Teori Dasar Gelombang Gravitasi

Bab

2

Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1

Gravitasi terlinearisasi

Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, gab , terdeviasi sedikit dari metrik datar, ηab [13]: gab = ηab + hab ,

khab k  1,

(2.1)

di mana, ηab = metrik diagonal (−1, 1, 1, 1) khab k = besaran dari komponen tidak nol dari hab . Kondisi khab k  1 membatasi medan gravitasi sebagai medan yang lemah, sehingga membatasi sistem koordinat menjadi sistem koordinat kartesian. hab menggambarkan gelombang gravitasi, tetapi memiliki derajat kebebasan non-radiatif sehingga yang digunakan hanya suku linear pada hab saja. Sebagai akibatnya, indeks dinaikkan dan diturunkan dengan menggunakan ηab . Metrik hab bertransformasi sebagai tensor di bawah transformasi Lorentz, tapi tidak di bawah transformasi koordinat secara umum. Untuk menjelaskan gravitasi terlinearisasi, semua kuantitas yang diperlukan dihitung terlebih dahulu. Komponen Simbol Christoffel diberikan sebagai berikut: Γa bc = =

1 ad η (∂c hdb + ∂b hdc − ∂d hbc ) 2 1 (∂c ha b + ∂b ha c − ∂ a hbc ). 2

(2.2)

Indeks bagian ruang dapat ditulis sebagai ’dinaikkan’ atau ’diturunkan’ tanpa mengubah kuantitasnya, sedangkan operasi menaikkan dan menurunkan indeks pada bagian waktu akan mengubah tanda.

7

2.1. GRAVITASI TERLINEARISASI

8

Tensor Riemann dapat dibangun sebagai berikut: Ra bcd = ∂c Γa bd − ∂d Γa bc 1 = (∂c ∂b ha d + ∂d ∂ a hbc − ∂c ∂ a hbd − ∂d ∂b ha c ). 2

(2.3)

Persamaan (2.3) dapat digunakan untuk membangun Tensor Ricci: 1 Rab = Rc acb = (∂c ∂b hc a + ∂ c ∂a hbc − hab − ∂a ∂b h), 2

(2.4)

di mana, ha a = h adalah trace dari metrik gangguan hab dan ∂c ∂ c = ∇2 − ∂t2 =  adalah operator gelombang Dari persamaan (2.4) dibangun skalar kurvatur: R = Ra a = (∂c ∂ a hc a − h).

(2.5)

Kemudian persamaan (2.5) digunakan untuk membangun tensor Einstein: Gab

= =

1 Rab − ηab R 2 1 (∂c ∂b hc a + ∂ c ∂a hbc − hab − ∂a ∂b h 2 −ηab ∂c∂ d hc d + ηab hab ).

(2.6)

Persamaan (2.6) dapat disederhanakan dengan menggunakan gangguan trace reversed: ¯ ab = hab − 1 ηab h. h 2

(2.7)

Dengan memasukkan persamaan (2.7) ke persamaan (2.6) diperoleh: 1 ¯ c a + ∂ c ∂a h ¯ bc − h ¯ ab − ηab ∂c ∂ d h ¯ c d ). Gab = (∂c ∂b h 2

(2.8)

Persamaan (2.8) dapat disederhanakan kembali dengan melakukan transformasi koordinat yang dikenal sebagai transformasi gauge. Transformasi koordinat infinitesimal dapat ditulis sebagai x0a = xa + ξ a , di mana ξ a (xb ) merupakan medan vektor infinitesimal yang berubah-ubah. Transformasi ini mengubah metrik melalui, h0ab = hab − 2∂a ξb ,

(2.9)

sehingga metrik trace reversed menjadi 1 h¯0 ab = h0ab − ηab h0 2 0 ¯ = h ab − 2∂< bξa > +ηab ∂ c ξc .

(2.10)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI

9

Untuk memenuhi radiasi, maka digunakan kondisi Lorentz gauge ∂ a h¯0 ab = 0.

(2.11)

Jika metrik gangguan tidak berada di bawah Lorentz gauge, maka perlu dicari ¯0 : metrik h0 ab yang baru di mana ∂ a h ab ¯ ab − ∂ a ∂b ξa − ξb + ∂b ∂ c ξc ∂ a h¯0 ab = ∂ a h ¯ ab − ξb . = ∂ah

(2.12) (2.13)

Metrik gangguan hab dapat dimasukkan ke dalam Lorentz gauge dengan menggunakan transformasi koordinat infinitesimal yang memenuhi ∂ a h¯0 ab = ξb .

(2.14)

Dengan menemukan solusi dari persamaan gelombang (2.14), gauge Lorentz dapat dicari. Dengan memasukkan persamaan (2.11) ke persamaan (2.8), diperoleh: 1 ¯ Gab = − h ab . 2

(2.15)

Dengan demikian, dalam gauge Lorentz, tensor Einstein tereduksi menjadi operator gelombang yang bekerja pada metrik gangguan trace reversed (sampai dengan faktor − 12 ). Persamaan Einstein yang terlinearisasi dengan demikian adalah ¯ ab = −16πTab . h

2.2

(2.16)

Perambatan Gelombang Gravitasi

Dalam ruang vakum (Tab = 0),persamaan Einstein yang terlinearisasi (2.16) tereduksi menjadi [18]: ¯ ab = 0. h

(2.17)

Solusi persamaan di atas diberikan sebagai berikut: ¯ ab = Aab exp(ik a xa ) h

(2.18)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI

10

yang jika diturunkan akan memberikan hasil sebagai berikut: ¯ ab . ∂ c hab = k c h

(2.19)

Persamaan (2.17) akan mengambil bentuk yang sederhana jika diajukan kondisi gauge ¯ ab = 0, ∂ah

(2.20)

dari persamaan (2.19) dan (2.20) diperoleh Aab k a = 0.

(2.21)

Hal ini berarti bahwa Aab harus tegak lurus terhadap ~k. Dengan menggunakan kebebasan gauge lainnya, maka amplitudo gelombang gravitasi dapat dibatasi lebih jauh dengan mengganti gauge tanpa mengubah kelas Lorentz dengan menggunakan vector yang dapat menyelesaikan ∂c ∂ c ξa = 0,

(2.22)

ξa = Ba exp(ikc xc ),

(2.23)

yang solusinya adalah

dimana Ba adalah konstanta dan k c adalah null vector. ξ ini memberikan perubahan pada hab menjadi h0ab = hab − 2∂

(2.24)

¯ ab − 2∂ + ηab ∂ c ξc . h0ab = h

(2.25)

dan

Dengan mensubtitusi persamaan (2.23) ke persamaan (2.25) lalu menghilangkan semua faktor eksponensial yang sama diperoleh A0ab = Aab − iBa kb − iBb ka + iηab B c kc ,

(2.26)

dan Ba dapat dipilih sedemikian untuk membatasi A0ab : Aa a = 0,

(2.27)

Aab U b = 0,

(2.28)

dan

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI

11

~ merupakan kecepatan-4 tertentu, vektor unit timelike konstan yang di mana U hendak kita pilih. Persamaan (2.21), (2.27), dan (2.28) disebut sebagai kondisi gauge transverse traceless. ~ merupakan baPada latar belakang transformasi Lorentz, di mana vektor U sis vektor U b = δ b 0 , maka persamaan (2.28) mengimplikasikan bahwa Aa0 = 0 untuk semua a . Dalam kerangka ini, dimisalkan gelombang merambat dalam arah z, ~k → (ω, 0, 0, ω). Maka persamaan (2.21), (2.28) mengimplikasikan bahwa Aax = 0 untuk semua a. Kedua implikasi ini menunjukkan bahwa hanya komponen Axx , Ayy , dan Axy = Ayx yang tidak nol. Dari persamaan (2.27), maka didapat bahwa dalam bentuk matriks, kerangka ini dapat dituliskan sebagai berikut: 

Aab

0

0

0

0



     0 Axx Axy 0  . =    0 Axy −Axx 0    0 0 0 0

(2.29)

Efek dari gelombang gravitasi adalah dapat mengubah jarak proper antara dua buah partikel. Pada ruang waktu datar, cahaya akan mengikuti lintasan garis lurus. Namun, pada ruang-waktu lengkung, lintasan lurus yang dilalui oleh cahaya akan mengalami deviasi dari koordinat pada ruang-waktu datar. Sebagai contoh, misalkan terdapat 2 buah massa yang berdekatan. Massa yang pertama terletak pada (0, 0, 0) dan massa yang kedua terletak pada (, 0, 0). Dengan menggunakan persamaan deviasi geodesik, d2 a ξ = Ra cdb U c U d ξ b dτ 2 ~ = dimana vektor ξ b menghubungkan kedua partikel dan U

(2.30) d~ x dτ

adalah vektor

~ → (1, 0, 0, 0) dan pada awalnya, kecepatan-4 dari kedua partikel, di mana U ¯ ab : ξ~ → (0, , 0, 0). Maka persamaan (2.30) tereduksi menjadi orde pertama h d2 a ξ = ∂t2 ξ a = Ra 00x = −Ra 0x0 . dτ 2

(2.31)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI

12

Dengan menggunakan persamaan (2.3) untuk menunjukkan, dalam gauge T T :    , Rx 0x0 = Rx0x0 = − 21 ∂02 hxx tt   1 2 xy y (2.32) R 0x0 = Ry0x0 = − 2 ∂0 htt ,     x Ry 0y0 = Ry0y0 = − 12 ∂02 hyy tt , = −R 0x0 dengan komponen independen lainnya menghilang. Hal ini berarti kedua partikel memiliki vektor pemisahan dalam arah x: 1 ∂t2 ξ x = ε∂t2 hTxxT , 2

1 ∂t2 ξ y = ε∂t2 hTxyT , 2

(2.33)

dan dalam arah y: ∂t2 ξ y = 21 ε∂t2 hTyyT ∂t2 ξ x = 21 ε∂t2 hTxyT

1 = − ε∂t2 hTxxT , 2 .

(2.34)

Persamaan (2.34a) dan (2.34b) akan membantu dalam menjelaskan polarisasi gelombang gravitasi. Gambar 2.1 (a) Lingkaran partikel sebelum gelombang merambat melewati lingkaran tersebut dalam arah sumbu z. (b) distorsi yang dihasilkan oleh gelombang dengan polarisasi ’+’. (c) Seperti (b) tapi dengan polarisasi ’x’

Karakteristik dari gelombang gravitasi akan lebih jelas terlihat dengan tidak hanya mempertimbangkan dua buah partikel saja, melainkan sejumlah partikel yang tersusun dalam bentuk lingkaran pada bidang x − y pada z = 0

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI

13

dengan sebuah massa lainnya pada bagian pusat. Misalkan lingkaran partikel tersebut pada awalnya diam (lihat Gambar 2.1a). Lalu gelombang gravitasi dengan hTxxT 6= 0, hTxyT = 0 melewati lingkaran partikel ini, maka lingkaran partikel akan terdistorsi (jarak proper relatif terhadap massa pada pusat) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.1b, awalnya masuk, lalu keluar, dimana gelombang berosilasi dan hxx berubah tanda. Jika partikel memiliki hTxxT 6= 0 tetapi hTxxT = hTyyT = 0, maka lingkaran partikel tersebut akan berdistorsi seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1c. Karena hTxxT dan hTxyT tidak saling bergantung, maka Gambar 2.1b dan 2.1c merupakan gambaran dari dua buah polarisasi yang berbeda. Polarisasi gelombang memiliki pola seperti yang digambarkan pada Gambar 2.1 karena gravitasi direpresentasikan oleh tensor simetrik rank-2 hcd .

2.3

Pembangkitan Gelombang Gravitasi

Persamaan medan lemah Einstein adalah ¯ ab = −16πTab . h

(2.35)

Beberapa asumsi yang diambil untuk memecahkan masalah ini adalah: 1. Komponen riil yang bergantung waktu berosilasi secara sinusoidal dengan frekuensi Ω sebagai berikut: Tab = Sab (xi ) exp(−iωt).

(2.36)

Daerah dimana Sab 6= 0 lebih kecil dibandingkan dengan panjang gelombang dari gelombang gravitasi dengan frekuensi 2π/Ω. 2. Sumber bergerak lambat. Kecepatan khas di dalam daerah sumber harus lebih kecil dari 1. Hal ini dipenuhi oleh semua sumber gravitasi kecuali sumber yang sangat kuat. ¯ ab dari bentuk Solusi untuk h ¯ ab = Bab (xi ) exp(−iΩt) h

(2.37)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI

14

didapatkan dengan mensubtitusi persamaan (2.37) ke persamaan (2.35): (∇2 + Ω2 )Bab = −16πTab .

(2.38)

Untuk daerah di luar sumber diperlukan solusi dari persamaan (2.38) yang menunjukkan radiasi gelombang ke luar dan yang mendominasi di daerah gerak lambat. Didefinisikan r sebagai komponen radial koordinat polar dengan titik asalnya terletak di dalam sumber. Solusi dari persamaan (2.38) adalah: Bab =

Aab Zab exp(iΩr) + exp(−iΩr) r r

(2.39)

Suku Zab menyatakan gelombang yang merambat ke arah titik asal r = 0, sementara suku Aab menyatakan gelombang yang merambat ke luar dari sumber. Karena solusi yang dicari adalah gelombang yang diemisikan ke luar oleh sumber, maka Zab = 0. Pendekatan yang dilakukan untuk menentukan di dalam sumber adalah bahwa sumber bernilai tidak nol hanya di dalam bola dengan radius: ε  2π/Ω. Integrasi komponen waktu dari ruas kiri persamaan (2.38) sepanjang bagian dalam bola adalah Z

Ω2 Bab d3 x ≤ Ω2 |Bab |max 4πε3 /3.

(2.40)

Dengan menggunakan teorema Gauss, maka integrasi komponen ruang dari suku bagian kiri persamaan (2.38) adalah Z I 2 3 ~ ab dS, ∇ Bab d x = ~n · ∇B

(2.41)

namun karena integral permukaan berada di luar sumber, dimana diberikan oleh persamaan (2.39), yang simetris secara sferis: I ~ ab dS = 4πε2 ( d Bab )r=ε ≈ −4πAab , ~n · ∇B dr

(2.42)

dimana integral dari ruas kanan persamaan (2.38) didefinisikan sebagai: Z Jab = Sab d3 x. (2.43) Dengan membatasi hasil-hasil di atas dalam limit ε → 0, maka diperoleh Aab = 4Jab

(2.44)

¯ ab = 4Jab exp(iω(r − t)/r) h

(2.45)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI

15

Persamaaan (2.44) dan (2.45) merupakan pernyataan untuk gelombang gravitasi yang dibangkitkan oleh sumber, dimana suku dengan orde r−2 dan suku r−1 dengan orde yang lebih tinggi dari orde εΩ diabaikan. Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan memanfaatkan kenyataan bahwa {hab } merupakan komponen dari tensor tunggal. Dari persamaan (2.43) didapatkan Z Jab exp(−iΩt) =

Tab d3 x,

(2.46)

dengan konsekuensi: Z −iΩJab exp(−iΩt) =

∂t Tat d3 x.

(2.47)

Dari hukum kekekalan untuk T ab , ∂a T ab = 0,

(2.48)

∂t T at = −∂k T ak .

(2.49)

disimpulkan bahwa

Sehingga −iΩJ at exp(−iΩt) =

Z

∂k Tak d3 x =

I

T ak nk dS,

(2.50)

dimana Teorema Gauss kembali digunakan. Hal ini berarti bahwa T ab = 0 pada permukaan yang melingkupi volume ini, sehingga ruas kanan dari persamaan (2.50) menghilang. Jika Ω 6= 0, maka J ab = 0,

¯ ab = 0. h

(2.51)

Pernyataan Jij juga dapat dituliskan sebagai berikut: d2 dt2

Z

T 00 xl xm d3 x,

(2.52)

dimana integral pada ruas kanan dari persamaan (2.52) merupakan tensor momen quadrupol dari distribusi massa, I

lm

Z =

T 00 xl xm d3 x

= Dlm exp(−iΩt),

(2.53) (2.54)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI

16

sehingga ¯ jk = −2Ω2 Djk exp(iΩ(r − t)). h

(2.55)

Persamaan (2.55) sering disebut sebagai pendekatan quadrupol untuk gelombang gravitasi. Persamaan (2.21) dapat dilengkapi dengan memilih kondisi dimana gelombang merambat dalam arah z, dan dalam gauge T T sehingga didapatkan bentuk paling sederhana dari gelombang: ¯T T h zi

= 0

(2.56)

¯T T h xx

¯ T T = −Ω2 (łxx − łyy ) exp(iΩr/r) = h yy

(2.57)

¯T T h xx

= −2Ω2 łxy exp(iΩr/r))

(2.58)

1 łjk = Ijk − δjk I l l 3

(2.59)

dimana

disebut sebagai tensor trace-free atau tensor momen quadrupole tereduksi. Solusi untuk radiasi gravitasi yang teremisi pada persamaan (2.35) untuk nilai yang berubah-ubah diberikan oleh integral retarded ¯ ab (t, xi ) = 4 h

Z

τab (t − R, y i ) 3 d x, R

(2.60)

dimana integral dilakukan melewati kerucut cahaya masa lalu (t, xi ) dimana ¯ ab dihitung. Misalkan titik asal berada di dalam sumber dan dimisalkan bahh wa titik medan xi terletak jauh sekali: |xi | ≡ r  |y i | ≡ y

(2.61)

sehingga turunan komponen waktu dari Tab sangat kecil, maka, di dalam integral dari persamaan (2.60), kontribusi yang dominan berasal dari pertukaran R oleh r: ¯ ab (t, xi ) ≈ 4 h r

Z

Tab (t − r, y i )d3 x.

(2.62)

Persamaan (2.62) merupakan generalisasi dari dari persamaan (2.45). Dengan memanfaatkan hukum kekekalan ∂a T ab = 0,

(2.63)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA

17

maka akan diperoleh Z

Tta d3 y = const.

(2.64)

¯ ta tidak ber-gantung waktu sehingga tidak akan berkontribusi Bagian r−1 dari h pada bidang gelombang manapun. Hal ini akan menghasilkan persamaan (2.51). Lalu, dengan menggunakan persamaan (2.52), maka didapatkan persamaan generalisasi dari persamaan (2.55): ¯ jk (t, xi ) = 2 ∂ 2 Ijk (t − r). h r t

(2.65)

Dengan menggunakan gauge T T , maka diperoleh ¯T T h xx

=

1 [∂ 2 ł (t − r) − ∂ 2 ł (t − r)] t yy r t xx .

¯T T h xy

2.4

=

(2.66)

2 ∂ 2 ł (t − r) r t xy

Radiasi Gravitasi Sistem Bintang Ganda

Salah satu sumber gravitasi yang sangat umum adalah sistem 2 bintang yang mengorbit mengitari titik pusat massanya di bawah pengaruh gravitasi masingmasing bintang. Dari seluruh sistem bintang di alam semesta ini, kurang lebih 2/3 nya merupakan sistem bintang ganda [14]. Pendekatan untuk sumber yang bergerak lambat seperti yang dilakukan pada bagian §2.3 cukup memadai untuk diterapkan pada sistem bintang ganda. Kasus yang akan ditinjau ditunjukkan pada Gambar 2.2. Dengan mengasumsikan bahwa Hukum Newton cukup akurat, maka dengan memanfaatkan Hukum Newton (gaya gravitasi = gaya sentrifugal) dan mengambil G = 1: M2 = M ω2R 4R2

 : ω=

V R

1 2

,

(2.67)

dimana ω merupakan kecepatan sudut orbit. Dari Gambar 2.2 geometri untuk kasus yang ditinjau adalah:   x1 (t) = R cos(ωt), y1 (t) = R sin(ωt), z1 (t) = 0 x (t) = −x (t), y (t) = −y (t), z (t) = 0.  2

1

2

1

2

(2.68)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA

18

Gambar 2.2 sistem bintang ganda yang mengitari titik pusat massa nya akibat pengaruh gravitasi masing-masing bintang. Kedua bintang memiliki massa yang sama M , dan bergerak dengan kecepatan sudut ω

Komponen tensor momen quadrupol untuk kedua bintang dapat dihitung dari persamaan (2.53): I xx

=

I yy

= 2M R2 sin2 (ωt) = M R2 (1 − cos(2ωt)),

I xy

2M R2 cos2 (ωt)

=

M R2 (1

+ cos(2ωt)),

= 2M R2 sin(ωt) cos(ωt) = M R2 sin(2ωt).

    

(2.69)

   

Tensor momen quadrupol tereduksinya adalah: łxx = −łyy = M R2 exp(−2iωt),

 

łyy



= M R2 exp(−2iωt).

(2.70)

Dengan memasukkan persamaan (2.70) ke persamaan (2.56-2.58):  2 2  ¯ xx = −h ¯ yy = − −8ω M R exp(−2iω(r − t)/r),  h  r  2

2

¯ xy = −h ¯ yy = − −8iω M R exp(−2iω(r − t)/r). h r

(2.71)

   

Dari persamaan (2.71) dapat dilihat bahwa frekuensi dari radiasi yang teremisi adalah dua kali frekuensi orbit (Ω = 2ω) yang mengimplikasikan bahwa polarisasi gelombang yang diemisikan sistem bintang ganda ini merupakan polarisasi melingkar dimana partikel-partikel dengan elips yang tegak lurus, seperti

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA

19

yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1, berotasi dengan frekuensi sudut 2ω terhadap gelombang. Sedangkan untuk radiasi gelombang gravitasi yang merambat dalam arah sumbu x ditunjukkan oleh persamaan (2.71), namun tidak dalam gauge transverse traceless-nya. Dengan menghilangkan komponen longitudinal xx dan xy ¯ ij dan mengurangi trace, maka diperoleh: dari h 2 2 ¯ yy = −h ¯ xx = − −4ω M R exp(−2iω(r − t)/r). h r

(2.72)

Persamaan (2.72) merupakan polarisasi linear yang sejajar dengan bidang orbit.