Dinamika Gelombang Cnoidal di Atas Dasar Tak Rata Menggunakan Persamaan Gelombang Dua Arah Boussinesq

JMS Vol. 2 No. 2, hal. 87 - 98, Oktober 1997

Dinamika Gelombang Cnoidal di Atas Dasar Tak Rata Menggunakan Persamaan Gelombang Dua Arah Boussinesq Warsoma Djohan Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesa 10 Bandung, 40132 Diterima tanggal 19 Juni 1997, disetujui untuk dipublikasikan 19 September 1997

Abstract Waves over uneven bottom which are running in two directions are governed by Boussinesq equations. When the bottom is flat, the Boussinesq equations have a periodic travelling wave solution, i.e. a solution which is running undisturbed in shape and velocity. This travelling wave is called a cnoidal wave. In this research the distortion of a cnoidal wave due to decreasing depth will be studied numerically. A cnoidal wave is initially running above flat bottom, then the depth decreases and flat again with depth h1 (< h0). First, a cnoidal wave is constructed as solution of the constrained critical point problem, i.e. finding the extremism of energy with constraints momentum and mass. Then the Boussinesq equations are discritized using the direct Fourier truncation method. Numerical simulation shows that the cnoidal wave constructed above is indeed a travelling wave solution. By choosing h1 to be the eigendepth of the two-soliton solution of KdV according to the inverse scattering theory, numerical simulations show the splitting process of an initial cnoidal wave into two waves. Abstrak Persamaan Boussinesq merupakan model bagi persamaan gelombang air dua arah di atas dasar tak rata. Di atas dasar rata, persamaan Boussinesq mempunyai solusi gelombang berjalan periodik, yaitu gelombang yang menjalar tanpa berubah bentuk dan kecepatan, yang disebut gelombang cnoidal. Pada makalah ini akan dipelajari secara numerik bagaimana gelombang cnoidal terdistorsi sebagai akibat kedalaman yang makin dangkal, khususnya untuk keadaan dimana mula-mula gelombang cnoidal menjalar di atas dasar rata dengan kedalaman h0, kemudian dasar makin dangkal dan akhirnya rata kembali dengan kedalaman h1 (< h0). Mula-mula gelombang cnoidal dikonstruksi secara numerik sebagai solusi masalah ekstrimum terkendala, yaitu mengekstrimumkan energi dengan kendala momentum dan massa. Selanjutnya persamaan Boussinesq didiskritkan dengan menerapkan metode direct Fourier truncation. Simulasi numerik menunjukkan bahwa gelombang cnoidal yang dikonstruksi di atas benar-benar merupakan solusi gelombang berjalan. Selain itu dapat pula ditunjukkan fenomena terpecahnya gelombang cnoidal menjadi dua gelombang sebagai akibat kedalaman yang makin dangkal, apabila h1 dipilih kedalaman bagi solusi 2-soliton persamaan KdV menurut teori inverse scattering. 1. Pendahuluan Pada [9] (lihat juga [2]) telah ditunjukkan bahwa gelombang air gravitasi (yang menjalar ke dua arah) di atas dasar tak rata h(x) memenuhi persamaan Boussinesq berikut 87

88

JMS Vol. 2 No. 2, Oktober 1997

⎛u ⎞ ⎛ 0 ∂ t ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ η⎠ ⎝ − ∂ x

− ∂ x ⎞⎛ δ η H ⎞ ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟⎠⎜⎝ δ u H ⎟⎠

(1)

dengan Hamiltonian H (u , η) =

1 u Ru + ηu 2 + gη 2 dx ∫ 2

(2)

di mana R suatu operator diferensial yang dinotasikan sebagai berikut tanh kh( x ) . Rˆ (k ) = k

(3)

Fungsi η(x,t) menyatakan simpangan permukaan air dari keadaan setimbang, sedang u(x,t) menyatakan turunan pertama terhadap x dari kecepatan potensial fluida Φ(x,z,t) pada permukaan z = η(x,t). Perhatikan beberapa besaran berikut, yaitu besaran massa M u (u ) = ∫ u dx ,

(4)

M η (η) = ∫ η dx ,

(5)

dan momentum I (u , η) = ∫ uη dx .

(6)

Akan diperiksa apakah besaran-besaran di atas konstan bagi persamaan dinamik Boussinesq (1). Mula-mula kita notasikan operator pada (1) sebagai

⎛ 0 Γ = ⎜⎜ ⎝− ∂x

−∂x ⎞ ⎟, 0 ⎟⎠

karena Γ skew-symmetri, maka Γ* = -Γ. Perhitungan berikut menunjukkan bahwa Mu(u) adalah besaran yang konstan ⎛ δu M u ⎞ ⎛ ut ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ δ H ⎞ d ⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟, Γ ⎜ u ⎟ M u = ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dt ⎝ 0 ⎠ ⎝ δη H ⎠ ⎝ δ η M u ⎠ ⎝ ηt ⎠


89

⎛1 ⎞ ⎛ δ u H ⎞ ⎟ = 0. = − Γ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ δη H ⎠

Hal yang serupa berlaku juga untuk Mη(η), jadi Mη(η) suatu besaran konstan. Untuk momentum I(u,η), perhatikan hal berikut. ⎛ δ u I ⎞ ⎛ ut ⎞ ⎛ η⎞ ⎛ δ H ⎞ d ⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟, Γ ⎜ u ⎟ I = ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎟ dt ⎝ u ⎠ ⎝ δη H ⎠ ⎝ δ η I ⎠ ⎝ ηt ⎠ ⎛ η⎞ ⎛ δu H ⎞ d ⎟ = H. = − Γ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟ H δ dx ⎝u ⎠ ⎝ η ⎠

Bentuk terakhir bernilai nol jika dan hanya jika Hamiltonian H(u,η) tak bergantung secara eksplisit terhadap x, hal ini terjadi pada kasus dasar rata. Jadi momentum konstan untuk kasus dasar rata, dan merupakan besaran yang tak konstan jika dasar tak rata. Pada bab 2 akan kita pergunakan hasil-hasil ini, yaitu bahwa persamaan Boussinesq untuk dasar rata mempunyai tiga besaran konstan, Mu(u), Mη(η) dan I(u,η), guna mengkonstruksi solusi gelombang berjalan bagi (1).

2. Gelombang Berjalan Bagi Persamaan Boussinesq Berikut ini akan ditunjukkan bahwa solusi gelombang berjalan dari persamaan Boussinesq (1) dapat diperoleh sebagai solusi dari masalah ekstrimum terkendala

Crit{H (u, η) | I (u, η) = konstan, M u (u ) = konstan, M η (η) = konstan} . u ,η

(7)

Misalkan uˆ ( x, t ) dan ηˆ ( x, t ) adalah solusi (7), maka uˆ ( x, t ) dan ηˆ ( x, t ) memenuhi persamaan Euler-Lagrange: ⎛ δu M η ⎞ ⎛ δu H ⎞ ⎛δ I ⎞ ⎛δ M ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + λ ⎜ u ⎟ + µ⎜ u u ⎟ + ν ⎜ ⎜δ H ⎟ ⎜δ I ⎟ ⎜δ M ⎟ ⎜δ M ⎟ = 0 η η ⎝ η ⎠ ⎝ η ⎠ ⎝ η u⎠ ⎝ ⎠

atau

⎛ δu H ⎞ ⎛ ηˆ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ + λ ⎜⎜ ⎟⎟ + µ⎜⎜ ⎟⎟ + ν ⎜⎜ ⎟⎟ = 0. ⎜ ⎜δ H ⎟ ⎝ uˆ ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ η ⎠ Jika kemudian kita terapkan operator Γ dari persamaan Boussinesq (1), akan diperoleh

90


⎛ uˆ ⎞ ⎛ uˆ ⎞ ∂ t ⎜⎜ ⎟⎟ − λ∂ x ⎜⎜ ⎟⎟ = 0. ⎝ ηˆ ⎠ ⎝ ηˆ ⎠ Hasil di atas dapat diartikan sebagai berikut, solusi masalah (7) adalah solusi gelombang berjalan uˆ ( x, t ) dan ηˆ ( x, t ) bagi persamaan Boussinesq (1) yang masing-masing menjalar dengan kecepatan λ. Pada makalah ini kita akan mencari solusi gelombang berjalan persamaan Boussinesq sebagai solusi dari masalah ekstrimum terkendala (7). Sebagai kendala kita ambil λ untuk nilai momentum gelombang cnoidal, sedangkan kedua massanya (Mu dan Mη) dipilih nol, karena pada keadaan setimbang (equilibrium) kita punyai u = 0 dan η = 0. Jadi gelombang cnoidal dengan momentum γ akan kita cari sebagai solusi dari

Crit{H (u, η) | I (u, η) = γ, M u (u ) = 0, M η (η) = 0}. u ,η

(8)

Mula-mula (8) kita tulis sebagai berikut

Crit{Crit{H (u, η) | I (u, η) = γ, M u (u ) = 0} , M η (η) = 0}. η

u

(9)

Perhatikan masalah pencarian ekstrimum terhadap u untuk suatu η tertentu (konstan) sebarang, atau ⎧1 ⎫ Crit ⎨ ∫ u Ru + ηu 2 + gη 2 dx | ∫ uη = γ, ∫ u = 0, η tertentu ⎬. u ⎩2 ⎭

(10)

Solusi (10) memenuhi persamaan Euler-Lagrange Ru + ηu + µ,

(11)

di mana λ dan µ adalah pelipat Lagrange. Dari persamaan di atas akan kita cari solusi uˆ untuk itu mula-mula kita cari µ dengan cara mengintegralkan (11). Karena ∫ uˆ = ∫ η = 0, maka kita peroleh µ=

1 γ ηuˆ = , ∫ L L

dimana L adalah panjang selang integrasi. Jadi µ suatu konstanta. Selanjutnya kita misalkan vˆ ≡

1 uˆ , λ


91

dan kemudian persamaan (11) ditulis dalam variabel vˆ Rvˆ + ηvˆ −

1 ηvˆ = η. L∫

Jika kita definisikan ruas kiri sebagai Rη vˆ, maka kita peroleh solusi

vˆ = Rη−1η. Selanjutnya λ dan uˆ dapat dinyatakan sebagai fungsi dari η saja

λ=

γ γ = ∫ vˆη ∫ Rη−1η

uˆ = λvˆ =

(12)

λ ηRη−1η ∫ L

(13)

Nilai uˆ pada persamaan (13) adalah nilai optimal yang dicari, sehingga sekarang kita dapat menyatakan H sebagai fungsi dari η saja H=

1 1 1 1 uˆ ( R + η)uˆ + g ∫ η2 = λ2 ∫ vˆ( R + η)vˆ + g ∫ η 2 . ∫ 2 2 2 2

Perhatikan faktor ∫ vˆ( R + η)vˆ . Di atas telah kita misalkan operator Rη memenuhi hubungan ( R + η)vˆ = Rη vˆ +

1 ηvˆ L∫

atau ( R + η)vˆ = Rη Rη−1η +

1 1 ηvˆ = η + ∫ ηvˆ . ∫ L L

Jadi ⎛

1

⎞

γ

∫ vˆ( R + η)vˆ = ∫ vˆ⎜⎝ η + L ∫ ηvˆ ⎟⎠ = ∫ vˆη + ∫ γvˆ = λ , suatu fungsi dari η saja. Akibatnya Hamiltonian sekarang hanya bergantung pada η saja

H (η) ≡ di mana

1 γ2 1 + g ∫ η2 , 2 F (η) 2

92


F (η) ≡ ∫ R η−1η.

(14)

Dengan kendala ∫ η = 0 akan dicari ekstrim dari H . Kendala ∫ η = 0 tetap dapat membuat H sangat besar dan juga sangat kecil, bergantung pada besar kecilnya ∫ η2 dan F(η), oleh karena itu, mula-mula kita anggap L2-norm dari η, misalkan G = ½g∫η2 adalah konstan dan kita tinjau masalah berikut

{

}

Crit H (η) | G (η) = α, M η (η) = ∫ η = 0 . η

(15)

Masalah di atas ekuivalen dengan

Min{F (η) | G (η) = α, M η = 0}

(16)

η

Masalah pencarian ekstrimum terhadap η sekarang menjadi ⎧ ⎫⎫ ⎧1 γ2 + α | G (η) = α ⎬⎬. Min ⎨Max ⎨ α η ⎭⎭ ⎩ 2 F (η) ⎩

(17)

Jika kita resumekan, solusi gelombang cnoidal sebagai solusi dari (7) diperoleh melalui tiga tahapan berikut. •

Proses awal: untuk η tertentu, dicari titik kritis (maksimum) dari H terhadap u dengan kendala I = γ.

•

Proses tengah: memaksimumkan H terhadap η, yang pada dasarnya meminimumkan penyebut F(η), dengan kendala G(η) = α, dengan α konstan.

•

Proses akhir: meminimumkan H terhadap α.

Jika dinyatakan dalam bentuk rumus, proses awal adalah sebagai berikut, untuk suatu ηˆ konstan, mencari solusi

{

}

Max Hˆ )uˆ, ηˆ ) | Iˆ(uˆ, ηˆ ) = γ, Mˆ u (uˆ ) = 0, ηˆ tertentu ≡ Hˆ . uˆ

Selanjutnya proses tengah dan akhir dapat dituliskan sebagai berikut

{ {

Min Max Hˆ | Mˆ η = 0, G (ηˆ ) = α α

ηˆ

}

Selanjutnya kita konstruksi gelombang cnoidal dengan menggunakan algoritma yang telah dijabarkan di atas. Perlu diperhatikan bahwa perhitungan dapat disederhanakan dengan


93

memilih deret Fourier cosinus saja (semua koefisien komponen sinusnya sama dengan nol). Ini berarti kita mengkonstruksi gelombang cnoidal yang simetris terhadap sumbu vertikal. Gambar 1 menunjukkan gelombang berjalan ηˆ ( x, t ) dan uˆ ( x, t ) yang diperoleh secara numerik melalui algoritma di atas. Gelombang cnoidal tersebut mempunyai momentum 0.25 dan diperoleh di atas dasar rata dengan kedalaman 1 (gelombang tersebut dihitung dengan menggunakan kendala momentum I(u,η)=0.25 dan dasar rata h(x) = 1). Gelombang tersebut dihitung dengan menggunakan 12 komponen Fourier, yang mana koefisien-koefisien deret Fourier cosinusnya disajikan dalam tabel berikut.

ηˆ 0.13534 0.05011 0.02463 0.01435 0.00922 0.00630 0.00447 0.00324 0.00237 0.00172 0.00121 0.00076

uˆ 0.48060 0.20178 0.10779 0.06623 0.04416 0.03096 0.02240 0.01650 0.01222 0.00896 0.00636 0.00407

Gambar 1. Fungsi permukaan ηˆ dan kecepatan uˆ dari gelombangberjalan cnoidal Boussinesq 3. Diskritisasi persamaan Boussinesq Persamaan diskrit Boussinesq diperoleh dengan cara serupa seperti persamaan diskrit KdV, lihat [8], [7]. Metoda yang digunakan adalah metoda Direct Fourier truncation yang akan dijabarkan berikut ini.Mula-mula u dan η kita ekspansikan dalam deret Fourier sebagai berikut u=

n

∑ uˆk ψ k ( x), η =

k =− n

dengan

n

∑ ηˆ ψ

k =− n

k

k

( x),

(18)

94


⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ψ k ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

1 π 1

cos kx k = 1,L , n

2π 1 sin kx π

0 k = −1, L, n

Jika kita substitusikan (18) ke dalam Hamiltonian H(u,η) yang diberikan oleh (2) maka kita peroleh 1 1 1 Hˆ (uˆ , ηˆ ) = uˆ , Rˆ uˆ + ηˆ , uˆ * uˆ + g ηˆ , he , 2 2 2

(19)

tanh hk ~ dengan Rˆ operator yang mengalikan komponen ke-k dari uˆ dengan faktor R (k ) ≡ . k ⎛ ∂Hˆ ∂Hˆ ⎞ ⎟ diperoleh langsung melalui turunan parsial dari Hˆ (uˆ , ηˆ ) Selanjutnya ∇Hˆ ≡ ⎜⎜ , ⎟ ˆ ˆ u ∂ ∂ η ⎝ ⎠

terhadap uˆ k dan ηˆ k : ∂Hˆ ⎛ ∂Hˆ ∂Hˆ ≡ ⎜⎜ ,L, ∂uˆ ⎝ ∂uˆ − n ∂uˆ n

⎞ ∂Hˆ ⎛ ∂Hˆ ∂Hˆ ⎟ , dan ⎜ , L , ⎟ ∂ηˆ ⎜⎝ ∂ηˆ − n ∂ηˆ n ⎠

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Operator Γ pada (2) menjadi ⎛ 0 D⎞ ⎟⎟, Γˆ = ⎜⎜ ⎝D 0 ⎠

(20)

dengan D suatu matriks anti diagonal ⎛ ⎜ ⋅ ⎜ ⎜ −1 ⎜ 0 ⎜ D=⎜ 1 ⎜ ⎜ ⋅ ⎜ n −1 ⎜ ⎜n ⎝

− n⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Persamaan diskrit Boussinesq yang diperoleh adalah sebagai berikut

(21)


95

⎛ ∂Hˆ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ uˆ ⎞ ⎛ 0 D ⎞ ⎜ ∂uˆ ⎟ ⎟⎟ ⎜ d t ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎝ ηˆ ⎠ ⎝ D 0 ⎠ ⎜ ∂Hˆ ⎟ ⎜ ∂ηˆ ⎟ ⎝ ⎠

(22)

Selanjutnya persamaan (22) diintegralkan dengan menerapkan metoda Runge-Kutta orde empat.

Gambar 2. Gelombang berjalan ηˆ ( x, t )

Gambar 3. Gelombang berjalan uˆ ( x, t )

4. Hasil-hasil Numerik

Gelombang berjalan cnoidal ηˆ ( x, t ) telah berhasil dikonstruksi pada bab 2, dan pada bab 3 persamaan diskrit Boussinesq telah diperoleh. Dengan demikian kita telah siap untuk mengamati dinamika dari gelombang cnoidal. Mula-mula akan diamati apakah benar gelombang cnoidal akan bertranslasi tanpa berubah bentuk. Selanjutnya akan dipelajari bagaimana gelombang cnoidal terdistorsi sebagai akibat kedalaman dasar yang makin dangkal.

4.1 Gelombang cnoidal di atas dasar rata bertranslasi tanpa berubah bentuk

Gelombang cnoidal ηˆ ( x, t ) dan uˆ ( x, t ) yang telah diperoleh pada 2 dipilih sebagai syarat awal persamaan diskrit Boussinesq (22) untuk dasar rata dengan kedalaman h(x) = 1. Dengan bertambahnya waktu, tampak pada gambar 2 dan 3 bahwa masing-masing gelombang menjalar tanpa berubah bentuk, sesuai seperti yang diharapkan. Ini berarti gelombang cnoidal yang dikonstruksi pada 2 adalah benar merupakan gelombang berjalan.

96


4.2 Distorsi gelombang cnoidal sebagai akibat dasar tak rata

Fenomena terpecahnya gelombang cnoidal menjadi dua gelombang sebagai akibat kedalaman dasar yang makin dangkal disimulasikan dengan memilih topografi berikut. Mulamula dasar rata dengan kedalaman h0 = 1, kemudian kedalaman berkurang dan akhirnya rata kembali dengan kedalaman h1 = (1/3)4/9 ≈ 0.61. (Nilai h1 tersebut merupakan kedalaman yang akan menghasilkan fenomena terpecahnya gelombang soliter menjadi 2-soliton menurut teori inverse scattering persamaan KdV, lihat [2]. Gelombang cnoidal ηˆ ( x, t ) dan uˆ ( x, t ) dipilih sebagai gelombang awal persamaan diskrit Boussinesq dengan h(x) fungsi yang menyatakan topografi di atas (kemiringan dasar boleh sebarang). Gambar 4 dan 5 menunjukkan bagaimana gelombang ηˆ ( x, t ) dan uˆ ( x, t ) terdistorsi dan masing-masing akhirnya terpecah menjadi dua gelombang. Meskipun banyak gelombang wiggle yang muncul disebabkan karena terbatasnya jumlah komponen Fourier, tetap dapat kita amati bahwa gelombang cnoidal benar-benar terpecah menjadi dua gelombang. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa teori inverse scattering bagi persamaan KdV (persamaan gelombang satu arah) juga berlaku bagi persamaan gelombang dua arah, persamaan Boussinesq.

Gambar 4. Gelombang cnoidal ηˆ ( x, t ) di Gambar 5. Gelombang cnoidal uˆ ( x, t ) di atas atas dasar rata-rata dengan kedalaan h1 = dasar rata-rata dengan kedalaan h1 = 0.61 terpecah menjadi dua gelombang 0.61 terpecah menjadi dua gelombang


97

5. Kesimpulan

Sebagai persamaan gelombang air dua arah, persamaan Boussinesq untuk dasar rata mempunyai solusi gelombang berjalan. Solusi gelombang berjalan tersebut dapat dikonstruksi (secara analitis dan numerik) sebagai solusi masalah ekstrimum terkendala, yaitu mengekstrimumkan energi dengan kendala momentum dan massa. Dinamika dari gelombang cnoidal diperoleh dengan cara mendiskritkan persamaan Boussinesq menggunakan metoda direct Fourier truncation. Di atas dasar rata dapat disimulasikan bahwa gelombang cnoidal (yang dikonstruksi secara numerik) benar-benar menjalar tanpa berubah bentuk. Fenomena yang ditemui pada persamaan KdV, yaitu terpecahnya gelombang menjadi dua gelombang sebagai akibat kedalaman yang makin dangkal terjadi pula pada persamaan Boussinesq. Dengan menggunakan topografi dasar yang merupakan eigendepth bagi 2-soliton, dapat disimulasikan proses terpecahnya gelombang cnoidal menjadi dua gelombang. Hasil perhitungan numerik di sini hanya menggunakan 12 komponen Fourier. Hal ini mengakibatkan munculnya gelombang wiggle yang mengganggu penampilan. Untuk mendapatkan bentuk gelombang yang halus dan juga untuk dapat mengamati detail dari distorsi gelombang cnoidal diperlukan komponen Fourier yang lebih banyak. Hal ini membutuhkan cukup banyak penyempurnaan dari program numeriknya, baik pada pengkonstruksian gelombang cnoidalnya, juga pada diskritisasi persamaan Boussinesqnya.

Ucapan Terima Kasih

Riset ini dibiayai secara bersama oleh Dana SPP/DPP-ITB no 182 101 97 tahun 1996 dan URGE HIBAH TIM Batch II no 12/HTPP-II/URGE/1996

Referensi :

1. W. Djohan, "Realisasi dan Analisis Numerik Penerapan Metode Steepest Descent Dengan Modifikasi Untuk Masalah Peminimuman Terkendala", LP-ITB, 1993. 2. S.R. Pudjaprasetya, "Evolution of Waves above Slightly Varying Bottom: a Variational Approach", PhD-Thesis, Univ. of Twente, The Netherlands, 1996. 3. S. R. Pudjaprasetya, E. Van Groesen, "Uni-directional Waves over slowly varying bottom. Part II: Quasi-static approximation of distorting waves", accepted by Wave Motion, 1995. 4. S. R. Pudjaprasetya, E. Van Groesen, E. Soewono, "The splitting of a solitary wave running into shallower water", 1997, submitted to Wave Motion.

98


5. Y. Soeharyadi, W. Djohan and F. van Beckum, "Travelling Waves and Constrained Minimization", Suplemen Proceeding ITB Vol. 24, No. 1, 1991. 6. F.P.H. Van Beckum, "Hamiltonian-consistent discretisation of wave equations", PhDThesis, Univ. of Twente, The Netherlands, 1995. 7. F. Van Beckum, W. Djohan, "WAVEPACK II: A Software Package for Basic Concepts and Research in Wave Propagation", Memorandum no. 1228, Univ. Twente, Netherlands, 1994. 8. E. Van Groesen, F. Van Beckum and W. Djohan, "WAVEPACK I, Basic Concepts of linear Wave Propagation", Memorandum No. 1068, Universiteit Twente, 1992. 9. E.Van Groesen, S.R. Pudjaprasetya, "Uni-directional Waves over slowly varying bottom. Part I: Derivation of a KdV-type of equation", Wave Motion 18, 345-370,

Dinamika Gelombang Cnoidal di Atas Dasar Tak Rata Menggunakan Persamaan Gelombang Dua Arah Boussinesq

Recommend Documents