STATISTIK PERTEMUAN V

STATISTIK PERTEMUAN V

Variabel Random/ Acak variabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan/ variabel yang bernilai numerik yg didefinisikan dlm suatu ruang sampel

1. Variabel Random diskrit Variabel random yg tdk mengambil seluruh nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg hanya memiliki nilai tertentu 2. Variabel Random kontinu Variabel random yg mengambil seluruh nilai yg ada dlm sebuah interval/ variabel yg dpt memiliki nilai-nilai pd suatu interval tertentu

Pengertian dan Jenis-Jenis Distribusi Teoretis  Distribusi teoretis : suatu daftar yg disusun berdasarkan probabilitas dr peristiwa2 bersangkutan  Misal : Sebuah mata uang logam dgn permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoritisnya

Jenis-jenis distribusi teoretis 1. Distribusi teoretis diskrit Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random diskrit dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/ distribusi dr variabel random diskrit jk memenuhi syarat: a. f(x) ≥ 0, x Є R b. f(x) = 1 c. P(X=x) = f(x)

Contoh soal  Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak diambil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil

Jawab  Jumlah titik sampel = C36= 20 titik sampel  Banyaknya cara mendapatkan bola kuning adalah Cx2  Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah  Distribusi probabilitasnya P(X=x) =

Distribusi yg tergolong ke dlm distribusi ini antara lain : a. Distribusi binomial b. Distribusi hipergeometrik c. Distribusi Poisson

2. Distribusi teoretis kontinu Suatu daftar/ distribusi dr semua nilai variabel random kontinu dgn probabilitas terjadinya masing-masing nilai tsb  Suatu fungsi f dikatakan mrp fungsi probabilitas/ distribusi probabilitas variabel random kontinu x, jk memenuhi syarat: a. f(x) ≥ 0, x Є R b.  f ( x) dx  1 





c.

b

P(a  X  b)   f ( x) dx a

Contoh soal :  Suatu variabel random kontinu X yg memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi yg dinyatakan oleh 2(1  :x)

f ( x) 

21

 Tentukan nilai P(X<2)

Distribusi yg tergolong distribusi teoritis kontinu antara lain : a. b. c. d.

Distribusi normal 2  Distribusi Distribusi F Distribusi t

DISTRIBUSI BINOMIAL  Suatu distribusi teoretis yg menggunakan variabel random diskrit yg tdr dr dua kejadian yg berkomplementer spt sukses-gagal, ya-tidak, baik-buruk, kepala-ekor dsb  Pengambilan sampel dilakukan dgn pengembalian

Ciri-ciri : 1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa spt ya-tidak, sukses-gagal 2. Probabilitas satu peristiwa adl tetap, tidak berubah utk setiap percobaan 3. Percobaannya bersifat independent artinya peristiwa dr suatu percobaan tdk mempengaruhi/ dipengaruhi peristiwa dlm percobaan lainnya 4. Jml/ banyaknya percobaan yg mrp komponen percobaan binomial hrs tertentu

Rumus binomial suatu peristiwa  Probabilitas suatu peristiwa dpt dihitung dgn mengalikan kombinasi susunan dgn probabilitas salah satu susunan

P( X  x)  b( x; n, p)  C . p .q n x

 x n p q

x

n x

Keterangan : = banyaknya peristiwa sukses = banyaknya percobaan = probabilitas peristiwa sukses = 1- p = probabilitas peristiwa gagal

Contoh soal  Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut: a. Mata dadu 5 muncul 1 kali b. Mata dadu genap muncul 2 kali c. Mata dadu 1 atau 4 muncul sebanyak 4 kali

Jawab  P= 1/6 ; q= 5/6; n= 4; x = 1 (muncul 1 kali) P (X=1) = = 4 .(1/6).(5/6)3 = 0.386 P = 3/6; q = ½; n =4; x =2 P(x=2) = = 6.(1/2)2.(1/2)2 = 0.375

Probabilitas binomial kumulatif  Probabilitas dr peristiwa binomial lebih dr satu sukses n

PBK   C xn . p x q n  x x 0 n

  P( X  x) x 0

 P ( X  0)  P ( x  1)  P ( x  2)  ...  P ( x  n)

Contoh soal  Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas : a. Paling banyak 2 org lulus b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3 c. Paling sedikit 4 diantaranya lulus

Jawab a) n =5 ; p =0.7 ; q =0.3; x = 0,1,dan 2 P(x <2 )= P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) b) n =5 ; p = 0.7; q=0.3; x = 2 dan 3 P(2<x<3) = P(x=2) + P(x=3)

c) n = 5; p = 0.7; q=0.3; x = 4 dan 5 P(X>4) = P(x=4) + P(x=5)

Rata-rata, Varians, Simpangan Baku Distribusi Binomial

rata  rata (  )  n . p var ians ( )  n . p . q 2

simpangan baku ( )  n . p . q

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK  Menggunakan variabel diskrit dgn 2 kejadian yg berkomplementer  Pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian

C xk C nNxk P( X  x)  h( x; N , n, k )  N Cn  Keterangan : N = ukuran populasi n = ukuran sampel k = banyaknya unsur yg sama pd populasi x = banyaknya peristiwa sukses

Contoh soal  Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 diantaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah? N = 50 ; n=4; k=5; x=2

 Distribusi hipergeometrik dpt diperluas. Jk dr populasi yg berukuran N terdpt unsur yg sama yi k1, k2,…dan dlm sampel berukuran n terdpt unsur yg sama x1, x2,... Dgn k1+k2+…= N dan x1+x2+…=n, distribusi hipergeometrik dirumuskan :

P( X  x1 , x 2 ,...) 

k1 x1

C C C

N n

k2 x2

DISTRIBUSI POISSON  Distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X yi banyaknya hasil percobaan yg tjd dlm suatu interval wkt tertentu/ di suatu daerah tertentu

Ciri-ciri  Banyaknya hsl percobaan yg tjd dlm suatu interval wkt/ suatu daerah tertentu tdk tgt pd banyaknya hsl percobaan yg tjd pd interval wkt/ daerah lain yg terpisah  Probabilitas tjdnya hsl percobaan slm suatu interval wkt yg singkat/ dlm suatu daerah kecil, sebanding dgn panjang interval wkt/ besarnya daerah tsb dan tdk bergantung pd banyaknya hsl percobaan yg tjd di luar interval wkt/ daerah tsb  Probabilitas lebih dr satu hsl percobaan yg tjd dlm interval wkt yg singkat/ dlm daerah yg kecil dpt diabaikan

Distribusi Poisson byk digunakan dlm hal: Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa mnrt satuan wkt, ruang, luas, panjang tertentu spt menghitung probabilitas dr : 1. Banyaknya telepon per menit/ banyaknya mobil yg lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan 2. Banyaknya bakteri dlm 1 tetes/ 1 L air 3. Banyaknya kesalahan ketik per halaman 4. Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama seminggu  Menghitung distribusi probabilitas binomial apabila nilai n besar (n ≥30) dan p kecil (p<0,1) 

Rumus probabilitas poisson suatu peristiwa

P( X  x) 

  x



x!

Keterangan :   rata  rata terjadinya suatu peristiwa   bilangan alam  2,71828

Contoh soal  Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tsb mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut? a. 0 lampu TL b. 3 lampu TL

Probabilitas terjadinya suatu kedatangan dirumuskan:

P( X  x) 



 t

(t ) x!

x

Keterangan :   tingkat keda tan gan rata  rata per satuan waktu t  banyaknya satuan waktu x  banyaknya keda tan gan dalam t satuan waktu

Probabilitas distribusi poisson kumulatif x 

 PPK   x! x 0 n

n

  P( X  x) x 0

 P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)  ....  P( X  n)

Contoh soal  Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tsb mengikuti distribusi poisson. a. Tentukan probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu b. Andaikata persediaan lampu sisa 3, berapa probabilitas permintaan lebih dari 3 lampu

Distribusi poisson sbg pendekatan distribusi binomial (np) .  P( X  x)  x! x

 np