BAB 5 DIAGRAM BLOK SISTEM dan SIGNAL FLOW GRAPH
Bab 5 berisi tentang penurunan diagram blok untuk sistem yang kompleks serta penentuan fungsi transfer dari diagram blok secara langsung dan melalui teknik signal flow graph. Uraiannya mencakup penggambaran diagram blok sistem, jenis-jenis interkoneksi sistem, penurunan fungsi transfer dari diagram blok secara langsung, penggambaran signal flow graph dari suatu diagram blok, dan formula Mason. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk : • mengetahui tipe interkoneksi sistem. • menurunkan fungsi transfer dari diagram blok secara langsung. • menggambarkan signal flow graph dari suatu diagram blok sistem. • menerapkan formula Mason dalam menurunkan fungsi transfer.
1. Interkoneksi sistem Telah diketahui bahwa representasi diagram blok memudahkan kita dalam menganalisis sistem baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Dalam menggambarkan diagram blok suatu sistem terdapat beberapa bentuk baku yang mengandung informasi tertentu, yaitu : • kotak menunjukkan fungsi transfer subsistem / komponen dalam sistem • anak panah menyatakan aliran informasi atau data atau variabel • bulatan bertanda (disebut juga summing point) menggambarkan sebuah komparator atau penjumlah sinyal • take off point menandai sinyal umpan balik Perhatikan diagram blok berikut Ea
+
G(s)
Ia
kT
_
T
Θ0
N(s)
Em M(s) take off point komparator (summing point)
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
1
Ada beberapa cara dalam menginterkoneksikan sub sistem sehingga menjadi diagram blok, yaitu : • bentuk seri (cascade) • bentuk paralel • bentuk umpan balik Bentuk seri (cascade) digambarkan sebagai berikut
Fungsi transfer keseluruhan sistem dalam bentuk Y (s ) = H (s )U (s ) diberikan oleh H(s) = H2(s)H1(s). Bentuk paralel adalah sebagai berikut
Fungsi transfer keseluruhan sistem dalam bentuk Y (s ) = H (s )U (s ) diberikan oleh H(s) = H2(s) + H1(s). Kadang-kadang bagian keluaran sistem digambarkan dengan bulatan bertanda seperti gambar berikut +
=
Sedangkan bentuk umpan balik digambarkan sebagai berikut
Bentuk di atas sama dengan bentuk berikut U(s) + _
H1(s)
Y(s)
H2(s)
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
2
Fungsi transfer sistemnya dapat diturunkan dengan mengikuti arah anak panah di atas. Misalnya input ke blok dengan fungsi transfer H1(s) adalah E1(s) maka Y(s) = H1(s) E1(s) Karena E1(s) = U(s) – H2(s) Y(s), substitusi ke bentuk di atas menghasilkan Y(s) = H1(s) [ U(s) – H2(s) Y(s) ] atau H 1 (s ) Y (s ) = U (s ) 1 + H 1 (s )H 2 (s ) Fungsi transfer untuk bentuk umpan balik di atas disebut bentuk kanonik (dasar) dari sistem lingkar tertutup. Dapat dibuktikan dengan mudah, apabila tanda bagian umpan baliknya positif maka bentuk fungsi transfernya menjadi H 1 (s ) Y (s ) = U (s ) 1 − H 1 (s )H 2 (s ) Untuk menurunkan fungsi transfer dari sistem yang lebih kompleks, maka digunakan formula fungsi transfer untuk bentuk-bentuk dasar tersebut ditambah dengan sifat sistemnya.
2. Superposisi sistem linier Untuk sistem linier yang berarti memenuhi prinsip superposisi maka efek dari input yang berbeda dapat dijumlahkan secara langsung. Formula untuk menurunkan fungsi transfernya menggunakan bentuk-bentuk dasar di atas. Contoh kita ingin menentukan fungsi transfer diagram blok berikut
Sistem tersebut dapat dipandang sebagai dua sub sistem, yang satu memiliki input u(t) dan lainnya d(t). Untuk u(t) = 0, maka Y (s ) = H 2 (s )D(s ) Sedangkan untuk d(t) = 0, fungsi transfer dari u(t) ke y(t) berupa bentuk paralel dari dua bentuk seri, yang berbentuk Y (s ) = {H 1 (s )H 2 (s ) + H 3 (s )H 4 (s )}U (s ) Karena sistemnya memenuhi prinsip superposisi maka output keseluruhannya berbentuk Y (s ) = {H 1 (s )H 2 (s ) + H 3 (s )H 4 (s )}U (s ) + H 2 (s )D(s ) Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
3
Apabila didefinisikan H Y (s ) = H 1 (s )H 2 (s ) + H 3 (s )H 4 (s ) H D (s ) = H 2 (s ) maka
Y (s ) = H Y (s )U (s ) + H D (s )D(s ) Contoh lainnya, perhatikan diagram blok berikut
Dari bentuk tersebut didapat serangkaian persamaan
Apabila tidak terdapat bagian umpan balik atau hanya memiliki satu bagian umpan balik, penurunan fungsi transfer relatif mudah, lain halnya apabila terdapat bagian umpan balik atau diagramnya lebih kompleks lagi. Kita membutuhkan formulasi tertentu untuk menurunkan fungsi transfernya, yaitu formula Mason.
3. Formula Mason (1953) Formula Mason dapat digunakan untuk menurunkan fungsi transfer sebuah diagram blok dengan lingkar (loop) yang banyak, termasuk lingkar umpan balik serta jalur umpan maju (feedforward) yang banyak. Sebelum menerapkan formula ini, sebuah diagram blok terlebih dahulu harus diubah ke dalam representasi grafik aliran sinyal (signal flow graphs = SFG). SFG dapat didefinisikan sebagai penggambaran grafis yang menyatakan hubungan input-output antar variabel dari serangkaian persamaan aljabar linier. Sebagai contoh perhatikan sebuah SFG berikut
Z
a Y
X
b
Bentuk di atas menyatakan persamaan X = a Y + b Z. Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
4
Kesamaan penggambaran beberapa diagram blok dengan grafik aliran sinyal diperlihatkan pada gambar berikut :
U(s)
Y(s)
G(s)
U(s) +
=
U
G
Y(s)
H1(s)
_
Y
H2(s)
U
1
H1
1
Y
-H2
Ada beberapa istilah dalam SFG, yaitu sebagai berikut : • Titik/noktah (node) menandai variabel input, summing point, take off point, dan output. • Antar noktah dihubungkan dengan segmen garis beranak panah yang disebut cabang (branch). Setiap cabang memiliki arah dan penguatan. Arahnya dinyatakan oleh anak panah, sedangkan penguatannya ditandai dengan huruf di atas tanda anak panah dan menyatakan fungsi transfer antar variabel di antara noktah yang bersesuaian. • Sekumpulan cabang yang dilalui secara bersinambung membentuk lintasan (path). • Lintasan maju (path gain) adalah lintasan yang dimulai dari noktah input dan berakhir di noktah output dengan hanya sekali melintasi setiap noktah. • Lingkar (loop) adalah lintasan yang berasal dan berakhir di noktah yang sama dengan hanya sekali melintasi noktah lainnya. • Lingkar-sendiri (self-loop) adalah lingkar yang hanya mempunyai satu cabang. • Penguatan lintasan (path gain) adalah perkalian antar penguatan cabang dalam sebuah lintasan. • Penguatan lintasan-maju (forward-path gain) adalah penguatan lintasan dari sebuah lintasan maju. • Penguatan Lingkar (loop gain) adalah penguatan lintasan sebuah lingkar (loop). • Lingkar tak-bersentuhan (nontouching loop) adalah dua bagian suatu SFG yang tidak memakai noktah secara bersamaan. Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
5
Perhatikan sebuah SFG di bawah ini G
x1
A
x2
B
x3
F
C
x4
D
x5
E
Dengan istilah di atas, x1x2x3x4x5 dan x1x2x5 adalah dua buah lintasan maju, sedangkan x2x3x2 serta x3x4x3 adalah dua lingkar. ABCD dan AG adalah dua buah penguatan lintasan maju sedangkan BF dan CE adalah dua buah penguatan lingkar. Untuk menurunkan fungsi transfer diagram blok yang direpresentasikan dengan SFG, lakukan langkah-langkah berikut : • • •
•
•
Tentukan seluruh penguatan lintasan maju yang ada (Pi) Tentukan penguatan lingkar (Li) Nyatakan determinan (∆) SFG yang didefinisikan sebagai berikut : ∆ = 1 – {jumlah semua lingkar yang ada} + {jumlah perkalian dua lingkar tak-bersentuhan} – {jumlah perkalian tiga lingkar takbersentuhan} + ... Tentukan kofaktor (∆i) untuk masing-masing penguatan lintasan maju. Kofaktor didapat dari bentuk determinan dengan mencoret penguatan lingkar yang menyentuh lintasan majunya. Tentukan fungsi transfernya melalui formula Mason berikut : n
∑ P∆ i
Fungsi _ transfer =
i
1
∆
Misalnya langkah-langkah tersebut kita terapkan untuk mencari fungsi transfer SFG sebelumnya, maka didapat data berikut : • Penguatan lintasan maju P1 = ABCD P2 = AG • Penguatan lingkar L1 = BF L2 = CE Kedua lingkar tersebut bersentuhan di noktah x3 • Determinan SFG ∆ = 1 – (BF + CE) • Kofaktor lintasan maju ∆1 = 1; karena L1 dan L2 bersentuhan dengan P1 Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
6
∆2 = 1 - CE; karena L2 tidak bersentuhan dengan P2 •
Fungsi transfer 2
x5 = x1
∑ P∆ i
1
∆
i
=
P1∆1 + P2 ∆ 2 ABCD + AG (1 − CE ) = ∆ 1 − BF − CE
Sekarang perhatikan SFG berikut :
Penguatan lintasan majunya adalah P1 = H1H2 dan P2 = H3H4, sedangkan penguatan lingkarnya berupa 4 buah lingkar-diri yang berbentuk L1 = H5, L2 = H7H8, L3 = H9H10, dan L4 = H11. Karena L1 tidak bersentuhan dengan seluruh lingkar lain, serta L2 tidak bersentuhan dengan L4 maka determinannya berbentuk ∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4) + (L1L2 + L1L3 + L1L4 + L2L4) - (L1L2L4). Kofaktor untuk P1 berbentuk ∆1 = 1 – (L2 + L3 + L4) + ( L2L4) karena L1 menyentuh P1, sedangkan ∆2 = 1 – (L1 + L3 + L4) + ( L1L3 + L1L4) karena L2 menyentuh P2 . Dengan mendapatkan fungsi transfer dari sistem yang kompleks, maka kita bisa menganalisis perilaku sistem dari responnya terhadap input tertentu. Soal latihan : 1. Tentukan fungsi transfer model elektromekanis pada motor DC sesuai gambar 1 di atas melalui aljabar diagram blok dan representasi SFG. 2. Buat SFG untuk diagram blok di halaman 3, kemudian tentukan fungsi transfernya melalui formula Mason.
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
7
