STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení 1

3. Základní statistické charakteristiky

KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

1

Základní statistické charakteristiky

Dva hlavní druhy základních charakteristik statistického souboru:

charakteristiky úrovně, polohy (střední hodnoty) charakteristiky variability

Další :

charakteristiky asymetrie charakteristiky špičatosti


2

Střední hodnoty

= čísla (charakteristiky), která zastupují hodnoty zkoumaného statistického znaku

udávají polohu rozdělení četností, velikost zkoumaného jevu v daném souboru atd.


3

Střední hodnoty

Aritmetický průměr (+ vážený) Geometrický průměr Harmonický průměr Modus Aritmetický střed Medián (kvartily, decily, percentily)


4

Charakteristiky variability = čísla, která charakterizují stupeň proměnlivosti statistického znaku v daném statistickém souboru = důležitý doplněk informací, které poskytují střední hodnoty


5

Kvartilová odchylka

( x% 75 − x% ) + ( x% 25 − x% ) Q= 2


6

Decilová, percentilová odchylka

( x% 90 − x% ) + ( x%10 − x% ) D= 8

( x% 99 − x% ) + ( x%1 − x% ) P= 98


7

Průměrná odchylka

n

dx =

∑ xi − x i =1

n

k

dx =

∑ xi − x ni i =1

k

∑ ni i =1


8

Relativní průměrná odchylka d D= x Při vynásobení stem v %


9

Střední diference = aritmetický průměr absolutních hodnot

všech možných vzájemných rozdílů n jednotlivých hodnot sledovaného znaku x n

∆= KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

n

∑∑ xi − xj i =1 j =1

n(n − 1) 10

Střední diference

Vhodná míra variability pro soubory s malým rozsahem. Jinak velmi pracné.


11

Rozptyl, směrodatná odchylka = nejdůležitější charakteristiky variace hodnot znaků ve statistickém souboru rozptyl: s2 směrodatná odchylka: s


12

Rozptyl = průměr ze čtverců odchylek jednotlivých hodnot

znaku od jejich aritmetického průměru n

s2 =


∑ ( xi − x) i =1

n

13

n

Rozptyl

V praxi se používá:


s2 =

∑ ( xi − x) i =1

n

s2 = x2 − x

2

2 x ∑ i 2 s = n 14

Rozptyl V případě skupinového rozdělení četností: k

s2 =

2 ∑ ( xs − x) ni i =1

k

∑ ni i =1


15

Rozptyl V praxi se opět používá: Kde:

2 2 2 s =x −x

k

k

x2 =

2n x ∑ i i i =1

k

∑ ni i =1


x=

∑ xi ni i =1 k

∑ ni i =1

16

Směrodatná odchylka Používá se častěji, jde o druhou odmocninu rozptylu. Je mírou rozptylu hodnot xi náhodné veličiny kolem průměru.


17

Variační koeficient = nejpoužívanější relativní míra variability = poměr směrodatné odchylky k průměru

s v= x KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

18

Variační koeficient

= je mírou bezrozměrnou


19

Charakteristiky asymetrie = míry šikmosti (asymetrie, nesouměrnosti), jsou čísla, která charakterizují nesouměrnost rozdělení četností. míra šikmosti založená na variačním rozpětí míra šikmosti založená na rozpětí kvantilů koeficient asymetrie


20

Koeficient asymetrie = aritmetický průměr z třetích mocnin odchylek jednotlivých hodnot znaku od aritmetického průměru vyjádřených v jednotkách směrodatné odchylky


21

Koeficient asymetrie Ze skupinového rozdělení četností se vypočítá:

k

α= KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

3 ∑ ni( xi − x) i =1

ns3 22

Koeficient asymetrie

α =0 α f0 αp0 KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

… rozdělení četností je souměrné … rozdělení četností je sešikmeno doleva (kladná šikmost) … rozdělení četností je sešikmeno doprava (záporná šikmost)

23

Charakteristiky špičatosti = čísla, která charakterizují koncentraci prvků souboru v blízkosti určité hodnoty znaku = poskytují představu o tvaru rozdělení četností co do špičatosti nebo plochosti míra koncentrace kolem mediánu koeficient špičatosti


24

Koeficient špičatosti = průměrná hodnota součtu čtvrtých mocnin odchylek hodnot xi od aritmetického průměru měřených v jednotkách směrodatné odchylky s


25

Koeficient špičatosti Ze skupinového rozdělení četností se vypočítá: k

4 ni ( xi − x) ∑ ε = i =1 −3 ns 4 KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

26

Koeficient špičatosti

ε =0 ε f0 ε p0 KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

… rozdělení četností je normálně zašpičatělé … rozdělení četností je kladně zašpičatělé (špičaté) … rozdělení četností je záporně zašpičatělé (ploché)

27

Příklad


28

Rok

Průměrná teplota(°C)

Rok

Průměrná teplota

Rok

Průměrná teplota (°C)

1

7,4

18

8,8

35

9,1

2

9,6

19

8,9

36

9,4

3

8,1

20

9,3

37

8,8

4

9,1

21

7,9

38

8,9

5

7,9

22

8,4

39

8,7

6

8,3

23

8,6

40

9,1

7

9,4

24

10,2

41

9,3

8

10,3

25

10,5

42

9,5

9

9,9

26

10,8

43

9,6

10

10,1

27

9,4

44

9,9

11

8,5

28

9,8

45

8,8

12

8,2

29

9,3

46

8,5

13

7,7

30

8,5

47

9

14

10

31

9,9

48

9,2

15

11,1

32

10,7

49

9,4

16

10,9

33

9,4

50

9,6

17 9,7 KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

34

9,6 29

intervaly

střed intervalu

absolutní četnost

6,5-7

6,8

0

7,1-7,5

7,3

1

7,6-8

7,8

3

8,1-8,5

8,3

7

8,6-9

8,8

8

9,1-9,5

9,3

13

9,6-10

9,8

10

10,1-10,5

10,3

4

10,6-11

10,8

3

11,1-11,5

11,3

1

11,6-12

11,8

0

∑ KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

50

30

Spočítáno z minula: Aritmetický průměr. Modus. Medián, horní a dolní kvartil. Průměrnou odchylku. KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

31

Vypočítej: Relativní odchylku Rozptyl Směrodatnou odchylku Koeficient špičatosti Koeficient šikmosti KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

32

intervaly

xs

ni

6,5-7

6,8

0

7,1-7,5

7,3

1

7,6-8

7,8

3

8,1-8,5

8,3

7

8,6-9

8,8

8

9,1-9,5

9,3

13

9,6-10

9,8

10

10,1-10,5

10,3

4

10,6-11

10,8

3

11,1-11,5

11,3

1

11,6-12

11,8

0

∑ KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

xsni

xs-x

ni(xs-x)2

50

33

4. Teoretická rozdělení


34

Teoretická rozdělení – pojmy Náhodná veličina – proměnná, pro kterou nelze na základě určité zákonitosti předem stanovit její konkrétní hodnotu

Spojitá náhodná veličina – může-li nabývat jakékoliv hodnoty v určitém intervalu

Nespojitá (diskrétní) náhodná veličina – opak KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

35

Teoretická rozdělení – princip

Ve statistice pracujeme často s výběrovými soubory o rozsahu n, jejich grafickým znázorněním je histogram. Budeme-li zvětšovat rozsah souboru (při předpokladu, že náhodná veličina je spojitá) a hodnoty třídit do stále menších intervalů, dostaneme histogramy, které se budou stále více blížit hladké křivce.


36


Této hladké křivky dosáhneme v teoretickém limitním případě, kdy soubor o nekonečně velkém rozsahu třídíme do nekonečně mnoha nekonečně úzkých intervalů.

Dostaneme: frekvenční funkci (hustotu pravděpodobnosti) KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

37


Analogicky přejdeme od součtové čáry ke spojité křivce F(x) – distribuční funkce


38


Frekvenční funkce tak představuje teoretické rozdělení četností základního souboru o parametrech

µ σ KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

… aritmetický průměr … směrodatná odchylka

39

Normální (Gaussovo) rozdělení

Patří mezi nejčastěji používaná rozdělení spojité náhodné veličiny. Bylo pozorováno při opakovaném měření téže veličiny za stálých podmínek, kdy jednotlivé hodnoty se více či méně odlišovaly od skutečné hodnoty


40


Frekvenční funkce :

1 f ( x) = σ 2π KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

( x − µ )2 − 2 2 σ .e

41


Distribuční funkce :

1 F ( x) = σ 2π KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

2 ( x − µ ) x − 2 2σ dx .∫ e −∞

42

Normované normální rozdělení

Normujeme pomocí:


z=

x−µ

σ

43


Frekvenční funkce:

2 z

− 1 f ( x) = .e 2 2π KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

44


Distribuční funkce:

2 z z − 1 F ( x) = . ∫ e 2 dx 2π −∞ KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

45


Zvonovitý tvar, asymptoticky se přibližuje ose x

Souměrná podle osy, která prochází vrcholem, x-ová souřadnice vrcholu je aritmetickým průměrem normálního rozdělení

Aritmetický průměr se rovná modusu a mediánu


46

Normované normální rozdělení „Normované“ rozdělení již nezávisí na parametrech

µ σ KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

47

Vlastnosti, pravděpodobnosti Normální křivka omezuje plochu 100 % (nebo 1). Lze tak určit pravděpodobnosti, s nimiž leží hodnoty v určitém intervalu.


48

Vlastnosti, pravděpodobnosti V intervalu:

µ ±σ

… leží 68,28 % všech hodnot

µ ± 2σ


µ ± 3σ



49

Vlastnosti, pravděpodobnosti Naopak: 95 % hodnot odpovídá intervalu

µ ± 1, 65σ

99 % hodnot odpovídá intervalu

µ ± 2,58σ


50

Pravděpodobná chyba Stanovení mezí extremity se opírá o zmíněné pravděpodobnosti. Kromě násobků směrodatné odchylky lze použít i tzv. pravděpodobnou chybu c:

(pro normální rozdělení) c = 0,6745 . s KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

51

Extremita jevů a její meze slovní označení extremity

symbol

meze

pravděpod obnost výskytu jevu (%)

extrémně podnormální

EP

< x - 3s

0,135

< x - 3c

2,150

silně podnormální

SP

x - 3s až x - 2s

2,190

x - 3c až x - 2c

8,870

podnormální

P

x -2s až x - s

13,590

x -2c až x - c

13,980

normální

O

x - s až x + 2s

68,270

x - c až x + 2c

50,000

nadnormální

N

x + s až x + 2s

13,590

x + c až x + 2c

13,980

silně nadnormální

SN

x + 2s až x + 3s

2,190

x + 2c až x + 3c

8,870

extrémně nadnormální

EN

> x + 3s

0,135

> x + 3c

2,150


meze

pravděpod obnost výskytu jevu (%)

52

Konstrukce a výpočet normálního rozdělení

Nutná je znalost základních charakteristik výběrového souboru ( x a s ), které nahrazují neznámé parametry základního souboru µ a σ


53


Hledaná frekvenční funkce pak bude mít tvar: ( x − x)2 − nh 2s 2 f ( x) = .e s 2π


54


Pořadnice vrcholu křivky ymax procházející aritmetickým průměrem x dostaneme ze vztahu:

ymax = 0,39894 nh s


55

Konstrukce a výpočet normálního rozdělení Další pořadnice křivky yi dostaneme ze vztahu:

yi = ki . ymax Kde ki jsou tabelované hodnoty pro různé násobky směrodatné odchylky. Body y1s a


y-1s jsou inflexními body normální křivky.

56

Pearsonova křivka III. typu Používá se v případě, kdy nelze na geografické jevy aplikovat normální rozdělení (např. studovaná veličina nemá možnost nabývat nekonečných hodnot, nebo je omezena konečnými hodnotami…). V tom případě lze na soubor použít některou křivku ze systému 12 křivek Pearsonova systému. KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

57

Pearsonova křivka III. typu Nejčastěji se používá (zejména v hydrologii) Pearsonova křivka III. typu. Rovnice:


x a − x y = y .e b (1 + ) b 0 a

58

Pearsonova křivka III. typu

Distribuční funkce Pearsonovy křivky III. typu se používá ke konstrukci čáry překročení (součtová čára četností).


59

Konstrukce čáry překročení Nutné je znát základní parametry Pearsonovy křivky III. typu : aritmetický průměr variační koeficient koeficient asymetrie


60

Konstrukce čáry překročení


61

Binomické rozdělení = rozdělení diskrétní náhodné veličiny

Udává rozdělení výsledků při opakování jednoho a téhož pokusu za stejných podmínek. Výsledkem pokusu mohou být pouze 2 alternativy: A nebo B.


62

Binomické rozdělení

Pravděpodobnost, že nastane alternativa A označme jako p Pravděpodobnost, že nastane alternativa A označme jako q Potom platí p + q = 1


63


Za předpokladu, že provedeme uvažovaný pokus n – krát, hledáme pravděpodobnost, že alternativa A (s pravděpodobností p) nastane právě x – krát.


64


Výpočet pravděpodobnosti:

n! x n − x f ( x) = . p .q x !( n − x ) !


65


Předchozí rovnice vyjadřuje rozdělení pravděpodobností binomického rozdělení


66

Binomické rozdělení Příklad: Jak vypadá rozložení pravděpodobností pro: n=8 p= a) 0,1 b) 0,25 c) 0,5 d) 0,75 e) 0,9 KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

67

Binomické rozdělení Základní momenty binomického rozdělení : µ = n. p σ = n. p.q 1− 2 p α= n. p.q


1 − 6. p.q ε= n. p.q 68

Speciální rozdělení


69

Speciální rozdělení

Při testování statistických hypotéz využíváme poznatku, že testovací kritéria mají některé z následujících rozdělení.


70

Rozdělení χ [chí kvadrát] 2

Předpoklad: Ze základního souboru, který má normované normální rozdělení provedeme náhodný výběr n prvků, které označíme x1, x2 … xn.


71


Součet druhých mocnin x1, x2 … xn se označuje 2 jako χ . Hodnota χ může nabývat výběr od výběru různých hodnot v intervalu od 0 do +∞. Je tedy náhodnou veličinou, která má své vlastní 2 rozdělení χ . 2


72


Frekvenční a distribuční funkce:

f (χ )

ν

2

F (χ )

ν

2


73


ν

2 χ … jediný parametr rozdělení, nazývá se počet stupňů volnosti 2 a je v případě χ rozdělení roven počtu sčítanců, čili rozsahu náhodného výběru n.


74


Každé hodnotě

ν

= n přísluší tedy jiná křivka.

S rostoucí hodnotou ν rozdělení normálnímu.


2 χ se rozdělení blíží

75


= používá se pro ověření nezávislosti náhodných veličin


76

Studentovo t - rozdělení Předpoklad: Aritmetický průměr výběrového souboru se může více či méně lišit od průměru základního souboru.


77

Studentovo t - rozdělení Pro hodnocení odchylek x − µ

byla

definována náhodná veličina t = x − µ . n − 1 , s

které přísluší tzv. t – rozdělení (Studentovo rozdělení). KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

78

Studentovo t - rozdělení Spojitá náhodná veličina t může nabývat hodnot od -∞ do +∞. Frekvenční funkci t – rozdělení budeme označovat qν (t ) je souměrná podle osy jdoucí jejím vrcholem a má jediný parametr =n-1

ν


79

Studentovo t - rozdělení S rostoucím počtem stupňů volnosti se t – rozdělení blíží normálnímu. Shoda nastane až při ν = ∞. V praxi však můžeme t – rozdělení považovat za normální při ν > 30.


80

F - rozdělení (Fischerovo – Snedecorovo) Předpoklad: Máme dv ě nez á visl é n á hodn é veli č iny, kter é 2 mají χ rozdělení s

ν1 ν 2 stupni volnosti.

Potom veličina F, určená jako jejich poměr má tzv. F – rozdělení. KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

81

5. Odhady parametrů


82

5. Odhady parametrů Základní soubor Výběr, výběrový soubor Náhodný výběr


83

5. Odhady parametrů Neznáme charakteristiky základního souboru odhadujeme pomocí příslušných výběrových charakteristik s určitou přesností a spolehlivostí. Přesnost odhadu dané charakteristiky je určena násobkem střední výběrové chyby, kterou je směrodatná odchylka příslušné charakteristiky ze všech teoreticky možných. Spolehlivost odhadu je dána pravděpodobností, se kterou je možné určitý odhad považovat za správný. KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

84

5. Odhady parametrů Určení přesnosti a spolehlivosti odhadu předpokládá znalost rozdělení výběrových charakteristik. Rozlišujeme výběry s malým a velkým rozsahem (hranice n = 30). U velkých výběrů se výběrové rozdělení aproximuje většinou normálním rozdělením. KGG/STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení

85

5. Odhady parametrů Reprezentativnost výběru dosahujeme nejčastěji náhodným výběrem. Náhodný výběr s opakováním x bez opakování


86

STG Zimní semestr Základní statistické charakteristiky, Teoretická rozdělení 1

Recommend Documents