SOLUSI GELOMBANG BERJALAN UNTUK PERSAMAAN SCHRÖDINGER DENGAN PENUNDAAN TERDISTRIBUSI (Traveling wave solutions for Schrödinger equation with distributed delay)
Oleh : ACHMAD SUBEQAN NRP: 1206 100 062 Dosen Pembimbing : 1.Dra.SriSuprapti H, MSi 2. Drs.IGN Rai Usadha, MSi
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2011
Abstrak Tugas akhir ini dikhususkan untuk mempelajari gelombang berjalan dari persamaan schrodinger nonlinier dengan penundaan terdistribusi berdasarkan penggunaan teori pertubasi singular geometri, teori diferensial manifold dan analisis pertubasi reguler untuk sistem hamiltonian. Berdasarkan asumsi bahwa besar dan rata-rata kernel untuk penundaan terdistribusi sangat kecil, pertama diinvestigasi eksistensi solusi gelombang soliter berdasarkan teori diferensial manifold. Kemudian dengan menggunakan analisis pertubasi reguler untuk sistem hamiltonian, dieksplorasi solusi gelombang berjalan secara periodik. Visualisasi solusi gelombang berjalan yang telah diperoleh selanjutnya disimulasikan dengan menggunakan software matlab. Dari hasil simulasi yang dilakukan, terlihat bahwa solusi gelombang berjalan terjadi pada dua kasus, yaitu saat c=0 didapatkan solusi gelombang homoklinik. Kemudian pada saat c>0 dan c<0, dihasilkan gelombang berjalan secara periodik. Kata kunci: NLS dengan penundaan terdistribusi, gelombang berjalan, pertubasi reguler, pertubasi singular geometri, diferensial manifold, sistem hamiltonian.
PENDAHULUAN Latar belakang Persamaan Schrödinger diajukan pada tahun 1925 oleh fisikawan Erwin Schrödinger (1887-1961). Persamaan ini pada awalnya merupakan jawaban dari dualitas partikelgelombang yang lahir dari gagasan de Broglie yang menggunakan persamaan kuantisasi cahaya Planck dan prinsip fotolistrik Einstein untuk melakukan kuantisasi pada orbit elektron
Penerapan persamaan Schrödinger pada sistem fisika memungkinkan kita mempelajari sistem tersebut dengan ketelitian yang tinggi. Penerapan ini telah memungkinkan perkembangan teknologi saat ini yang telah mencapai tingkatan nano. Penerapan ini juga sering melahirkan ramalan-ramalan baru yang selanjutnya diuji dengan eksperimen. Pada tugas akhir ini dikhususkan untuk mempelajari gelombang berjalan persamaan Schrödinger nonlinear dengan penundaan distribusi dengan menerapkan teori perturbasi singular geometri, teori diferensial manifold dan analisis pertubasi reguler untuk sistem Hamiltonian.
PENDAHULUAN Rumusan Masalah
Pemasalahan yang dibahas adalah bagaimana solusi gelombang berjalan untuk persamaan Schrödinger dengan penundaan distribusi dengan menerapkan teori perturbasi singular geometri, teori diferensial manifold dan analisis pertubasi reguler untuk sistem Hamiltonian
PENDAHULUAN (Lanjutan) Batasan Masalah 1 2
3
Menguji eksistensi dan struktur solusi gelombang berjalan pada sistem delay.
Solusi gelombang berjalan akan diselesaikan secara analitik.. Simulasi gelombang berjalan untuk berbagai kasus dengan menggunakan software matlab.
PENDAHULUAN (Lanjutan) Tujuan 1
Menyelidiki adanya solusi gelombang soliter oleh teori diferensial manifold
2
Memanfaatkan analisis pertubasi reguler untuk suatu sistem Hamiltonian..
3
Mengeksplorasi solusi gelombang berjalan secara periodik
Manfaat
memberikan sumbangsih hasil penelitian agar nantinya menjadi bahan rujukan untuk implementasi di dunia nyata sesuai perkembangan teknologi saat ini yang telah mencapai tingkatan nano.
Tinjauan pustaka
Nonlinier scrhodinger equation equatio .
iU t + α U xx + β | U | 2 U = 0 keterangan : t : waktu α = koefisien dispersi β= koefisien Landau,. U : fungsi bernilai kompleks dari ruang koordinat x : konjugasi kompleks U.
iUt +Ut +f*| U |2 U - U(| U |2 ) x = 0, Zhihong zhao dan Weigao Ge, 35 (2011) 675–687.
Tinjauan pustaka
Gelombang berjalan
y(x, t) = Acos(2
2
π T
- 2
π λ
π T
t -2 d d
x
π T =
x + ϕ0)
0
t
Supriyadi dkk,2006
Tinjauan pustaka .
Teori pertubasi singular geometri
dan
f,g adalah
adalah parameter nyata
di set
dimana
I interval terbuka yang bernilai 0. Zhihong zhao dan Weigao Ge, 35 (2011) 675–687.
Tinjauan pustaka
Teori diferensiakl manifold
Persamaan Diferensial Manifold sebagai berikut:
Dengan asumsi bahwa :
J. Carr, 1981:35
Tinjauan pustaka
Analisis pertubasi reguler untuk sistem Hamiltonian
Dengan asumsi sebagai berikut:
Analisis pertubasi reguler untuk sistem Hamiltonian dapat digunakan untuk menetapkan adanya solusi homoclinic. Zhihong zhao dan Weigao Ge, 35 (2011) 675–687.
Metodologi penelitian
Pembahasan (1a)
bukti
Uji eksistensi solusi gelombang berjalan dengan bantuan teori pertubasi singular NLS - solusi persamaan schrodinger nonliniernya A adalah fungsi real dan representasi amplitudo dari gelombang berjalan dengan nomer gelombang c>0 dan frekuensi w>0. Karena dan
diperoleh : »
----------
Pembahasan (1b) Sistem nondelay
Jika (u,v)=(0,0) homoklinik U>0 gelombang berjalan dan periodik >0.
Pembahasan (2) Analisis dengan integral abelian
Pembahasan (2) lanjut Karena
Sehingga didapatkan
Yang artinya bahwa solusinya terjadi kemonotonan atau konvergensinya terjaga
Pembahsan (3a) Pembuktian teorema 4.3
Karena dan Sistem nondelay : jadi --karena
next Sistem nondelay
Oleh diferensial manifold maka dapat:
next
Dan Sehingga
pembahasan
Dengan demikian ,ketidak eksistensi dari solusi gelombang berjalan dengan c ( bukan nol) pada kasus ini.
KESIMPULAN Dari hasil pembahasan dan simulasi diperoleh kesimpulan sebagai berikut : Dengan metode analitik dengan berbagai kasus kita dapatkan solusi gelombang berjalan baik homoklinik maupun periodik. Dengan visualisasi berupa simulasi I(c=0) bahwa terlihat terjadi solusi gelombang homoklinik seperti yang telah dijelaskan oleh analitik . Dengan visualisasi berupa kasus II(c>0)dan III(c<0) bahwa terlihat Solusi gelombang soliter berjalan secara peiodik
