Solusi Persamaan Ricci Flow dalam Ruang Empat Dimensi Bersimetri Bola
Laporan Tugas Akhir Diajukan untuk memenuhi persyaratan kelulusan pendidikan tingkat S1 di Program Studi Fisika ITB
oleh:
AGUS SUROSO NIM. 10204041
Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2008
LEMBAR PENGESAHAN
Solusi Persamaan Ricci Flow dalam Ruang Empat Dimensi Bersimetri Bola oleh: AGUS SUROSO NIM. 10204041
Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung
Tugas Akhir ini dipresentasikan pada 26 Juni 2008 Pembimbing :
Dr. rer. nat Bobby Eka Gunara
Penguji
1. Freddy Permana Zen, D.Sc
:
2. Dr. Sparisoma Viridi
Telah diperiksa, disetujui, dan disahkan oleh: Pembimbing,
Dr. rer. nat Bobby Eka Gunara NIP. 132 206 228
Pedoman Penggunaan Tugas Akhir Tugas Akhir tahap Sarjana (S1) tidak dipublikasikan, akan tetapi terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan Hak atas Kekayaan Intelektual (HaKI) di Institut Teknologi Bandung dan sesuai perundang-undangan yang berlaku. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan dengan seizin penulis dan harus mengikuti kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tugas akhir untuk penggunaan komersial haruslah seizin Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung.
Abstrak Ricci flow (RF) adalah sebuah persamaan yang menggambarkan proses perubahan metrik secara difusif yang dipicu oleh kelengkungan ruang. Persamaan ini pertama kali diperkenalkan oleh Richard Hamilton pada 1982 dalam usahanya membuktikan konjektur Thurston berkenaan dengan klasifikasi topologi dari manifold tiga dimensi. Dalam perkembangannya, persamaan tersebut memiliki banyak aplikasi, salah satunya dalam teori relativitas umum. Tugas akhir ini bertujuan mendapatkan solusi persamaan RF dalam ruang empat dimensi bersimetri bola, dan membandingkannya dengan solusi persamaan Einstein. Ternyata, solusi persamaan RF yang diperoleh bersifat lebih umum dibanding solusi persamaan Einstein (dalam hal ini solusi Schwarzschild). Solusi Schwarzschild hanyalah bentuk khusus dari solusi tersebut untuk kasus tidak ada aliran. Divergensi tensor Einstein yang dibentuk dari solusi yang diperoleh bernilai nol, yang berarti bahwa solusi tersebut memenuhi identitas Bianchi dan hukum kekekalan energi-momentum, sehingga solusi tersebut dapat memiliki makna fisis.
Kata-kata kunci: metrik, tensor Ricci, Ricci flow, identitas Bianchi
iii
Abstract The Ricci flow (RF) is a flow equation which describe a diffusive process acting on the Riemannian metric driven by its Ricci curvature. This equation was introduced by Richard Hamilton in 1982 as a tool for proving the Thurston’s geometrization conjecture for closed 3-manifolds. The equation can be applied in general relativity. We derive a spherical solution of the RF equation in four dimensional spacetime and compare it with the solution of Einstein’s equation. As the result, we found that the solution of Einstein’s equation, i.e the Schwarzschild solution, is just a limiting case of the RF solution. The Divergence of the Einstein tensor which derived from the RF solution is zero. It means that this solution satisfy the Bianchi identity and energy-momentum conservation law, so the solution has a physical meaning.
Keywords: metric, Ricci tensor, Ricci flow, Bianchi identity
iv
”Bersungguh-sungguhlah dalam menuntut apa yang bermanfaat bagimu dan mohonlah pertolongan kepada Allah (dalam segala urusanmu), serta janganlah sekali-kali engkau bersikap lemah. Bila engkau tertimpa suatu kegagalan, janganlah engkau berkata, ’Seandainya aku berbuat demikian, tentu tidak akan begini atau begitu’, tetapi katakanlah, ’Ini telah ditakdirkan oleh Allah, dan Allah berbuat apa yang dikehendaki-Nya’, karena ucapan ’seandainya’ akan membuka (pintu) perbuatan syaithan.” — HR. Muslim dari Abu Hurairah, dinukil oleh Asy-Syaikh Muhammad bin ’Abdul Wahab rahimahullah dalam kitab At-Tauhid —
”Fisika memang tak semudah yang diharapkan, tapi yakinlah bahwa ia tak sesulit yang dikhawatirkan · · · ” — Agus Suroso, 2003 —
Dipersembahkan untuk:
Bapak Wiryo Sukardi (ayah penulis). Semoga Allah menyembuhkan dan menjaganya.
Prakata Alhamdulillah, segala puji hanya milik Allah Tabaraka wa ta’ala, Rabb alam semesta dan satu-satunya Ilah yang berhak untuk diibadahi, atas segala nikmat yang telah dilimpahkan-Nya. Penulis bersyukur kepada-Nya atas kemudahan yang diberikan sehingga pembuatan tugas akhir berjudul Solusi Persamaan Ricci Flow dalam Ruang Empat Dimensi Bersimetri Bola, yang disusun sebagai salah satu syarat kelulusan program Sarjana Sains di Institut Teknologi Bandung ini dapat terselesaikan. Tugas akhir ini bertujuan mendapatkan solusi persamaan Ricci flow dalam ruang empat dimensi bersimetri bola, dan membandingkannya dengan solusi persamaan Einstein. Laporan tugas akhir yang singkat dan bersahaja ini diharapkan dapat memberikan gambaran tentang kaitan antara Ricci flow dengan teori gravitasi Einstein. Pembaca yang berminat mempelajari topik ini lebih lanjut dapat merujuk kepada bahan pustaka yang diberikan pada akhir laporan. Penulis mulai mempelajari topik tugas akhir ini sejak dua tahun lalu melalui mata kuliah Kerja Mandiri Terpantau I. Berbagai kesulitan telah penulis hadapi selama mengerjakan tugas akhir ini, terutama terkait dengan perangkat matematika yang diperlukan untuk memahami gejala fisika yang dibahas. Namun, berkat kerja keras dan bantuan dari semua pihak, kesulitan tersebut dapat teratasi. Penulis berterima kasih kepada Dr. rer. nat Bobby Eka Gunara yang telah dengan sabar membimbing, mengarahkan, dan memotivasi penulis, serta Freddy Permana Zen, D.Sc dan Dr. Sparisoma Viridi yang telah berkenan menjadi penguji dalam sidang tugas akhir penulis. Penulis juga berterima kasih kepada Freddy Permana Zen, D.Sc, Dr. Taufiq Hidayat, dan Premana W. Premadi, Ph.D yang telah memperkenalkan teori relativitas umum secara matematis dan fisis kepada penulis. vii
Selama menempuh pendidikan S1 di ITB, penulis terlibat dalam beberapa kegiatan asistensi pengajaran dan praktikum di beberapa tempat di ITB. Penulis berterima kasih kepada Dr. Widayani, Dr. Pepen Arifin, Dr. Abdul Waris, Dr. Euis Sustini, Dr. Triyanta, Dr. Rachmat Hidayat, Dr. Neny Kurniasih, Dr. Daniel Kurnia, Dr. Sparisoma Viridi, Ir. Ignatius Pulung Nurprasetio, MSME (Prodi Teknik Mesin ITB), dan Bugi Wibowo, M.T. (Prodi Teknik Informatika ITB) atas kesempatan yang diberikan kepada penulis untuk terlibat dalam kegiatan asistensi tersebut. Selama kuliah, penulis mendapatkan dukungan dana beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) dari ITB, beasiswa The Professional Skills Development Project (TPSDP) dan beasiswa Unggulan dari Direktorat Pendidikan Tinggi (DIKTI) Departemen Pendidikan Nasional RI, serta beasiswa Singapore Airlines untuk Pendidikan (SIAP) dari Singapore Airlines. Penulis berterima kasih kepada ketiga lembaga tersebut. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada dosen-dosen Prodi Fisika dan seluruh dosen ITB pada umumnya atas segala kebaikan dan manfaat yang penulis dapatkan, seluruh petugas administratif ITB atas pelayanan yang diberikan, serta rekan-rekan mahasiswa fisika dari semua angkatan dan mahasiswa ITB pada umumnya, atas kebersamaan yang telah terjalin. Penulis berterima kasih kepada Al Ustadz Abu Hamzah Yusuf Al Atsary dan Al Ustadz Khatib Abu Najm atas bimbingan yang diberikan selama penulis berada di Bandung. Penulis mengucapkan terima kasih setulus-tulusnya kepada kedua orang tua penulis, yang tak terhitung jasa dan pengorbanannya dalam hidup penulis, dan segenap keluarga penulis atas dukungan yang diberikan. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua guru, rekan, sahabat, dan yang pihak-pihak lain yang tak dapat disebutkan satu per satu. Akhirnya, penulis sangat berharap agar tugas akhir ini bermanfaat bagi semua pihak. Kritik, saran, dan nasehat pembaca atas isi laporan tugas akhir ini sangat penulis harapkan. Bandung, Juni 2008 Agus Suroso viii
Daftar Isi Lembar Pengesahan
i
Abstrak
iii
Abstract
iv
Prakata
vii
Daftar Isi
x
1 Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang dan Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Latar belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Rumusan masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Lingkup Kajian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Sistematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Persamaan Einstein dan Ricci Flow
4
2.1
Geometri Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Persaman Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Ricci Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Solusi Persamaan Ricci Flow dalam Ruang Empat Dimensi Bersimetri Bola 3.1
9 Solusi Persamaan Ricci Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
9
DAFTAR ISI
3.2
x
3.1.1
Solusi Khusus (k1 = −k2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.1.2
Solusi Umum (k1 6= −k2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4 Kesimpulan dan Saran
17
4.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Daftar Pustaka
19
A Notasi dan Konvensi
21
B Hasil-hasil Perhitungan
22
B.1 Metrik Bersimetri Bola Bergantung Parameter Non-koordinat . . . .
22
B.2 Identitas Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Indeks
26
