Penggunaan Persamaan Pendekatan Untuk panjang gelombang pantai

Penggunaan Persamaan Pendekatan Untuk panjang gelombang pantai Nizar Acmad1 1

Program Studi Teknik Sipil, Universitas Janabadra Yogyakarta, Jl.Tentara Rakyat Mataram 35-37 Yogyakarta Email: [email protected]

ABSTRAK Persamaan gelombang Airy dipergunakan secara luas karena akurasinya yang masih memadai dan kesederhanaan hitungannya dibandingkan teori lain. Sungguhpun demikian masih ada satu persamaan yang membutuhkan sebuah hitungan yang iteratif yaitu menghitung panjang gelombang. Oleh sebab itu pada berbagai standar hitungan diberikan tabel ataupun persamaan pendekatannya. Makalah ini bertujuan untuk memberikan pemilihan pendekatan penyelesaian persamaan gelombang yang lebih sederhana. Studi dilakukan dengan cara membandingkan akurasi dari persamaan yang dimunculkan dalam publikasi ilmiah dan tingkat kesulitan penggunaan berdasarkan kompleksitas persamaan. Hasil studi menunjukkan bahwa persamaan yang diusulkan oleh John Fenton (2008) memberikan hasil terbaik, ditinjau dari ketelitian dan kesederhanaan penggunaannya. Kata kunci: Persamaan gelombang Airy, panjang gelombang pendekatan

1.

PENDAHULUAN

Perhitungan mengenai gelombang pantai pada umumnya dapat menggunakan persamaan gelombang Airy. Sungguhpun persamaan ini dipandang yang paling sederhana, akan tetapi persaman analitik tersebut merupakan persamaan kompleks yang membutuhkan analisa numerik agar diperoleh hasil yang cepat dan akurat. Sehingga untuk kebutuhan praktis juga diperlukan tabel hitungan interpolasi dan juga pilihan penggunaan persamaan pendekatan yang menggantikan persamaan kompleks tersebut dengan akurasi yang dapat diterima secara umum. Selanjutnya parameter hitungan lainnya dapat diselesaikan dengan persamaan seperti pada tabel berikut ini, Tabel 1. Persamaan Gelombang Pantai (USACE,2006)

Proses hitungan gelombang rencana dimulai dengan metetapkan nilai T (perioda) dan H (tinggi gelombang) baik berdasarkan hasil analisa prediktif dari data primer ataupun prediksi statistik dari data sekunder. Sedangkan untuk panjang gelombang rencana dapat dihitung dengan persamaan (1).

d d 2p d = tanh L L L0

(1)

Lo = gT2/(2π)

(2)

d adalah kedalaman air di lokasi (m); L adalah panjang gelombang yang dicari (m); T adalah periode gelombang recana (detik); Lo panjang gelombang laut dalam (m) yang dihitung dengan persamaan (2).

SEMINAR NASIONAL-1 BMPTTSSI - KoNTekS 5 Universitas Sumatera Utara, Medan - 14 Oktober 2011

H-21

Keairan

Permasalahan ini dapat dikategorikan sebagai mencari penyelesaian persamaan sebagai berikut d/L = f(d/Lo)

(3)

Penyelesaian secara numeris dapat diselesaiakan cara interpolasi atau extrapolasi dengan menggunakan program. Sedangkan pencarian persamaan pendekatan dapat dilakukan sesuai model persamaan yang dipilih sesuai kebutuhan, misalnya regresi linear, polinomial, regresi model tertentu, dan yang kami pandang menarik adalah pendekatan dengan logaritmik matching (Guo Junke, 2002). Bambang Triatmodjo dalam bukunya memberikan Tabel A-1 untuk menghitung secara interpolasi linear. Buku Coastal Engineering Mechanic USACE (2006) memberikan tidak hanya tabel tetapi juga dua persamaan pendekatan yang dapat digunakan. Diantara kedua hal tersebut Tabel A-1 memberikan nilai yang paling teliti hingga 6 (enam) angka di belakang koma. Penyelesaian numerik pada persamaan tersebut dikenal dengan penyelsaian mencari akar persaman. Beberapa buku dan publikasi telah memberikan persamaan yang dipandang cukup baik, akan tetapi dengan berkembangnya ilmu maka beberapa tahun terakhir telah ditemukan perbaikan ketelitian yang cukup signifikan, misalnya oleh John Fenton (2008) dan Peter Nielsen (2005). Publikasi ini dimaksudkan untuk memberikan penilaian yang setara bagi setiap persamaan pendekatan tersebut sehingga memudahkan bagi pengguna untuk memilih sesuai dengan kebutuhannya. Parameter penilaian dalam hal ini memiliki nilai obyektif adalah perbandingan antara selisih hitungan dibandingkan relatif terhadap angka analitik, dan penilaian secara subyektif yaitu melihat tingkat kesulitan penggunaan persamaan tersebut secara praktis. Batasan dari penelitian ini adalah meliputi persamaan-persamaan yang diberikan oleh USACE, Peter Nielsen, John Fenton (2008), dan juga sebuah persamaan yang telah kami kembangkan sendiri. Metode pengembangan dari persamaan-persamaan pendekatan tersebut meliputi pendekatan deret Taylor (Peter Nielsen), pendekatan logaritmic matching (Nizar Achmad 2010, John Fenton 2008). Sedangkan pendekatan persamaan lain kami definisikan sebagai pendekatan secara analogi (user model) persamaan.

2.

TINJAUAN PUSTAKA

Persamaan Gelombang Airy Persamaan gelombang Airy adalah teori untuk gelombang dengan amplitudo kecil yang dikembangkan oleh Airy (1845), dimana mudah digunakan dan dapat memberikan hasil hitungan perkiraan yang dapat diterima untuk batasan variabel yang cukup besar. Persamaan ini tergolong persamaan gelombang linear dimana hanya menggunakan order 1 (satu) dengan amplitudo kecil sehingga mudah diaplikasikan dan akurasinya masih memadai dalam perancangan. Batasan dari persamaan Airy adalah : Fluida bersifat homogen dan incompressible, jadi kepadatan ρ konstan; Tegangan permukaan dapat diabaikan; Efek coriolis karena putaran bumi dapat diabaikan; Tekanan pada permukaan seragam dan konstan; Fluida bersifat ideal atau inviscid (tidak memiliki kekentalan); Gelombang tidak sedang berinteraksi dengan gerakan air lainnya; Aliran irotasional sehingga partikel air tidak berputar (hanya ada gaya normal dan gaya geser dapat diabaikan; Dasar horizontal, kaku, dan boundary kedap, sehingga kecepatan di dasar nol; Amplitudo gelombang kecil dn bentuk gelombang tidak berubah pada waktu dan tempat; Gelombang berbentuk datar atau lembahnya panjang (pada dua dimensi); Berlaku persamaan laplace berlaku sebagai berikut:

¶ 2f ¶ 2f + =0 ¶x 2 ¶y 2

(4)

Dengan boundary : dasar (y= -d)

v =

¶f ¶h = 0 ; permukaan bebas f = 0 dan v = ; boundary lateral f ( x ) = f ( x + L ) ; ¶y ¶y

fluktuasi permukaan menggunakan

h =

H-22

H x t H Cos 2p ( - ) = Cos (kx - s t ) L T 2 2

(5)


Keairan

dengan s adalah frekwensi gelombang, dan H adalah tinggi gelombang

Gambar 1. Gelombang Airy (EM 1110-2-1100 Part II chap 1,USACE, 2006) Dengan persamaan bernoulli irotational

diperoleh fluktuasi permukaan

h =-

1 2 p ¶f (v + u 2 ) + gy + + =0 2 r ¶t

1 ¶f g ¶t

Sehingga diperoleh persamaan gelombang Airy

f =

H g cosh k ( y + d ) sin( kx - w t ) 2 w cosh(kd )

(6)

k adalah angka gelombang 2p/L; w adalah frekwensi gelombang yaitu 2p/T Selanjutnya dapat diturunkan persamaan dengan tambahan penyederhanaan yaitu pada laut dangkal (shalow water) dan laut dalam dengan spesifikasi sebagai berikut Tabel 2. Klasifikasi dan penyederhanaan persamaan gelombang Airy d/L Kd tanh (kd) Classification ½ Deep water 4p to 4.1 »1 1/20 to ½ Tanh k.d Transitional p/10 to p 0 to 1/20 Shallow water »k.d 0 to p/10 Selanjutnya dapat diturunkan persamaan persamaan yang ada pada tabel 1, yaitu sebagian dari seluruh persamaan yang tersedia.

Metode penyelesaian hitungan panjang gelombang airy Metode penyelsaian panjang gelombang airy yang didefinisikan dalam persamaan (3) dapat didekati sebagai: 1. 2. 3.

problem penyelesaian akar persamaan numerik dengan tahapan iterasi problem penyelesaian interpolasi dengan memberikan tabel yang diperlukan (misal tabel A-1, Triatmodjo) problem penyederhanaan persamaan dari persamaan kompleks dengan pendekatan antara lain: curve fitting, analogi model, model persamaan logaritmic matching

Penyelesaian dengan numerik umum dilakukan dalam sebuah program aplikasi, ataupun juga dapat dibuat sebagai sebua makro visual basic dalam MS.Excel sebagai berikut:


H-23

Keairan

Definisi Konstanta

Const Pi As Double = 3.14159265358979, g As Double = 9.81 Function CariL(T, d) As Double aL1 = 1.56 * T ^ 2 10: aL2 = g * T ^ 2 * Htan(2 * Pi * d / aL1) / 2 / Pi Err = Abs(aL1 - aL2) / aL1 If Err > 0.001 Then aL1 = (aL1 + aL2) / 2 GoTo 10 End If CariL = aL2 End Function Function Htan(X As Double) As Double Htan = (Exp(X) - Exp(-X)) / (Exp(X) + Exp(-X)) End Function

Menghitung : - L (panjang gelombang, m) Input : - T (periode, detik) - d (kedalaman laut, m) Metoda : - iterasi modifikasi bagi dua

Menghitung tangen hiperbolik

Gambar 2. Makro VBA (Visual Basic for Application) Ms Excel untuk panjang gelombang Dengan definisi ini maka hitungan dalam excel untuk kedalaman 6 meter dan periode gelombang 12 detik dapat langsung distulis : =CariL(12,6) Penyelesaian dengan pendekatan interpolasi dapat dilakukan dengan menyediakan tabel hitungan gelombang Airy sebagai berikut : Tabel 3. Harga d/L, angka gelombang n, dan koefisien Shoaling Ks fungsi (d/Lo), dalam Triatmadja Radianta

Denga informasi tabel di atas maka dapat dipilih harga harga yang mendekati untuk selanjutnya dibuat hitungan interpolasi secara sederhana, baik itu untuk menghitung d/L atau n dan juga Ks. Penyelesaian berikutnya adalah menggunakan persamaan pendekatan, yaitu persamaan yang diturunkan dengan menghilangkan kompleksitas masalah dan didekati dengan cara baik itu curve fitting ataupun model lain misalnya analogi model persamaan setara. Penjabaran dan cara yang digunakan disampaikan pada bahasan berikutnya hanya mengenai cara khusus non linear yang dikembangkan untuk curve fitting data tengan dua asimtot.

Penyelesaian dengan persamaan pendekatan Usulan peneliti 2007 berdasarkan logaritmik matching (Junke Guo ,2002) Persamaan pendekatan non liniear dimana terdapat dua grafik asimptotis dapat dilakukan pendekatan berdasarkan logaritmic matching. Menurut Guo (2002), apabila ditemukan penyelesaian non linear dengan dua grafik asimptotis baik pada metode analitis maupun percobaan, maka keduanya dapat dituliskan sebagai berikut :

H-24


Keairan

y

C2

Ln x

Ln xo

C1

Gambar 3. Grafik model persaamaan pendekatan logaritmik dengan dua asimtot dimana x adalah variabel independen dan y adalah variabel dependen dan K1 , K2 adalah dua slope pada skala logaritmis dan C1 dan C2 adalah titik potong di sumbu y, dan xo adalah titik balik referensi dari x Untuk menggabungkan kedua garis asimptot pada persamaan gabungan, maka dapat digunakan dua model persamaan logaritmik, salah satunya adalah sebagai berikut :

é æ x y = k 1 ln( x ) + a ln ê1 + çç êë è x 0

ö ÷÷ ø

b

ù ú+C1 úû

(7)

Berdasarkan model persamaan tersebut maka persaman model

d d æ d ö = tanhç 2p ÷ L0 L Lø è

(8)

Disesuaikan menjadi x = y tanh( 2p y ) dan mengambil dua asimptot:

x = y (2p y ) = 2p y 2 untuk d/L kecil, x = y untuk d/L besar

(9)

Selanjutnya dengan mengikuti prosedur maka dapat ditemukan persamaan pendekatan yaitu:

d æ d =ç L çè gT

2

ö ÷÷ ø

1/ 2

æ æ 4p 2 d ç1 + ç ç çè gT 2 è

ö ÷÷ ø

2.46

ö ÷ ÷ ø

0.2

(10)

Rumusan J.D. Fenton, 2008 berdasarkan logaritmik matching (Junke Guo, 2002) Dengan menggunakan cara yang sama, akan tetapi dengan persamaan batas / asimptot yang lain Fenton dapat menyelesaikan persamaan pendekatan sebagai berikut:

kd »

(

w 2d 1 - e - (w g

d / g )5 / 2

)

-2 / 5

(11)

Rumusan dengan pendekatan deret Taylor oleh Peter Nielsen, 2005 Dengan menggunakan deret Taylor untuk tangen hiperbolik sebagai berikut: ¥ 2 2 n (2 2 n - 1) B 2 n x 2 n -1 x 3 x 5 17 x 7 p tanh( x ) = x - + ,x < +K = å 3 15 315 (2n )! 2 n =1

(12)

dengan B2n adalah bernoulli number. Nielsen mengembangkan persamaan pendekatan panjang gelombang sebagai berikut:


H-25

Keairan

11 ù é 1 kd » k 0 d ê1 + k 0 d + (k 0 d ) 2 + Lú jika kod <2.56 360 û ë 6

(

kh = k 0 h 1 + 2e -2 k 0h

3.

)

(13)

pendekatan jika kod>2.56

(14)

PELAKSANAAN PENELITIAN

Untuk dapat memberikan penilaian dari persamaan-persamaan pendekatan maka diperlukan pembandingan yang setara, untuk itu diperlukan penyetaraan persamaan, penetapan titik benchmark nilai dan range batas penilaian. Penilaian dilakukan dengan menghitung selisih dari persamaan pendekatan terhadap titik benchmark, dan diambil nilai terbesar dari seluruh titik yang diuji

Penyetaraan Persamaan pendekatan Persamaan pendekatan harus memiliki paramter yang sama sehingga dapat dihitung tabulasinya dengan cara yang sama. Oleh sebab itu dapat diperoleh persamaan setara sebagai berikut : 1.

2.

Persamaan Eckart, 1952

kd @ k o d (tanh (k o d

Persaamaan Fenton dan Mc Kee, 1990

(

kd @ k 0 d tanh (k o d 3.

(15)

)3 / 4 )

(16)

-2 / 3

Persamaan Peter Nielsen, 2005 11 é 1 ù kd @ k 0 d ê1 + k 0 d + ( k 0 d ) 2 + Lú untuk kod < 2.56 6 360 ë û

(

kd @ k 0 d 1 + 2e 4.

))-0.5

-2 k 0d

)

untuk kod > 2.56

Persamaan usulan, 2007

(

kd @ k 0 d 1 + (k 0 d ) 2.46 5.

Persamaan Fenton, 2008

(17)

(

kd @ k o d 1 - e -( k o d )

5/4

)

0.2

(18)

)

-2 / 5

(19)

Penetapan range persamaan dan penetapan nilai benchmark Range perbandingan hasil persamaan pendekatan dilakukan pada batas batas dan nilai bechmark sebagai berikut Benchmark 100

10

1

k.d

1E-08

0.000000 0.000001 1

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.1

0.01 Benchmark 0.001

0.0001

ko.d

Gambar 4. titik-titik benchmark dalam range untuk penilaian persamaan pedekatan

H-26


Keairan

Nilai benchmark dilakukan pada titik uji dengan menggunakan persamaan :

k 0 d = kd tanh (kd

)

(19)

Hasil ini menjadi hasil analitik untuk dibandingkan dengan hasil hitungan dengan persamaan pendekatan. Range digunakan adalah perkiraan dari peneliti dengan memberikan range yang dipandang sudah mecukupi batas maksimal dan minimal yang masih mungkin terjadi.

Tabulasi dan grafik akurasi persamaan pendekatan Tabulasi pehitungan setiap titik data dilakukan untuk semua persamaan pendekatan, dan sebagai hasil dapat dibuat grafik hasil sebagai berikut : 100

10

1 0.000001

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

k.d

0.00000001 0.0000001

1

10

100

0.1 nizar 2007 0.01

eckart 1952 Fenton 1989 Fenton 2008

0.001

Nielsen 2006 Benchmark

0.0001

ko.d

Gambar 5. Plotting hasil analisis persamaan pendekatan terhadap titik benchmark

Penliaian hasil Berdasarkan tabulasi pehitungan menurut maksimum kesalahan terjadi maka dapat diperoleh penilaian obyektif, sedangkan penilaian kemudahan pemakaian dilihat dari jumlah suku hitungan. Tabel 4. Penilaian hasil persamaan pendekatan Persamaan Persamaan Eckart Persaamaan Fenton dan Mc Kee Persamaan Peter Nielsen Persamaan Usulan Persamaan Fenton

4.

tahun 1952 1990 2005 2007 2008

Maksimal kesalahan 0.04978 0.016144 0.004368 0.053838 0.007886

Obyektif penelitian Teliti no 4 Mudah dipakai Teliti no 3 Sedikit sulit Teliti no 1 Sulit digunakan Teliti no 5 Sedikit sulit Teliti no 2 Sedikit sulit

Prioritas pakai 4 3 2 5 1

KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil hasil penelitian tersebut dapat kami temukan hasil hasil simpulan sebagai berikut : 1. 2. 3. 4. 5.

Seluruh persamaan memiliki kesalahan lebih kecil dari 6% terutama untuk kisaran kod sekitar nilai 1. Kesalahan terkecil dimiliki oleh pendekatan oleh Nielsen, akan tetapi persamaan ini kurang praktis karena ada 2 persamaan, akan tetapi jika hitungan kod < 2.46 maka persamaan ini adalah yang terbaik Secara keseluruhan persamaan Eckart adalah yang termudah dan relatif memiliki ketelitian memadai. Persamaan yang diusulkan penulis masih belum memiliki ketelitian yang baik dan belum layak digunakan. Persamaan Fenton dan Nielsen layak untuk digunakan dengan ketelitian terbaik dan dapat dipilih salah satu dari keduanya sesuai kebutuhan

Saran 1.

Tidak mudah untuk dapat merumuskan dan memperoleh persamaan yang baik sehingga perlu pembelajaran lebih lanjut untuk dapat menurunkan persamaaan sekelas hasil John Fenton atau Peter Nielsen


H-27

Keairan

2.

Persamaan keduanya layak untuk digunakan di lingkungan kampus agar memudahkan mahasiswa dalam menghitung tanpa menggunakan tabel dan interpolasi

DAFTAR PUSTAKA Achmad, Nizar (2007), Pemadanan Logaritmis Pada Pendekatan Persamaan Gelombang Airy, Jurnal teknik Janateknika, FT-UJB Edisi khusus Kemerdekaan Agustus 2007, halaman 20-27 Achmad, Nizar (2010), Lap. Penelitian Analisa Persamaan Pendekatan Gelombang Airy Untuk Perhitungan Panjang Gelombang Pantai, LPPM Universitas Janabadra, Yogyakarta Fenton, John, June 2010, Coastal and Ocean Engineering, Course Module Institut für Wasserbau und Ingenieurhydrologie, TU Wien Guo, Junke (2002), Logaritmic Matching and its Application in Computational Hydraulics And Sediment Transport, J of Hydraulic research vol 40, 2002, No 5, pg 555-565 Nielsen, Peter (2005), Teaching notes on coastal and estuarine proccesses, School of Engineering, The University of QuensLand, Brisbane Australia Triatmodjo, Bambang, Pelabuhan (1996), Buku cetakan pertama, Beta Offset, Yogyakarta Triatmodjo, Radianta (2007), catatan kuliah Teknik Pantai, Program Pasca Sarjana Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia USACE (2006), Coastal Engineering Mechanic EM 1110-2-1100 (change 2), Chap II Part 2. Water Wave Mechanic

H-28


Penggunaan Persamaan Pendekatan Untuk panjang gelombang pantai

Recommend Documents