SISTEM KENDALI OTOMATIS Fungsi Alih dan Diagram Blok

SISTEM KENDALI OTOMATIS Fungsi Alih dan Diagram Blok

Model Matematis Sistem • Persamaan matematis yang menunjukkan hubungan antara input dan output sistem. • Dengan mengetahui model matematisnya, maka tingkah laku sistem dapat dianalisa INPUT

U(S)

𝒀(𝒔) = 𝑮(𝒔) 𝑼(𝒔)

OUTPUT

G(s) Y(S)

Transfer Function / Fungsi Alih

Transfer Function/Fungsi Alih • Persamaan differensial suatu sistem yang menghubungkan output dengan input an y n  an1 y n1  ...  a1 y1  a0 y  bmu m  bm1u m1  ...  b1u1  b0u   Output, y ( t )

Input,u ( t )

• Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas dengan kondisi awal sama dengan nol

G( s)  Fungsi Transfer

Ly (t ) kondisi_ awalnol Lu (t ) kondisi_ awalnol

Y ( s) bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0 G( s)   U ( s) an s n  an1s n1  ...  a1s  a0

Transformasi Laplace Pers Differensial

• Linieritas

Laf t   aF s  L f1 t   f 2 t   F1 s   F2 s 

• Integrasi



L

F s   f 0 f t dt   dt s s



• Nilai awal • Differensiasi

 df t   L   sF s   f 0   dt   d 2 f t   df 0  2 L   s F s   f 0   2 dt  dt 

lim f t   lim sF s  t 0

s 

• Nilai akhir

lim f t   lim sF s  t 

s 0

• Pergeseran waktu

L f t     e  s F s  4

Contoh: Solusi Persamaan Differensial Diberikan persamaan differensial sbb:

d 2 yt  dyt   3  2 yt   5 f t  2 dt dt Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan: 1 s Y s   sy0  y´(0)  3sY s   3 y(0)  2Y ( s)  5 s 2

Fungsi unit step dari tabel transformasi Laplace

s 2Y s   s  2  3sY s   3  2Y ( s ) 

5 s s ( s 2  3s  2)Y ( s )   s 2  s  5

Menggunakan teorema differensiasi transformasi Laplace

Y (s) 

s s5 s ( s 2  3s  2) 2

Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers transformasi Laplace

5

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

 s2  s  5  s2  s  5 Y ( s)   2 s( s  3s  2) s( s  1)( s  2) Ekpansi dalam pecahan parsial, A B C  s2  s  5 Y ( s)     s ( s  1) ( s  2) s( s  1)( s  2)

Dimana A, B dan C adalah koefisien A  [ sY ( s )]s 0

 s2  s  5 5   ( s  1)( s  2) 2

B  [( s  1)Y ( s )]s  1

 s2  s  5   5 s ( s  2)

C  [( s  2)Y ( s )]s  2

 s2  s  5 3   s ( s  1) 2

6

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

5 5 3 Y ( s)    2s ( s  1) 2( s  2) Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

5 3  2t t y (t )   5e  e 2 2 Dengan t≥0

7

Diagram Blok Fungsi Transfer,

U(s)

G(s)

Y(s)

Diagram Blok suatu sistem

Y ( s) G( s)  U ( s)

 Hubungan antara output dan input suatu sistem dapat digambarkan dengan suatu blok (=diagram blok) yang mengandung fungsi transfer.  Diagram Blok merupakan “technical drawing” (atau standard drawing) suatu sistem kontrol  Dengan representasi diagram blok, keserupaan (similarity) berbagai tipe sistem kontrol dapat dipelajari.

8

Diagram Blok sistem tertutup: Ideal Titik Penjumlahan R(s)

+

Titik Percabangan E(s)

-

Y(s)

G(s)

B(s) H(s)

R(s)=Referensi sinyal input E(s)=Sinyal error [E(s)=R(s)-B(s)] G(s), H(s)=Fungsi Transfer B(s)= Sinyal feedback Y(s)=Sinyal output 9

Feed-forward Transfer Function, FFTF

Y ( s) FFTF   G( s) E ( s) Open-Loop Transfer Function, OLTF

B( s ) OLTF   G( s) H ( s) E ( s) Closed-Loop Transfer Function, CLTF

CLTF 

Y ( s) G( s)  R( s ) 1  G ( s ) H ( s )

Hubungan Input Output (Lihat Diagram Blok): Y(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s)-B(s) B(s)=H(s)Y(s) Atau Y(s)=G(s)[R(s)-H(s)Y(s)] Y(s)+G(s)H(s)Y(s)=G(s)R(s) (1+G(s)H(s))Y(s)= G(s)R(s) Atau,

G( s) Y ( s)  R( s ) 1  G( s) H ( s)

10

Diagram Blok sistem tertutup dengan gangguan D(s)

R(s)

+

E(s)

-

U1(s) G1(s)

+ +

U2(s)

G2(s)

Y(s)

B(s) H(s)

Jika dalam suatu sistem terdapat dua input (reference input dan gangguan), maka tiap input dapat diperlakukan independen, output yang berkorespondensi pada tiap input dapat dijumlahkan untuk menentukan output sistem keseluruhan.

Dr.-Ing. Mohamad Yamin

11

Response Y(s) terhadap gangguan D(s), YD ( s) G2 ( s)  D( s) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)

Response Y(s) terhadap referensi input R(s), dengan measumsikan gangguan sama degan nol

YR ( s) G1 ( s)G2 ( s)  R( s) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s) Total Response Y(s),

Y ( s)  YR ( s)  YD ( s) 

G2 ( s) [G1 ( s) R( s)  D( s)] 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)

12

• Buatlah Transfer Function-nya • Gambarkan diagram blok

* Persamaan Sistem ei  e0 i ; R

1 e0   idt C

* Transformasi Laplace dari persamaan Ei ( s)  E0 ( s) I ( s)  R

E0 ( s) 

1 I ( s) Cs

Diagram Blok dari Persamaan

E o (s ) 1  Ei (s) RCs  1

Diagram Blok: Seri

R(s)

Y(s) G1(s)

G2(s)

Gk(s) G(s)

Fungsi Transfer k

G ( s)   Gi ( s)  G1 ( s)G2 ( s)...Gk ( s) i 1

16

Paralel G1(s) R(s)

G2(s)

Gk(s)

+ + +

Y(s)

G(s)

Fungsi Transfer hubungan paralel: k

G( s)   Gi ( s)  G1 ( s)  G2 ( s)  ...  Gk ( s) i 1

17

Feedback R(s)

+

G1(s)

Y(s)

+G2(s)

G(s)

Fungsi Transfer

G( s) 

G1 ( s) 1  G1 ( s)G2 ( s) 18

Penyederhanaan Diagram Blok R

Y G

+

R

Y

+

+-

G

+-

B

Y

R

+ B

B

1/G

R

G

Y G

+B

+

+-

G

19

R

Y

R

Y

G

G Y

B

G

Y

R

R

G

Y G

R R

1/G

20

R

Y G

+

Y H

G/H

+-

+

+-

B

H

Y

R

+

R

G

+-

R

Y 1/H

+

GH

+-

H

21

Contoh1 Diagram blok dari suatu sistem diberikan seperti gambar berikut, Tentukan: a). Open-Loop Transfer Function, OLTF b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF R

+-

E

C

B

U

Y G

H

Jawab a). Open-Loop Transfer Function, OLTF

OLTF 

B( s )  C ( s)G( s) H ( s) E ( s)

b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF

CLTF 

Y ( s) C ( s)G ( s)  R( s) 1  C ( s)G( s) H ( s) 22

Contoh2 Sederhanakan diagram blok berikut: C1

R

+-

+ +-

C2

Y G1

G2

H1

H3

H2

23

Contoh2 Jawab

C1

R

+-

+ +-

C2

Y G1

G2

H1

H3

H2

24

Contoh2 Jawab

R

+-

C1+C2

G1 1+G1H1

Y G2

H2H3

R

+-

(C1+C2)G1G2 1+G1H1

Y

H2H3 25

Contoh2 Diagram Blok yang disederhanakan menjadi:

R

(C1+C2)G1G2 1+G1[H1+(C1+C2)G2H2H3]

Y

26

1. Dari pernyataan berikut, manakah pernyataan yang salah tentang transfer function/fungsi alih dari sistem kendali otomatis: a. Digunakan untuk menganalisa karakteristik dari perilaku sistem b. Menunjukkan hubungan antara input dan output dari sistem c. Dinyatakan dalam bentuk fungsi waktu (t) d. Merupakan transformasi laplace terhadap output dan input persamaan differensial dari sistem dengan kondisi awal sama dengan nol

1. Dari pernyataan berikut, manakah pernyataan yang salah tentang transfer function/fungsi alih dari sistem kendali otomatis: a. Digunakan untuk menganalisa karakteristik dari perilaku sistem b. Menunjukkan hubungan antara input dan output dari sistem c. Dinyatakan dalam bentuk fungsi waktu (t) d. Merupakan transformasi laplace terhadap output dan input persamaan differensial dari sistem dengan kondisi awal sama dengan nol

  df t 2. Transformasi laplace dari dengan dt kondisi awal sama dengan nol adalah a. sF(s)-f(0) b. sF(s) df 0  c. sF(s)dt d. sF(0)

  df t 2. Transformasi laplace dari dengan dt kondisi awal sama dengan nol adalah a. sF(s)-f(0) b. sF(s) df 0  c. sF(s)dt d. sF(0)

3. Transfer function dari diagram blok sistem loop tertutup berikut adalah R(s)

+

E(s)

-

Y(s) G(s)

B(s) H(s)

𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

a.

𝐺(𝑠) =

b.

𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

= 𝐺 𝑠 .𝐻 𝑠

c.

𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

=

𝐺(𝑠) 1+𝐺 𝑠 .𝐻(𝑠)

d.

𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

=

𝐺(𝑠) 1−𝐺 𝑠 .𝐻(𝑠)

3. Transfer function dari diagram blok sistem loop tertutup berikut adalah R(s)

+

E(s)

-

Y(s) G(s)

B(s) H(s)

𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

a.

𝐺(𝑠) =

b.

𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

= 𝐺 𝑠 .𝐻 𝑠

c.

𝒀(𝒔) 𝑹(𝒔)

=

𝑮(𝒔) 𝟏+𝑮 𝒔 .𝑯(𝒔)

d.

𝑌(𝑠) 𝑅(𝑠)

=

𝐺(𝑠) 1−𝐺 𝑠 .𝐻(𝑠)

Tugas 1. Tentukan transfer function dan gambarkan diagram blok dari rangkaian RLC berikut: ei

eo

Tugas 2. Sederhanakan diagram blok berikut

TERIMA KASIH