STATISTIK PERTEMUAN X
STATISTIKA INFERENSI : UJI HIPOTESIS (SAMPEL GANDA)
Outline Uji Hipotesis Variansi dengan sampel ganda Uji Hipotesis Mean dengan Sampel ganda : - Uji t untuk populasi saling bergantung - Uji z untuk populasi saling bebas - Uji t untuk populasi saling bebas jika ujiF menunjukkan 12 22. - Uji t untuk populasi saling bebas jika ujiF menunjukkan 12 = 22.
Uji Dua Variansi Prosedur Uji Dua Variansi Dalam uji dua variansi ini variansi sampel (s2) digunakan untuk menggambil kesimpulan mengenai variansi populasi (σ2).
Jadi dalam uji ini diambil uji sampel acak dari dua sampel populasi, dihitung variansi data, dari masing-masing sampel dan hasilnya digunakan sebagai dasar untuk membandingkan variansi populasi.
Prosedur dalam pengujian dua variansi mengikuti langkah- langkah yang sama seperti pengujian sampel tunggal yaitu sebagai berikut :
Pengujian Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif.
Dalam uji variansi hipotesis nolnya adalah tidak ada perbedaan variabilitas pada kedua populasi. Sedangkan hipotesis aslinya terdapat perbedaan berarti antara kedua variansi populasinya. Ho H1
: σ12 = σ22 : σ12 σ22 : (σ12 < σ22) : (σ12 > σ22)
Pemilihan tingkat kepentingan (level of significance) α. Penentuan distribusi pengujian yang digunakan. Dalam uji dua variansi ini yang digunakan adalah distribusi F yang merupakan suatu distribusi sampling dengan sifat-sifat sebagai berikut :
◦ Distribusi F adalah distribusi sampling untuk variabel s21/ s22 (rasio variansi sampel) ◦ Seluruh nilai F > 0 ◦ Tidak simetris. ◦ Terdapat perbedaan bentuk distribusi yang tergantung pada ukuran sampelnya serta banyaknya sampel pengamatan pada sampel tersebut.
Nilai-nilai distribusi F telah disajikan dalam tabel dalam bentuk Fα,df1,df2 yang dapat ditentukan mengenai tiga hal sebagai berikut :
Tingkat kepentingan (level of significance), α Derajat kebebasan (degree of freedom) untuk sampel yang digunakan sebagai pembilang dalam rasio uji s21/ s22, → (df1 = v1 = n1-1). Derajat kebebasan ( degree of freedom ) untuk sampel yang digunakan sebagai penyebut dalam rasio uji s21/ s22, → (df2 = v2 = n2-1 ). Sample dalam variansi yang terbesar dinyatakan sebagai sampel 1 dan selalu dijadikan pembilang dalam rasio uji.
Pendefinisian daerah penolakan atau daerah – daerah kritis Pernyataan aturan keputusan (Decision rule) Perhitungan rasio uji (RU) Rumus yang digunakan untuk menghitung rasio uji (nilai F) adalah = RUF = Ftest = s12/ s22, Pengambilan keputusan secara statistik. Jika nilai uji statistik berada di daerah penerimaan maka hipotesis nol diterima dan jika berada di daerah penolakan maka hipotesis nol ditolak.
Contoh
Untuk mengetahui pengaruh pemberian bahan peredam suara suatu kompartemen kendaraan dengan dua jenis bahan yang berbeda A dan B maka dilakukan suatu percobaan pengukuran kekurangan kebisingan dengan menggunakan detektor bunyi.
Tujuan dari percobaan ini adalah ingin mengetahui apakah ada perbedaan variabilitas yang berarti kedua bahan tersebut dalam hal meredam kebisingan mengingat harga kedua bahan tersebut sangat jauh berbeda.
Diasumsikan bahwa masing masing bahan akan menghasilkan suatu peredam dengan distribusi normal untuk menguji tersebut bahan A dipasangkan pada 8 kompartemen dan bahan B dipasangkan pada 9 mobil-mobil yang sejenis.
Setelah diuji ternyata A memberikan pengurangan sebesar 41, 43, 60, 56, 85, 79, 51, 49 (dB).
Sedangkan bahan B memberikan pengurangan kebisingan sebesar 73, 67, 83, 70, 66, 68, 92, 76, 59 (dB) dengan menggunakan uji dua variansi kesimpulan apa yang bisa diambil.
Untuk melakukan uji hipotesis mula mula dilakukan perhitungan deskriptif terhadap masing masing sampel yang menghasilkan :
Uji hipotesis dilakukan dengan langkah-langkah berikut : 1. Hipotesis : Ho : 12 = 22 H1 : 12 22 2. Tingkat kepentingan α = 0,05 = 5 %. 3. Pengujian menggunakan Distribusi F 4. Karena variansi A lebih besar dari pada variansi sampel B maka n1=nA=8 dan n2=nB=9 sehingga derajat kebebesan df untuk pembilang adalah df1= v1= n1-1= 8 -1 = 7 dan derajat kebesan untuk penyebut adalah df2= v2= n2-1= 9 -1 = 8.
5. Batas batas penolakan daerah kritis α =0,05 = 5 % maka α/2 =0,025 ( gunakan tabel F untuk α =0,025). Dari tabel untuk α =0,025, df =1 (pembilang ) = v1=7 dan df 2 (penyebut ) = 8 sehingga batas kritisnya adalah F 0.025, 7, 8 = 4, 53. 6. Aturan keputusan
Tolak H0 dan terima H1 jika RUf > 4.53 jika tidak demikian terima H0
7. Rasio Uji 2
s1 26,29 RU 2 2,656 98 s2
8. Pengambilan Keputusan Karena RUF < 4,53 maka Ho : 12 = 22 diterima.
Hal ini berarti tidak terdapat perbedaan yang signifikan terhadap variabel hasil terhadap kedua eksperimen tersebut.
Seandainya hanya diinginkan melakukan uji satu ujung maka hipotesis alternatifnya menjadi : Hipotesis H1 : 12 > 22
Batas daerah penolakan kritis satu ujung : Digunakan α =0,05 = 5 % maka α =0,05 ( gunakan table F untuk α =0,025 df1 pembilang = v1=7 dan df2 (penyebut ) = 8 sehingga batas kritisnya adalah F0.025, 7, 8 = 3.50. Aturan pengambilan keputusan Tolak H0 dan terima H1 jika RUf > 3.50 jika tidak demikian terima H0. Pengambilan keputusan. Karena RUF < 3.50 maka Ho : 12 = 22 diterima .
Uji Hipotesis Mean dengan Sampel Ganda
Dalam uji hipotesis mean dengan sampel ganda, asumsi bahwa kedua distribusi normal tetap digunakan, namun demikian prosedur uji hipotesisnya dapat mengikuti tahapan yang berbeda yang tergantung pada kondisi sampelnya.
Secara umum ada 4 prosedur uji yaitu : Uji t pasangan untuk populasi tergantung ( dependent population ). Uji z untuk populasi yang independent dan jika variansi populasi diketahui atau jika kedua sampel ukurannya diketahui ◦ Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang saling bebas (independent) jika uji F-nya menunjukkan σ12 σ22 ◦ Uji t sampel ukuran kecil jika populasi yang saling bebas (independent) jika uji F-nya diketahui σ12 = σ22.
Uji t pasangan untuk populasi saling tergantung Prosedur : Pernyataan Hipotesis nol dan Hipotesis Alternatif Dalam uji ini hipotesis nolnya adalah perbedaan rata-ratanya adalah nol. Sedangkan hipotesis alternatifnya adalah terdapat perbedaan nilai ratarata. H0 : μd = 0 H1 : μd ≠ 0 uji dua ujung ( μd > 0 uji satu ujung ) Pemilihan tingkat kepentingan (level of significance), α
Penentuan distribusi pengujian yang digunakan Sesuai namanya maka distribusi ini yang digunakan adalah distribusi t. Pendefinisian daerah penolakan atau daerah kritis. Dalam menggunakan distribusi t untuk pengujian ini derajat kebebasan df ditentukan dengan rumus df = v = n -1, dengan n adalah banyaknya pasangan data. Pernyataan aturan keputusan (Decission Rule).
Rumus yang digunakan untuk menghitung rasio uji adalah : RU ttest
d d sd / n
n
sd
(d d )
2
i 1
n 1
dengan d adalah perbedaan nilai pasangan data sebelum dan sesudah diperlakukan Pengambilan keputusan secara statistik : Jika rasio uji berada di daerah penerimaan maka hipotesis nol diterima dan jika berada di daerah penolakan maka hipotesis nol ditolak.
Contoh
Seorang insinyur akan mengevaluasi program baru untuk menjalankan sebuah prosedur pengelolaan basis data ( data base).
Jika dalam program baru tersebut terdapat penghematan waktu dari pada program saat ini maka ia akan merekomendasikan perusahaan tersebut dengan program baru.
Suatu sampel yang terdiri dari 8 operator diambil dan kemudian dalam waktu x jam untuk menyelesaikan pengolahan data dicatat.
Kedelapan operator yang sama dilatih menggunakan program yang baru sampai mahir.
Kemudian waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama dicatat, seperti yang ditunjukkan pada tabel, kemudian dilakukan perhitungan sebagai berikut :
Uji hipotesis dilakukan dengan langkah sebagai berikut : Hipotesis H0 : μd = 0 H1 : μd ≠ 0 uji dua ujung Tingkat kepentingan α = 0.05 = 5 % Menggunakan distribusi t Batas-batas daerah penolakan atau derah kritis uji dua ujung Digunakan α = 0,05 = 5 % maka α = 0,05 ( gunakan table F untuk α = 0,025) dengan df1 (pembilang ) = v1=7 dan df2 (penyebut ) = 8 batas kritisnya adalah F 0.025, 7,8 = 2.365. Aturan Keputusan Tolak H0 dan terima H1 jika RUt < -2.365 atau RUt > + 2.365, jika tidak demikian terima H0
Rasio Uji
d d 20 RU ttest 1,37 sd / n 4,14 / 8
Pengambilan keputusan Karena -2.365 < RUt < +2.365 maka H0 : μd = 0 diterima. Hal ini berarti rata-rata kecepatan pengelolaan program baru tidak berbeda dengan progam lama. Jadi insinyur tersebut bisa merekomendasikan untuk tidak menggunakan program baru kepada perusahaan.
Hasil output SPSS (terlihat thit = 1,366 dan nilai-p = 0,214 > 0,05 sehingga H0 diterima)
Uji z untuk populasi yang saling bebas (independent)
Suatu uji z digunakan bila : Sampel yang diambil dari kedua populasi yang saling bebas dan berdistribusi normal. Nilai nilai standart populasi σ1 dan σ2 telah diketahui atau ukuran kedua sampel lebih dari 30 ( n > 30). Prosedur uji hipotesisnya sebagai berikut : Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif Dalam uji hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya adalah : H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2 uji dua ujung ( μ1 < μ2 uji satu ujung μ 1 > μ2 ) Pemilihan tingkat kepentingan α Penentuan distribusi yang digunakan. Sesuai dengan namanya distribusi yang digunakan adalah distribusi z
Pendefinisian derah derah penolakan atau daerah kritis. Pernyataan aturan keputusan. Perhitungan rasio uji adalah : Rumus yang digunakan untuk rasio uji adalah :
◦ Jika σ1 dan σ2 telah diketahui, RU ztest
x1 x2
12 n1
22 n2
Pengambilan keputusan secara statistik.
Contoh
Sebuah perusahaan telekomunikasi bergerak memutuskan untuk memasang sistem antena jenis baru di stasiun relainya untuk meningkatkan kinerja pembicaraan dengan pelanggannya.
Dua contoh antenna dari 2 pemasok cukup memadai untuk penerapan yang diinginkan. Untuk menjamin pemasokan dan suku cadang perusahaan tersebut memutuskan untuk membeli dari 2 pemasok tersebut.
Dengan syarat tidak ada perbedaan artinya daya tahan usia memiliki umur yang sama.
Suatu sampel acak dari 35 dari sistem antenna pertama dan 32 antena dari pemasok B akan diuji. Rata-rata kegagalan dari sistem antenna adalah 2800 hari dari antena A dan 2750 dari antenna B.
Suatu sumber dari industri independent yang layak mengidentifikasikan bahwa standart deviasi untuk sistem A adalah 200 jam dan untuk antenna B adalah 180 hari.
Dengan tingkat kepentingan 0,05 maka apakah terdapat perbedaan dalam sistem antena tersebut?
Uji hipotesis dilakukan dengan langkah sebagai berikut : Hipotesis H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2 uji dua ujung Tingkat kepentingan α = 0.05 Menggunakan distribusi z Batas batas daerah penolakan / batas kritis dua ujung adalah α = 0.05 berarti α/2 = 0.025 dari tabel z didapatkan nilai kritis sebagai berikut : 1.96 Aturan keputusan Tolak H0 dan terima H1 jika RU z < 1.96 atau RU z < -1.96, jika tidak demikian terima H0
Rasio uji 12 n1 RU
22 n2
x1 x2
12 n1
200 2 180 2 46,43 35 36
22 n2
2800 2750 1,08 46,43
Pengambilan keputusan Karena -1.96< RUz < 1.96 maka H0 diterima. Hal ini sama artinya bahwa tidak ada perbedaan antara sistem antenna 1 dan antenna 2.
Contoh
Hasil output SPSS (terlihat nilai-p > 0,05 sehingga H0 diterima yaitu rata-rata kedua kelas sama
Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang saling bebas jika uji F-nya menunjukkan σ12 ≠ σ22
Uji ini akan digunakan bila : Sampel dari kedua populasi berdistribusi normal Nilai standart populasi σ1 dan σ2 tidak diketahui Ukuran n1dan n2 kecil Uji F pada variansi menunjukkan σ12 σ22
Prosedur pengujiannya merupakan prosedur pengujian dua variansi dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut : ◦ Rasio uji RU
x1 x2 2
2
s1 s2 n1 n2
Derajat kebebasan Derajat kebebesan adalah derajat yang lebih kecil dari dua sampel tersebut.
Contoh
Agen penyewaan genset menyatakan pada sebuah perusahaan yang akan menyewa sejumlah genset bahawa rata-rata biaya genset berdaya 10 kwh sama-sama di sektor A dan B di kota tersebut.
Untuk menguji pernyataan tersebut maka perusahaan tersebut mengambil sampel di beberapa persewaan genset di sektor A dan sektor B di kota tersebut.
Di sektor A dengan 10 data diperoleh rata rata sebuah sewa genset adalah Rp 595.000,dengan deviasi Rp 62.000,- dan di sektor B 12 data dengan rata-rata sewa per genset adalah Rp 580.000,- dan deviasi Rp 32.000,-. apakah yang dapat disimpulkan dari data di atas dan dengan tingkat kepentingan 0.05 ?
Uji hipotesis akan dilakukan dengan langkah sebagai berikut ini : Uji F atas variansi : Hipotesis : Ho : σ12 = σ22 H1 : σ12 σ22
Tingkat kepentingan α=0.05. Karena variansi A lebih besar dari pada sampel B maka variansi untuk n1= nA =10 dan n2 = nB = 12 maka derajat kebebebasannya adalah df1= v1= n1-1 = 9 sedangkan untuk df2 =v2=n2-1= 11. Batas batas daerah kritis untuk penolakan adalah α = 0.05 maka α/2 = 0.025 dari table F untuk α = 0.025 dan df1 pembilang = v1 =9 dan df2 penyebut= v2 = 11
Aturan keputusan Tolak H0 dan terima H1 jika RUF > 3.39 dan jika tidak demikian terima H0 Rasio uji
2
s1 62000 2 RU Ftest 2 3,745 2 32000 s2
Pengambilan keputusan Karena RUF > 3.59 maka H0 di tolak dengan sama artinya H1 : σ12 σ22 diterima.
Uji t Hipotesis H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2 Tingkat kepentingan α = 0.05 Menggunakan distribusi t Batas batas daerah kritis untuk penolakan adalah α = 0.05 maka α/2 = 0.025 dari tabel F untuk α = 0.025 dan df1 pembilang = v1 =9 dan df2 penyebut= v2 = 11 didapatkan batas kritisnya = 2.262.
Aturan keputusan. Tolak Ho dan terima H1 jik RUt < -2.62 atau RUt >2.62 jika tidak terima H0. Rasio uji
RUt
x1 x2 2
2
s1 s2 n1 n2
595000 58000 2
62000 32000 10 12
2
0,692
Pengambilan keputusan Karena - 2.262 < RUt < 2.262 maka H0 diterima yang sama artinya dengan klaim yang dinyatakan agen genset tersebut benar.
Uji t sample dengan ukuran ukuran kecil untuk populasi yang independent dengan uji F telah ditentukan σ21 = σ22
Uji ini akan dilakukan bila : Sampel dari kedua populasi berdistribusi normal Nilai standart populasi σ1 dan σ2 tidak diketahui Ukuran n1dan n2 kecil (< 30). Uji F pada variansi menunjukan σ21 = σ22
Contoh Dengan mengulang pada Contoh 1 di mana uji F pada variansi menujukan bahwa σ21 = σ22 maka uji t untuk meannya adalah sebagai berikut :
Hipotesis H0 : μ1 = μ2 H1 : μ1 ≠ μ2 Tingkat kepentingan α = 0.05 Menggunakan distribusi t Batas-batas daerah penolakan atau daerah kritis uji ujung ujung α = 0.05 maka α/2 = 0.025 derajat kebebasan didapatkan df = n1 + n2 – 2 = 15. Dari tabel maka akan didapatkan nilai sebagai berikut ini : 2.131.
Contoh
Hasil output SPSS (terlihat bahwa nilai-p > 0,05 sehingga rata-rata kedua kelas sama)
TERIMA KASIH
