Simulasi Persamaan Gelombang

Simulasi Persamaan Gelombang Oleh: Mohammad Jamhuri

December 15, 2013

Oleh: Mohammad Jamhuri

Simulasi Persamaan Gelombang

Soal 1

Perhatikan persamaan gelombang utt = uxx , untuk 0 ≤ x ≤ 10, dengan syarat batas ux (0, t) = 0 dan u (10, t) = 0, dan syarat awal ut (x, 0) = 0 dan ( 2 (x − 3)2 (x − 7)2 , 3 ≤ x ≤ 7 u (x, 0) = 16 0, untuk x lainnya Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula hampiran orde-2 untuk menaksir u (x, ∆t) , juga untuk syarat batas kiri. Jika dipilih ∆x = 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut u (x, 0)

=

0

0

0

0

1

2

1

0

0

0

0

Hitung u (x, t) untuk beberapa selang waktu (hand-calculation), pilih ∆t = 1. Apa yang anda lihat pada batas? Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelombang pecahannya menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amatilah! Kerjakan soal (c) namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal ( 1, |x − 5| ≤ 1 ut (x, 0) = 0, x lainnya



Jawaban Soal 1.b

Jawaban Soal 1.a Skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang diatas adalah n n ujn+1 = S uj+1 + uj−1 + 2 (1 − S) ujn − ujn−1

(1)

dengan ∆t 2 S= ∆x 2 Hampiran orde-2 untuk syarat awal ut (x, 0) = 0 adalah uj1 − uj−1

untuk ∆x = ∆t = 1, maka S = 1 dan persamaan (1), menjadi n n ujn+1 = uj+1 + uj−1 − ujn−1

untuk j = 0, dan n = 0 maka 0 u(−1) = u10

dan

u0−1 = u01

∆t uj−1 = uj1

(6)

untuk n = 0, dan j = 1 · · · (Mx − 1), berlaku (2)

Hampiran orde-2 untuk syarat batas kiri ux (0, t) = 0 adalah n u1n − u−1 =0 2∆t n u(−1) = u1n

(5)

substitusikan (5) ke persamaan (4) untuk n = 0, dan j = 0 diperoleh u01 = u10

=0

(4)

(3)


0 uj1 = uj+1 + uj−1 − uj−1

dengan mensubstitusikan (2) pada persamaan diatas diperoleh uj1 =

0 + u0 uj+1 j−1


2

(7)

Jawaban soal 1.b untuk n = 1 · · · Nt dan j = 0, berlaku n u0n+1 = u1n + u−1 − u0n−1

dan dengan mensubstitusikan (3) pada persamaan diatas diperoleh u0n+1 = 2u1n − u0n−1

(8)

Dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas (6), (7), dan (8) diperoleh hasil sebagai berikut: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 t/x

0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0.5 1 1 1 0.5 0 0 0 1

0 0 0.5 1 0.5 0 0.5 1 0.5 0 0 2

0 0.5 1 0.5 0 0 0 0.5 1 0.5 0 3

0 1 0.5 0 0 0 0 0 0.5 1 1 4


0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5

0 −1 −0.5 0 0 0 0 0 0.5 1 1 6

0 −0.5 −1 −0.5 0 0 0 0.5 1 0.5 0 7

0 0 −0.5 −1 −0.5 0 0.5 1 0.5 0 0 8


0 0 0 −0.5 −1 0 1 0.5 0 0 0 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10

Jawaban Soal 1.c Persamaan beda untuk persamaan gelombang utt = uxx adalah n n + uj−1 + 2 (1 − S) ujn − ujn−1 , ujn+1 = S uj+1 untuk j = 0, dan n = 0, maka persamaan (9) menjadi 0 u01 = S u10 + u−1 + 2 (1 − S) u00 − u0−1 (10) substitusikan persamaan (2) untuk j = 0, dan persamaan (3) untuk n = 0 pada persamaan (10), diperoleh u01 = S u10 + u10 + 2 (1 − S) u00 − u01 2u01 = 2Su10 + 2 (1 − S) u00

S=

∆t 2 ∆x 2

(9)

dengan menggunakan (2), persamaan (12) menjadi uj1 =

S 0 0 u + uj−1 + (1 − S) uj0 2 j+1

(13)

untuk j = 0 dan n = 2 · · · Nt persamaan (9) menjadi n u0n+1 = S u1n + u−1 +2 (1 − S) u0n − u0n−1 (14)

atau u01 = Su10 + (1 − S) u00

(11)

untuk n = 0 dan j = 1 · · · (Mx − 1) persamaan (9) menjadi 0 0 uj1 = S uj+1 + uj−1 + 2 (1 − S) uj0 − uj−1 (12) Oleh: Mohammad Jamhuri

dengan menggunakan (3), persamaan (14) menjadi u0n+1 = 2Su1n + 2 (1 − S) u0n − u0n−1 Simulasi Persamaan Gelombang

(15)

Simulasi Soal 1.c

Hasil Simulai



Simulasi Soal 1.d

Hasil Simulasi



Soal 2: Strauss subbab 2.3 No. 2

Soal 2 Consider a solution of the diffusion equation ut = uxx in {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t < ∞} . 1

Let M (T ) = the maximum of u (x, t) in the closed rectangle {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } . Does M (T ) increase or decrease as a function of T ?

2

Let m (T ) = the minimum of u (x, t) in the close rectangle {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } . Does m (T ) increase or decrease as a function of T ?

Jawaban Soal 2 1

Dengan menggunakan prinsip maksimum, nilai maksimum terdapat pada x = 0, atau x = l, atau t = 0. Andaikan nilai maksimum tersebut terdapat pada sisi-sisi persegi panjang {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } untuk t = S > T , maka M (T ) ≤ M (S) sehingga M (T ) tidak akan turun. Jadi M (T ) naik dalam fungsi waktu.

2

Dengan menggunakan prinsip maksimum, nilai minimum terdapat pada x = 0, atau x = l, atau pada t = 0. Andaikan nilai minimum tersebut terdapat pada sisi-sisi persegi panjang {0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T } untuk t = S > T , maka m (T ) > m (S) . Sehingga m (T ) tidak akan naik. Jadi m (T ) turun dalam fungsi waktu.



Soal No. 7 (Strauss Subbab 2.3)

Soal 3 1

More generally, if ut − kuxx = f , vt − kvxx = g , f ≤ g , and u ≤ v at x = 0, x = l and t = 0, prove that u ≤ v for 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t < ∞.

2

If vt − vxx ≥ sin x for 0 ≤ x ≤ π, 0 < t < ∞, and if v (0, t) ≥ 0, v (π, t) ≥ 0 and v (x, 0) ≥ sin x, use part (1) to show that v (x, t) ≥ (1 − e −t ) sin x.

Jawaban Soal 3 Misalkan w = u − v dan dengan menggunakan prinsip maksimum, jika wt − wxx ≤ 0 in R = [0, l] × [0, T ] , maka max w (x, t) = R


max

x=0,x=l ,t=0

w (x, t)


Soal No 8 (Strauss Subbab 2.3)

Soal 4 Consider the diffusion equation on (0, l) with the Robin boundary conditions ux (0, t) − a0 u (0, t) = 0 dan ux (l, t) + al u (l, t) = 0. If a0 > 0 and al > 0, use the energy ´l method to show that the endpoints contribute to the decrease of 0 u 2 (x, t) dx. (This is interpreted to mean that part of the “energy” is lost at the boundary, so we call the boundary conditions “radiating” or “dissipative.”)



Jawaban Soal 4

uux |l0

Dengan menngunakan metode energy dan ux (0, t) − a0 u (0, t) = ux (l, t) + al u (l, t) = 0. 0

=

ut − uxx

=

(ut − uxx ) u

=

uut − uuxx

= =

1 2 u t − (uux )x + (ux )2 2 ˆ ˆ l 1 l 2 u t dx − (uux )x dx 2 0 0 ˆ l + (ux )2 dx 0

=

ˆ l 1 ∂ u 2 dx − uux |l0 2 ∂t 0 ˆ l + (ux )2 dx 0


u (l, t) (−al u (l, t))

=

−u (0, t) a0 u (0, t) −al u 2 (l, t) − a0 u 2 (0, t)

=

0 0

u (l, t) ux (l, t) − u (0, t) ux (l, t)

=

ˆ l 1 ∂ u 2 dx + al u 2 (l, t) + a0 u 2 (0, t) 2 ∂t 0 ˆ l + (ux )2 dx

=

0

∂ ∂t

ˆ

l

ˆ u 2 dx

=

−2

0

l

(ux )2 − 2al u 2 (l, t)

0

−2a0 u 2 (0, t) Karena al , dan a0 positif, maka ruas kanan dari persamaan diatas selalu negatif, sehingga dapat disimpulkan bahwa energinya selalu turun.


Kode Program

Figure: Oleh: Mohammad Jamhuri


Figure:



Simulasi Persamaan Gelombang

Recommend Documents