SISTEM BILANGAN REAL
Purnami E. Soewardi Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Himpunan Bilangan Asli (N) Bilangan asli adalah bilangan yang pertama kali dikenal dan digunakan oleh manusia dalam kebutuhannya untuk membilang Himpunan bilangan Asli N = 1, 2, 3, 4, ...
Himpunan Bilangan Cacah Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli digabung dengan nol
Himpunan bilangan cacah = 0, 1, 2, 3, ...
Himpunan Bilangan Bulat (Z) Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan asli dan negatif bilangan asli, dan nol
Himpunan bilangan bulat Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Himpunan Bilangan Rasional Bilangan rasional atau bilangan pecahan adalah bilangan yang didefinisikan sebagai a/b; a dinamakan pembilang, b dinamakan penyebut; a, b Z; b 0. Himpunan bilangan pecahan =
1 1 1 4 , ,0, , , , 2 2 3 5
Bilangan Irrasional Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a, b Z, dan b 0
1 Himpunan bilangan irrasional = , 3 ,0, , log 15, 8 , 2
Himpunan Bilangan Real (R) Himpunan bilangan real adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irrasional. Bilangan real biasanya direpresentasikan sebagai sebuah garis bilangan
Himpunan Bilangan Real (R)
-2 3 2
-1 3
4
0
log 7 1
2
2
Himpunan Bilangan Real adalah Medan Himpunan bilangan real adalah suatu medan (field). Hal ini berarti: Himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan membentuk grup komutatif. Himpunan bilangan real tanpa elemen nol, dengan operasi perkalian membentuk grup komutatif. Berlaku hukum distributif.
Grup Himpunan A dengan suatu operasi # adalah suatu grup apabila dipenuhi aksioma-aksioma: 1. A ≠ Ø 2.Tertutup terhadap operasi # 3.Berlaku sifat asosiatif terhadap operasi # 4.Mempunyai identitas terhadap operasi # 5.Setiap elemen di A mempunyai invers terhadap operasi #
; Grup Komutatif: 1. 2.
sebab 0 . Tertutup terhadap operasi penjumlahan (+): Misalkan a, b sebarang, maka a b .
3.
Berlaku sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan: Misalkan a, b, c sebarang, maka a b c a b c .
4.
Mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, yaitu nol (0): Misalkan a sebarang, maka a 0 0 a a .
; Grup Komutatif: 5.
6.
Setiap elemen di mempunyai balikan (invers) terhadap operasi penjumlahan: Misalkan a sebarang, maka terdapat a edemikian sehingga a a a a 0 .
Selanjutnya,
; adalah grup komutatif, karena:
Misalkan a, b sebarang, maka a b b a .
\ 0; x Grup Komutatif: 1. 2.
sebab 1 . Tertutup terhadap operasi perkalian (x): Misalkan a, b sebarang, maka a x b .
3.
Berlaku sifat asosiatif terhadap operasi perkalian: Misalkan a, b, c sebarang, maka ab x c a x bc .
4.
Mempunyai elemen identitas terhadap operasi perkalian, yaitu satu (1): Misalkan a sebarang, maka a x 1 1 x a a .
\ 0; x Grup Komutatif: 5.
Setiap elemen di mempunyai balikan (invers) terhadap operasi perkalian: Misalkan a sebarang, maka terdapat a 1 sedemikian
sehingga a x a 1 a 1 x a 1 .
6.
Selanjutnya, ; x adalah grup komutatif, karena: Misalkan a, b sebarang, maka a x b b x a .
Hukum Distributif: Misalkan a, b, c sebarang, maka dipenuhi:
ab c ab ac dan b ca ba ca
Latihan Grup 1. Pandang : a M A c
b d
a, b, c, d R
Buktikan bahwa (M; + ) adalah suatu grup!
Latihan Grup 2. Pandang :
P
2
m n
3
m, n Z
Buktikan bahwa (P; x ) adalah suatu grup!
Latihan Grup 3. Lengkapilah Tabel Cayley berikut ini :
* a
b c
a
b b
c
Latihan Grup *
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
Latihan Grup 4.
Pandang pemetaan : αa,b : R R x ax + b S = { αa,b | a,b Є R } Definisikan operasi komposisi ( o ) dengan : (αa,b o αc,d )(x) = αa,b (αc,d (x)) = αa,b (cx+d) = a(cx+d)+b = acx+(ad+b) = αac,(ad+b) (x) untuk setiap x Є R dan setiap αa,b , αc,d Є S Buktikan bahwa (S; o ) adalah suatu grup!
Sifat-sifat Urutan 1. Trikotomi: Misalkan a, b , maka pasti berlaku satu diantara yang berikut ini:
a b atau a b atau a b . 2. Ketransitifan: Misalkan a, b, c . Jika a b dan b c , maka a c . 3. Penambahan: Misalkan a, b, c . Maka: a b a c b c . 4. Perkalian: Misalkan a, b, c . Jika c 0 , maka a b ac bc . Jika c 0 , maka a b ac bc . ( Ket: Sifat-sifat 2, 3, dan 4 juga berlaku untuk lambang dan ).
Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan adalah himpunan yang elemennya terdiri dari semua elemen di himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Nilai Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan oleh x , didefinisikan sebagai : x x x
jika x 0 jika x 0
Sifat-sifat Nilai Mutlak 1. ab a b
2.
a a b b
3. a b a b
4. a b a b
( ketaksamaan segitiga)
Sifat-sifat Nilai Mutlak 1.
a2 a
2. a
2
a2
3. a b a2 b2
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, buktikan: ab a b
Pertidaksamaan yang Menyangkut Nilai Mutlak x a x a
a x a
x a atau x a
Latihan Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan - pertidaksamaan berikut dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya! 1.
3x 2 x 2 0
2.
x 1 0 x2
3.
2x 5 1 x2
4.
x 1x 12 x 3 0
x 5. 2 6 3 5 6. 2 1 x 7. 2x 5 x 4 8. 3x 1 2 x 6
Operasi-operasi pada Bilangan Real Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian Operasi Pembagian
Operasi Penjumlahan & Pengurangan Pada Bilangan Bulat
13 19 32
15 11 4
4 10 6
Operasi Penjumlahan & Pengurangan Pada Bilangan Pecahan i) Jika penyebutnya sama, maka a, b, c, d sebarang berlaku:
a b ab c c c
a b ab c c c
Contoh:
1 3 1 3 4 5 5 5 5
5 1 5 1 4 6 6 6 6
Operasi Penjumlahan & Pengurangan Pada Bilangan Pecahan ii)
Jika penyebutnya tidak sama, maka a, b, c, d sebarang berlaku :
a c ad bc b d bd
a c ad bc b d bd
Contoh:
2 5 2 7 3 5 14 15 29 3 7 3 7 21 21
3 2 3 9 2 5 27 10 17 5 9 5 9 45 45
Operasi Penjumlahan & Pengurangan Pada Bilangan Irrasional i) Menyederhanakan bentuk akar
ab a x b Contoh:
24
3 8
3 8
Operasi Penjumlahan & Pengurangan Pada Bilangan Irrasional ii) Menjumlahkan dan mengurangkan bentuk akar
a c b c a b c
a c b c a b c
Contoh:
2 6 3 6 2 3 6 5 6
3 5 4 5 3 4 5 7 5
Operasi Perkalian Pada Bilangan Bulat Misalkan a, b
a x b ab
a x b ab
a x b ab a x b ab
Operasi Pembagian Pada Bilangan Bulat Misalkan a, b ; b 0
a a: b b
a a : b b
a : b a
a x b a
b
b
Operasi Perkalian & Pembagian Pada Pecahan Misalkan a, b, c, d
1 1 1 , x a b ab
a c ac , x b d bd
a c a d ad , dengan b 0 , c 0 , dan d 0 : x b d b c bc
dengan a 0 dan b 0 dengan b 0 dan d 0
Contoh:
1 1 1 1 x 4 5 4 5 20
2 4 2 4 8 x 3 5 3 5 15
3 5 3 6 3 6 18 : x 4 6 4 5 4 5 20
Operasi Perkalian Pada Bilangan Irrasional i) Perkalian bentuk akar Misalkan a, b, c, d
a b x c d a x c bd a x a a2 a
Contoh:
2 7 x 5 6 2 x 5 7 6 10 42 3 x 3 32 3
Operasi Perkalian Pada Bilangan Irrasional ii)
Merasionalkan penyebut suatu pecahan Misalkan a, b, k
a b
=
k a b
a
x
b =
k a b
a b = = b b b2
k a b =
a b
b
x
a b a b
k a b
x
=
k(a b) a2 b
a b a b
=
k( a b) ab
Operasi Perkalian Pada Bilangan Irrasional Contoh:
3 7
4 3 2
3 7
3 2 5
7 7
4 3 2
3 7
3 7 7 72
3 2 3 2
3 2 5
43 2 32 2
2 5 2 5
43 2 5
3 2 5 3 2 5 25 3
Operasi Perkalian Pada Bilangan Berpangkat Misalkan : a, b, m, n ; a 0 ; b 0 ; m 0 ; n 0 ; m n n
n
n ab
a b
a m a n a m n
a
a0 1
n
m n
a mn
am
m an
Operasi Pembagian Pada Bilangan Berpangkat Misalkan a, b, m, n ; a 0 ; b 0 ; m 0 ; n 0 ; m n
1 am am an
an
am amn
a bn b
n
Persamaan Eksponen Bentuk umum persamaan eksponen: a f x a g x f x g x
dengan a ; a 0 .
Contoh:
Sederhanakan bentuk berikut: o
3
2
a
3a
2 3
3
3 a 3a 2 2 3
a
5 4
323 a 23 3 4 a 3 4 a 5 4 3 6 3 4 a 6 a 12 a 20
3 5 4
a
3 6 4 a 6 12 20 310 a14
Logaritma Misalkan a, b, c, d ; b 0
a c b a log b c
a
log 1 0
a
log a 1
a
log a n n
a
log b n n a log b
a
log b c a log b a log c
Logaritma
a
log b a log b a log c c
a
a log b b a
a
a
log b
log b c
t
log b
t
log a
, t bilangan sembarang
1 b
log a
log b d a log
d bc
d a log b c
Persamaan Logaritma Bentuk umum: a
log f x
a
log g x f x g x
Contoh:
Sederhanakan bentuk berikut: o
3
3
log 36 3 log 15 3 log 27
log 36 3 log 15 3 log 27
log 20 .... log 3
log 20 3 log 4 3 2 3 log3 5 3 log 3 3 3 log4 5 log 3
3 log 4 2 0
3
log 5 1 3
3
log 4 3 log 5
Mengubah Bentuk Pecahan Menjadi Bentuk Desimal Mengubah Bentuk Pecahan Menjadi Bentuk Desimal Contoh : 0,4
2 =… 5
5
2 0 20 20 0
Mengubah Bentuk Desimal Menjadi Bentuk Pecahan
Contoh :
2 1 0,2 = = 5 10
Mengubah Bentuk Desimal Menjadi Bentuk Persen Pengubahan bentuk desimal menjadi bentuk persen dilakukan dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan 100 %. Contoh : 0,05 = 0,05 x 100 % = (0,05 x 100 %) = 5 %
Mengubah Bentuk Persen Menjadi Bentuk Desimal Pengubahan bentuk persen menjadi bentuk desimal dilakukan dengan cara mengganti tanda persen (%) menjadi perseratus, kemudian menjadi desimal. Contoh :
10 1 10 % = = = 0,1 100 10
Mengubah Bentuk Pecahan menjadi Bentuk Persen Pengubahan bentuk pecahan menjadi bentuk persen dilakukan dengan cara mengalikan bilangan itu dengan 100 %. Contoh :
100 1 1 = x 100 % = % = 50 % 2 2 2
Mengubah Bentuk Persen Menjadi Bentuk Pecahan Pengubahan bentuk persen menjadi bentuk pecahan dapat dilakukan dengan mengganti tanda % menjadi perseratus. Contoh : 10 % =
1 10 = 100 10
Aplikasi Persen pada Bidang Bisnis Contoh: Seorang pedagang menjual barang dengan harga Rp. 500.000,00 dan memperoleh keuntungan 25 %. Berapa besar modal yang dibutuhkan pedagang tersebut ?
Aplikasi Persen pada Bidang Bisnis Jawab: Untung = penjualan – pembelian Misalkan : Pembelian = x % untung = 25 % =
penjualan pembelian x 100 % pembelian
(500.000 x) x 100 % x
25 x = (500.000 – x) 100 25 x = 50.000.000 – 100x 125 x = 50.000.000
x = 400.000 Jadi besar modal yang dibutuhkan pedagang tersebut sebesar Rp 400.000,00.
Perbandingan (Skala) Perbandingan dua besaran dapat dilakukan apabila keduanya sejenis, artinya kedua besaran itu mempunyai satuan ukuran yang sama, misalnya cm, dm, m, km, mg, g, kg, dll.
Perbandingan (Skala) Volume (liter)
Harga (rupiah)
1 (misal = a)
700 (misal = c)
2
1.400
3
2.100
4 (misal = b)
2.800 (misal = d)
5
3.500
Peta dan model berskala Penyelesaian soal-soal mengenai peta dan model berskala dapat diselesaikan dengan menggunakan perbandingan senilai. Contoh: 1. Jarak antara Jakarta dan Solo dalam peta adalah 5 cm. Peta tersebut memiliki perbandingan 1 : 12.000.000. Berapakah jarak antara Jakarta dengan Solo yang sebenarnya? Jawab: Jarak 1 cm peta = 12.000.000 cm jarak sebenarnya (js). Jarak 5 cm peta = 5 x 12.000.000 = 60.000.000 cm js. Jadi, jarak antara Jakarta dengan Solo yang sebenarnya adalah 600 km.
Desimal Setiap bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk desimal.
1 0,5 2 3 0,375 8
13 1,181818 11 3 0,428571428571428571 7
Desimal Bilangan-bilangan rasional juga dapat ditulis dalam bentuk desimal.
2 1,4142135623 3 1,7320508075
3,1415926535 log 6 0,778151250383644
Desimal Jadi, bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Kebalikan dari pernyataan ini juga benar, yaitu setiap desimal yang berulang menyatakan suatu bilangan rasional. x 0,136136136 1000x 136,136136 1000x x 136,136136 0,136136
999x 136 136 . x 999
Desimal dan Kerapatan Secara umum, pertama-tama kita kalikan suatu desimal berulang x dengan
10 m
jika desimal tersebut berulang dalam
suatu pola yang terdiri dari m angka. Bilangan irrasional ditulis dalam bentuk desimal yang tidak berulang menurut suatu pola. Suatu desimal yang tidak berulang pasti menyatakan suatu bilangan irrasional.
Kerapatan Diantara dua bilangan real sebarang yang berlainan x dan y, terdapat suatu bilangan real lain (misalnya z
x y , 2
adalah bilangan pertengahan antara x dan y ). Karena di antara setiap dua bilangan real yang berlainan terdapat bilangan real lain, maka diantara setiap dua bilangan real yang berbeda terdapat tak berhingga banyaknya bilangan real lainnya.
Kerapatan Sebagai contoh, kita akan mencari bilangan rasional dan irrasional di antara:
x 0,31234158 dan y 0,31234200 : Misalkan bilangan itu adalah bilangan rasional z 0,31234160000 dan bilangan irrasional w 0,3123416010010001 . Dapat kita lihat bahwa: x z w y .
