STATISTIK PERTEMUAN VI

STATISTIK PERTEMUAN VI

1. TEORI PENDUKUNG •1.1 Pendahuluan •1.2 Variabel acak •1.3 Distribusi variabel acak diskrit •1.4 Distribusi variabel acak kontinu •1.5 Distribusi multivariat

2

1.1 Pendahuluan Definisi 1: Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Notasi : S Definisi 2: Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Sifat : Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika

Prostok-1-firda

A B  

3

Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A, ditulis P( A) atau P{ A} dengan sifat:

(i) 0  P( A)  1

(ii) P(S )  1 dan P()  0. (iii) Untuk setiap kejadian A, P( A ')  1  P( A).

• Jika A  B, maka P( A)  P( B). • Untuk setiap kejadian A dan B berlaku

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB).

• Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika

P( AB)  P( A) P( B). Prostok-1-firda

4

• Jika A dan B dua kejadian , dengan P( A)  0, peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai: P( A  B) P  B A  P ( A) Teorema Bayes : Jika kejadian-kejadian A1 , A2 ,..., Ak adalah partisi dari ruang sampel S maka untuk kejadian B sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0 berlaku: P ( B Ai ).P ( Ai ) P ( Ai  B ) P ( Ai B )   k P( B)  P( B Ai ).P( Ai ) i 1

5

1.2 Variabel Acak Definisi 3: Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel ke himpunan bilangan real. (R) Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.

Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x, dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama dengan x dinyakan dengan P( X  x). 6

Klasifikasi Variabel Acak: 1. Variabel Acak Diskrit Variabel acak X dikatakan variabel acak diskrit jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .

2. Variabel Acak Kontinu Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan tak terbilang (berupa bilangan real). 7

Definisi 4: Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function (pmf), atau fungsi peluang, ditulis :

p ( x )  P( X  x ) Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x). b

P(a  X  b)   f ( x)dx a

8

Definisi 5:

Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel acak X adalah:

F ( x)  P( X  x),    x   • Untuk variabel acak diskrit :

F ( x)  P( X  x)   p(t ) tx

• Untuk variabel acak kontinu : x

F ( x)  P( X  x) 

 f (t ) dt



9

Definisi 6: (i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:

E ( X )   xp( x) x

(ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai: 

E ( X )   x f ( x)dx 

Prostok-1-firda

10

Definisi 7: Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:

Var ( X )  E ( X )   E ( X ) 

2

2

Definisi 8: Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu

e M X (t )  E  etX



tx

p( x),

X variabel acak diskrit

x







etx f ( x )dx,

X variabel acak kontinu

11

1.3 Distribusi variabel acak diskrit a. Distribusi Bernoulli

• pmf:

1 x

p ( x)  p q x

, x  0,1

• mean:

E( X )  p

• variansi:

Var ( X )  p(1  p)  pq 12

b. Distribusi Binomial Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan binomial

• pmf:

 n  x n x p( x)    p q , x  0,1,..., n  x

• mean:

E ( X )  np

• varians:

Var ( X )  npq 13

c. Distribusi Geometri Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha sampai terjadinya sukses pertama kali

• pmf:

p( x)  pq x 1 , x  1, 2, 3,...

• mean:

1 E( X )  p

• varians:

q Var ( X )  2 p 14

d. Distribusi Poisson Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan poison

• pmf:

e   x p ( x)  , x  0,1, 2,... x!

• mean:

E( X )  

• varians:

Var ( X )   15

1.4 Distribusi variabel acak kontinu a. Distribusi Uniform

• pdf:

1 f ( x)  ,a  x  b ba

• mean:

ab E( X )  2

• varians:

(b  a ) 2 Var ( X )  12 16

b. Distribusi Eksponensial

• pdf:

• mean:

• varians:

f ( x)   e

E( X ) 

 x

,x  0

1



Var ( X ) 

1

2 17

c. Distribusi Normal

• pdf:

f ( x) 

1  2

e

( x )  12     

• mean:

E( X )  

• varians:

Var( X )   2

2

,   x  

18

Distribusi Peluang Diskrit Fungsi peluang (Pmf) Mean Varians i X

Bernoulli( p)

X

B(n, p)

p( x)  p x q1 x , x  0,1

p

pq

 n  x n x p( x)    p q ,  x x  0,1,..., n

np

npq (q  pet  n  

x 1

X GEO( p)

X

POI ( )

Mgf

p ( x)  pq , x  1, 2, 3,... e   x p ( x)  , x! x  0,1, 2,...

1 p



q  pet

q p2

pet (1  qet )



  (1 et )

e

19

Distribusi Peluang Kontinu Fungsi densitas (Pdf) X U ( a, b)

X

EXP( )

1 f ( x)  ,a  x  b ba

f ( x)   e

X GAM ( , k ) f ( x) 

X

N ( , ) 2

f ( x) 

 x

,x  0

 k x k 1e   x (k ) 1  2

  x  

e

,x  0

( x )  12     

2

,

Mean Variansi

Mgf

(b  a ) 2 12

ebt  e at t (b  a )

1



2

 t

k

k



2

       t  

ab 2

1







2

e

k

1 2 2    t t   2 

20

1.5 Distribusi multivariat a. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka (i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :

p XY ( x, y )  P( X  x, Y  y ) (ii) Distribusi bersama dari X dan Y :

FXY ( x, y)   pXY (a, b) a x b y

(iii) Pmf marjinal dari X :

pX ( x)   pXY ( x, y) y

(iv) Pmf marjinal dari Y :

pY ( y)   pXY ( x, y ) x

21

(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :

p XY ( x, y ) p X |Y ( x | y )  , pY ( y )  0 pY ( y ) (vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :

FX |Y ( x | y ) 

 a x

p XY ( a, y ) , pY ( y )  0 pY ( y )

(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :

E[ X | Y  y ]   x. p XY ( x y ) x Prostok-1-firda

22

b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka (i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :  2 F ( x, y ) f XY ( x, y )  yx

(ii) Distribusi bersama dari X dan Y : y

FXY ( x, y) 

x



f XY ( s, t ) ds dt

 

(iii) Pdf marjinal dari X :

f X ( x)   f XY ( x, y )dy y

(iv) Pdf marjinal dari Y :

fY ( y)   f XY ( x, y)dx x

23

(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y : f XY ( x, y ) f X |Y ( x | y )  , f ( y)  0 fY ( y )

(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y : x

FX |Y ( x y ) 





f XY (t , y ) dt fY ( y )

(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :

E  X Y  y 



 xf



X |Y

( x | y )dx 24



E[ X  Y ]  E[ X ]  E[Y ]

 Kovariansi dari X dan Y:

Cov( X , Y )  E[ XY ]  E[ X ]E[Y ]  Koefisien korelasi dari X dan Y:

 ( X ,Y ) 

Cov( X , Y ) Var ( X ).Var (Y )

25

Soal 1. Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masingmasing berdistribusi Poisson dengan mean 1 dan 2 . Tunjukkan bahwa variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan mean 1  2 .

2. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi F ( x). AsumsikanF (0)  0,, tunjukkan bahwa 

a. E ( X )   (1  F ( x)) dx 0



b.E ( X n )   nx n1 (1  F ( x)) dx Prostok-1-firda

0

26