Fisika Modern. Persamaan Schroodinger dan Fingsi Gelombang

Fisika Modern

Persamaan Schroodinger dan Fingsi Gelombang

Apa Persamaan untuk Gelombang Materi? De Broglie memberikan postulat bahwa setiap partikel memiliki hubungan:

  h/ p Golombang materi alami ini dikonfirmasi oleh percobaan difraksi elektron, dll (see earlier). Jika materi memiliki sifat seperti gelombang, maka harus ada fungsi matematika untuk menyelesaikan persamaan turunan gelombang yang menggambarkan perilaku elektron, atom dan molekul.

Persamaan turunan ini disebut sebagai Persamaan Schrödinger dan penyelesaiannya disebut sebagai fungsi gelombang . Bagaimana bentuk Persamaan Schrödinger ?

Bentuk Gelombang Klasik Bentuk persamaan gelombang dalam 1 dimensi (Buka kembali Fisika Dasar!):

 2 1  2  2 2 x v t 2 Dimana v adalah kecepatan gelombang. Bisakah digunakan untuk gelombang materi di ruang bebas? i ( kx t ) Coba penyelesaian: .

( x, t )  e

Ternyata tidak tepat! Untuk partikel bebas kita tahu bahwa E=p2/2m.

Sebuah alternatif…. Coba kita ubah bentuk persamaan sblmnya: ( adalah konstan) Sekarang coba solusi yang sama:

 2   2 t x

( x, t )  ei ( kx t )

      i 2 2m x t 2

Karena partikel bebas, bentuk gelombangnya adalah:

Untuk

( x, t )  e

i ( kx t )

2

2 2 k  kita peroleh ( x, t )   ( x, t ) 2m

Yang memiliki bentuk: (KE)  fungsigelombang = (Total energy)  fungsigelombang

Persamaan Schrödinger gayut waktu Untuk partikel dlm potensial V (x,t)  kita peroleh

p2 E  V ( x, t ) 2m

(KE + PE)  fungsigelombang = (Total energy)  fungsigelombang

 2  2    V ( x , t )   i  2m x 2 t

PSGW

Catatan: 1. PSGW adalah salah satu postulat mekanika kuantum. Meskipun PS tidak bisa diturunkan, ia terbukti konsisten untuk semua eksperimen. 2. PS adalah orde pertama yang gayut waktu (cf. persamaan gelombang ).klasik 3. PS melibatkan bilangan kompleks i demikian pula penyelesaiannya. Hal ini berbeda dari gelombang klasik

Operator Hamiltonian PSGW dapat ditulis sbb:

 2 2   2  2    V ( x, t )     V ( x, t )   Hˆ  2 2 2m x  2m x 

Ĥ disebut operator Hamiltonian yang mrpkn operator differensial yang mewakili total energi dari suatu partikel. Yaitu

2 2 2   ˆ p   x ˆ ( x)  Hˆ     V ( x )   V 2  2m 2 m  x  

 x

Dimana operator momentum operator :

pˆ x  i

Penulisan singkat PSGW:

 ˆ H  i t

Menyelesaikan PSGW– Aaargh! Anggap potensial independen terhadap waktu i.e. V(x, t) = V(x) sehingga:

 2  2 i   V ( x)  t 2m x 2

PSGW melibatkan variasi  dengan t sementara persamaan yang lain melibatkan variasi  terhadap x. karenanya kita melihat penyelesaian secara terpisah: ( x, t )   ( x)T (t )

kemudian Sekarang bagi dgn  T:

 2  2 T  T 2  V ( x)T  i 2m x t  2 1  2 1 T   V ( x )  i  2m  x 2 T t

Semua sisi untuk semua x dan t harus konstan, E 1 T E T t  2 1  2   V ( x)  E 2 2m  x

i

Sehingga kita peroleh:

Persamaan Schrödinger tak gayut waktu Selesaikan persamaan:

i

1 dT E T dt



dT iE   dt T 

 T (t )  AeiEt / 

Ini mirip seperti gelombang e-it dengan E = ћ. Karenanya T(t) tergantung dari E. Untuk mencari nilai Energi sesungguhnya kita harus menyelesaikan bagian ruang dari permasalahan ini …. Persamaan ruang menjadi

 2  2   V ( x)  E 2 2m x

or

Hˆ   E

Ini adalah Persamaan Schrödinger tak gayut waktu (PSTGW) .

Bentuk ini terkadang sulit diselesaikan – tergantung dari V(x)!

Persamaan Eigennilai Persamaan Schrödinger adalah bentuk dari persamaan Eigenvnilai

Ĥ adalah operator Hamiltonian,

Hˆ   E

2 2  d Hˆ  Tˆ  Vˆ    V ( x) 2 2m dx

 adalah fungsigelombang dan eigenfungsi dari Ĥ; E adalah energi total (T + V) dan sebuah eigenvalue dari Ĥ. E hanya konstan!

PSTGW untuk partikel bebas  2  2   E 2m x 2

Untuk partikel bebas V (x) = 0, sehingga: dan memiliki penyelesaian   e

ikx

or e

ikx

Penyelesaian untuk gayut waktu:

where

k 2 2 E 2m

( x, t )   ( x) T (t )  ei (  kx  Et /  )

Koresponden dengan gelombang yang bergerak dalam arah  x : (i) Frekuensi sudut,  = E / ћ  E = ћ !



(ii) Vektorgelombang, k = (2mE)1/2 / ћ = p / ћ  p = h /  !

Dualisme Partikel-Gelombang!



Interpretasi dari (x,t) Bentuk gelombang adalah kompleks dari  (x,t), apakah ini berhubungan dengan pengukuran sistim fisik secara real?

Lahir interpretasi Peluang menemukan partikel pada panjang dx sebagai posisi x dan waktu t sama dengan: 2 *

 ( x, t )( x, t )dx  ( x, t ) dx  P( x, t )dx

* adalah bilangan real yang dibutuhkan untuk distribusi probabilitas dan probabilitas per unit panjang (atau volume dalam 3d).  adalah probability amplitude, * (= P(x,t) ) the probability density dan * dx the probability.

Bersambung di Pertemuan yang akan datang

SEKIAN