SOLUSI PERSAMAAN GELOMBANG DUA DIMENSI PADA MEMBRAN PERSEGI DENGAN KOEFISIEN BERBEDA

SOLUSI PERSAMAAN GELOMBANG DUA DIMENSI PADA MEMBRAN PERSEGI DENGAN KOEFISIEN BERBEDA Muhammad Ridwan

Nurul Muslihat

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Email:

STT Telematika Bogor

ABSTRAK

Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2014 Artikel No.: 4 Halaman: 23 - 27 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM

Beberapa literatur ilmiah telah menyelesaikan persamaan gelombang pada membran persegi namun hanya menyajikan penyelesaian biasa, tidak meninjau beberapa aspek yang dapat terjadi. Penelitian ini ditujukan untuk menganalisa bagaimana gelombang merambat pada membran persegi apabila koefisien pada sisi-sisinya berbeda. Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur (tinjauan pustaka). Penelitian ini mengkaji beberapa literatur ilmiah dan hasil olah pikir yang berkaitan dengan persamaan gelombang. Ada tiga macam kemungkinan yang dapat terjadi untuk nilai koefisien yang berbeda yaitu (1) solusi yang diperoleh sama dengan solusi persamaan gelombang satu dimensi jika salah satu koefisien sama dengan nol, (2) Solusi persamaan menjadi tidak menarik jika koefisien c1 = c2, (3) untuk c1  c2  0 diperoleh solusi yang ekivalen dengan solusi persamaan gelombang koefisien sama, perbedaan hanya terletak pada nilai kmn. Namun perbedaaan yang terletak pada nilai kmn memberi dampak pada animasi gelombang yang terjadi pada membran persegi. Untuk nilai c1=1/2 > c2 =1/8 gelombang bergerak sepanjang sumbu-x sisi sebelah kiri menuju sisi sebelah kanan sejajar sumbu-y hingga sumbu-x sebelah kanan pada saat t=0..8. Sedangkan untuk c1=1/8 < c2 =1/2 gelombang bergerak sepanjang sisi sebelah kiri sejajar sumbu-y menuju sisi sebelah kanan yang sejajar dengan sumbu-x kemudian berlajut sepanjang sisi sebelah kanan pada saat t=0..8. Kata Kunci: Persamaan Gelombang, Membran, Koefisien

1. PENDAHULUAN Perkembangan ilmu pengetahuan sangat pesat seiring dengan pesatnya perkembangan teknologi. Kebutuhan dan kreativitas manusia merupakan salah satu pemicu kemajuan teknologi sampai saat ini. Kebutuhan manusia yang semakin rumit dan mendesak ikut pula mendorong kemajuan ilmu pengetahuan, terutama dasar ilmu pengetahuan yaitu matematika. Sehingga semakin lama semakin banyak permasalahan dalam kehidupan seharihari yang dimodelkan dalam model matematika untuk menjawab dan menyelesaikan kebutuhan manusia yang semakin rumit. Pemodelan merupakan proses yang penting dalam berbagai bidang untuk menerjemahkan situasi fisik atau

beberapa pengamatan lain menjadi model matematika (Kreyszig, 2011). Salah satu masalah yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari adalah masalah fisik, apabila situasi fisik dan geometri yang ditemui dimodelkan sebagai suatu fungsi yang melibatkan satu atau lebih variabel bebas maka matematika dengan mudah akan menjawab masalah tersebut karena situasi fisik sangat erat hubungannya dengan persamaan diferensial. Persamaan diferensial (PD) merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang termasuk topik penting karena persamaan diferensial memiliki peranan yang besar dalam kehidupan sehari-hari. Secara umum dapat diungkapkan bahwa setiap situasi fisik yang berhubungan dengan kecepatan perubahan suatu variabel

23

Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 lainnya akan menuju ke suatu diferensial, situasi seperti ini sangat sering ditemukan (Alonso dkk., 1994)

dalam membran tersebut. Jika koefisien pada sisi

Banyak literatur ilmiah yang membahas penyelesaian persamaan gelombang pada membran persegi namun hanya menyajikan penyelesaian yang baku, tidak meninjau beberapa aspek yang dapat terjadi. Menyelesaikan persamaan gelombang dapat menggunakan metode gelombang-polinomial untuk getaran yang merambat pada membran persegi dan membran bulat (Maciag dkk., 2005). Metode pemisahan variabel digunakan untuk mencari solusi persamaan gelombang pada membran persegi seperti yang ditunjukkan (Asmar, 2005), (Finisio dkk., 2008), dan (O’neil, 1983). Sedangkan (Renaut dkk., 1996) memperlihatkan gelombang yang merambat pada membran persegi dengan kondisi batas yang menyerap gelombang. Berdasarkan uraian latar belakang masalah penelitian ini ditujukan untuk menganalisa bagaimana gelombang merambat pada membran persegi apabila koefisien pada sisi-sisinya berbeda.

koefisien yang sejajar dengan sumbu-y disebut

2. METODE DAN BAHAN

yang sejajar sumbu-x disebut c1 berbeda dengan

c2 . Membran tersebut dilepaskan dengan kecepatan

awal

dan

g ( x, y)

pergeseran

f x, y  yang kontinyu dan

melintang awal

bernilai nol pada batas dari sisi-sisinya, maka persamaan untuk gerakan melintang ini adalah: 2 2 2 2  2      u x , y , t  c u x , y , t  c ux, y, t  (1) 1 2 t 2 x 2 y 2

dimana 0  x  a , 0  y  b , t  0 dengan syarat batas:

u0, y, t   0; ua, y, t   0; 0  y  b, t  0   ux,0, t   0; ux, b, t   0; 0  x  a, t  0

(2)

 u x, y,0  f x, y   dengan syarat awal:   u x, y,0  g x, y    t

(3)

Secara umum desain penelitian ini adalah menentukan nilai koefisien yang berbeda pada sisi yang sejajar sumbu-x dan yang sejajar sumbu-y pada membran persegi. Persamaan gelombang dua dimensi selajutnya diselesaikan

Solusi diperoleh dengan menggunakan metode pemisahan

variabel.

Dengan

menggunakan

metode perkalian solusi atau pemisahan variabel yang berbentuk;

dengan metode pemisahan variabel untuk

ux, y, t   X x Y  y T t 

memperoleh solusi. Perilaku gelombang pada

persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk

(4)

XYT "  c1 X "YT  c2 XY "T 2

membran dengan koefisien berbeda dapat dilihat

2

(5)

melalui gambar yang buat menggunakan alat

Solusi untuk persamaan gelombang dua dimensi

bantu komputasi software Maple.

(1) yang memenuhi syarat awal (2) dan syarat

3. HASIL Sebuah membran segi empat yang sisi-

batas (3) adalah; 

u

sisinya dijepit dan sisi-sisinya mempunyai panjang a dan lebar b . Misalkan ux, y, t  menyatakan pergeseran melintang pada waktu t

24

mn



 x, y , t     E

1 , mn

n 1

m 1

cos k t  E mn

2 , mn

sin k t  sin

m x

mn

a

 sin

n y b

(6)

Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014

c1  c2  0 , dimana c1  T1 

c1 m 2 c2 n 2  2 ; a2 b

dimana: k mn  

4 mx ny  f x, y sin  sin dxdy dan   ab 0 0 a b b a

E1,mn

E 2,mn 

4 abk mn

Jika

0 0

mx ny  sin dxdy a b

diberikan

membran

b b

  g x, y sin

m  n  0..3 ;

a  b  5,

persegi

g x, y   0 ;

f x, y   xx  1y y  1 ; c1  c2 yaitu c1  dan

c2 

1

8

, diperoleh gambar pergerakan

seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1. Berdasarkan Gambar 1 diperoleh bahwa untuk

c1 

1

2

 c2 

1

8

1

2

membran yang di plot dengan software maple

nilai

dan c1  T1 

adalah konstanta yang selalu bernilai positif karena T menyatakan tegangan yang selalu bernilai positif dan  menyatakan massa jenis yang bernilai positif (Nagayasu, 2007). Solusi persamaan gelombang dengan koefisien yang sama telah ditunjukkan oleh Kreyszig (2011). Apabila salah satu koefisien pada persamaan (5) sama dengan nol dan koefisien yang lain tidak sama dengan nol c1  c2 yaitu c1  0 dan c2  0 atau c1  0 dan c2  0 maka persamaan (5) menjadi; XYT "  c1 X "YT atau XYT "  c2 XY "T 2

1

1

simpangan gelombang

yang terbesar bergerak sepanjang sumbu-x sisi sebelah kiri menuju sisi sebelah kanan sejajar sumbu-y hingga sumbu-x sebelah kanan pada saat t  0...8 . Jika diberikan membran persegi a  b  5 , m  n  0..3 ; g x, y   0 ; 1 f x, y   xx  1y y  1 ; c1  c2 yaitu c1  8 1 dan c 2  , diperoleh gambar pergerakan 2 membran yang di plot dengan software maple seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2. Berdasarkan Gambar 2 untuk c1  18  c2  1 2 simpangan gelombang yang terbesar bergerak sepanjang sisi sebelah kiri yang sejajar sumbu-y menuju sisi sebelah kanan yang sejajar dengan sumbu-x kemudian berlajut sepanjang sisi sebelah kanan tersebut sampai t  0...8 .

(7)

Persamaan (7) ekuivalen dengan persamaan gelombang satu dimensi dan akan diperoleh solusi persamaan gelombang satu dimensi. Hal ini dapat diselesaikan dengan mudah seperti yang telah ditunjukkan oleh Atangana (2003). Apabila dua koefisien pada persamaan (5) tidak sama dengan nol yaitu c1  0 dan c2  0 maka tidak menarik jika c1  c2 , karena akan diperoleh persamaan gelombang dua dimensi yang biasa dan mudah diselesaikan. Namun solusi persamaan gelombang menjadi menarik jika kedua koefisiennya berbeda dan tidak sama dengan nol, yaitu c1  0 , c2  0 dan c1  c2 . Sehingga apabila kedua ruas persamaan (5) dibagi dengan XYT, masing-masing ruas akan tergantung pada satu variabel menjadi; T" 2 X" 2 Y"  c1  c2 T X Y

(8)

Pada ruas kiri hanya fungsi t dan di ruas kanan hanya fungsi x dan y , maka masing-masing ruas haruslah sama dengan sebuah konstanta k . T"  k 2 atau T "k 2T  0 T 2 X" 2 Y" c1  c2  k 2 atau X Y

4. PEMBAHASAN Penelitian ini menunjukkan bahwa solusi yang diperoleh pada persamaan (6) ekuivalen dengan solusi persamaan gelombang koefisien

2

c1

2

X" 2 Y"  c 2 k2 X Y

(9)

(10)

25

Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 Pada persamaan (10) terdapat dua PD yang masing-masing ruas hanya tergantung pada satu variabel, sehingga masing-masing ruas sama dengan sebuah konstanta.

 c1    atau X "   X  0 X  c1  2

X"

 v Y"  c2  k 2    2 atau Y " Y  c2 dimana v 2  k 2   2

(11)

Menurut Falletta (2012) Solusi untuk persamaan (9), (11) dan (12) dapat ditulis menjadi; X x   A1 cos

x

 A2 sin

x

c1 c1 vy vy Y  y   B1 cos  B2 sin c2 c2 T t   E1 cos kt  E2 sin kt

Berdasarkan syarat batas X

dan Y

c1 m ; dimana m  1,2,3,... a c n dimana n  1,2,3,... v  vn  2 b

(15) maka

(16)

(23)

Koefisien E1,mn dan E 2,mn adalah koefisien Fourier (Hu, 2012). Koefisien ini dapat diperoleh dengan mensubtitusi pergeseran dan kecepatan awal (3) yang memenuhi persamaan (23).

4 mx ny f x, y sin  sin dxdy   ab 0 0 a b

(24)

mx ny  sin dxdy a b

(25)

b a

E2,mn

4  abk mn

b b

 g x, y sin 0 0

(17) 5. KESIMPULAN DAN SARAN

(18)

Subtitusi nilai  m , v m dan k mn masing-masing ke persamaan (13), (14), dan (15).

m x a n Yn  y   sin y b Tmn t   E1,mn cos k mn t  E2,mn sin k mn t

m n sin x  sin y a b

E1,mn 

konstanta k dapat ditulis menjadi;

X m x   sin



(14)

dengan mensubtitusi nilai  dan v maka

c1 m 2 c2 n 2   2 a2 b



u  x, y, t     E1,mn cos kmnt  E2,mn sin kmnt  n 1 m 1

dan v dapat ditulis sebagai:

  m 

(22)

Peng (2012) menggunakan prinsip superposisi untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial, sehingga berdasarkan prinsip superposisi maka solusi (22) dapat ditulis;

(13)

diperoleh A1  0 dan B1  0 , sehingga nilai 

26

m n x  sin y a b  E1,mn cos kmnt  E2,mn sin kmnt 

umn  x, y, t   sin

2

  Y  0  (12)

c1 m 2 c2 n 2  2 . Solusi yang a2 b

diinginkan untuk ux, y, t   XYT adalah

2

2

2

k  k mn

Dimana k mn  

(19) (20) (21)

Berdasarkan hasil penelitian diperoleh solusi persamaan gelombang dua dimensi dengan koefisien berbeda ekivalen dengan solusi persamaan gelombang koefisien sama. Namun perbedaaan yang terletak pada nilai k mn memberi dampak yang cukup besar pada animasi gelombang yang terjadi pada membran persegi. Untuk nilai simpangan c1  1 2  c2  18 gelombang yang terbesar bergerak sepanjang sumbu-x sisi sebelah kiri menuju sisi sebelah kanan sejajar sumbu-y hingga sumbu-x sebelah kanan pada saat t  0...8 . Z Sedangkan untuk c1  18  c2  1 2 simpangan gelombang yang terbesar bergerak sepanjang sisi sebelah kiri sejajar sumbu-y menuju sisi sebelah kanan yang sejajar dengan sumbu-x kemudian berlajut

Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014 sepanjang sisi sebelah kanan tersebut sampai t  0...8 . Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan memberi perlakuan yang lain misalnya dengan memberikan kecepatan awal ( g x, y   0 ) dan mengubah bentuk membran menjadi persegi panjang ( a  b ) atau memberikan keadaan awal yang lain. 6. DAFTAR PUSTAKA Alonso M. and Finn J.E. (1994). Dasar-dasar Fisika Universitas. Jilid 2 Medan dan Gelombang. Erlangga. Jakarta. Asmar

N. H. 2005. Partial Differential Equations, With Fourier Series and Boundary Value Problems, Pearson Prentice Hall. USA.

Atangana, A. dan Kilicman, A. (2013). A Possible Generalization of Acoustic Wave Equation Using The Concept of Pertubed Derivative Order. Mathematical Problems in Engineering. 2013. 1 – 6. Falletta, S., Monegato G. dan Scudery, L., (2012) A Spaces-time BIE Method for Wave Equation Problems: The (twodimensional) Neuman Case. IMA J. Numer Anal. Finizio N. and Ladas G. (1982). An Introduction toDifferential Equations with Difference Equations, Fourier Series, and Partial Differential Equations. Wadsworth. California.

Gambar 2 Pergerakan Membran pada t  0...8 dgn C1 > C2

Hu, M. S., Agarwal, R. P. dan Yang, X. J. (2011). Local Fractional Fourier Series with Application to Wave Equation in Fractal Vibrating String. Abstract and Appl Anal. 2012: 1 – 15. Kreyzig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics. 9th edition. Wiley Jhon Sons. Colombus. Nagayasu, S. (2007) An Inverse Problem for The One-dimensional Wave Equation in Multilayer Media. Osaka J. Math. 44: 415-439 Maciag A. and Wauer J. (2005). Solution of the two-dimensional wave equation by using wave polynomials. Springer. 51. 339350. O’neil, P.V., (1983), Advanced Engineering Mathematics, Wadsworth Publishing Company, California Peng, L., Keying, L., Zuliang, P. dan Weizhou, Z. (2012). A Class of PDEs with Nonlinier Superposition Principles. Journal of Apllied Mathematics. 2012: 1 – 15. Renaut, R. dan Frohlich, J. (1996). A Pseudospectral Chebychev Method for the 2D Wave Equation with Domain Stretching and Absorbing Boundary Conditions. Journal of Computational Physics. 124. 324-336.

Gambar 1 Pergerakan Membran pada t  0...8 dgn C1 < C2

27