RELATIVITÁSELMÉLET
Összeállította: Juhász Tibor
Albert Einstein (1879 – 1955)
– 2005 –
Elektromágneses hullámok
A hullámok sebessége
Maxwell:: Maxwell v=
∆E
∆E ∆B
∆E ∆B
∆E
∆B
Periodikusan változ ltozó ó és terjedő terjedő elektro elektro-mágneses mez mező ő: elektromá elektrom ágneses hullá hull ám
Mekkora a sebességünk? Sebesség
Mozgás
0 m/s
Megfigyelő
forgás
30 km/s
keringés Mars-szonda (a Nap körül)
250 km/s
keringés távoli csillag (Tejútrendszer) tágulás
űrállomás
távoli GX
1
ε 0 ⋅ µ0
=
1 m m = 3 ⋅ 108 s 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 12,56 ⋅ 10− 7 s
Következmény: a fény is elektromágneses hullám (periodikusan változó, terjedő elektromos és mágneses mező) Newton óta tartó vita dőlt el!
Michelson – Morley
terem
339 m/s
289997 km/s
1900: fizikatanári oklevél Svájci Szabadalmi Hivatal: III. osztályú műszaki szakértő 1905: Annalen der Physik - Brown-mozgás - speciális relativitáselmélet - tömeg-energia ekvivalencia - fotoelektromos effektus 1909-től Prága, Züric h (tanít) 1914: Berlin, egyetemi tanár 1916: általános relativitáselmélet, Bose-Einstein statis ztika 1920-tól: egységes térelmélet (?) 1921: Nobel-díj „for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect” 1933: USA, Princeton
c : a sebesség egy abszolút nyugvó rendszerhez képest (éter). 1887: nagyon pontos mérések (jelenleg lézerrel: ±9 m/s) Fizeau:: sebessé Fizeau sebesség az áraml ramló ó vízben A fénysebesség nem függ sem a megfigyelő, sem a fényforrás mozgásától!
c = 300000 km/s
Maxwell--egyenletek Maxwell
Az elektromos mezőt töltések hozzák létre Ψössz ssz.. = Q /ε0 A má má gneses mező mező er erő ővonalai James Cl erk Maxw ell 1860-as éve k zá rt gö görb rbé é k: Φössz ssz.. = 0 Elektromos mező mező ⇐ vá ltoz ltozó ó má gneses mező mező Ui = ∆Φ/∆ t Má gneses mező mező ⇐ á ram + változó elektromos mező B ·2π·r = µ0·I + µ0 ε0∆Ψ/∆t eltoló eltol ódá si á ram
A fény sebessége
c = 300000 km/s
?????? Mihez képest???
Az egyidejűség relativitása Egyszerr e történt.
A hátsó történt elő bb.
Egyszerre látják felvillanni a két villámot.
1
Ellentmondások a fizikában
Speciális relativitáselmélet
Az időtartamok relativitása (c ⋅ ∆τ )2 = (c ⋅ ∆t )2 − (v ⋅ ∆t )2
t
A XIX. század végén: A fénysebesség állandó (mérés) A sebesség relatív (elvárás, Newton 1.) A tér és az idő abszolút (egyidejűség?) Newton: „Az abszolút, valóságos és matematikai idő önmagában véve, és lényegének megfelelően, minden külső vonatkoz vonatkoz-tatás nélkül egyenletesen múlik.”
Einstein, 1905. Nincsen abszolút tér és idő. Egységes szerkezetű téridő létezik. Az időtartamok és távolságok függnek a megfigyelőtől!!!
2
Az együttmozgó megfigyelő (óra) által mért idő: ∆τ Ez a legrövidebb időtartam két esemény között: ∆τ = ∆t ⋅ 1 −
v2 c2
∆τ = ∆t ⋅ 1 −
v
(
2
2
)
2 2
c·∆τ
v·∆t ∆x
Példa az idődilatációra
(c·∆τ)2 = (c ·∆t )2 – (v·∆t )2 v·∆t = ∆x (c·∆τ)2 = (c ·∆t )2 – (∆x)2
Távolság: 4 fényév Sebesség: 0,5c ∆t = 8 év
Távolság: fénymásodperc, fényév stb.: c = 1 (fényév/év)
∆ τ = ∆t ⋅ 1−
v2 c2
= ∆t ⋅ 1− 0,52 = 8 év ⋅ 0,866 = 6,9 év
Ikerparadoxon!
Idődilatáció
Más úton haladunk a téridőben Más távolságot teszünk meg • térben • és időben
v c
c·∆t
A PitagoraszPitagorasz-tétel
∆τ
Mozgás a téridőben
2
y
x
A sajátidő
2
c ⋅ ∆τ = ∆t ⋅ c − v
c·∆τ
2
= ∆t 2 – ∆x2
Göcsej Intercity Távolság: 240 km Sebesség: 80 km/h = 22,2 m/s ∆t = 3 h, ∆τ = 3 h! 1 − x ≈ 1−
Közelítés:
x , ha x ≈ 0 2
Bizonyítékok az idődilatációra
Eltérés a két időtartam között: ∆t ⋅
(
x 22,2 / 3 ⋅ 108 =3 h ⋅ 2 2
2
)
= 3 ⋅ 10−11 s
Müon:: 4 km magasan keletkezik Müon élettartama: 2,2· 2,2·10-6 s max.. út: 660 m max leér a felszínre! Részecskék által megtett út a részecskegyorsítókban Mössbauer-- óra (10-16 s pontosság) Mössbauer repülőgéppel a Föld körül
2
20 évig tartó űrutazás Sebessé g (c) 0,007% (20 km /s)
Földi idő ( év)
Távols ág ( fényév )
20, 00000004 (20 é v 1,4 s)
10%
0,0006 (6,3·· 109 km) (6,3
20, 1
A Na pre ndszer határ a legk öz. öz . csillago k
23
6
99%
142
70
Gemma
1400
700
15000
7500
Perseus -halm az
99, 9999999%
400000
200000
Magell án Fel hő k
99, 999999999%
4 milli ó
2 milli ó
Andro medameda-k öd
99, 9999%
Távolság: x0 = 4 fényév Sebesség: v = 0,5c v2 c2
De neb
Példa a Lorentz Lorentz--kontrakcióra
x = x 0 ⋅ 1−
Plútó
1
50%
99, 99%
A méter definíciója Égitest
= 4 ⋅ 1 − 0,5 2 = 3,46 fényév
Az űrhajósok számára: 3,46 fényév / 6,9 év ≈ 0,5 0,5c c
A fénysebesség határsebesség v1 = c : v + v2 c + v2 c + v 2 c ⋅ (c + v 2 ) v= 1 = = = =c v ⋅v c ⋅ v2 v c + v2 1+ 1 2 2 1+ 1+ 2 2 c c c
A fénysebesség nem léphető túl!
s/∆τ ≠ s/∆t, ellentmond ellentmondá ás! A mozgó mozgó test szá számára a tá távols volsá ágok lerö ler övid vidü ülnek!
x = x0 ⋅ 1 −
∆ τ = ∆t ⋅ 1 −
c2
c2
Sebességösszeadás
v = c esetén: c2
v2
x0: sajá sajáthossz (nyugalmi hossz) az együ együttmozg ttmozgó ó megfigyel megfigyelő ő méri A sajá sajáthossz a legnagyobb!
A fény mozgása
Speciális eset: =0
x = x 0 ⋅ 1−
c2 c2
v=
=0
v1 + v 2 v ⋅v 1+ 1 2 2 c
v23
v12
v=v13
Példa: A fény számára nem múlik az idő! (Minden egy pontban van!)
Relativisztikus dinamika Newton 2. törvénye: nagyobb v ⇒ nagyobb F
F=
m ⋅a 1−
1000 km/h + 2000 km/h = 2999,99999999486 km/h (számolás pl. Excellel)
idő
A téridőtéridő-diagram
v2 c2
A fénysebesség nem léphető túl! Szokás: m =
Ugyanígy: c + c = c
A Lorentz Lorentz--kontrakció
1791: a Föld délkörének húszmilliomod része (Bessel (Bessel:: 2,3 kmkm- es hiba!) 1889: egy platinaplatina- irídium rúd hossza (ős-- méter) (ős 1960: színképvonal hullámhossza alapján 1983. okt. 20. Nemzetközi Mértékügyi Konferencia (Párizs): az a távolság, amit a fény 1/299792458 s alatt megtesz. megtesz.
m0 1−
v2 c
m0: nyugalmi tömeg
2
A gyorsítás során nő a test tehetetlensége
táv olság
3
Tengelyek és mértékegységek ITT
Intervallumok
(fé nyk úp)
időszer ű (mozgás lehetsé ges)
jövő
Ferdeszögű koordináták
ITT’
fényszerű (csak a fény fut hatja be
1 év
jelen
ITT
ITT
fényvo nal
MOST
MOST’
c = áll.
térszerű (mozgás nem lehetsé ges)
1 fé nyé v Koordi nát ák: pár huzam ost húz unk a másik tengellyel
múlt
ITT
MOST MOST
ITT
ITT’
ITT’
Az egyidejűség relativitása
Múlt – jelen – jövő ITT
ITT’
jövő MOST’ MOST’
MOST’
MOST
MOST
Az egyhelyűség relativitása
ITT
A c mint határsebesség
MOST múlt
Ok és okozat
ITT ITT’
Az ikerparadoxon
ITT 16 év
Idősze rű elválasztás esetén egyérte lmű!
14 év
MOST’ MOST’
lövés
8 év
visszajelzés
7 év
v = 0,5c
Fe lcse rélődik az ok és az okozat!
té rsze rű inte rvallum MOST
MOST
MOST 4 fé nyé v
Egysze rre több helyen megtalálható!
A hosszabb a rövidebb?
4
Utazás Moszkvából Edmontonba
Hiperbolikus geometria
Melyik az igazi?
1 éves utazás különböző sebességekkel Edm onto n
Moszkva
∆t
Edm onto n
∆τ
2
= ∆t2 – ∆x2
Moszkva
1 = ∆t2 – ∆x2
∆x
hipe rbola: 1 = y2 – x2
„Semmiből egy ujj más világot teremtettem”
A PitagoraszPitagorasz-tétel
Bolyai János
∆τ
2
= ∆t2 – ∆x2
(1802-1860)
∆x
Hiperbolikus geometria!
∆t
∆τ
1818: be iratkozik a bé csi katonai mé rnökakadémiára mindjárt a 4. é vfolyam ra ve tték fe l 21 éves korában hadnagy, 24 évesen kapitány a hadse regben a legjobb matematikus, virtuóz hegedűs, vívó több párbaja halállal végződött
minősítési lapján: „magaviselete összeférhetetlen” 31 éves korában „hülepedni” küldték (nyugdíjazták) zeneelméle t, hadtudomány, nye lvésze t, filozófia, Üdvtan (a boldogság útja) A tér abszolút igaz tudománya: 1825, de csak 1832-ben jelent meg (Appendix) Lobacse vszkij: 1826, nyomtatásban: 1829.
Egyenletes mozgás, gyorsuló mozgás
Tömeg--energia ekvivalencia Tömeg
Példa az ekvivalenciára
E = mc 2 Ahol tömeg van, ott energia is van. Ahol energia van, ott tömeg is van. Nő az energia ⇒ nő a tö t ömeg
Mennyi ideig fedezné egy 60 kg tömegű tanuló Magyarország teljes villamos villamos-energia-- igényét energia igényét? ? (4,3· (4,3·1010 kWh kWh/év) /év)
E = mc 2 = 60 60··(3 (3··108)2 = 5,4· 5,4·101 8 J
Péld ldá ául: v = 3 m/s, m = 60 kg (futá (fut ás)
1 év: 4,3· 4,3·1010·1000 1000··3600 = 1,55· 1,55·10 17 J
∆m = ∆E/c 2 = mv2/2 /2c c 2 = 3· 3·10-15 kg
5,4··1018 / 1,55· 5,4 1,55·1017 = 35 év !!!
Speciális relativitáselmélet: egyenletesen mozgó rendszerek Mi a helyzet a gyorsuló rendszerekkel? Einstein: 1907-től 1916-ig Általános relativitáselmélet: gyorsuló rendszerek, gravitáció
Hogyan nyerhetjük ki belőle ezt az energiát? (⇒ (⇒ atommagfizika)
5
Eötvös Loránd
Súlyos és tehetetlen tömeg
Az E = mc2 következményei
Súl yos tömeg
(1848--1919) (1848
Tehetetl en tömeg
Tömeg és energia egyenértékű ahol van tömeg, ott van energia ahol van energia, ott van tömeg A fénynek (fotonnak) is van energiája van tömege! hat rá a gravitáció ???
Föld
Eötvös, a sportember
Eötvös Loránd: súlyos tömeg = tehete tlen tömeg Nem tudjuk eldönteni, hogy melyik liftben vagyunk!
Gravitáció – gyorsulás
Cima di Eötvös
Eötvös kiegyens úlyozott egyéniség volt. Az intenzív s zellemi munka mellett mindig talált időt a kikapcsolódás ra, s portolás ra. Rendszeresen lovagolt, 12 kilométerre lévő A professzor lovon házából gyakran lóháton járt be egyetemi előadásait megtartani. érkezik az egyetemre. Nyaranta kerékpározott, és szenvedélyes sziklamászó volt. Alig tizennyolc évesen megmászta E urópa második legmagasabb csúcsát, a Monte Rosa-t (4638 m). A hegymászás klasszikus korában nem maradt le a legjobb német és os ztrák alpinisták mögött.
Általános relativitáselmélet
Einstein (1916): a gyorsulás és a gravitáció hatásai egyenértékűek.
Így a gravitációs térben hasonló jelenségek tapasztalhatók, mint a fénysebesség közelébe felgyorsított testeken:
Eötvös József fia 1878-tól az ELTE fizika tanszékének vezetője (Jedlik Ányos után) 1889-től az akadémia elnöke 1894-ben 7 hónapig vallás- és közoktatásügyi miniszte r Mé résének pontossága: 0,0005% Csak az 1970-es é vekben tudták túlhaladni
Eötvös Loránd a lányait fényképezi Mint szenvedélyes fényképész, alpesi túráiról fényképfelvé telek százait készítette. Idősebb korában lányai is e lkísé rték túráira, akik szintén szenvedélyes alpinistává váltak . Hegymászó teljesítményei Dé l-Tirolban annyira ismertté te tték a ne vét, hogy 1902-ben az egyik 2837 m magas csúcsot róla ne vezték el C ima di Eötvösnek, azaz Eötvös-csúcsnak. Baráti társaságban gyakran emlegette tréfásan, hogy büszkébb hegymászó sikere ire, mint a torziós inga felfedezésé re.
A tér görbülete
Föld
Einstein: nem lehet eldönteni, hogy melyik liftben vagyunk. G ravitáció: az a mód, ahogy az egyik tömeg megváltoztatja a másik gyorsulását.
Kis tömegű (sűrűségű) test
té rgörbület (Rik ) ~ anyageloszlás
• a távolságok le rövidülnek • az időtartamok megnyúlnak
∆ t észlelő =
∆t 2γM 1− 2 c R
Föld
GRAVITÁC IÓ = A TÉR GÖRBÜLETE
Nagy tömegű (sűrűségű) test
A tér görbülete
6
A relativitásrelativitáselmélet bizonyítékai
itt látjuk
A fény útja itt helyezkedik e l
a Merkúr perihéliummozgása a gravitációs vöröseltolódás (órák lassulása) a műholdak szinkronizációs jelei a fény elgörbülése
Nap-Nap fogyatkozás 1919
Nagy tömegű égitest (pé ldául a Nap)
Principe sziget, 1919. május 29.
Elhajlás a Nap melle tt: 1,8” (a napkorong 0,1%-a)
A Nap körül a Hyades csillagai.
gyűrű távoli galaxis gravitációs lencse
Föld
Teljesen szimmetrikus esetben kör, egyébként pedig elkülönülő ívek jönnek lé tre.
A Világegyetem szerkezete
Gravitációs lencsék ív
gravitációs lencse
távoli galaxis
Gravitációs lencsék
Föld
A szökési sebesség A kozmológiai konstans
v szökési =
Az üres térnek taszító gravitációja (nyomása) van az üres tér is görbült ?? Hubble, 1929: a galaxisok távolodnak egymástól „Életem legnagyobb tévedése.”
Einstein, 1917: nem lehet „sík” (mint amilyennek a csillagászok látták) Össze kéne húzódnia!
Fekete lyuk
M: az égitest tömege R: az égitest sugara
2γM R
γ = 6,67 ·10- 11 m 3/k g/s2
Csökken a méret → nő a szökési sebesség. A szökési sebesség nagyobb lesz, mint a fénysebesség: 2γM 2γM >c ⇒ R< R c2 Schwarzschild-sugár
7
A Schwarzschild Schwarzschild--sugár Tömeg: Világegy etem
A fénysugár pályája
Bezárul a tér
fotonszféra
esemén yh orizon t
R:
101 2 galaxis
~ 30 milliárd fény év
Galaxis
101 1 M0
0,03 fény év
Nap
2 ·1030 k g
3 km
Föld
6 ·1024 k g
9 mm
Hegy ség
1 milliárd tonna
10-1 5 m
Fotonszféra:
Ember
70 k g
10-2 5 m
• a fény fele tud elszökni
fekete l yuk
• a merőlegesen induló sugarak körbemennek
A hidrogénatom sugara: 5 ·10-11 m
A fekete lyukak megfigyelése
Zuhanás egy fekete lyukba
• mérete a Schwarzschildsugár 1,5-szerese
A Cyg X-1 kettősrendszer km/s 80
Idő:
Távolság:
Árapály hatás:
0,1 s
1800 km
1 kg
0
0,01 s
390 km
500 kg
- 40
0,001 s
84 km
50 tonna
10 -4 s
18 km
5000 tonna
10 -5 s
4 km
5 ·10 5 tonna
40
Erős röntgen-röntgen források
Gravitációs hatás: nagy tömegű, láthatatlan kísérő Röntgensugárzás: a belehulló anyag okozza (akkréciós korong)
Szupermasszív fekete lyukak
- 80 0
Periódus: 5,6 nap Tömeg: 10 M0
1
2
3
4
5 nap
a radiális sebesség változása
Féreglyukak
Einstein-Rosen híd
A Chandra röntgen- műhold röntgenfelvétele
A galaxisok középpontjában Több millió – milliárd naptömeg
8
Féreglyukak – fehér lyukak
Féreglyukak Összeköthet két távoli pontot a téridőben (!) (térbeli intervallum) két különböző világegyetemet
Magv ető Ki adó, 1977
Go ndolat Ki adó, 1985
Go ndolat Ki adó, 1974
(Einste in: A speciális és általános relativitás e lmélete)
Könyvajánlat
– Relativitáselmélet – (Összeállította: Juhász T ibor)
9
