseren dat de Vy wordt opgenomen in het deel ST en de Vz wordt opgenomen in het deel RS. Deze delen kunnen we, vanwege het hierboven geschetste schuifspanningsverloop, als strippen beschouwen waarvoor geldt: 3 Vz = 12, 5 N/mm 2 2 at 3 Vy = × = 25, 0 N/mm 2 2 2at
RS τ max = ×
ST τ max
- 16 -
