Solusi Khusus Persamaan Ricci Flow untuk Metrik Axisimetrik Empat Dimensi
Laporan Tugas Akhir Diajukan untuk memenuhi persyaratan kelulusan pendidikan tingkat S1 di Program Studi Fisika ITB
oleh:
FIKI TAUFIK A.S NIM. 10204021
KK Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2008
Dipersembahkan untuk:
Orang Tua tercinta, H.Babay Sobar dan Hj.Mumu Kulsum
”Nobody said it was easy, No one ever said it would be so hard...” (Coldplay, 2002)
LEMBAR PENGESAHAN
Solusi Khusus Persamaan Ricci Flow untuk Metrik Axisimetrik Empat Dimensi oleh: FIKI TAUFIK A.S NIM. 10204041
Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung
Tugas Akhir ini dipresentasikan pada 26 Juni 2008 Pembimbing :
Dr. rer. nat Bobby Eka Gunara
Penguji
:
Freddy P. Zen, D.Sc
:
Dr. Rizal Kurniadi
Telah diperiksa, disetujui, dan disahkan oleh: Pembimbing,
Dr. rer. nat Bobby Eka Gunara NIP. 132 206 228
Abstrak Pada tahun 1981, Richard Hamilton memperkenalkan persamaan Ricci Flow yang mengaitkan antara evolusi metrik dengan kelengkungan ruang dalam rangka memahami konjektur geometrisasi dari William Thurston yang berkenaan dengan klasifikasi topologi dari manifold tiga dimensi. Ricci flow ini diyakini berhubungan dengan fenomena fisis, terutama interaksi gravitasi. Pada tulisan ini akan diturunkan solusi eksak dari persamaan Ricci Flow untuk metrik axisimetrik 4D untuk kasus statik, dimana ω = 0, dan menggunakan asumsi bahwa berlaku kondisi separasi variabel dan fungsi-fungsi yang membentuk metriknya dapat terintegrasikan (integrabel).
iii
Abstract The Ricci flow, which connects metric evolution and curvature of space, was introduced by Richard Hamilton in 1981 in order to gain insight into the geometrization conjecture of William Thurston, concerning the topological classification of threedimensional smooth manifold. Many physicist believed that Ricci flow related to physical phenomena, especially gravity. In this project, we will derive an exact solution of Ricci flow equation for axisymmetric metric in 4D for static condition (ω = 0), and using assumption that all the function that forming the metrics are integrable.
iv
Prakata Segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam karena atas taufik, hidayah dan ilmuNya lah penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Segala ilmu dan pengetahuan adalah milikNya dan kepadaNya lah segala sesuatu akan kembali. Dalam pengerjaan tugas akhir ini, penulis banyak sekali mendapatkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih kepada : 1. Dr.rer.nat Bobby Eka Gunara, atas waktu dan bantuannya dalam membimbing penulis dalam pengerjaan tugas akhir ini. 2. Freddy P. Zen D.Sc dan Dr.Rizal Kurniadi, atas kesediaannya untuk menjadi dosen penguji. 3. Semua dosen dan staf program studi Fisika yang telah banyak membantu penulis dalam meyelesaikan kuliah. 4. Direktorat Pendidikan Tinggi (DIKTI) untuk program beasiswa unggulan, yang sangat membantu kelancaran penulis dalam menyelesaikan kuliah. 5. H. Babay Sobar (alm) dan Hj. Mumu Kulsum, orang tua penulis, atas semua dukungannya dan doanya kepada penulis. 6. Nopi R, Tya S, Dudi SS, Irna N, Winda K, kakak dari penulis, atas bantuan kepada penulis. 7. A Suroso, A Nurdiansyah, M Satrio, Aldowan A, Seramika, Marianette, Imamal M, Maureen dan semua teman-teman di KK Fisika Energi Tinggi dan Instrumentasi. v
vi 8. Teman-teman Fisika angkatan 2004 9. Bapak Tata Santana dan Dr.Teddy Setiawan yang banyak memberikan bimbingan dan nasihat kepada penulis. 10. Ibu Silvi yang telah banyak membantu penulis. 11. M R Ramadhan, K Badar, P Abimanyu, Z Rully, L Banuadi, G Arsika, temanteman kontrakan, atas waktunya bersama penulis selama 1,5 tahun. 12. Teman-teman KIOS dan alumni SMA Negeri 3 Bandung angkatan 2004 13. Teman-teman dari program studi Fisika yang telah banyak membantu penulis. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dari tugas akhir ini, sehingga penulis mengharapkan adanya masukan dan saran dari semua pihak untuk kemajuan penulis. Akhir kata, semoga tugas akhir ini bermanfaat bagi yang membacanya. Bandung, Juni 2008 Penulis
Daftar Isi Lembar Pengesahan
ii
Abstrak
iii
Abstract
iv
Prakata
v
Daftar Isi
viii
1 Pendahuluan 1.1
1
Latar Belakang dan Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Latar belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Rumusan masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Ruang Lingkup Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Anggapan Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.5
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Geometri Riemann dan Persamaan Ricci Flow 2.1
4
Geometri Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Manifold Riemannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Kurvatur dari Manifold Riemannian
. . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Metrik Axisimetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Ricci Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
vii
DAFTAR ISI
viii
3 Perhitungan dan Analisis
11
3.1
Metrik Axisimetrik dengan Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2
Solusi Persamaan Ricci Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3
3.2.1
Kasus Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2
Kasus ω = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Identitas Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Kesimpulan dan Saran
19
4.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Daftar Pustaka
22
A Konvensi dan Notasi
24
B Simbol Christoffel untuk Metrik Axisimetrik
25
C Persamaan Ricci Flow untuk Metrik Axisimetrik
27
D Solusi Persamaan ∇2 ψ = Keψ
29
E Tensor Einstein dan Turunan Kovarian
31
