MODEL DIFRAKSI PADA BREAKWATER DENGAN PERSAMAAN GELOMBANG AIRY YANG DISEMPURNAKAN
ABSTRAK MODEL DIFRAKSI PADA BREAKWATER DENGAN PERSAMAAN GELOMBANG AIRY YANG DISEMPURNAKAN Oleh Syawaluddin Hutahaean NIM : 35099040 Pada thesis ini dilakukan penelitian persamaan gelombang yang dapat digunakan pada perairan dangkal. Selanjutnya persamaan tersebut diselesaikan secara numeris, sehingga diperoleh model difraksi gelombang yang dapat digunakan pada perairan dangkal dan mempunyai solusi time series. Jadi lingkup penelitian adalah mencari persamaan pengatur atau model gelombang yang sesuai dengan kriteria, mengembangkan model numeris, meneliti kondisi solusi, serta melakukan verifikasi model pada fenomena difraksi. Teori gelombang yang pertama diperiksa adalah teori gelombang linier. Teori ini diturunkan dengan anggapan bahwa tinggi gelombang sangat kecil terhadap panjang gelombang dan kedalaman anggapan ini disebut dengan proses linierisasi. Sebagai konsikuensinya, berbagai persamaan yang dihasilkan oleh teori ini, meliputi potensial aliran, kecepatan arus dan bilangan gelombang hanya dapat digunakan untuk gelombang dengan amplitudo kecil dan pada perairan dalam. Formulasi laju transfer energi atau lebih dikenal dengan kecepatan group, juga dilakukan dengan proses linierisasi dan dihasilkan persamaan kecepatan group sebagai fungsi dari kecepatan gelombang yang dihasilkan dari persamaan dispersi. Oleh karena itu pada kecepatan group ini terdapat kesalahan linierisasi ganda, yaitu akibat formulasinya serta akibat formulasi kecepatan gelombang. Model transformasi gelombang, termasuk model difraksi yang berdasarkan pada teori gelombang linier, diformulasikan dengan anggapan bahwa potensial aliran gelombang adalah sesuai dengan potensial aliran gelombang dari teori gelombang linier. Formulasi modelnya sendiri juga melalui proses linierisasi. Selain itu ada juga yang diformulasikan dengan anggapan bahwa gelombang dapat bersuperposisi secara linier. Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan yang mengandung variabel derivatif antara lain bilangan gelombang, kecepatan dan kecepatan group. Jadi pada model transformasi gelombang ini terdapat kesalahan yang cukup besar akibat linierisasi yang berulang-ulang dan ada juga yang diakibatkan oleh superposisi gelombang secara linier. Persamaan berikutnya yang ditinjau adalah persamaan Boussinesq yang banyak mendapat perhatian dari para peneliti pada akhir-akhir ini. Pada persamaan ini
terdapat suatu koefisien yang pada saat ini nilainya diperoleh dengan menyamakan hasil dari persamaan dispersinya dengan hasil dari persamaan dispersi dari teori gelombang linier. Persamaan dispersi dari teori gelombang linier hanya berlaku untuk gelombang dengan amplitudo kecil, jadi persamaan Boussinesq juga hanya berlaku untuk gelombang dengan amplitudo kecil. Pemodelan gelombang dengan menggunakan persamaan Boussinesq ini memerlukan syarat batas kecepatan dan turunannya selain fluktuasi muka air, dimana sampai saat ini belum tersedia suatu persamaan yang menyatakan relasi antara fluktuasi muka air dengan kecepatan dengan tepat. Pada saat ini pemodelan dengan menggunakan persamaan Boussinesq, dilakukan dengan menggunakan relasi kecepatan-fluktuasi muka air sebagai syarat batas pada batas terbuka dari teori gelombang linier. Dari kedua hal tersebut, maka pemodelan dengan persaman Boussinesq belum bisa diharapkan memberikan hasil yang lebih baik daripada teori gelombang linier. Selanjutnya peneliti mengembangkan persamaan baru dengan cara memperbaiki persamaan gelombang Airy. Perbaikan dilakukan dengan anggapan bahwa pada persamaan original terdapat ketidak seimbangan energi, yaitu terlihat pada persamaan kontinuitas dimana terjadi perubahan energi potensial yang berupa fluktuasi muka air, tetapi tidak terjadi perubahan energi kinetik. Persamaan momentum adalah persamaan keseimbangan gaya yang menghasilkan percepatan atau perubahan kecepatan arus, tetapi bukan merupakan persamaan keseimbangan energi, yang menyatakan keseimbangan antara perubahan energi kinetik dan energi potensial. Dengan anggapan bahwa pada gelombang pendek, laju perubahan energi kinetik tidak dapat diabaikan, maka dibuat persamaan yang menyatakan keseimbangan antara perubahan energi potensial dengan energi kinetik. Selain itu, pada formulasi persamaan momentum dari gelombang Airy original terdapat suku yang diabaikan akibat anggapan gelombang panjang dan amplitudo kecil. Oleh karena itu, perbaikan pada persamaan momentum adalah dengan menggunakan suku yang terabaikan tersebut. Model numeris untuk menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, dikembangkan dengan menggunakan metoda selisih hingga untuk diferensial ruang. Sedangkan diferensial waktu diselesaikan dengan metoda integrasi, yaitu dengan anggapan bahwa fluktuasi muka air dan kecepatan, serta perkalian antara fluktuasi muka air dengan kecepatan maupun antar diferensialnya adalah suatu fungsi kontinu terhadap waktu dan dapat didekati dengan polinomial Lagrange untuk suatu interval waktu yang kecil. Pada batas terbuka, model hanya memerlukan fluktuasi muka air sebagai syarat batasnya. Eksekusi model pada n kali perioda gelombang pada kanal dengan kedalaman konstan, menunjukkan bahwa model memberikan solusi yang stabil. Model juga terbukti dapat mensimulasikan gelombang dengan tinggi gelombang mendekati tinggi gelombang pecah, baik pada perairan dalam maupun perairan dangkal. Pada perairan dangkal, dengan kedalaman berubah, atau dengan adanya peristiwa shoaling, dapat dicapai angka perbandingan antara tinggi gelombang dengan kedalaman sebesar 0,8. Model juga dapat mensimulasikan fenomena gelombang lainnya, yaitu refraksi-difraksi oleh batimetri, shoaling, refraksi dan difraksi pada
celah dan oleh benda dengan baik. Panjang gelombang yang dihasilkan model adalah merupakan fungsi dari tinggi gelombang, hal ini sesuai dengan teori gelombang Stoke Orde ke 5. Verifikasi model difraksi dilakukan dengan membandingkan antara hasil model dengan diagram-diagram difraksi yang terdapat pada Shore Protection Manual (SPM) 1984, dan terlihat terdapat kesesuaian antara hasil model dengan difraksi pada SPM.
ABSTRACT DIFFRACTION MODEL ON BREAKWATER USING EXTENDED AIRY'S WAVE EQUATION By Syawaluddin Hutahaean NIM : 35099040 In this thesis research of wave model that applicable in shallow water and has time series solution was done and then the selected wave equation is solved numerically to have numerical model of wave diffraction that can be used in shallow water. So, the scope of this research is selection of wave equation or wave model, develop numerical solution and verify the solution. The first wave theory being studied is linear wave theory. This theory was derived by assumption that wave's amplitude is too small to wave length and water depth that is called linearization. According to those assumption, many equation resulted from this theory for mention are, potential velocity, current velocity, wave number and phase velocity can only be used for waves with very small amplitude. Rate of energy transfer in propagating wave was also derived using linearization. Because the wave group velocity equation has wave speed and wave number as variable, and because formulation of its equation, the wave group velocity has double linearization. Wave's transformation models, including wave diffraction model, was formulated by linierization and using potential velocity from linier wave theory. One of them was derived by considering that wave superposition is linear. So, wave transformation model based on linier wave theory has multiple linearization. The next equation that was studied, is Boussinesq equation that has been studied by many researcher until now. The equation has an coefficient, called Bousinesq coefficient. Value of the coefficient was obtained by curve fitting dispersion equation of Boussinesq equation to dispersion equation of linier wave theory. The good choosen value of the coefficient is that give same result with linear wave theory this mean that the Boussinesq equation is good if give the same wave number with linear wave theory. As mention before, the linear wave theory can only be applied to small amplitude wave, with the curve fitting process, the Boussinesq equation is only be applied to small wave amplitude to. Wave modeling using Boussinesq equation needs water surface fluctuation and its first derivative, water velocity and its derivative too as boundaries condition in open boundary. The difficulties are, there is no equation that can describe relation between surface water fluctuation and resulted current velocity rightly, the use of first derivative of the water surface elevation and water velocity need right value
of wave number. Some researchers use the relation of water surface fluctuation and the resulted current from linear wave theory as boundary conditions. The last study is by trying to make an improvement in Airy's wave equation. The improvement is done by considering that there is unbalance energy fluctuation in continuity equation. In the continuity equation, there is energy potential fluctuation described by the water surface fluctuation without energy kinetic fluctuation. Momentum equation is not an energy equation, but is a force equilibrium equation that resulting acceleration or velocity. For short wave the rate of energy kinetic changing is must be considered. In momentum equation of original Airy' s wave, there is a term that abandoned due to long wave and small amplitude assumption. So, the second improvement is by applying the abandoned term in the extended Airy's wave. The numerical model is developed by solving the extended Airy equation by finite difference for spatial derivative and for time derivative is solved by integration. In open boundary the model is only need water surface elevation as boundary condition. Execution of the model in a canal with constant depth in N times wave period, show that the numerical solution is very stabile. The model can also executed for wave with height nearly breaking for its period. In canal with slowly varying depth, the model can also simulate wave shoaling, and the fraction between wave height and water depth is 0.9, before the model failed. The model can also simulate bathymetrical refraction-diffraction, diffraction in breakwater gap and diffraction due to obstruction. Wave's length resulted by the model is altering with the wave amplitude, this is agree with Stoke's wave theory fifth order.
