Teori Dasar Medan Gravitasi

Modul 2

Teori Dasar Medan Gravitasi Teori medan gravitasi didasarkan pada hukum Newton tentang medan gravitasi jagat raya. Hukum medan gravitasi Newton ini menyatakan bahwa gaya tarik antara dua titik massa m1 dan m2 yang berjarak r (gambar 2.1) adalah y

 r

m1

 r1

m2

 r2

x

Gambar 2.1. Gaya gravitasi antara dua buah titik massa.

    m (r )m (r ) F (r1 )  G 1  1 2 2 2 r1  r2

  r1  r2   r1  r2

(2-1)

dengan G adalah konstanta gravitasi yang besarnya adalah 6,672 x 10-11 N m2/kg2. Jika persamaan (2-1) menyatakan gaya tarik yang dialami partikel m2 akibat partikel m1 maka tanda negatif menyatakan bahwa gaya tarik tersebut memiliki arah yang berlawanan dengan

 r yang mempunyai arah dari partikel m1 menuju m2.

Gaya persatuan massa yang mempunyai jarak r dari m1 disebut medan gravitasi dari partikel m1 yang besarnya :

   m1 (r1 ) E (r1 )  G  2 r





 r  r

(2-2)



dimana r  r1  r2 Karena medan ini bersifat konservatif, maka medan gravitasi bisa dinyatakan sebagai



gradien dari suatu fungsi potensial skalar U (r1 ) sebagai berikut :

   E (r1 )  U (r1 )

Prak Metode Gravitasi dan Magnetik

(2-3)

Page 1



dimana U (r1 )  G

m1 yang merupakan potensial gravitasi dari massa m1. r

Karena itu potensial disuatu titik pada ruang bersifat penjumlahan, sedang potensial gravitasi dari suatu distribusi massa yang kontinyu di suatu titik p diluar distribusi massa tersebut merupakan suatu bentuk integral. Z

 P(r )

  r  r0

 Q(r0 )

 r 

 r0

V O

X

Y

Gambar 2.2. Potensial tiga dimensi

Jika massa yang terdistribusi kontinyu tersebut mempunyai rapat massa  (r0) di dalam volume V, maka potensial di suatu titik P diluar V adalah :

   (r )d 3 r Gdm  U p (r )       G  0  0 v r r v r  r0 0





dimana : r  r0 

(2-4)

r 2  r02  2rr0 cos 

Jika integral volume diambil untuk seluruh bumi, kita dapatkan potensial gravitasi bumi di ruang bebas, sedang medan gravitasinya kita dapatkan dengan menurunkan potensial tadi. Jika P berada dipermukaan bumi, medan gravitasi pada titik P adalah :

   U p (r )  (r0 )(Z 0  Z )d 3r0  g z (r )   G  2 2 2 Z v ( X  X 0 )  (Y  Y0 )  ( Z  Z 0 )



Prak Metode Gravitasi dan Magnetik



3 2

(2-5)

Page 2

Medan gravitasi g disebut juga percepatan gravitasi atau percepatan jatuh bebas. Satuan g dalam CGS adalah gal, dimana 1 gal = 1 cm/det2. Percepatan medan gravitasi bumi bervariasi di permukaan bumi, dan harganya bergantung pada: a) distribusi massa di bawah permukaan, sebagaimana ditunjukkan oleh fungsi densitas

 ( r 0 ) dan b) bentuk bumi yang sebenarnya, sebagaimana ditunjukkan oleh batas integral.

Variasi harga medan gravitasi di permukaan bumi tidak hanya disebabkan oleh distriubusi massa jenis yang tidak merata, tetapi juga oleh posisi titik amat di permukaan bumi. Hal ini disebabkan oleh adanya bentuk bumi yang tidak bulat sempurna dan relief bumi yang beragam. Untuk itu diperlukan metode-metode tertentu untuk mereduksi pengaruh selain dari distribusi massa jenis.

Dapat dibuktikan pula bahwa potensial gravitasi di atas permukaan bumi akan memenuhi persamaan Laplace sedangkan potensial gravitasi di dalam bumi memenuhi



persamaan Poisson. Untuk titik diluar volume V, integral volume pada fungsi potensial U(r ) bersifat non-singular sehingga memenuhi persamaan Laplace :

 2U  0 di dalam volume V, integal menjadi singular pada r = r0. Untuk memisahkan singularitas kita buat lingkaran kecil di pusat massa dengan jarijari  dan volume v. Sehingga potensial U pada persamaan (2-4) menjadi :

  ρ(r0 )d 3 r0 ρ(r0 )d 3 r0  U(r )  G V  v    G v   r  r0 r  r0

(2-6)

 ρ(r0 )d 3 r0 dimana integrasi V  v   non-singular dan mempunyai harga nol, sehingga: r  r0  ρ(r0 )d 3 r0  U(r )  G v   r  r0

(2-7)



jika  dianggap cukup kecil, kita dapat mengandaikan ρ(r0 ) konstan sehingga dari persamaan (A.7) kita peroleh :

  1  2U(r0 )  Gρr0 v      d 2 r0 r  r0 Prak Metode Gravitasi dan Magnetik

(2-8) Page 3

Menurut teorema Gauss bentuk integral volume pada persamaan (A.8) dapat diubah menjadi bentuk integral luas yaitu :

  1  2U(r0 )  Gρr0 s n     d 2 r0 r  r0

(2-9)

 

dimana s adalah permukaan bola kecil dengan jari-jari . Pada integral di atas r  r0  ε dan

n  

 untuk   0 maka : ε

    1 2  2U(r0 )  Gρr0  4πε  ε ε    4πGρr0 

(A-10)

yang merupakan persamaan Poisson.

Data gravitasi yang diperoleh di lapangan, perlu dikenakan beberapa koreksi, diantaranya koreksi udara bebas dan koreksi Bouguer. Penjabaran mengenai koreksi udara bebas dan koreksi Bouguer terdapat dalam modul berikutnya. Untuk keperluan proyeksi dan interpolasi data gravitasi pada bidang datar sehingga diperoleh peta anomali gravitasi yang sudah terletak pada bidang datar, digunakan metode Sumber Ekivalen Titik Massa (Dampney, 1969). Penjabaran metode Sumber Ekivalen Titik Massa dapat dilihat pada Modul tentang pengolahan lanjut data gravitasi. Untuk menginterpretasi anomali percepatan gravitasi dapat dibedakan menjadi dua yaitu kualitatif (interpretasi langsung) dan kuantitatif (interpretasi tidak langsung). Untuk keperluan interpretasi kuantitatif digunakan metode inversi langsung yang disebut dengan metode Inversi Kompak (Last & Kubik, 1983). Penjabaran metode invesi kompak ini dapat dilihat pada modul tentang pemodelan. Dengan demikian, survei metode gravitasi dari awal sampai dengan pemodelan dapat digambarkan sebagaimana gambar 2.3 tentang diagram alir dari awal sampai akhir.

Prak Metode Gravitasi dan Magnetik

Page 4

Pemisahan Lokal-Regional

Anomali Regional

Anomali Lokal

Pemodelan Bawah Permukaan

Gambar 2.3. Diagram alir Metode Gravitasi secara lengkap.

Prak Metode Gravitasi dan Magnetik

Page 5