STATISTIK PERTEMUAN VIII
Pengertian Estimasi Merupakan bagian dari statistik inferensi Estimasi = pendugaan, atau menaksir harga parameter populasi dengan harga-harga statistik sampelnya. Misal : suatu populasi yang besar akan diselidiki harga-harga parameternya, untuk mengetahuinya akan dilakukan pengamatan terhadap unit-unit dalam sampel yang akan diestimasi meskipun akan menimbulkan ketidak pastian
KLASIFIKASI ESTIMASI (1) ESTIMASI HARGA MEAN (µ) Dari suatu populasi akan ditaksir berapa besarnya harga rata-rata ( mean) a)Jika digunakan sampel besar (n≥30) Jika n ≥30 maka distribusi sampling harga X didistribusikan normal dengan mean dan standard deviasi.
Notasi interval untuk estimasi sampel besar ( n ≥30) : ___
X Z
/2
*
n
___
X Z
/2
*
n
Dimana besar kesalahan maksimum dapat dicari dengan :
Emax Z / 2 * __
n
Keterangan : X = nilai rata-rata suatu populasi = deviasi standard n = banyaknya data Z / 2 = nilai dari tabel normal
b) Jika digunakan sampel kecil ( n < 30 ) Maka notasi interval estimasi untuk sampel kecil sbb : __
__ s s X t / 2 * X t / 2 * n n
Contoh Estimasi : Perusahaan RST memproduksi hardisk X dengan berat bersih menyebar normal dengan simpangan baku =15 gram. Dari produksi tersebut dipilih satu contoh acak berukuran 64, setelah ditimbang dengan seksama diperoleh berat bersih rata-rata = 360 gr. Taksirlah rerata berat bersih hardisk tersebut dengan selang kepercayaan 95%
Contoh Soal Estimasi Jawab : Selang kepercayaan 95%. Maka sebagai acuan untuk Z/2 digunakan tabel Normal. caranya : cari = 1 - 0,95 = 0,05 Z/2 = 0,5 – 0,05/2 = 0.4750 Z/2 = 1,96 Sehingga interval estimasi yang diperoleh sbb :
15 15 360 (1,96) * 360 (1,96) * 64 64 360 3,675 360 3,675 356,33 363,68
(3) ESTIMASI HARGA PROPORSI (P) Jika sampel-sampel random sebesar n diambil dari suatu populasi yang besar dan a banyaknya unit yang bersifat A dalam sampelsampel tersebut, maka distribusi sampling mendekati harga normal. Sehingga interval keyakinan untuk P adalah sebagai berikut : a Z / 2 * n
p (1 p ) a p Z / 2 * n n
p (1 p ) n
Nilai kesalahan Maksimum : 1 EMax Z / 2 *
2 n
Catatan : bila a tidak diketahui, maka diganti dengan P Contoh soal : Suatu sampel random yang terdiri dari 400 Keuarga di suatu daerah diketahui 10% Diantaranya mempunyai pekerjaan (mata Pencaharian) berdagang. Tentukan interval Konvidensi 97% untuk menaksir proporsi pedagang di daerah tersebut !
Contoh soal : Jawab : Diketahui : P = proporsi pedagang, a/n = 10% N = banyaknya pedagang = 400 tingkat keyakinan 97% = 2,17 (lihat tabel normal) Maka interval konfindensi proporsi pedagang sebagai berikut : 0,1 (2,17 ) *
0,1* (1 0,1) 0,1* (1 0,1) P 0,1 (2,17 ) * 400 400
0,1 - 0,0325 ≤ P ≤ 0,1 + 0,0325 0.0675 ≤ P ≤ 0.1325
(3) Estimasi Harga Standard Deviasi() a)
Jika digunakan sampel besar ( n ≥ 30) Jika sampel random sebesar n, ( n ≥ 30), maka akan didistribusikan normal. Interval Estimasi dapat ditulis sbb : s s Z Z 1 /2 1 /2 2n 2n
b) Jika digunakan sampel kecil ( n < 30 ) Jika sampel random sebesar n, maka distribusi sampling didistribusikan menurut distribusi Chi Kuadrat
Interval konvidensi jika n < 30 Dinotasikan sebagai berikut :
(n 1) s 2 (n 1) s 2 X /2 X / 2 Contoh Soal : Suatu sampel random yang terdiri dari 15 unit diambil dari suatu populasi yang dapat dianggap mendekati normal, dan didapat S=21,6. Tentukan interval konvidensi 96% untuk mengestimasi dari populasi tersebut.
Contoh Soal : Jawab : Diketahui : n = 15, S =21,6 Tingkat konfidensi ( 1 - ) = 96%, /2=2% Sehingga X2 (2%; 15-1) = 26,873 dan X2 (98%; 15 – 1) = 5,368 Jadi interval konvidensi untuk 96% adalah :
(15 1)21.6 2 (15 1)21.6 2 26,873 5,368 15,6 34,9
Klasifikasi Estimasi untuk 2 Populasi
(1)
Estimasi Harga Perbedaan dua mean jika digunakan populasi ke – 1 dan populasi ke-2 untuk dilakukan estimasi perbedaan kedua meannya, yaitu : ( µ1 - µ2 ) maka perlu diambil sampel random untuk kedua populasi tersebut. a) Jika digunakan sampel besar ( n ≥ 30 ) Jika sampel random sebesar n1 dan n2, berturut-turut diambil dari populasi ke – 1 dan ke – 2 dan misalkan X1 = mean sampel dari populasi ke – 1 dan X2 = mean sampel dari populasi ke – 2, maka distribusi sampling harga statistik mendekati distribusi normal.
Notasi Interval untuk harga-harga dua mean
___
___
( X 1 X 2 ) Z / 2 *
12 n1
22 n2
___
___
1 2 ( X 1 X 2 ) Z / 2 *
12 n1
22 n2
Besarnya kesalahan Maksimum : ___
2
___
E ( 1 2 ) ( X 1 X 2 ) Z /2
2
S1 S2 n1 n2
b)
Jika digunakan sampel kecil ( n1 < 30
dan n2 < 30 )
Kedua populasi didistribusikan menurut distribusi normal dengan mengacu pada pada tabel student Notasi Interval konvidensi untuk harga ratarata dua mean sbb : ___
___
___
___
___
___
___
___
( X 1 X 2 ) t / 2 S ( X 1 X 2 ) 1 2 ( X 1 X 2 ) / 2 S ( X 1 X 2 )
Contoh Soal :
(1)
Suatu perusahaan rokok mengirim ke laboratorium dua jenis tembakau yang digunakan di dalam produksinya, guna menduga perbedaan rata-rata kadar nikotinnya. Dari jenis I dilakukan 5 kali analisa dan dari jenis II dilakukan 6 kali analisa. Dari hasil analisa ini diketahui bahwa kadar nikotin pada setiap batang sebagai berikut ( dalam mg) : Jenis I : 25, 21, 23, 26, 20 Jenis II : 24, 25, 28, 22, 21, 24 Tentukan interval konfidensi 98% untuk perbedaan rata-rata kadar nikotin kedua jenis tembako tersebut !
Contoh Soal
Jawab :
SAMPEL JENIS I
SAMPEL JENIS I
X1
(X1 – X2)2
X2
(X1 – X2)2
25
4
24
0
21
4
25
1
23
0
28
16
26
9
22
4
20
9
21
9
24
0
144
30
115
26
Contoh Soal
Dimana : n1 = 5 X1 = 115/5 = 23 S1 = 26/4
S2
n2 X2 = 30/5
=6 = 144/6 = 24
Tingkat konvidensi ( 1 - ) = 98%, 2 /2= 1 % t(1%; 5+6 – 2) = 2.821 Sehingga interval konvidensi untuk dua mean sbb :
Contoh Soal
Sehingga interval konvidensi untuk dua mean sbb : (4) 26 (5) 30 1 1 (4) 26 (5) 30 1 1 4 5 4 5 (23 24) 2,821 * ( 1 2 ) (23 24) 2,821 * 562 562 5 6 5 6 (23 24) (2,821) * (1,506 ) ( 1 2 ) (23 24) (2,821) * (1,506 ) 1 4,25 ( 1 2 ) 1 4,25 5,25 ( 1 2 ) 3,25
(2) Estimasi Harga Dua Proporsi (P1-P2)
• Jika P1 dan P2 tidak terlalu kecil dan tidak selalu besar, maka harga distribusi sampling harga statistik akan didistribusikan mendekati distribusi normal dengan harga mean = ( p1 – p2) dan standard deviasi adalah :
P1 (1 P1 ) P (1 P2 ) 2 n1 n2
Interval Konfidensi untuk Dua Proporsi ( P1 – P2) adalah sbb :
a1 a2 Z n n2 / 2 1
a1
n1
(1 a1 n1
n1
a2
n2
(1 a2 n2
n2
)
a1 ( P1 P2 ) Z / 2
n1
(1 a1 n1
n1
a2
n2
(1 a2
n2
)
n2
Dimana : jika tidak diketahui a1 atau a2 dapat diganti dengan P1 atau P2
Contoh Soal Estimasi Dua Proporsi
(1) Sebuah perusahaan komputer membuat dua buah software anti virus yakni jenis A dan B. Untuk keperluan penelitian, maka diinstal pada dua buah komputer yang berisi 1000 jenis virus, setelah kedua komputer diisi dengan virus tersebut, kemudian diinstal anti virus jenis A untuk komputer I dan anti virus jenis B untuk komputer II. Beberapa saat kemudian diketahui dalam komputer I terdapat 825 virus yang dapat dinonaktifkan dan pada komputer II terdapat 760 virus yang berhasil dinonaktifkan. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi beda proporsi kematian virus oleh anti virus jenis A dan B.
Contoh Soal Estimasi Dua Proporsi
Jawab : Diketahui :
a1 = 825 a2 = 760 n1 = 1000 n2 = 1000 Konfidensi 95% = /2 = 0,025 Z /2 = 0,5 – 0.025 = 0,4750 Berdasarkan tabel normal 0.4750 = 1,96 (Z /2 ) Sehingga interval estimasi beda dua proporsi sbb : 825 760 825 760 (1 825 ) (1 760 ) (1 825 ) (1 760 ) 825 760 1000 1000 1000 1000 ( P P ) 825 760 1,96 1000 1000 1000 1000 1,96 1 2 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 0,65 (1,96)(0,0181) ( P1 P2 ) 0,65 (1,96)(0,0181) 0,0295 ( P1 P2 ) 0,1005
CARA MEMBACA TABEL NORMAL
LANGKAH-LANGKAHNYA : 1. Lihat nilai konfidensinya, misal 95% sehingga /2 = 0,5/2 = 0.025 , maka untuk distribusi normal Z/2 = 0,5 – 0.025 = 0,4750 2. Lihat ke tabel normal. Silahkan di download. 3. Berdasarkan tabel maka nilai 0.4750 berada pada baris ke 1.9 kolom 0.6. Sehingga nilai konfidensi 95% Z/ = 1,96
CARA MEMBACA TABEL STUDENTS (t)
LANGKAH-LANGKAHNYA : (1) Lihat nilai konfidensinya, misal 95% sehingga /2 = 5/2 = 0.025 , maka untuk distribusi normal untuk students t/2 = (/2 ; n – 1 ). Andaikan n = 10 t/2 = ( 0,025; 9) Kolom Baris (2) Lihat ke tabel Student’s. Silahkan di download. Berdasarkan tabel maka pertemuan antara baris ( 9) dan kolom ( 0,025) bertemu pada titik = 2,262 sehingga nilai konfidensi 95% t/2 = 2,262
CARA MEMBACA TABEL CHI KUADRAT ( x2)
LANGKAH-LANGKAHNYA : (1) Lihat nilai konfidensinya, misal 96% sehingga /2 = 4/2 = 2% , maka untuk distribusi normal untuk Chi Kuadrat X2 /2 = (2% ; 10 – 1 ) dan X2 /2 = (98%l; 10-1 ) (Andaikan n = 10 X2 /2 = ( 2%; 9) dan X2 /2 = (98%l; 9 ) (2) Lihat ke tabel Chi Kuadrat . Silahkan di download. Berdasarkan tabel maka pertemuan antara baris ( 9) dan kolom ( 0,02) bertemu pada titik = 19.679 dan baris (9) dan kolom (0.98) bertemu pada titik = 2.532 sehingga nilai konfidensi 96% X2 /2 = 19.679 dan X2 /2 = 2.532
LATIHAN SOAL
(1) Suatu contoh acak berukuran n = 500 rumah tangga yang koneksi internet di suatu kota. Berdasarkan contoh ini kemudian diketahui bahwa terdapat 340 pemilik yang terkoneksi ke internet di rumahnya. Tentukan ukuran contoh yang diperlukan jika tingkat kepercayaan 98% bagi proporsi rumah tangga yang koneksi ke internet di kota tersebut.
LATIHAN SOAL
(2) Suatu proses produksi menghasilkan produk harian dengan simpangan baku σ = 10 ton. Seorang peneliti ingin menduga rataan produk harian µ dengan selang kepercayaan 96% dan galat tidak lebih dari 2,5 ton. Tentukan ukuran contoh yang diperlukan
LATIHAN SOAL
(3) Dua contoh acak masing-masing dipilih dari dua populasi A dan B yang seragam dan menyebar normal. Hasil dari pengamatan contoh tersebut adalah sbb : Contoh A
12, 11, 5 7 9,4 11, 3
9,9 9,6 10, 8,7 11,5 3 10, 6
9,6 9,7
Contoh 9,4 11, 9,7 10,4 6,9 7,3 B 8,4 6 7,0 8,2 12, 9,2 Berdasarkan pengamatan contoh, tentukan selang kepercayaan 95% 7 bagi selisih rerataan populasi A dan B.7,2
Petunjuk Silahkan anda mencoba soal latihan tersebut selama 30 menit. Bagi yang sudah dapat melihat kunci jawabannya dengan mendownload. Ingat anda tidak akan paham jika tidak mencoba soal latihan. Jangan melihat kunci jawaban sebelum anda mengerjakan terlebih dahulu. Silahkan didownload.
