KOVARIAN PERSAMAAN MAXWELL MELALUI TRANSFORMASI LORENTZ

Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF) Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158

27

KOVARIAN PERSAMAAN MAXWELL MELALUI TRANSFORMASI LORENTZ DwiTeguhRahardjo PendidikanFisika FKIP UNS [email protected]

Abstrak Tujuan dari penelitianini adalah merumuskan persamaan transformasi Lorentz secara umum dan merumuskan persamaan Maxwell setelah melalui transformasi Lorentz. Sebagai hukum fisika, persamaan Maxwell juga berlaku di semua kerangka acuan inersial sehinggabentuk persamaan Maxwell harus kovaian terhadap transformasi Lorentz. Persamaan Maxwell dapat ditulis ulang sebagai persamaan tensor dalam ruang Minkowski. Metodologi penelitian berupa kajian pustaka yang diambil dari berbagai sumber referensi buku-buku fisika 4

modern. Dari kajian pustaka diperoleh hasil yaitu transformasi Lorentz secara umum berupa  . Bentuk persamaan Maxwell setelah melalui transformasi Lorentz adalah kovarian dengan persamaan sebagai berikut : A' 

f

   x 

 0 J

f 

atau x





v 1

a  v Av

f f   0 x x

Kata kunci :Transformasi Lorentz, kovarian persamaan Maxwell, Minkowski

Pendahuluan Menurut postulat teori relativistic khusus yang pertama, semua hukum-hukum Fisika, baik elektromagnetik maupun mekanika, harus kovarian di dalam semua kerangka acuan yang bergerak linier dengan kecepatan v tetap relative terhadap kerangka acuan yang lain (di dalam semua kerangka inersial), maka rumusan persamaan kelistrikan dan kemagnetan yang memperlakukan koordinat ruang dan waktu mempunyai bentuk dasar yang sama. Persamaan Maxwell menyajikan pernyataan matematik dalam listrik magnet antara lain, persamaan Maxwell pertama merupakan ringkasan hukum Coloumb terutama dari gaya antara muatan titikdengan imbas listrik dari materi, persamaan Maxwell kedua menggambarkan hukum Faraday tentang induksi, persamaan Maxwell yang ketiga adalah akibat dari hukum Ampere dari gaya antara aliran arus dan juga menyatakan bahwa muatan magnetic bebas tidak diketahui keberadaanya dan persamaan Maxwell yang keempat meliputi hukum Ampere tentang gaya antara aliran arus listrik dengan imbas magnetik dari materi ditambah konservasi dari muatan bebas.

H. A Lorentz telah menurunkan persamaan transformasi dengan menganggap bahwa kecepatan cahaya tetap sama di semua kerangka acuan inersial dan koordinat waktu (t) juga tidak sama di kerangka acuan inersial yang berbeda. Sebagai hukum fisika, persamaan Maxwell juga berlaku di semua kerangka acuan inersial sehingga bentuk persamaan Maxwell harus kovarian terhadap transformasi Lorentz. Persamaan Maxwell dapat ditulis ulang sebagai persamaan tensor dalam ruang Minkowski.

PEMBAHASAN 1. Transformasi Lorentz Umum Persamaan gelombang transformasi Lorentz

menurut

S 2  x 2  y 2  z 2  c 2t 2  x'2  y'2  z'2 c 2t '2 …..………………………. (1) notasi bentuk umum yang berupa ruang Minkowski

x1  x x2  y x3  z x4  ict ……..…………………………...(2)

(Arfken, G.B., 2001, hal. 283) Persamaan (1) dapat ditulis

Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF) Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158 4

a  a b    a     a    

4

S   x    x' 2 ………..……(3) 2

2

 1

v v

v

 1

Persamaan transformasi yang menghubungkan dua koordinat sebagai empat persamaan linier umum 4

x '   av xv

(   1, 2, 3, 4)

subtitusikan persamaan (4) ke (3) didapat       x '2     a x   v av xv      a av x xv v   

...………...(5)

 x  , 2

v

   v ………………(6)

Koefisiendari

x xv

…......…….……(10)

 maka x   a 

v

menukarkan indeks  dan v mendapatkan

 a  a     v

Dari persamaan transformasi koordinat Lorentz utama

harus sama dengan 1 jika

y'  y

z'  z

persamaan

 vx  t'    t  2   c 

transformasi dalam bentuk sama 4

………………..(12)

v

x'   x  vt

ditulis

xv   bv  x '

x ' ..………………...……...(11)

Persamaan (9) dapat ditulis seluruh dalam bentuk a dari hasil subtitusi dalam a dan

v   dan 0 jika v  

Dapat

a

b

..…………………………(4)

 a a

    bv    a  a v    bv   v  b  v    v

 dimana   sehingga didapat jika x '  a v xv

v 1

Karena persamaan (5) juga harus sama maka harus memiliki

(v  1, 2, 3, 4)

Persamaan koordinat umum

 1

..…………………………(7)

x1  x

x2  y

x3  z

x4  ict t 

b

dimana v  adalah sekumpulan koefisien dan subtitusikan persamaan (7) dalam (4) didapat

v dimana   v  c     c x '   av   bv x '    x '   avbv      x ' v  v  Persamaan     koordinat   

..…………(8)

 a b      v v

………………...(9)

v

Persamaan (9) dapa tdiselesaikan untuk mendapatkan b dengan mengalikan kedua sisinya oleh (6)

a 

28

dan menggunakan persamaan

umum kepersamaan Lorentz utama

x4 ic

dimasukkan

x  x '   x   vt   x1     c   4    x1  i x4  ic  y'  x2

z '  x3

t '  t 

vx  x4 i   x1   x4 i x1     2 c ic ic ic ic

ict '   x4  i x1 Jadi

Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF) Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158

x1 '  x '   x1  i  x4 x2 '  y '  x2 x3 '  z '  x3 x4 '  ict '   x4  i  x1 x1 '   x1  i  x4 x2 '  x2 x3 '  x3 x4 '   x4  i  x1 Sehingga

x '  x1 '

y '  x2 '

z '  x3 '

a

v dapat dilihat koefisien menunjukkan transformasi dapat ditulis dalam matrix

a v

 a11  a21   a31   a41

a12

a14     a24  0    0 a34   i  a44  

a13

a22

a23

a32

a33

a42

a43

0

0

1 0 0

0 1 0

i    0  0    

....(13) Sebagai perluasan dari vektor A, vector empat

A

dinyatakan

sebagai

sekumpulan

A , A , A , A 

empat

1 2 3 4 kuantitas yang mempunyai cirri sama seperti transformasi koordinat. Jika transformasi Lorentz dinyatakan oleh

persamaan (11) maka komponen dihubungkan oleh

 x1 '        x2 '    0  x3 '   0     x4 '   i 

0

0

1 0 0

0 1 0

A

dan

A '

i    x1    0   x2  0   x3       x4 

A' A sehingga persamaan secara umum didapat

A ' 

transformasi

Lorentz

4

 a v 1

v

Av

2. Kovarian persamaan Maxwell Rumusan makroskopik elektromagnetik secara lengkap saat ini adalah

29

  .D   f …………………….(14)    B  E   t ……………………(15)   .B  0 ……………………(16)    D  H  J f  t ict '  x4 ' …………….(17) (Zahn, M. 1978, hal 488 – 489) Persamaan dasar deferensial iniharuslah dilengkapi oleh persamaan definisi yang mana menghubungkan pasangan vektor medan bersama dengan karakteristik dari materi dalam bentuk dari bersesuaian densitas volum dari momen dipol:

   D  0 E  P ……………………(18)   B  H M 0 ………….………….(19)

Persamaan kontinuitas dapat mengungkapkan secara dasar konservasi muatan dapat menjadi kovarian

  .J  0 t …………………….(20)

Karena Jx, Jy, dan Jz bukannya tidak bergantung pada rapat muatan ρ, keempat besaran ini membentuk vector 4 besaran dasar dan jika didefinisikan rapat arus vector empat sebagai J, maka menurut komponennya (J1, J2, J3, dan J4=icρ), dapat dituliskan persamaan kontinuitas dalam bentuk kovarian

J

   x 

0



yang penjumlahannya berlangsung dari v=1 hingga v=4, atau dapat dituliskan sebagai

Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF)

30

Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158

J  0 sehingga potensial vector A dan potensial scalar φ memenuhi persamaan gelombang tak homogen

2 1 2 A  A  2 2   0 J c t

dan

2 1  2  .……. (21)   2 2  c t 0

   A Ay   Ax Az   Ay Ax    A  xˆ  z      yˆ     zˆ  z  x   x y   z  y Ay Ax A A A Ay Bx  z  ; By  x  z ; dan Bz   y z z x x y   ˆ x  yB ˆ y  zB ˆ z   A  xB

dari hasil Bx dituliskan menjadi bentuk umum

f v 

(Reitz, J.R., 1979, hal 268) Karena J dan ρ adalah komponen suatu vector empat, maka persamaan (21) harus mewakili keempat komponen suatu persamaan vector empat dan φ serta A juga harus bergantung membentuk suatu vector empat. Jika Λ didefinisikan sebagai potensial empat, maka Λ1=A1, Λ2=A2, Λ3=A3, Λ4 = iφ/c, sehingga persamaan (21) dapat ditulis

 2    0 J   2   x

atau

dapat

ditulis

sebaga i  2   0 J …(22) dengan

 2  2 

1 2 sebagai c 2 t 2

persyaratan

operator

Lorentz

   0  A   0 x t menjadi  atau

persamaan (24) dapat dituliskan dalam bentuk lain yaitu A      zˆ        xˆ yˆ t   x y z       Ax Ay Az    xˆ yˆ zˆ       t t   x y z   t

     E    xˆ yˆ  x y z

Ex  

Persamaan medan listrik dan medan magnet yaitu

A E    t

  A A A  zˆ    1  2  3  t t    t

 Ax  Ay  Az  ; Ey    ; dan Ez    x t y t z t

E 1  4 , dan seterusnya   c x4 x1   E dan B didapatkan terlihat dalam komponen f v i

dari

    x x

………….. (26)

dan dalam bentuk matrik

……………. (23) ……………. (24)

persamaan (23) dapat dituliskan dalam bentuk lain yaitu

sebagai berikut

f  

  0

B  xA

……. (25)

karena A dari φ/c merupakan bentuk vektor empat, maka persamaan (24) dapat ditulis

Laplace atau operator d’Alembert, sehingga persamaan

 Av  A   x  xv

f v

 0 B3  B2    B 0 B1 3    B2  B1 0   iE iE3 iE2 1  c c  c ...…..…….……. (27)

iE1 c iE  2 c iE  3 c 

0

          

Jurnal Materi dan Pembelajaran Fisika (JMPF) Volume 3 Nomor 1 2013 ISSN : 2089-6158

(Arfken, G.B., 2001, hal. 286) dengan

mengambil

divergensi

tensor

medan, dan dari persamaan (26) diperoleh

 

f 

2      x x  x x2  .………….. (28)

  x

 0 J

Arfken,

atau



f  0 J .……………………….. (29) Ini merupakan persamaan vector empat yang

menyatakan

kovarian

dari

persamaan Maxwell, yaitu E  xB  0 J 

dua

 dan 0

1 E . c 2 t

Persamaan (29) dapat ditulis f  x



f f   0 x x

.. (30)

(Arfken, G.B., 2001, hal. 286) SIMPULAN DAN SARAN Dari pembahasandapatdisimpulkan 1. Perumusan persamaan transformasi koordinat Lorentz secara umum.

A ' 

4

 a v 1

v

Av

2. Perumusan kovarian persamaan Maxwell pada transformasi Lorentz

f

   x

 0 J



f  x



f f   0 x x

Transformasi Lorentz tidak hanya dapat dilakukan pada koordinat, tetapi dapat juga pada momentum – energy dan medan listrik dan medan magnet. Untuk itu disarankan untuk merumuskan transformasi pada momentum – energy dan medan listrik dan medan magnet

DAFTAR PUSTAKA

Dari persamaan (22) dan (28) diperoleh

f 

31

atau

G.B.,

(2001), Mathematical Methods for Physicists, 5 th edition, Burlington: Harcourt Academic Press. Reitz, J.R., (1979), Foundamental of Electromagnatic Theory, 3rd edition, terjemahanolehSuwarno W, Bandung: Penerbit ITB Bandung. Zahn, M., (1979), Electromagnetic Field Theory : a problem solving approach, Florida: Johm Wiley & Sons, Inc.