SISTEM KENDALI OTOMATIS Fungsi Alih dan Diagram Blok
Model Matematis Sistem
• Persamaan matematis yang menunjukkan hubungan antara input dan output sistem. • Dengan mengetahui model matematisnya, maka tingkah laku sistem dapat dianalisa INPUT U(S)
( ) = ( ) ( )
OUTPUT
G(s) Y(S)
Transfer Function / Fungsi Alih
Transfer Function/Fungsi Alih • Persamaan differensial suatu sistem yang menghubungkan output dengan input an y n an 1 y n 1 ... a1 y1 a0 y bmu m bm 1u m 1 ... b1u1 b0u Output , y ( t )
•
Input ,u ( t )
Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas dengan kondisi awal sama dengan nol
G (s) Fungsi Transfer
Ly (t ) kondisi _ awal nol Lu (t ) kondisi _ awal nol
Y ( s ) bm s m bm 1s m 1 ... b1s b0 G (s) U ( s ) an s n an 1s n 1 ... a1s a0
Transformasi Laplace Pers Differensial • Linieritas
Laf t aF s L f1 t f 2 t F1 s F2 s
• Integrasi
L
F s f t dt s
f 0 dt s
• Nilai awal • Differensiasi
df t L sF s f 0 dt d 2 f t df 0 2 L s F s f 0 2 dt dt
lim f t lim sF s t 0
s
• Nilai akhir
lim f t lim sF s t
s0
• Pergeseran waktu
L f t e s F s 4
Contoh: Solusi Persamaan Differensial Diberikan persamaan differensial sbb:
d 2 y t dy t 3 2 y t 5 f t 2 dt dt Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan: 1 s Y s sy 0 y´(0) 3sY s 3 y ( 0) 2Y ( s ) 5 s 2
Fungsi unit step dari tabel transformasi Laplace
s 2Y s s 2 3 sY s 3 2Y ( s )
5 s s ( s 2 3 s 2 )Y ( s ) s 2 s 5
Menggunakan teorema differensiasi transformasi Laplace
Y (s)
s s5 s ( s 2 3s 2) 2
Solusi dalam domain t diperoleh dengan invers transformasi Laplace
5
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
s2 s 5 s2 s 5 Y (s) 2 s ( s 3s 2) s ( s 1)( s 2) Ekpansi dalam pecahan parsial, A B C s2 s 5 Y (s) s ( s 1) ( s 2 ) s ( s 1)( s 2 )
Dimana A, B dan C adalah koefisien A [ sY ( s )] s 0
s2 s 5 5 ( s 1)( s 2) 2
B [( s 1)Y ( s )] s 1
s2 s 5 5 s ( s 2)
C [( s 2)Y ( s )] s 2
s2 s 5 3 s ( s 1) 2
6
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
5 5 3 Y (s) 2 s ( s 1) 2 ( s 2 ) Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
5 3 2t t y (t ) 5e e 2 2 Dengan t≥0
7
Diagram Blok Fungsi Transfer, U(s)
G(s)
Y(s)
Diagram Blok suatu sistem
Y (s) G (s) U (s)
Hubungan antara output dan input suatu sistem dapat digambarkan dengan suatu blok (=diagram blok) yang mengandung fungsi transfer. Diagram Blok merupakan “technical drawing” (atau standard drawing) suatu sistem kontrol Dengan representasi diagram blok, keserupaan (similarity) berbagai tipe sistem kontrol dapat dipelajari.
8
Diagram Blok sistem tertutup: Ideal Titik Penjumlahan R(s)
+
Titik Percabangan E(s)
-
Y(s) G(s)
B(s) H(s)
R(s)=Referensi sinyal input E(s)=Sinyal error [E(s)=R(s)-B(s)] G(s), H(s)=Fungsi Transfer B(s)= Sinyal feedback Y(s)=Sinyal output 9
Feed-forward Transfer Function, FFTF
Y (s) FFTF G (s) E (s) Open-Loop Transfer Function, OLTF
B(s) OLTF G (s) H (s) E (s) Closed-Loop Transfer Function, CLTF
CLTF
Y (s) G (s) R(s) 1 G (s) H (s)
Hubungan Input Output (Lihat Diagram Blok): Y(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s)-B(s) B(s)=H(s)Y(s) Atau Y(s)=G(s)[R(s)-H(s)Y(s)] Y(s)+G(s)H(s)Y(s)=G(s)R(s) (1+G(s)H(s))Y(s)= G(s)R(s) Atau,
G (s) Y (s) R(s) 1 G (s) H (s)
10
Diagram Blok sistem tertutup dengan gangguan D(s)
R(s)
+
E(s)
-
U1(s) G1(s)
+ +
U2(s)
G2(s)
Y(s)
B(s) H(s)
Jika dalam suatu sistem terdapat dua input (reference input dan gangguan), maka tiap input dapat diperlakukan independen, output yang berkorespondensi pada tiap input dapat dijumlahkan untuk menentukan output sistem keseluruhan.
Dr.-Ing. Mohamad Yamin
11
Response Y(s) terhadap gangguan D(s), YD ( s ) G2 ( s ) D ( s ) 1 G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
Response Y(s) terhadap referensi input R(s), dengan measumsikan gangguan sama degan nol
YR ( s ) G1 ( s )G 2 ( s ) R ( s ) 1 G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s ) Total Response Y(s),
Y ( s ) YR ( s ) YD ( s )
G2 ( s ) [G1 ( s ) R ( s ) D ( s )] 1 G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
12
• Buatlah Transfer Function-nya • Gambarkan diagram blok
* Persamaan Sistem ei e0 i ; R
1 e0 idt C
* Transformasi Laplace dari persamaan Ei ( s ) E0 ( s ) I (s) R
E0 ( s )
1 I (s) Cs
Diagram Blok dari Persamaan
E o (s ) 1 E i (s) RCs 1
Diagram Blok: Seri
R(s)
Y(s) G1(s)
G2(s)
Gk(s) G(s)
Fungsi Transfer k
G ( s ) Gi ( s ) G1 ( s )G 2 ( s )...G k ( s ) i 1
16
Paralel G1(s) R(s) G2(s)
Gk(s)
+ + +
Y(s)
G(s)
Fungsi Transfer hubungan paralel: k
G ( s ) Gi ( s ) G1 ( s ) G 2 ( s ) ... G k ( s ) i 1
17
Feedback R(s)
+
G1(s)
Y(s)
+G2(s)
G(s)
Fungsi Transfer
G (s)
G1 ( s ) 1 G1 ( s )G 2 ( s ) 18
Penyederhanaan Diagram Blok R
Y G
+
R
Y
+
+-
G
+-
B
Y
R
+ B
B
1/G
R
G
Y G
+B
+
+-
G
19
R
Y
R
Y
G
G Y B
G
Y
R
R
G
Y G
R R
1/G
20
R
Y G
+
Y H
G/H
+-
+
+-
B
H
Y
R
+
R
G
+-
R
Y 1/H
+
GH
+-
H
21
Contoh1 Diagram blok dari suatu sistem diberikan seperti gambar berikut, Tentukan: a). Open-Loop Transfer Function, OLTF b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF R
+-
E
C
B
U
Y G
H
Jawab a). Open-Loop Transfer Function, OLTF
OLTF
B(s) C ( s )G ( s ) H ( s ) E (s)
b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF
Y (s) C ( s )G ( s ) CLTF R ( s ) 1 C ( s )G ( s ) H ( s ) 22
Contoh2 Sederhanakan diagram blok berikut: C1 R
+-
+ +-
C2
Y G1
G2
H1
H3
H2
23
Contoh2 Jawab
C1 R
+-
+ +-
C2
Y G1
G2
H1
H3
H2
24
Contoh2 Jawab
R
+-
C1+C2
G1 1+G1H1
Y G2
H2H3
R
+-
(C1+C2)G1G2 1+G1H1
Y
H2H3 25
Contoh2 Diagram Blok yang disederhanakan menjadi:
R
(C1+C2)G1G2 1+G1[H1+(C1+C2)G2H2H3]
Y
26
Tugas 1. Tentukan transfer function dan gambarkan diagram blok dari rangkaian RLC berikut: ei
eo
Tugas 2. Sederhanakan diagram blok berikut
TERIMA KASIH
