Solusi Persamaan Maxwell dalam Ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Solusi Persamaan Maxwell dalam Ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker Supardi Jurusan Fisika FMIPA Unsri [email protected] Abstrak. Dalam makalah ini, dibahas bagaimana memperoleh solusi dari Persamaan Maxwell. Pembahasan dilakukan dalan versi Teleparallel Gravity (TG) dan ruangwaktu yang digunakan adalah Spatially Flat Robertson-Walker. Pada pemilihan kasus khusus diperoleh solusi yang serupa dengan solusi gelombang bidang. Kata Kunci. Persamaan Maxwell, Teleparallal Gravity, Ruangwaktu, solusi gelombang bidang.

PENDAHULUAN

LANDASAN TEORI

Usaha penyatuan interaksi gravitasi dengan tiga interaksi fundamental yang lain - interaksi lemah, elektromagnetik, dan kuat - dalam satu formalisme belum berhasil sampai saat ini[1]. Karena medan gravitasi (dalam TRU) bersifat klasik sedangkan ketiga interaksi yang lain bersifat kuantum. Usaha mengkuantisasi medan gravitasi dengan demikian merupakan salah satu isu besar di bidang fisika teoretik. Teleparallel Gravity (TG) merupakan satu model teori gravitasi yang bisa jadi cukup menjanjikan. TG menunjukkan bahwa kurvatur ruang waktu yang merepresentasikan medan gravitasi di dalam TRU ternyata bukanlah esensi dari medan gravitasi. Medan gravitasi ternyata dapat diungkapkan tanpa kurvatur ruang waktu. Sebagai suatu teori gauge (TG merupakan teori gauge grup translasi) TG memberikan satu alternatif dalam mendekatkan konsep interaksi gravitasi dengan ketiga interaksi yang lain yang dibangun berdasarkan teori gauge. Karena, paling tidak dalam keadaan tertentu, TG ekivalen dengan TRU dalam menjelaskan interaksi gravitasi (sehingga sering dikatakan sebagai teleparallel equivalence of general relativity)[2] maka dapat diyakini bahwa TG sebagai sebuah model yang baik.

Teleparallel Gravity TG merupakan teori gauge grup translasi. Medan fundamental dari TG adalah potensial gauge B  B ( x  ), suatu medan yang diasumsikan bernilai dalam grup translasi aljabar Lie, B  Ba  Pa , dengan Pa   xa   a adalah generator translasi infinitesimal. Huruf Yunani (,,,…= 0,1,2,3) digunakan untuk menotasikan indeks yang terkait dengan ruang waktu (spacetime) dan bagian pertama dari huruf Latin (a,b,c,...= 0,1,2,3) digunakan untuk menotasikan indeks yang terkait dengan tangent space, yang diasumsikan sebagai ruang waktu Minskowski dengan tensor metrik ab=diag(–1,+1, +1, +1). Generatorgenerator dari grup translasi bersifat Abelian yang terkait dengan kuat medat gauge yang berbentuk 

T a     B a   B a  .

(1)

Kuat medan gauge ini bersifat invarian terhadap transformasi (2) B a   B a      a

dimana a(x) menyatakan transformasi infinitesimal di dalam tangent space (3) x a  x a   a .

Semirata 2013 FMIPA Unila |99

Supardi: Solusi Persamaan Maxwell dalam Ruang waktu Spatially Flat RobertsonWalker

Untuk merepresentasikan gravitasi, maka medan gauge Ba terkait dengan medan tetrad ha yang diberikan oleh ha     xa  Ba   h x a .

(4)

Medan tetrad didefinisikan dari tensor metrik spacetime g melalui (5) g   ab ha  hb . Catatan bahwa medan tetrad invarian terhadap kombinasi dari transformasi gauge dan translasi infinitesimal. Berdasarkan hubungan antara medan tetrad dan medan gauge di atas, menunjukkan bahwa medan tetrad dapat berperan sebagai medan gauge. Dan selanjutnya dapat dibuktikan bahwa kuat medan dapat ditulis di dalam medan tetrad sebagai berikut

(7)

h ja   



mendefinisikan koneksi di dalam TG. Koneksi ini memberikan tensor torsi yang taknol dan kurvatur nol: 





T           0 ,

(8)



R    0 .

(9)

Sebagai konsekuensinya, maka derivatif kovarian Weitzenbock dari medan tetrad h a  akan bernilai nol: 

 ha    ha      ha   0 .

(10)

Terlihat bahwa baik kuat medan maupun koneksi Weitzenbock didefinisikan dari medan tetrad, sehingga keduanya terkait satu sama lain. Dapat dibuktikan bahwa hubungan kedua besaran ini adalah 

F a   ha  T   .

(11)

Hubungan ini menunjukkan bahwa tensor torsi dapat merepresentasikan kuat medan gravitasi. Oleh karenanya berdasarkan pada Lagrangian medan gauge di dalam teori gauge secara umum, kita mendefinisikan Lagrangian medan gravitational di dalam TG sebagai berikut 

L

h 1  1  1      T  T   T  T   T  T  2k 2  4 2 2 







100| Semirata 2013 FMIPA Unila









   L L h . (14)   a  2 ha  S c  T c  ha  L a B  h  k





Pada persamaan di atas S c   hc  g  S  dengan       S    S    K   g  T    g  T    (15)  

Di samping persamaan medan di atas, torsi atau ekivalen dengan kuat medan juga memenuhi identitas Bianchi 





  T a     T a   T a   0 .

(16) 





(13)

Dari persamaan (13) di atas, maka energimomentum gravitasional direpresentasikan oleh

Koneksi Wietzenbock     ha    ha

        h S a    k 2  h j a    0 .    

(6)



T a     ha   ha  .

Perbedaannya dengan teori gauge pada umumnya, adalah bahwa pada Lagrangian di atas, terdapat suku kedua dan ketiga. Suku-suku ini berasal dari kemungkinan pertukaran indeks aljabar dan indeks spacetime yang mengacu pada kemungkinan-kemungkinan kontraksi [4]. Parameter h dan k didefinisikan sebagai Persamaan k 2  8 G / c4 dan h  det ha  . medan gravitational di dalam TG diperoleh dari Lagrangian di atas melalui persamaan Euler-Lagrange untuk medan gauge Ba, atau ekivalen dengan ha. Sehingga kita memperoleh persamaan medan



 .(12)  

Karena sifat anti-simmetri dari S c  terhadap dua indeks terakhirnya, maka bila dilakukan operasi   pada persamaan (13) akan memberikan persamaan kontinuitas 

  (h j a  )  0 .

(17)

Berdasarkan definisi koneksi Weitzenbock, maka dapat diperoleh identitas      h  h      K     

(18)

dimana kontorsi Weitzenbock   K    12  T  

adalah

 



 T

selisih 

Weitzenbock 









   T    

antara

(19)

koneksi

dan koneksi Levi-Civita




   



        K   .

(20)

Koneksi Levi-Civita adalah koneksi yang didefinisikan dalam TRU Einstein. Selanjutnya persamaan kontinuitas (17) dapat diungkapkan dalam covariant form 





 a Ab  ha hb D A .







D j a    j a



         K    j a   0 . (21)  

Ini merupakan definisi dari derivatif kovarian teleparallel, yang mana bila bekerja pada suatu vektor, akan menghasilkan     D  V    V        K   V  .  

(22)

Persamaan Maxwell dalam Tg Tinjau Lagrangian untuk medan elektromagnetik Aa , dalam ruang waktu Minkowski, yang diberikan oleh

Sebagai konsekuensinya Lagrangian (33) menjadi h Lem   F F  , 4

(29)

dengan 



F   D  A  D A .

(30)

Dengan menggunakan bentuk eksplisit dari  D  dan definisi dari tensor torsi dan kontorsi, diperoleh F     A   A .

(31)

Tensor ini invarian terhadap transformasi gauge elektromagmetik U(1), dan persamaan medan yang terkait adalah 

D  F    0,

(32)

yang merupakan pasangan pertama dari persamaan Maxwell dalam versi teleparallel. Dengan mengasumsikan gauge 

1 Lem   Fab F ab , 4

(23)

Fab   a Ab   b Aa

(24)

dengan adalah kuat medan elektromagnetik. Dengan melakukan variasi aksi terhadap medan pada Lagrangian di atas diperoleh persamaan medan yang terkait yaitu (25)  a F ab  0, dan dengan identitas Bianchi (26)  a Fbc   b Fca   c Fab  0, akan membentuk persamaan gerak untuk medan elektromagnetik yang dikenal sebagai persamaan Maxwell. Di dalam gauge Lorentz  a Aa  0 , persamaan medan elektromagnetik dapat ditulis dalam bentuk kovarian  c  c Aa  0.

(28)

Lorentz dalam teleparallel D  A  0 , dan menggunakan relasi komutasi       D  , D A   Q   A ,   

(33)



dengan Q   Q     R   , dan R   adalah tensor kurvatur dalam TRU, maka diperoleh 





D  D  A  Q  A  0. (34)

yang merupakan pasangan pertama dari persamaan Maxwell dalam versi teleparallel. Dan dengan menerapkan kopling pada identitas Bianchi (36), diperoleh pasangan kedua persamaan Maxwell dalam versi teleparallel   F   F   F   0.

(35)

.

(27)

Interaksi medan elektromagnetik dengan medan gravitasi digambarkan dengan kopling preskripsi minimal yang dalam hal ini kopling preskripsi (gravitasi) teleparallel; yaitu dengan cara mengganti derivatif biasa dengan derivatif kovarian sebagai berikut

METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode standar yang berlaku di dalam dunia keilmuan teoretik, yaitu studi literatur, kalkulasi matematis dari persoalan yang diangkat secara analitik


Supardi: Solusi Persamaan Maxwell dalam Ruang waktu Spatially Flat RobertsonWalker

dan mengkaji hasil perhitungan serta korespondensi dengan peneliti-peneliti lain yang terkait dengan bidang ini. HASIL DAN PEMBAHASAN Ruang waktu Spatially Flat RobertsonWalker dikarakterisasi oleh elemen garis berbentuk



ds 2  dt 2  a 2  t  dx 2  dy 2  dz 2







a  110   2 20   330  . a

(39)

Dengan menggunakan hasil – hasil di atas, maka diperoleh komponen tak nol dari torsi (8) yaitu 





T 101 T 202  T 303

a , a

(40)

yang kemudian dapat pula dicari kontorsi Weitzenbock (19), dimana komponenkomponen yang tak nol adalah 





K 101 K 202  K 303  a a 

K

0 11



K



0 22

K

0 33

(41)

 aa

Persamaan Maxwell dalam versi TG di dalam ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker dapat ditulis sebagai  2 12  2 2  32   0  2  2  2 a a a   a a2 3   2 a a 

 3a  A0   0 A0 a 

 2a  A0  3  1 A1   2 A2   3 A3   0 a 

102| Semirata 2013 FMIPA Unila

 a  A1   0 A1  0 (42b) a   2  2 2 2a a  2 A0    02  12  22  32  A2   0 A2  0 (42c)   a a a a a   2 2 2      2a a 3 A0    02  12  22  32  A3   0 A3  0. (42d)   a a a a a  

Bila faktor skala yang digunakan berupa fungsi linier terhadap waktu a  a(t )  t , dan dilakukan separasi variabel A  X  ( x)Y ( y)Z  ( z )T (t ),

(36)

dimana a(t ) adalah fungsi waktu. Tensor metrik yang terkait adalah g00  1, g11  g 22  g33  a 2 (37) 1 g 00  1, g11 22  g 33   2 a Dengan menggunakan persamaan (5), maka diperoleh medan tetrad: h00  1, h11  h 2 2  h33  a (38) 1 h00  1, h11  h2 2  h33  a Substitusi persamaan (38) ke (7), akan diperoleh koneksi Weitzenbock, dan memiliki komponen yang tak nol 

 2  2 2 2a 1 A0    02  12  22  32  a a a a 

(42a)

(43)

serta digunakan kondisi faktor yang mengandung variabel sejenis diasumsikan sebanding, maka persamaan (42) menjadi t 2 d 2T0 3t dT0 1 d 2 X0 2 dX1 1 d 2Y0     2 2 T0 dt T0 dt X 0 dx c1 X 0 dx Y0 dy 2 

2 dY2 1 d 2 Z0 2 dZ 3    3  0, c2Y0 dy Z 0 dz 2 c3 Z 0 dz

t 2 d 2T1 t dT1 1 d 2 X1 1 d 2Y1   f ( x )   1 T1 dt 2 T1 dt X 1 dx 2 Y1 dy 2 

1 d 2 Z1  0, Z1 dz 2

(44)

t 2 d 2T2 t dT2 1 d2X2 1 d 2Y2    f2 ( y)  2 2 T2 dt T2 dt X 2 dx Y2 dy 2 

1 d 2 Z2  0, Z 2 dz 2

t 2 d 2T3 t dT3 1 d 2 X 3 1 d 2Y3     f3 ( z ) T3 dt 2 T3 dt X 3 dx 2 Y3 dy 2 

1 d 2 Z3  0. Z3 dz 2

Masing-masing persamaan (44) dapat diseparasi menjadi empat buah persamaan, yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel bebas. Namun persamaan bagian kedua - keempat, memiliki bentuk yang serupa ( X  Y , dan x  y, indeks 1  2 X  Z , x  z, indeks 1  3 ), jadi kita hanya perlu menyelesaikan salah satunya saja, dalam hal ini dipilih bagian kedua. Bagian kedua dari persamaan (44) dapat diseparasi sebagai berikut


d 2 X1 dx

2

d 2Y1



d 2 X1

X  Z , x  z, indeks 1  3 ),

juga akan diperoleh solusi untuk medan-medan A2 dan A3 . Substitusi medan-medan A1, A2 dan A3 ke bagian pertama dari persamaan (44) akan menghasilkan solusi untuk medan A0 . Dengan demikian diperoleh solusi persamaan Maxwell dalam versi TG di dalam ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker.

(45)



 12  f1 ( x) X1  0,

dx 2

d 2T1 dt



 12Y1  0,

dy 2

t2



 12  f1 ( x) X1  0,

2

t





dT1  12  12   12 T1  0. dt

Persamaan kedua dan ketiga dari persamaan (45) merupakan persamaan OHS, dengan solusi umum Y1  C12ei1 y , Z1  C13ei1 z .

(46)

Solusi persamaan (46) bagian keempat, dicari dengan tranformasi variabel t  e , dan menjadi d 2T1 d

2





 12  12   12 T1  0,

Solusi persamaan Maxwell versi TG di dalam ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker yang telah diperoleh berupa solusi gelombang dalam rung waktu (x,y,z,η). DAFTAR PUSTAKA

yang merupakan persamaan OHS dalam η, dengan solusi umum berupa T1  C10eik1  C10t ik1 ,  k12  12  12  12 . (47)

Sedangkan solusi dari persamaan bagian pertama dari persamaan (45) akan dicari dengan melakukan pemilihan terhadap f1 ( x) . Bila f1 ( x)  b12 , maka diperoleh solusi umum berupa X1  C11ei1 x ,  12  12  b12 .

KESIMPULAN

(48)

Substitusi hasil yang diperoleh di atas ke persamaan (43), akan menghasilkan solusi untuk medan A1 . Dengan cara yang sama, yaitu dengan melakukan substitusi ( dan 1 2 X  Y , x  y, indeks

H. I. Arcos, V. C. de Andrade and J. G. Pereira, Torsion and Gravitation: a New View, [gr-qc/0403074]. J. W. Maluf, J. Math. Phys. 35, 335 (1994). R. Aldrovandi and J. G. Pereira, An Introduction to Teleparallel Gravity, Instituto de Fisica Teorica, UNESP, Sao Paolo, Brazil, Desember 2006 http//www.ift.unesp.br/gcg/tele.pdf. T. Sauer, Field Equations in Teleparallel Spacetime: Einstein’s Fernparallelismus approach towards unified field theory, Einstein‘s Papers Project [grqc/0405142].


Solusi Persamaan Maxwell dalam Ruang waktu Spatially Flat Robertson-Walker

Recommend Documents