Bahan Minggu II, III dan IV Tema : Kerangka acuan inersial dan Transformasi Lorentz Materi :
Terdapat dua pendekatan yang digunakan untuk menelusuri kaedah transformasi antara besaran−besaran fisis (transformasi Lorentz) dari kerangka inersial yang satu (K) menuju kerangka ~ inersial yang lain (K ) yang bergerak dengan kecepatan konstan V terhadap K. Pendekatan pertama yang digunakan bersifat konvensional yaitu dengan memilih ruang dan waktu sebagai variabel awal yang digunakan dalam merumuskan kaedah transformasi Lorentz. Dengan pendekatan ini, kaedah transformasi untuk besaran momentum dan energi baru ditelusuri kemudian. Pendekatan kedua bersifat pendekatan energetika, yaitu dengan memilih momentum−energi sebagai variabel awal, yang selanjutnya transformasi untuk besaran ruang dan waktu baru ditampilkan kemudian. Menurut Muslim (1997), pendekatan ini tampil lebih ringkas dan lebih sesuai apabila diterapkan untuk proses mikroskopik pada zarah elementer, mengingat data−data pada proses hamburan dan spektroskopi biasanya melibatkan besaran momentum dan energi. Berikut ini akan dijabarkan perumusan kaedah transformasi Lorentz melalui pendekatan energetika (momentum−energi).
Pendekatan Energetika dan Penjabaran Kaedah Transformasi Lorentz Menurut asas korespondensi, perumusan hukum Newton kedua yang berbentuk
F=
dp dan dE = F . dr = dW dt
dapat pula berlaku dalam energetika relativistik (untuk momentum dan energi relativistik), dengan modifikasi definisi bagi momentum p . Dalam hal ini, F adalah gaya luar yang melakukan kerja
dW pada zarah dalam selang waktu dt, dengan akibat terjadinya perubahan momentum sebesar dp dan energi sebesar dE sewaktu zarah tersebut melakukan pergeseran sejauh dr . Perubahan tenaga tersebut dapat dituliskan sebagai
dp dr dE = . dr = dp . = v . dp . dt dt Pada saat zarah dalam keadaan rehat ( v = 0 ), energi zarah bernilai E0 yang dinamakan dengan energi rehat. Selanjutnya jika zarah bergerak ( v ≠ 0 ), energi zarah tersebut akan bertambah dengan energi kinetik sebesar Ek menjadi energi total E yang dirumuskan sebagai
E = E0 + Ek . Jika zarah tersebut bergerak lurus maka v // p sehingga dE = v dp. Untuk foton dengan v = c konstan dan invarian (asas kedua teori relativitas), maka diperoleh energi foton sebesar
E = ∫ dE = c ∫ dp = pc + konstan . Mengingat tidak ada foton dengan kecepatan nol, maka disimpulkan bahwa tetapan konstan tersebut sama dengan nol. Jadi diperoleh E 2 = p 2 c 2 untuk v = c.
Selanjutnya untuk zarah bermassa dengan v atau p atau Ek sembarang, bentuk kuadrat momentum p 2 dapat diuraikan ke dalam suatu deret Taylor dalam Ek = E − E0 yang berbentuk p 2 = a0 + a1Ek + a2 Ek2 + ... Untuk zarah rehat (v = 0), nilai p maupun Ek = 0, sehingga a0 = 0. Dari sini, perilaku zarah untuk kecepatan rendah diberikan oleh koefisien a1 . Untuk zarah berkelajuan tinggi, Ek tinggi sehingga nilai E 2 ≈ Ek2 , mengingat untuk daerah ini E0 dapat diabaikan. Dari kondisi ini diperoleh a0 = 1 / c 2 , sedangkan untuk a3 dan seterusnya sama dengan nol. Adapun untuk kelajuan rendah, tentu saja a1 ≠ 0 . Jadi untuk sembarang daerah kelajuan / energi kinetik, berlaku kaitan dispersi untuk zarah bebas yang berbentuk p 2 = p . p = a1 Ek + Ek2 / c 2 untuk 0 ≤ v ≤ c. Apabila ungkapan di atas diambil turunannya, serta dengan mengingat bahwa
dEk = d ( E − E0 ) = dE diperoleh 2p . dp = (a1 + 2 Ek / c 2 ) dE atau dE =
p . dp 2 1 a + E / c 1 k 2
yang harus = v . dp . Dari sini diperoleh kesamaan
p=v Pangkat dua persamaan di atas adalah
(
1 2
)
a1 + Ek / c 2 .
aE E2 p 2 = v 2 14 a1 + 1 2 k + 4k c c
yang harus bernilai sama dengan p 2 = a1Ek + Ek2 / c 2 . Dua persamaan terakhir di atas dapat dituliskan dengan mengumpulkan Ek yang berpangkat sama sebagai
v 2 Ek2 v2 1 − 2 2 + a1 1 − 2 Ek = 14 a12 v 2 . c c c Dengan mengalikan persamaan di atas dengan
c2 , diperoleh (1 − v 2 / c 2 )
Ek2 + a1c 2 Ek =
a12 v 2 c 2 4(1 − v 2 / c 2 )
yang ternyata sama dengan p 2c 2 . Dengan demikian
p=
a1v 2 1 − v2 / c2
.
Untuk kelajuan rendah, berlaku rumus Newton : p = mv
dan 1 − v2 / c2 ≈ 1 sehingga
mv =
a1v 2
atau
a1 = 2m . Dengan mengisikan hasil ini diperoleh vektor momentum relativistik sebagai p=
mv 1 − v2 / c2
= γmv
dengan
γ =
1 1 − v2 / c2
≥ 1.
Selanjutnya dengan mengisikan nilai a1 = 2m diperoleh
γmv = v(m + Ek / c 2 ) atau
Ek = mc 2 (γ − 1) .
Mengingat energi kinetik partikel adalah energi relativistik partikel dikurangi dengan energi rehatnya, atau yang dituliskan sebagai
Ek = E − E0 dengan E = energi relativistik partikel dan E0 = energi rehat partikel. Selanjutnya dapat dilakukan identifikasi berikut :
E = γmc 2 =
mc 2 1 − v2 / c2
dan E0 = mc 2
Untuk limit non−relativistik, bentuk
γ − 1 = (1 − v 2 / c 2 ) −1 / 2 − 1 ≈ (1 + v 2 / 2c 2 ) − 1 = v 2 / 2c 2 sehingga tenaga kinetik nonrelativistik menjadi
Ek = mc 2 (v 2 / 2c 2 ) = 12 mv 2 yang bersesuaian dengan teori Newton. Kuadrat energi relativistik partikel bernilai
E2 =
(
m 2c 4 1 = m 2c 4 − m 2 v 2 c 2 + m 2 v 2 c 2 2 2 1− v / c 1 − v2 / c2
m 2 c 4 (1 − v 2 / c 2 ) mv + = 2 2 2 2 (1 − v / c ) 1− v / c
)
2
2 c = m 2c 4 + p 2c 2
sehingga
E=
p 2c 2 + m 2c 4
Hubungan antara p, v dan E dapat dituliskan dalam bentuk p = γmv = γmc 2 v / c 2 =
Ev . c2
Iilustrasi yang menggambarkan hubungan tersebut dalam segitiga siku-siku terdapat pada Gambar di bawah ini.
mc 2
E p
Segitiga siku-siku antara E, pc dan mc 2
Transformasi Lorentz untuk besaran ( E , p)
~ Ditinjau transformasi Lorentz antara kerangka K dan kerangka K yang bergerak terhadap K dengan kecepatan V, yang secara linear menghubungkan perangkat besaran ( E , p x , p y , p z ) dan ~ (E, ~ px , ~ py , ~ p z ) serta sebagai bentuk pengkhususan dipilih transformasi yang hanya ditinjau ke arah salah satu sumbu koordinat saja, dalam hal ini dipilih sumbu x. Bentuk transformasi Lorentz tersebut adalah ~ E = Γ' ( E + bp x ) ; ~ p x = Γ( p x + aE ) ; ~ p y = p y dan ~ pz = pz . Jadi pada bentuk di atas, komponen momentum ke arah sumbu y dan z tidak mengalami perubahan, sehingga transformasi hanya melibatkan pasangan ( E , p x ) . Untuk mencari parameter−parameter transformasi yaitu Γ, Γ' , a dan b, akan ditinjau dua kasus khusus yaitu kasus partikel bermassa rehat
~ ~ m yang rehat masing−masing di K dan K . Ilustrasi tentang kerangka K dan K terdapat pada Gambar di bawah ini ~ z
z
V
~ O
~ y
O
x
y
~ x
~ Kerangka K dan K ~ Saat partikel rehat di K , yang berarti ~ px = ~ py = ~ pz = 0 maka memberikan p y = pz = 0 serta
p x + aE = 0 atau
p x = −aE . Padahal hubungan antara p, v dan E adalah p=
Ev c2
sehingga diperoleh kesimpulan a=−
v . c2
~ Mengingat partikel tersebut rehat di K , itu berarti partikel tersebut bergerak dengan kecepatan v = V = V n x di K. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa a=−
V . c2
Selanjutnya saat partikel rehat di K, yang berarti px = p y = pz = 0 , yang dari transformasi Lorentz memberikan ~ py = ~ pz = 0 serta 2
V ~ p x = ΓaE = − 2 Γmc 2 = −ΓVm. c
~ Partikel tersebut berarti bersama−sama dengan kerangka K bergerak terhadap K dengan kecepatan ~ v = − V = −V n x . Dengan demikian momentum partikel di K bernilai px = −
mV 1 − V 2 / c2
sehingga diperoleh 1
Γ=
1 − V 2 / c2
.
~ ~ Kemudian dihitung nilai energi E di K menurut ~ E=
mc 2 1−V / c 2
2
= Γ' (mc 2 + 0)
sehingga diperoleh Γ' =
1 1 − V 2 / c2
= Γ.
~ Untuk menentukan tetapan b, ditinjau kembali partikel yang rehat di K , sehingga ~ ~ transformasi Lorentz untuk energi E di K menghasilkan ~ E = mc 2 = Γ' (Γmc 2 + bΓmV ) atau bmV =
(
)
mc 2 − mc 2 = mc 2 1 − V 2 / c 2 − 1 = − mV 2 2 Γ
yang berarti bahwa b = −V .
~ Dengan demikian transformasi Lorentz antara kerangka K dan kerangka K yang bergerak ~ dengan kecepatan V ke arah sumbu x untuk perangkat besaran ( E , p x , p y , p z ) dan ( E , ~ px , ~ py , ~ pz ) adalah
~ E=
E − Vp x 1 − V 2 / c2
;
p − VE / c 2 ~ px = x ; 1 − V 2 / c2 ~ py = py ; ~ pz = pz . Selanjutnya dilakukan perluasan jika arah V sembarang. Dengan melakukan substitusi :
p x → p// ; p y dan p z → p⊥ ; p xV → p//V = p ⋅ V
diperoleh
E −p⋅V ~ E= ; 1 − V 2 / c2 ~ p − VE / c 2 p // = // ; 2 2 1−V / c ~ p⊥ = p ⊥
~ Karena K bergerak terhadap K dengan kecepatan − V , maka transformasi balik untuk bentuk di atas adalah
E=
p // =
~ ~ E + p⋅V 1 − V 2 / c2 ~ ~ p // + VE / c 2 1 − V 2 / c2 ~ p⊥ = p⊥
;
;
Contoh Soal 1.
Sebuah
partikel
bermassa
m
bergerak
terhadap
kerangka
I
dengan
kecepatan
v = (c / 5)(iˆ − 2 ˆj + 2kˆ) . Jika terdapat kerangka II yang bergerak terhadap kerangka I dengan kecepatan V = (c / 5)(2iˆ + ˆj − 2kˆ) , carilah :
2.
(a)
momentum dan tenaga kinetik dan tenaga total partikel menurut kerangka I.
(b)
kecepatan, momentum, tenaga kinetik dan tenaga total partikel menurut kerangka II.
Sebuah elektron dalam suatu akselerator tenaga tinggi bergerak dengan kelajuan 0,5 c. Carilah kerja yang harus dilakukan terhadap elektron untuk menaikkan kelajuannya menjadi (a)
0,75 c
(b)
0,99 c
(c)
Untuk kedua nilai kelajuan tersebut, tentukan faktor peningkatan tenaga kinetik maupun momentum elektron.
3.
Di kerangka K, sebuah partikel bergerak dengan kecepatan u . Di K tersebut juga terdapat medan E dan B . Bagaimanakah cara menentukan gaya Lorentz pada partikel tersebut di kerangka K’, dimana K’ bergerak dengan kecepatan V terhadap K ? Jika gaya Lorentz di K’ tersebut telah diperoleh, bagaimana cara menguji bahwa nilai yang diperoleh itu benar ?
