STG Zimní semestr

5. Odhady parametrů

KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

5. Odhady parametrů Základní soubor Výběr, výběrový (statistický) soubor Náhodný výběr


Princip Odhad neznámých parametrů základního souboru na základě charakteristik výběru. Přecházíme z části na celek, zevšeobecňujeme závěry (statistická indukce).


Princip Neznámé charakteristiky základního souboru odhadujeme pomocí příslušných výběrových charakteristik s určitou přesností a spolehlivostí. Přesnost odhadu dané charakteristiky je určena násobkem střední výběrové chyby, kterou je směrodatná odchylka příslušné charakteristiky ze všech teoreticky možných. Spolehlivost odhadu je dána pravděpodobností, se kterou je možné určitý odhad považovat za správný. KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

Princip Určení přesnosti a spolehlivosti odhadu předpokládá znalost rozdělení výběrových charakteristik. Rozlišujeme výběry s malým a velkým rozsahem (hranice n = 30). U velkých výběrů se výběrové rozdělení aproximuje většinou normálním rozdělením.


Princip

Reprezentativnost výběru dosahujeme nejčastěji náhodným výběrem. Náhodný výběr s opakováním x bez opakování


Výběr x základní soubor

ai

µ σ

- i-tý prvek základního souboru -

aritmetický průměr základního souboru

-

směrodatná odchylka základního souboru



xi x s

- i-tý výběrový prvek -

výběrový aritmetický průměr

- výběrová směrodatná odchylka



Průměr výběrových průměrů

µ KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

r

X

1 = ∑ xi r i =1


Směrodatná odchylka výběrových průměrů

2 ( x − ) ∑ i µ r

σ KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

x

=

x

i =1

r

Bodové odhady

µ

σ KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

Bodové odhady

Pro bodový odhad směrodatné odchylky platí:

1 n 2 σ= ( xi − x) ∑ n − 1 i =1 KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

Bodové odhady 1 n 2 σ= ( x − x ) ∑ n − 1 i =1 i

Bodový odhad směrodatné odchylky Směrodatná odchylka 1 n 2 s= ( xi − x) ∑ n i =1 KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

Bodové odhady

Pro bodový odhad směrodatné odchylky výběrových průměrů platí :

σ

x

=

σ


n

σ

σ

s = = x n n −1

Bodové odhady

Bodový odhad aritmetického průměru: n

1 µ = ∑ xi n i =1


Bodové odhady Dohromady: Charakteristiky základního souboru jsme odhadovali pomocí jedné hodnoty.


Intervalové odhady Princip: Určujeme interval, v němž bude ležet parametr.


Z teorie normálního rozdělení: V intervalu:

µ ±σ

… leží 68,28 % všech hodnot

µ ± 2σ


µ ± 3σ



Z teorie normálního rozdělení: Naopak: 95 % hodnot odpovídá intervalu

µ ± 1, 65σ

99 % hodnot odpovídá intervalu

µ ± 2,58σ


Intervaly, meze spolehlivosti µ ±σ

µ ± 2σ µ ± 3σ


Intervaly, meze spolehlivosti

Kritický obor Oblast zamítnutí


Nejčastěji používané intervaly spolehlivosti

Násobky směrodatné odchylky

Předem určená oblast Přijetí

Zamítnutí

±1,960

95 %

5%

±2,576

99 %

1%

±3,291

99,9 %

0,1%


Intervalové odhady – velké rozsahy výběru Předpoklad: Rozdělení výběrových průměrů lze považovat za normální.

µ

x

− 2,576.σ x ≤ x ≤ µ + 2,576.σ


x

x

Intervalové odhady – velké rozsahy výběru Nahradíme-li násobek směrodatné odchylky hodnotou up, kde index p vyjadřuje pravděpodobnost, s níž náhodná veličina překročí kritickou hodnotu u0,01=±2,576, dostaneme :

µ − u .σ x


p

≤ x ≤ + . µ u x pσ x

x

Intervalové odhady – velké rozsahy výběru

Po dosazení:

µ −u . p


σ n

≤ x ≤ µ + u p.

σ n


Řešením předchozí nerovnosti dostaneme:

x − u p.


σ n

≤ µ ≤ x + u p.

σ n


Protože hodnotu směrodatné odchylky obvykle neznáme, nahradíme ji jejím odhadem a pracujeme s výběrovými charakteristikami. Dostaneme:

s s x − u p. ≤ µ ≤ x + u p. n −1 n −1



s s x − u p. ≤ µ ≤ x + u p. n −1 n −1 Tento interval se nazývá INTERVAL SPOLEHLIVOSTI


Intervalové odhady – malé rozsahy výběru Kritické hodnoty normálního rozdělení nahradíme kritickými hodnotami t – rozdělení:

s s x − t p. ≤ µ ≤ x + t p. n −1 n −1


Intervalový odhad parametru σ

Odhadujeme pomocí σ2


Intervalový odhad parametru σ Předpoklad: Odhadovaná veličina má rozdělení „chí kvadrát“ s n-1 stupni volnosti.

χ

2 1− 0,5 p

≤

2 ns

σ2

χ

2 0,5 p

≥

2 ns

σ2

Výrazy na levých stranách jsou kritické hodnoty náhodné veličiny „chí kvadrát“ s n-1 stupni volnosti.


Intervalový odhad parametru σ Po vyjádření dostaneme:

2 ns

χ

2 0,5 p


≤σ2 ≤

2 ns

χ

2 1− 0,5 p

Příklad: Stanovit intervalový odhad průměru a směrodatné odchylky základního souboru pro 95% a 99% interval spolehlivosti. Výběrový soubor – průměrné roční teploty v letech 1771 – 1970. x‾= 9,42 °C s = 0,92 °C


s s x − u p. ≤ µ ≤ x + u p. n −1 n −1

2 ns

χ KGG/STG Zimní semestr 5. Odhady parametrů

2 0,5 p

≤σ2≤

2 ns

χ

2 1− 0,5 p

STG Zimní semestr

Recommend Documents