Vysoké učení technické v Brně
Stavební fakulta
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY
Jan Šafařík
Brno
c 2014
1
(1) Určete rovnici kručnice o poloměru r, procházející počátkem, jestliže S[3; 2]. [ (x − 3)2 + (y − 2)2 = 13 ] (2) Znázorněte parabolu x2 − 10x − 9y + 61 = 0. [ (x − 5)2 = 9(y − 4) ] (3) Znázorněte množinu x2 − 4x + 4y ≤ 0, x2 − 4x + y 2 ≤ 0. [ (x − 2)2 ≤ −4(y − 1), (x − 2)2 + y 2 ≤ 22 ] (4) Zjednodušte výraz
sin x+sin 2x . 1+cos x+cos 2x
[ tg x, cos x 6= − 12 , x 6=
π 2
+ kπ ]
(5) Určete sudost, lichost funkce f . a) y = x2 b) y = x1 c) y = 2x − 1
[ funkce je sudá ] [ funkce je lichá ] [ funkce není sudá, ani lichá ]
(6) Nakreslete graf funkce y = f (x), jestliže x ∈ (−∞; −1) 1 x2 x ∈ h−1; 1i a) f (x) = 3 − 2x x ∈ (1.5; 2i b) y = 3 sin x c) y = sin 2x d) y = −3 sin(x + 3π) e) y = −2 sin( 13 x + 56 π) f) y = − sin(x + 3π) (7) Pomocí Hornerova schematu určete funkční hodnotu polynomu f v bodě x0 . a) f : y = x3 − 3x2 − 3x − 5, x0 = 2 b) f : y = x5 − 3x4 + 7x2 + 2, x0 = 2
[ −15 ] [ 14 ]
(8) Ukažte, že číslo x0 = −2 je dvojnásobným kořenem polynomu f : y = x3 + 3x2 − 4.
2
(9) Najděte všechny reálné kořeny polynomu f . a) f : y = x5 − 3x4 − x3 + 11x2 − 12x + 4 b) f : y = x5 + 6x4 + 9x3 − 3x2 − 10x − 3 c) f : y = 3x4 + 2x3 − 28x2 − 18x + 9
[ 1, 1, 1, 2, −2 ] √ −3± 5 [ 1, −1, −3, 2 ] [ 31 , −1, 3, −3 ]
(10) Vyjádřete racionální funkci jako součet polynomu a ryzí racionální funkce. a) f : y =
2x6 − 9x4 + 4x3 + 8x2 − 7x + 4 x4 − 3x2 + 2x − 1
NP) f : y = c)
[ = 2x2 − 3 +
x2 − x + 1 ] x4 − 3x2 + 2x − 1
85 2 1 2 [ = − − + 12 + 3 ] 4 x 4x − 1 x + 2 1 1 1 [=− − 2 + ] x x x−2
4 − x3 4x3 + 7x2 − 2x
x+2 , − 2x2
x3
(11) Napište tvar rozkladu funkce f v součet parciálních zlomků. x2 + 4x − 18 (x − 1)3 x8 (x2 + 1)2 A1 A2 A3 B1 B2 B3 B4 B5 B6 [f :y= + + + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 2 3 x − 1 (x − 1) (x − 1) x x x x x x 2 B7 B8 C1 x + D1 C2 x + D2 C3 x + D3 x + 4x − 18 + 7 + 8 + + 2 + 2 = ] 2 2 3 x x x +1 (x + 1) (x + 1) (x − 1)3 x8 (x2 + 1)2 3x4 + 2x b) f : y = 2 (x + 1)2 (3x + 1)2 x3 C1 C2 D1 D2 D3 A1 x + B1 A2 x + B3 + 2 + + + + 2 + 3 ] [f :y= 2 2 2 x +1 (x + 1) 3x + 1 (3x + 1) x x x
NP) f : y =
(12) Rozložte racionální funkci v součet polynomu a parciálních zlomků. 4x2 + 9x − 1 x3 + 2x2 − x − 2 2x3 − 2x2 + 5 b) f : y = x2 − 2x a) f : y =
[=
A x−1
+
B x+1
+
C x+2
=
2 x−1
+
[ = 2x + 2 −
3 x+1
51 2x
+
1 x+2
]
13 1 2 x−2
]
−
(13) Vypočtěte limity funkcí: x3 − 4x2 + 5x − 2 x→1 x5 − 3x + 2 sin 3x b) lim x→0 sin 2x
a) lim
[0] [
3 ] 2
3
|4 − x| x→4 x − 4
c) lim
[ neexistuje, lim+ x→4
|4 − x| |4 − x| = 1, lim− = −1 ] x→4 x−4 x−4
(14) Vypočtěte limity složených funkcí: a) lim ln sin3 2x
[ − ln 8 ]
x→π/12
1 b) lim− arctg x→0 x x+1 x−1 c) lim x→1 x2 − 1
[ − π2 ] [
1 4
]
(15) Vypočtěte limity typu k0 : 2x − 1 x→3 9 − x2 x+1 b) lim− x→0 sin x cos x c) lim x→0 sin x
[ −∞ ]
a) lim+
[ −∞ ] [ neexistuje, lim− x→0
cos x cos x = −∞, lim+ =∞] x→0 sin x sin x
(16) Vypočtěte limity v nevlastním bodě: 3x2 − 2x + 4 x→∞ 2x4 − 3x3 − 1 5x6 + 2x4 − x b) lim x→−∞ 4x3 − x x2 b) lim x arctg 2 x→∞ x +4
[0]
a) lim
[ −∞ ] [∞]
NP S použitím definice derivace určete derivaci f 0 (x) funkcí: a) f (x) = b) f (x) =
√ 3
x
x−1 3x2
1 [ D(f ) = R, f 0 (x) = √ , D(f 0 ) = R − {0} ] 33x 2−4 [ D(f ) = R − {0}, f 0 (x) = , D(f 0 ) = D(f ) ] 3 3x
(17) Určete derivaci f 0 (x) a definiční obory D(f ), D(f 0 ) funkcí: a) f (x) =
4x7 + 3x5 − 2x4 + 7x − 2 3x4 [ D(f ) = R − {0}, f 0 (x) =
12x7 + 3x5 − 21x + 8 , D(f 0 ) = D(f ) ] 3x5
4
b) f (x) = (x3 + 8)(x − 2) ex − 1 c) f (x) = x e +1 1 d) f (x) = 2 log(3x + x + 1) [ D(f ) = R−{0, − 13 }, f 0 (x) =
[ D(f ) = R, f 0 (x) = 4x3 − 6x2 + 8, D(f 0 ) = D(f ) ] 2ex [ D(f ) = R, f 0 (x) = x , D(f 0 ) = D(f ) ] (e + 1)2
(3x2
6x + 1 , D(f 0 ) = D(f ) ] + x + 1) ln 10 log2 (3x2 + x + 1)
(18) Určete první a druhou derivaci f 0 (x), f 00 (x) a příslušné definiční obory funkcí: √ a) f (x) = x x2 + 3 2x2 + 3 00 x(2x2 + 9) , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R ] [ f 0 (x) = √ , f (x) = p x2 + 3 (x2 + 3)3 r 1 − sin x b) f (x) = ln 1 + sin x 1 sin x [ f 0 (x) = − , f 00 (x) = − 2 , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R − { π2 + kπ, k ∈ Z} ] cos x cos x (19) Určete druhou derivaci f 00 (x) a příslušné definiční obory funkcí: 1 , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = (0, ∞) ] x √ x , D(f ) = D(f 0 ) = D(f 00 ) = R ] b) f (x) = arctg(x − x2 + 1) [ f 00 (x) = − 2 (x + 1)2 a) f (x) = x(ln x − 1)
[ f 00 (x) =
(20) Najděte rovnici tečny t a normály n ke grafu funkce y = f (x): a) f (x) = e−x cos 2x v bodě A = [0, ?]
[ t : x + y − 1 = 0, n : x − y + 1 = 0 ]
x 2
b) f (x) = e + 1, je-li t rovnoběžná s přímkou x − 2y + 1 = 0 [ t : x − 2y + 3 = 0, n : 4x + 2y − 3 = 0 ] NP Najděte přírůstek funkce ∆f a diferenciál df v čísle x0 pro přírůstek ∆x: f (x) = arccotg x, x0 = 1, ∆x = 0.2
[ ∆f = −0.09; df (x0 ) = −0.1 ]
NP Vypočítejte diferenciál funkce df v bodě x pro přírůstek h: √ 4x + 3 x 2
√ 3 24x x2 + 1 √ [ df (x, h) = h] 3 3 x2
5
(21) Napište následující funkce užitím MacLaurinova polynomu n-tého stupně: x2 x4 x6 [ T6 (x) = − − − ] 2 12 45 1 1 5 4 1 x ] [ T4 (x) = 1 + x − x2 + x3 − 2 8 16 128
a) f (x) = ln(cos x), n = 6 b) f (x) =
√
x + 1, n = 4
(22) Napište následující funkce užitím Taylorova polynomu n-tého stupně v okolí bodu x0 : 1 , x0 = 2, n = 3 x √ 3 b) f (x) = x2 , x0 = 1, n = 3 a) f (x) =
1 x − 2 (x − 2)2 (x − 2)3 − + − ] 2 4 8 16 2(x − 1) (x − 1)2 4(x − 1)3 [ T3 (x) = 1 + − + ] 3 9 81 [ T3 (x) =
(23) Vypočítejte přibližně následující funkční hodnotu pomocí Taylorova polynomu n-tého stupně Tn v okolí x0 : ln 2, x0 = 1, n = 10 [ f (x) = ln x, T10 (x) =
10 X (−1)k−1 k=1
k
. . (x − 1)k , ln 2 = T10 (2) = 0.646 ]
(24) Vypočtěte s pomocí L’Hospitalova pravidla: x2 − 1 x→1 x3 − 2x2 + 2x − 1 e2x b) lim 3 x→∞ x ln(1 + x) c) lim 2x x→∞ 3 −1 x−1 d) lim x→1 ln x
a) lim
[2] [∞] [0] [1]
(25) Vypočtěte limity typu 0 · ∞: a) lim+ x ln x
[0]
b) lim xex
[0]
x→0
x→−∞
6
(26) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce. (x − 1)3 y= (x + 1)2
[ x = −1, y = x − 5 ]
(27) Vyšetřete průběh funkce. x2 x2 nebo f (x) = x2 − 1 x2 − 4 x3 − 3x2 + 3x + 1 NP) f (x) = x−1 3 1−x d) f (x) = x2 e) f (x) = x + 2 arccotg x a) f (x) =
NP) f (x) =
x2 1+x
1 x 1 − x2 NP) f (x) = arcsin 1 + x2
NP) f (x) = arctg
4 1 1 1 2 1 (28) Jsou dány matice A = 2 1 2 , B = −4 2 0 . Vypočtěte matici 1 2 1 1 2 3 AB − BA. −10 −4 −7 14 4 ] [ AB − BA = 6 −7 5 −4 3 2 1 −1 2 1 0 0 (29) Určete hodnost matice A = 0 1 −3 2 −2 0 3 0
[ h(A) = 4 ] (30) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic: x1 2x1 x1 x1
+ 2x2 + x2 − x2 + 2x2
− x3 + x3 − x3 + 2x3
− 2x4 + x4 + x4 − x4
= −2 = 8 = 1 = 4
[ (1; 2; 1; 3) ]
7
(31) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic: x1 x1 3x1 2x1 x1
+ − − + +
7x2 2x2 2x2 9x2 5x2
+ 5x3 − x3 + x3 + 8x3 + 3x3
+ 2x4 − x4 − x4 + 3x4 + x4 sin x (32) Vypočtěte determinant A = sin y sin z
= = = = = 1 1 1
4 5 13 [ (t + 5; 2/3; −t − 1; 2t − 1/3), t ∈ R ] 7 5 cos x cos y . cos z
[ sin(x − z) + sin(z − y) + sin(y − x) ] 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 36 . NP Vypočtěte Vandermondův determinant A = 4 9 16 25 8 27 64 125 216 16 81 256 625 1296 [ 288 ] NP Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic: x1 + 2x2 + 4x3 + = 31 5x1 + x2 + 2x3 + = 29 [ (3; 4; 5) ] 3x1 − x2 + x3 + = 10 1 0 1 1 2 0 (33) Jsou dány matice A = 0 1 3 a B = 2 3 1 . Spočtěte A−1 , 3 3 1 0 0 1 NP: B −1 , B −1 · A−1 , (A · B)−1 , A−1 · B −1 , (B · A)−1 .
[ A−1
0 −1 1 1 −2 6 = 0 1 −3 , B −1 = − 13 23 − 13 , 0 0 1 1 1 −1 0 −1 4 1 4 −1 −1 B A = − 3 3 − 13 = (AB)−1 , 3 1 −1 2 20 11 13 − 3 3 3 7 8 A−1 B −1 = − 10 − = (BA)−1 ] 3 3 3 1 1 −1
8 2 (34) Řeštematicovou X, jestliže rovnici A ·X + B = Cpro neznámou 2 1 7 −5 3 −2 A= ,B= ,C= . 5 −2 4 2 5 −7
A2 · X + B = C A2 · X = C − B X = (A2 )−1 · (C − B)
/ − B zprava / · A−1 zleva
1 [X= 9 NP Řeštematicovou 2 −1 −2 0 A= 3 −3
−4 3 1 −9
]
rovnici · A = B pro neznámou X, jestliže A · X 1 4 −3 2 −1 , B = −5 5 −1 . 0 −3 3 3
A·X ·A = B X · A = A−1 · B X = A−1 · B · A−1
/ · A−1 zleva / · A−1 zprava
1 1 0 [ X = −1 0 1 ] 0 −1 1 (35) Zjistěte zda jsou dané vektory lineárně závislé: ~a = (1; 1; −5), ~b = (−3; −3; 1), ~c = (0; 1; 2), d~ = (5; 6; 7).
[ jsou lineárně závislé] (36) Vektor ~c = (3; 2; 1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů ~u1 = (1; 1; 3), ~u2 = (2; 1; −2), ~u3 = (4; 2; 1). [ ~v = ~u1 + ~u2 ] NP Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice 3 −1 0 0 1 1 0 0 A= 3 0 5 −3 . 4 −1 3 −1 [ λ1,2,3,4 = 2, (u − v; u − v; v; u)T ]
9
(37) Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice 0 −2 3 2 1 1 −1 −1 . A= 0 0 2 0 1 −1 0 1 [ λ1,2 = 0, (0; s; 0; s)T ; λ3,4 = 2, (t; 0; 0; t)T ] NP Určete zda následující matice z závislé nebo lineárně nezávislé: 1 0 3 5 1 2 1 , A2 = 2 A1 = 2 0 1 3
vektorového prostoru V = M at3,3 (R) jsou lineárně −1 3 2 −1 0 1 0 0 3 3 , A3 = 1 −1 2 , A4 = 0 1 0 . 1 4 1 1 1 0 0 1 [ jsou lineárně závislé ]
(38) Určete objem rovnoběžnostěnu s vrcholy dolní podstavy A = [3; 4; 0], B = [9; 5; −1], C = [1; 7; 1], jestliže krajní bod hrany AE je E = [3; 2; 5]. [ V = |[~a · ~b · ~c]| = 108 ] NP Jsou dány body A = [1; 1; 4], B = [4; 2; 2], C = [1; 2; 6]. Určete jednotkový vektor −→ −→ ~v 0 kolmý k vektorům AB, AC. 1 0 [ ~v1,2 = ± √ (4~i + 6~j + 3~k) ] 61 (39) Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy A = [1; −5; 4], B = [0; 3; 1], C = [−2; −4; 3], D = [−4; 4; −2; ] a vzdálenost v vrcholu A od stěny BCD. [V =
41 41 ,v = √ ] 6 1457
(40) Napište obecnou rovnici roviny procházející bodem A = [23; 3; −4] a přímkou p. x = 8 − 2t y = 5t p= z = −3 − 4t [ 7x − 62y − 81z − 299 = 0 ]
10
(41) Je dána rovina σ : 22x − 43y − 17z = 0, rovina ω : −2x + 3y + z + 5 = 0 a rovina α určená body A = [1; 3; 0], B = [2; 2; 1], C = [4; 12; −1]. Vypočítejte úhel společných přímek rovin σ, ω a rovin σ, α. [ 90◦ ]
11
Reference [1] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 2004. [2] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 2004. [3] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkcí více reálných promennch, CERM, FAST VUT Brno 2004. [4] Tryhuk, V. - Dlouhý, O.: Matematika I, Vybrané části a aplikace vektorového počtu, Modul GA01 M01, CERM, FAST VUT Brno 2007. [5] Chrastinová, V.: Matematika, Vektorvá algebra a analytická geometrie, Modul 3, studijní opory pro studijní programy s kombinovanou formou studia, Fakulta stavebni, Vysoké učení technické, Brno, 2004. [6] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 2003. [7] Tryhuk, V.: Matematika I1 - Úvod do matematické logiky a teorie množin, CERM, FAST VUT Brno 1994. [8] Tryhuk, V.: Matematika I2 - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1994. [9] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 1995. [10] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [11] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 1995. [12] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 1995. [13] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 1995. [14] Voráček, J.: Matematika II1 - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 1995. [15] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 1994. [16] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 1994. [17] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 1995. [18] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni pocet/. [19] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/integralni pocet/. [20] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 1982. [21] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 1. časť, SVTL, Bratislava 1965. [22] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 1998. [23] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 1985. [24] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 1987. [25] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno 1994. [26] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 1978. [27] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 1997. [28] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 1, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf. [29] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 2, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta2/skripta2.pdf.
