PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Oleh: Agatha Manggar Sari NIM : 033214005

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008

i


MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS

SKRIPSI Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain the Sarjana Sains Degree In Physics

By: Agatha Manggar Sari NIM : 033214005

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008


ii


iii


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Hidup itu seperti sebuah sepeda. Kau tidak akan terjatuh kecuali bila berhenti mengayuh. (Claude Pepper)

Semakin banyak pengetahuan yang kita peroleh, bukannya semakin nyata, tetapi menjadi semakin misterius. (Albert Schweitzer)

PERSEMBAHAN : “Skripsi ini kupersembahkan untuk Bapak dan Ibu serta Mb Merry, Uri dan Ria yang senantiasa memberikan doa, semangat, dukungan, kasih sayang dan pengaruh yang besar dalam setiap keberhasilanku.”

iv


PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

ABSTRAK Telah dilakukan penjabaran persamaan-persamaan Maxwell dan persamaan gerak elektron dalam medium yang dikenai potensial bergantung waktu dan posisi. Persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat linear. Jika ada medium, persamaan Maxwell akan menghasilkan penyelesaian medan elektromagnetik yang bersifat nonlinear.

v


MAXWELL EQUATIONS AND NONLINEAR EFFECTS

ABSTRACT Derivation of the Maxwell equations and the electron equation of motion in the medium subject to potential energy which depend on both time and position have been performed. The Maxwell equations in vacuum give the solution to the electromagnetic fields which are linear in properties. When there is a medium, the Maxwell equations will give a solution to the electromagnetic fields which are nonlinear in properties.

vi


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan YME, karena atas segala limpahan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini berjudul “PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR’’ yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik dalam bentuk doa, waktu, tenaga, dukungan, bimbingan, kritik serta saran yang sangat penulis butuhkan untuk dapat menyelesaikan skripsi ini. Dengan segala penghormatan dan kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah

banyak

meluangkan

waktu

dengan

tulus

untuk

membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat kepada penulis dalam mengerjakan tugas akhir ini. 2. Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku Kaprodi Jurusan Fisika yang telah banyak membantu dalam segala keperluan perkuliahan selama menjadi mahasiswa. 3. Bapak Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa. 4. Bapak A. Prasetyadi, S.Si. M.Si. dan Ibu Dwi Nugraheni R., S.Si. M.Si. sebagai dosen pengajar yang selalu berikan teladan.

vii


5. Pak Gito, Mas Ngadiyono, Pak Tukijo, Bu Linda yang selalu sabar dalam memberi pelayanan kepada mahasiswa. 6. Bapak dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan, dorongan,

biaya,

doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini. 7. Mbak Merry, Uri, dan Ria saudara-saudaraku terkasih yang selalu berdoa untuk keberhasilanku. Terima kasih atas segala canda tawa yang membuatku tidak pernah merasa bosan selama menyelesaikan skripsi. 8. Simbah putri, Bulek Jumi, Yessy yang selalu bersedia mendoakan keberhasilanku. 9. Mbak Ayuk, Mbak Ratna , Mbak frida sebagai sahabat sekaligus teman berjuang yang tak henti-hentinya selalu memberi semangat. 10. Mbak Yuni, Bambang, Mas Minto, Mas Milli, Mbak Kia, Mas Danang, teman-teman seperjuangan dalam berjuang mengantri bimbingan. Terimakasih atas teladan semangat kalian. 11. Mas Rafael, Enzo, Hari, Mamat, Adit, Basil, Yudha, Ridwan, Iman, Tri, Mbak Inke, Adet, Githa, Imma, Lori, Ade, Sujad, Siska, Wati, dan Zee. Terimakasih telah menjadi teman-teman fisika yang baik dan setia. 12. Semua anak-anak fisika yang telah berjuang bersama-sama. 13. Essy, Yossy, Mumut yang telah lama menjadi sahabat penyemangat, serta Sisil dan Mekar yang selalu beri semangat dan doa.

viii


14. Iin dan Toto (ikom’03) serta Mas Sinar yang selalu membantuku menjadi

sumber

informasi

dalam

mengatasi

segala

masalah

komputerku. 15. Dhani, Yenny, Emma, Arien, Stella, Adit, Bambang’far, dan Ius, teman-teman KKN angk’33 yang selalu bersedia mendengarkan keluhanku. Penulis sangat menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak terdapat kekurangan, untuk itu penulis sangat mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari berbagai pihak. Harapan penulis adalah semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi setiap pembaca.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

ix


x


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………..……………

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………….…

ii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………..……..

iii

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ……………..……….……….

iv

ABSTRAK …………………………………………………………….

v

ABSTRACT ……………………………………………….…………..

vi

KATA PENGANTAR …………………………………….…………...

vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………….

x

DAFTAR ISI …………………………………………….…………….

xi

BAB I. PENDAHULUAN.…………………………………………….

1

1.1. Latar Belakang ……………………………….……………….

1

1.2. Perumusan Masalah ………………………….……………….

5

1.3. Batasan Masalah ……………………………….……………..

6

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ……………….………………

6

1.4.1. Tujuan Penelitian ……………………….………...……

6

1.4.2. Manfaat Penelitian ………………………….………….

6

1.5. Sistematika Penulisan ……………………………....…………

6

BAB II. DASAR TEORI …………………………………....…………

8

2.1. Perumusan Persamaan Maxwell ………………………………

8

2.1.1. Hukum Gauss ………………….……………………….

8

2.1.1.1. Hukum Gauss untuk Medan Listrik …...………

xi

8


2.1.1.2. Hukum Gauss untuk Medan Magnet ………..…

11

2.1.2. Hukum Ampere ……………………….………...……...

13

2.1.3. Hukum Induksi Faraday ………………………………

17

2.2. Persamaan Maxwell …………………………………..……….

20

2.3. Teori Klasik Optik Nonlinear ……………………………...….

20

2.3.1. Susceptibilitas Nonlinear ……………………...….……

21

2.3.2. Model Atom Klasik Nonlinear ………………….……...

22

2.3.2.1. Gas Elektron Bebas …………………………...

22

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik ………………………...

24

r

2.4. Operator Del ∇ ………………………………………………..

28

2.5. Persamaan Diferensial ………………………………………...

30

2.5.1. Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu ………………..

30

2.5.2. Persamaan Diferensial Orde Dua ………………….…...

30

2.5.2.1. Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien Konstan ……...…

31

2.5.2.2. Persamaan Diferensial Linear dengan KoefisienKoefisien Konstan …………………

32

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………..

33

3.1. Jenis Penelitian ………………………………………….…….

33

3.2. Sarana Penelitian ……………………………………………...

33

3.3. Langkah-Langkah Penelitian ………………………………….

33

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………..

35

4.1. Hasil Penurunan Persamaan Maxwell ……………...…………

35

xii


4.1.1. Persamaan Gelombang ………………………...………

35

4.1.1.1. Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa .........................................................…..

35

4.1.1.2. Gelombang Elektomagnet dalam Medium ……

40

4.1.2. Persamaan Gerak ………………………………………

46

4.2. Pembahasan …………………………………………………...

55

BAB V. PENUTUP ……………………………………….…………...

57

5.1. Kesimpulan …………………………………………….……...

57

5.2. Saran ………………………………………………….……….

57

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….………

58

xiii



BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Saat ini telah banyak ilmuwan menyadari bahwa fisika nonlinear juga merupakan sesuatu yang fundamental jika ingin memahami alam semesta secara utuh. Sebelumnya tidak ada yang menduga bahwa sifat-sifat nonlinear akan menghasilkan beragam fenomena yang menarik dalam fisika. Ilmuwan terdahulu lebih senang melakukan linearisasi permasalahan dengan cara mengabaikan efek nonlinear ketika menganalisis suatu masalah. Perkembangan ilmu fisika belakangan ini menunjukkan bahwa fisika nonlinear memberikan banyak sumbangan terhadap kemajuan ilmu fisika dan teknologi.

Para

fisikawan

telah

melakukan

berbagai

penelitian

untuk

menunjukkan bahwa efek nonlinear ternyata dapat dikembangkan lebih jauh lagi sebagai ilmu penunjang dalam menganalisis suatu sistem. Teori nonlinear telah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, misalnya di bidang optik. Perpaduan teori nonlinear dan optik menghasilkan cabang ilmu fisika yang dikenal sebagai optika nonlinear. Secara definitif, optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium r nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi P memberikan respon

nonlinear terhadap medan listrik

r gelombang elektromagnetik E . Polarisasi

adalah pergeseran elektron oleh medan listrik. Teori optik nonlinear dapat dipelajari dengan dua metode, yaitu secara klasik dan kuantum.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Dalam fisika optik, untuk menjelaskan peristiwa refraksi, refleksi, dispersi, dll dari perambatan sinar dalam sebuah medium, diperlukan ilmu dasar tentang induksi polarisasi listrik. Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi r listrik P diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan r listrik gelombang elektromagnetik E ( He and Liu, 1999 )

r r P = ε 0 χE

(1.1)

dengan ε 0 permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan r r linear antara P dan E pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960,

ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen. r Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara P dan r E tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik.

Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut r r hubungan antara P dan E menjadi

r r rr rrr P = ε 0 [ χ (1) E + χ ( 2 ) EE + χ (3) EEE + .....]

(1.2)

dengan χ (1) , χ ( 2) , χ (3) , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear), orde-3 (nonlinear) dan seterusnya. Contoh yang lain dapat dilihat dari penurunan intensitas sinar selama perambatan dalam medium yang berbanding linear terhadap intensitas lokal. Dalam optik, pelemahan intensitas berkas sinar dalam sebuah medium penyerap dapat dideskripsikan sebagai


dI = −αI dz

(1.3)

dengan I intensitas berkas, z variabel sepanjang arah perambatan dan α konstanta medium.

Tetapi, hasil pengamatan menunjukan bahwa sifat–sifat

penurunan intensitas perambatan berkas laser dalam sebuah medium optik tidak selalu mengikuti deskripsi yang dinyatakan oleh persamaan (1.3). Misalnya sebuah medium penyerap foton, nilai koefisien α dapat merupakan sebuah konstanta atau variabel yang bergantung pada intensitas yang terjadi. Jika terdapat proses penyerapan 2 foton dalam medium, maka persamaan intensitas berkas dapat dituliskan menjadi ( He and Liu, 1999 )

dI = −αI − βI 2 dz

(1.4)

dengan β koefisien serapan 2 foton. Pada kasus umum, untuk proses penyerapan multi-foton (3 foton atau lebih), persamaan intensitas berkas mengikuti

dI = −αI − βI 2 − γI 3 − ..... . dz

(1.5)

Pada dasarnya gejala nonlinear optik dapat diperoleh dari persamaan Maxwell atau polarisasi medan listrik. Polarisasi listrik suatu bahan digambarkan sebagai pergeseran elektron oleh medan listrik. Jika diambil arah perambatan pada sumbu x , dengan komponen medan E dan B pada arah sumbu z dan y , arah pergeseran elektron ke arah sumbu z yang dideskripsikan sebagai fungsi r ( x, t ) . Persamaan Maxwell (di dalam ruang hampa) menjadi ( Whitham, 1974 ) dB dE − =0 dt dx

(1.6)


4

dE qN dr dB + = c 02 , dt ε 0 dt dx

(1.7)

dimana q muatan listrik, N jumlah elektron per satuan volume, c 0 kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan ε 0 permitivitas ruang hampa. Elektron yang dikendalikan oleh medan E dan terjebak di dalam sebuah sumur potensial akan menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara r dengan E dideskripsikan ke dalam persamaan ( Whitham, 1974 )

m

dengan m massa elektron,

d 2r + U ′(r ) = qE dt 2

(1.8)

d 2r turunan ke dua fungsi pergeseran elektron dt 2

terhadap waktu (percepatan), dan U ′(r ) turunan sumur potensial. Jika persamaan (1.8) ditambah dengan redaman fungsi waktu U ′(t ) menjadi

m

dan diberikan nilai U (r ) =

d 2r + U ′(r ) + U ′(t ) = qE dt 2

(1.9)

1 mω 2 r 2 , ω 2 r = β , dan ω 2 = α , sehingga persamaan 2

(1.9) menjadi

qE d 2r dr +β + αr = , 2 dt m dt

(1.10)

dengan α dan β merupakan konstanta. Persamaan (1.10) adalah persamaan diferensial orde-2 tak homogen, jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (1.10), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 1.1.


5

r (t )

Gambar 1.1 Grafik hubungan antara r (t ) dan t persamaan (1.10). Untuk nilai α = 1 , β = 1 , q = 1 , E = 1 , dan m = 1 . Gambar menunjukkan bahwa nilai pergeseran r (t ) mencapai nilai maksimum

pada saat t = 0.5 s kemudian r (t ) mencapai nilai minimum pada saat t = 4 s. Pada saat t = 7 s, nilai pergeseran r (t ) meningkat dan mulai saat t = 10 s nilai r (t ) menjadi konstan. Hal ini dapat terjadi karena sistem mengalami kejenuhan.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, yang menjadi permasalahan adalah 1. Bagaimana memperoleh persamaan (1.6) dan (1.7) dari persamaan Maxwell 2. Bagaimana menjabarkan efek nonlinear klasik.

menggunakan pendekatan fisika


6

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang diteliti dibatasi pada masalah penjabaran efek nonlinear secara klasik.

1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian 1.4.1 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah : 1. Merumuskan efek nonlinear dari persamaan Maxwell. 2. Merumuskan keterkaitan antara efek nonlinear dengan persamaan diferensial serta syarat yang diperlukan.

1.4.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya optik nonlinear dari sudut pandang teoritis.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan hasil penelitian ini adalah sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI


7

Pada Bab II dijabarkan persamaan Maxwell, teori klasik optika nonlinear, persamaan diferensial linear orde-2 homogen dan tak homogen. BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan langkah-langkah penelitian. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasannya. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Pada bab ini memaparkan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian dan pembahasan.


BAB II DASAR TEORI 2.1 Perumusan Persamaan Maxwell Persamaan-persamaan Maxwell merupakan

persamaan yang dapat

diturunkan dari persamaan-persamaan dasar keelektromagnetan yaitu hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum induksi Faraday. Berikut penjelasan singkat penurunan keempat persamaan dasar keelektromagnetan sehingga memperoleh empat persamaan Maxwell.

2.1.1 Hukum Gauss 2.1.1.1 Hukum Gauss untuk Medan Listrik

r Berdasar Gauss, di dalam permukaan tertutup seluas S , fluks listrik Φ E yang dipancarkan mempunyai hubungan sebanding dengan muatan listrik q yang tercakup dalam permukaan tertutup tersebut, dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984) r r

ε 0 Φ E = ε 0 ∫ E.dS = q .

(2.1)

Untuk mengubah persamaan (2.1) ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau sebuah elemen volume diferensial berbentuk balok yang mengandung sebuah titik r P dan memuat medan listrik E , seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1(a). Titik P

terletak pada x, y, z dalam kerangka referensi Gambar 2.1(b) dan sisi-sisi balok mempunyai panjang dx , dy , dz .

8


z • P ( x, y , z )

dz

P

y dx

dy

x

(a)

(b)

Gambar 2.1 (a) elemen volume diferensial berbentuk balok. (b) kerangka referensi. Vektor luas permukaan untuk muka belakang balok menuju ke arah sumbu

r r x negatif sehingga dS = −iˆ.dy.dz . Untuk muka depan nilai dS = +iˆ.dy.dz . Jika

r vektor medan listrik di muka belakang adalah E , maka medan listrik di muka r ⎛ r ∂E ⎞ depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah ⎜⎜ E + dx ⎟ . Nilai ∂x ⎟⎠ ⎝

r ⎛ ∂E x ⎜ ⎜ ∂x ⎝

⎞ ⎟dx ⎟ ⎠

r menyatakan perubahan E yang diasosiasikan dengan perubahan x dalam dx . r r Besar nilai E.dS yang melalui permukaan depan dan belakang balok adalah

(

r r E.dS

)

x

r r r ∂E = ( E. − iˆ.dy.dz ) + ( E + dx).(+iˆ.dy.dz ) ∂x r ∂ E = +iˆ.dx.dy.dz ∂x ∂E = dx.dy.dz x . ∂x

(2.2)

Vektor luas permukaan untuk muka samping kiri balok menuju ke arah r sumbu y negatif sehingga dS = − ˆj.dx.dz . Untuk muka samping kanan nilai

r r dS = + ˆj.dy.dz . Jika medan listrik di muka samping kiri adalah E , maka medan listrik di muka samping kanan yang berjarak dy dari muka samping kiri adalah


10

r r r ⎛ r ∂E ⎞ ⎛ ∂E ⎞ ⎟ . Nilai ⎜ ⎟dy menyatakan perubahan E yang diasosiasikan ⎜E + dy ⎜ ⎜ ∂y ⎟ ∂y ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ r r dengan perubahan y dalam dy . Sehingga E.dS untuk permukaan samping kiri

dan samping kanan balok adalah

(

r r E.dS

)

y

r r r ∂E dy ).(+ ˆj.dx.dz ) = ( E. − ˆj.dx.dz ) + ( E + ∂y r E ∂ = + ˆj.dx.dy.dz ∂y ∂E y = dx.dy.dz . ∂y

(2.3)

Vektor luas permukaan untuk muka bawah balok menuju ke arah sumbu r r z negatif sehingga dS = − kˆ.dx.dy . Untuk muka atas nilai dS = + kˆ.dx.dy . Jika

r medan listrik di muka bawah adalah E , maka medan listrik di muka atas yang r r ⎛ r ∂E ⎞ ⎛ ∂E ⎞ ⎟dz menyatakan berjarak dz dari muka bawah adalah ⎜⎜ E + dz ⎟ . Nilai ⎜⎜ ⎟ ∂z ⎟⎠ ⎝ ⎝ ∂z ⎠

r perubahan E yang diasosiasikan dengan perubahan z dalam dz . Sehingga r r E.dS untuk permukaan atas dan bawah balok adalah

(

r r E.dS

)

z

r r r ∂E ˆ dz ).(+ kˆ.dx.dy ) = ( E. − k .dx.dy ) + ( E + ∂z r E ∂ = + kˆ.dx.dy.dz ∂z ∂E = dx.dy.dz z . ∂z

(2.4)

Sehingga besar nilai fluks listrik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah dari persamaan (2.2), (2.3), dan (2.4),


11

(

)

(

r r r r r E dS = E d S + E . . x ∫ ∫ ∫ .dS = ∫ dx.dy.dz

) + ∫ (Er.dS ) r

y

z

∂E y ∂E x ∂E + ∫ dx.dy.dz + ∫ dx.dy.dz z ∂x ∂y ∂z

∂E y ∂E z ⎞ ⎛ ∂E ⎟⎟ = ∫ dx.dy.dz ⎜⎜ x + + ∂ ∂ ∂ x y z ⎝ ⎠ r = ∫ dx.dy.dz div E .

(2.5)

Besar muatan q untuk elemen volume diferensial di P yang tercakup dalam permukaan tersebut adalah

q = ∫ ρ .dx.dy.dz

(2.6)

dimana ρ merupakan muatan per satuan volume di P. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.5) dan (2.6) ke persamaan (2.1), maka diperoleh r

ε 0 div E = ρ atau r r

ε0 ∇ . E = ρ .

(2.7)

2.1.1.2 Hukum Gauss untuk Medan Magnet

Fluks magnetik merupakan garis-garis induksi yang melalui permukaan tegak lurus

seluas S. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan

magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup. Hukum Gauss untuk medan magnetik adalah (Halliday dan Resnick, 1984) r r Φ m = ∫ B.dS = 0

(2.8)


12

r dengan Φ m fluks magnetik (Weber), B vektor rapat fluks magnetik (Tesla atau r Wb/m²) dan dS elemen luas (m²). Untuk mengubah persamaan (2.8) ke dalam

bentuk diferensial, perlu ditinjau kembali sebuah elemen volume diferensial seperti ditunjukkan pada gambar 2.1. Dengan langkah yang sama seperti pada langkah untuk mendapatkan persamaan (2.7), vektor luas permukaan untuk muka belakang balok

r dS = −iˆ.dy.dz . Untuk muka depan nilai

r dS = + kˆ.dy.dz .

r Sedangkan untuk medan magnet di muka belakang adalah B dan medan magnet r ⎛ r ∂B ⎞ di muka depan yang berjarak dx dari muka belakang adalah ⎜⎜ B + dx ⎟⎟ . ∂ x ⎝ ⎠ r r Sehingga nilai B.dS untuk bagian permukaan depan dan belakang balok adalah

(

r r B.dS

)

x

r r r ∂B dx).(+iˆ.dy.dz ) = ( B. − iˆ.dy.dz ) + ( B + ∂x r B ∂ = +iˆ.dx.dy.dz ∂x ∂B = dx.dy.dz x . ∂x

(2.9)

Seperti langkah sebelumnya maka besar fluks magnetik untuk permukaan bagian samping kiri dan kanan adalah

(

r r B.dS

)

y

r r r ∂B = ( B. − ˆj.dx.dz ) + ( B + dy ).(+ ˆj.dx.dz ) ∂y r B ∂ = + ˆj.dx.dy.dz ∂y ∂B y = dx.dy.dz . ∂y

Nilai fluks magnetik untuk permukaan bagian atas dan bawah balok adalah

(2.10)


13

(

r r B.dS

)

z

r r r ∂B ˆ dz ).(+ kˆ.dx.dy ) = ( B. − k .dx.dy ) + ( B + ∂z r ∂B = + kˆ.dx.dy.dz ∂z ∂B = dx.dy.dz z . ∂z

(2.11)

Sehingga besar fluks magnetik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah integral dari persamaan (2.9), (2.10) dan (2.11),

(

)

(

r r r r r r B d S = B d S + B . . x ∫ ∫ ∫ .dS

) + ∫ (Br.dSr ) y

z

∂B y ∂B z ⎞ ⎛ ∂B ⎟ = ∫ dx.dy.dz⎜⎜ x + + ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x

r = ∫ dx.dy.dz div B .

(2.12)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.12) ke persamaan (2.8), diperoleh

r div B = 0 atau

v r ∇.B = 0 .

(2.13)

2.1.2 Hukum Ampere

Ada dua cara untuk menghasilkan sebuah medan magnet, yaitu yang pertama dengan sebuah medan listrik yang berubah-ubah, dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984) r r dΦ E B ∫ .dl = μ 0ε 0 dt .

(2.14)


14

Cara ke dua dengan sebuah arus. Sebuah medan magnet dapat dihasilkan oleh arus di dalam sebuah kawat, yang dikenal sebagai hukum Ampere, dituliskan sebagai r r B ∫ .dl = μ 0 i .

(2.15)

Pada umumnya kedua cara untuk mendapatkan medan magnet tersebut harus diperhitungkan, sehingga dapat dituliskan sebagai r r ⎛ dΦ E ⎞ B ∫ .dl = μ 0 ⎜⎝ ε 0 dt + i ⎟⎠ .

(2.16)

Dari persamaan (2.16) dapat ditransformasikan ke dalam bentuk diferensial persamaan Maxwell. Diawali dengan menggunakan persamaan (2.16) untuk sebuah elemen permukaan diferensial yang berbentuk siku-siku di sebuah titik P dalam suatu daerah medan magnet, ditunjukkan pada Gambar 2.2(a). Titik P diletakkan di x, y, z dalam kerangka referensi Gambar 2.2(b). Sisi segi empat siku-siku tersebut, sejajar dengan bidang x, y , sehingga mempunyai panjang dx

dan dy .

z P

.P

dx

y

dy x

(a)

(b)

Gambar 2.2 (a) elemen permukaan diferensial berbentuk siku-siku. (b) kerangka referensi.


15

Seperti ditunjukkan pada gambar 2.2 (a), dengan bergerak mengelilingi sisi yang mempunyai arah sesuai anak panah diperoleh

(Br.dl ) = Br.(− ˆjdy) r

untuk sisi belakang

1

sisi kiri

(Br.dlr )

r = B.(+iˆdx)

sisi depan

(

)

r ⎛ r ∂B ⎞ = ⎜⎜ B + dx ⎟⎟.(+ ˆjdy ) x ∂ ⎠ ⎝

sisi kanan

(

)

r ⎛ r ∂B ⎞ = ⎜⎜ B + dy ⎟⎟.(−iˆdx) y ∂ ⎠ ⎝

2

r r B.dl

r r B.dl

3

4

sehingga untuk seluruh sisi,

(

)

(

)

(

)

(

)

r r r r r r r r r r B d l = B d l + B d l + B d l + B . . . . 1 2 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r .dl 4 r r r r ∂B r ∂B = ∫ B.(− ˆjdy ) + ∫ B.(+iˆdx) + ∫ ( B + dx).(+ ˆjdy ) + ∫ ( B + dy ).(−iˆdx) ∂x ∂y r r ∂B ˆ ∂B ˆ =∫ j.dx.dy − i .dy.dx ∂x ∂y r r ⎞ ⎛ ∂B ∂ B = ∫ dx.dy⎜⎜ . ˆj − .iˆ ⎟⎟ ∂y ⎠ ⎝ ∂x r r ⎛ ∂B y ∂B x ⎞ ⎟⎟ . ⎜⎜ . . B d l = dx dy − ∫ ∫ ∂ x ∂ y ⎠ ⎝

Dari persamaan (2.16), i adalah arus yang dicakup semua sisi dan

(2.17) dΦ E dt

r adalah perubahan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Jika J diambil r untuk menyatakan rapat arus dan dS = kˆ.dx.dy yang merupakan vektor luas

permukaan yang mengarah ke sumbu z , maka dapat dituliskan r r i = J .dS = J .(kˆ.dx.dy ) = dx.dy.J z

(2.18)


16

r r dΦ E ∂E ∂E ˆ =∫ .dS = ∫ (k .dx.dy ) dt ∂t ∂t

dan atau

dΦ E ∂E = ∫ z dx.dy . dt ∂t

(2.19)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19) ke persamaan (2.16), didapatkan ⎛ ∂B y ∂B x ⎜⎜ − ∂y ⎝ ∂x

⎞ ∂E z ⎞ ⎛ ⎟⎟ = μ 0 ⎜ J z + ε 0 ⎟ ∂t ⎠ ⎝ ⎠

(2.20)

Sama seperti langkah di atas, untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang y, z memberikan nilai ⎛ ∂B z ∂B y ⎞ ∂E x ⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ = μ 0 ⎜ J x + ε 0 − ⎟. ∂z ⎠ ∂t ⎠ ⎝ ⎝ ∂y

(2.21)

Untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z , x memberikan nilai ∂E y ⎞ ⎛ ⎛ ∂B x ∂B z ⎞ ⎟. − ⎜ ⎟ = μ 0 ⎜⎜ J y + ε 0 ∂t ⎟⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎝

(2.22)

Jika persamaan (2.20) dikalikan dengan vektor komponen kˆ , (2.21) dengan iˆ , dan (2.22) dengan ˆj , kemudian dijumlahkan, maka didapatkan ∂B y ⎞ ⎛ ∂B ⎟+ iˆ⎜⎜ z − ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂y

∂B ˆj⎛⎜ ∂B x − ∂B z ⎞⎟ + kˆ⎛⎜ y − ∂B x ⎞⎟ = iˆ.μ 0 ⎛⎜ J x + ε 0 ∂E x ⎞⎟ + ⎜ ∂y ⎟⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂t ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ˆj.μ 0 ⎛⎜ J x + ε 0 ∂E x ⎞⎟ + kˆ.μ 0 ⎛⎜ J x + ε 0 ∂E x ⎞⎟ ∂t ⎠ ∂t ⎠ ⎝ ⎝

r ∂E ∂E ∂E ⎞ ⎛ curl B = μ 0 ⎜ (iˆJ x + ˆjJ x + kˆJ x ) + ε 0 (iˆ x + ˆj x + kˆ x ) ⎟ ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝


17

r r ⎛r ∂E ⎞ ⎟ curl B = μ 0 ⎜⎜ J + ε 0 ⎟ ∂ t ⎝ ⎠

atau r r r ⎛r ∂E ⎞ ⎟. ∇xB = μ 0 ⎜⎜ J + ε 0 ∂t ⎟⎠ ⎝

(2.23)

2.1.3 Hukum Induksi Faraday

Hukum induksi faraday menyatakan bahwa tegangan gerak elektrik imbas

ε ggl di dalam sebuah rangkaian adalah sama dengan negatif kecepatan perubahan fluks yang melalui rangkaian tersebut dan fluks adalah garis-garis gaya. Dapat dituliskan sebagai (Halliday dan Resnick, 1984)

ε ggl = −

dΦ B . dt

(2.24)

Jika ditinjau muatan uji q 0 yang bergerak mengitari rangkaian, maka kerja yang rr rr r dilakukan pada muatan uji tiap putaran F .l = q 0 .E.l . Dimana q 0 E adalah gaya r yang bekerja pada muatan tersebut dan l adalah jarak sepanjang gaya bekerja. rr Besar kerja F .l nilainya sama dengan q 0 ε ggl , sehingga dapat dituliskan sebagai

r

ε ggl = ∫ E.dl

(2.25)

Kemudian persamaan (2.25) disubstitusikan ke persamaan (2.24), sehingga hukum induksi Faraday dapat dituliskan sebagai r r

∫ E.dl

=−

dΦ B . dt

(2.26)


18

Dengan langkah sama seperti langkah untuk mendapatkan persamaan (2.23), dan berdasarkan Gambar 2.2 yang merupakan segi empat yang sejajar dengan bidang x, y , didapatkan

Untuk sisi belakang

(Er.dl ) = Er.(− ˆjdy) r

1

sisi kiri

(Er.dlr )

r = E.(+iˆdx)

sisi depan

(

)

r ⎛ r ∂E ⎞ = ⎜⎜ E + dx ⎟⎟.(+ ˆjdy ) ∂ x ⎝ ⎠

sisi kanan

(

)

r ⎛ r ∂E ⎞ = ⎜⎜ E + dy ⎟⎟.(−iˆdx) y ∂ ⎝ ⎠

)

(

2

r r E.dl

r r E.dl

3

4

sehingga untuk seluruh sisi,

(

)

(

)

(

)

r r r r r r r r r r E d l = E d l + E d l + E d l + E . . . . 1 2 3 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫r .dl 4 r r r r ∂E r ∂E = ∫ E.(− ˆjdy ) + ∫ E.(+iˆdx) + ∫ ( E + dx).(+ ˆjdy ) + ∫ ( E + dy ).(−iˆdx) ∂x ∂y r r ⎛ ∂E y ∂E x ⎞ E ∫ .dl = ∫ dx.dy⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠ .

Dari persamaan (2.26),

dΦ B dt

(2.27)

adalah perubahan fluks magnet yang melalui

r permukaan tersebut dan dS = kˆ.dx.dy digunakan untuk menyatakan vektor luas

permukaan yang sejajar dengan bidang x, y dan mempunyai arah ke sumbu z , maka dapat dituliskan

r r dΦ B ∂B r ∂B ˆ = ∫ .dS = ∫ .(k .dx.dy ) dt ∂t ∂t dΦ B ∂B = ∫ z dx.dy . dt ∂t

(2.28)


19

Persamaan (2.27) dan (2.28) disubstitusikan ke persamaan (2.26), didapatkan ⎛ ∂E y ∂E x ⎜⎜ − ∂y ⎝ ∂x

⎞ ∂B ⎟⎟ = − z . ∂t ⎠

(2.29)

Dengan melihat persamaan (2.29) yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang sejajar bidang x, y , maka dapat diperoleh juga persamaan yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang y, z , ⎛ ∂E z ∂E y ⎜⎜ − ∂z ⎝ ∂y

⎞ ∂B ⎟⎟ = − x ∂t ⎠

(2.30)

dan untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z , x , ⎛ ∂E x ∂E z − ⎜ ∂x ⎝ ∂z

∂B y ⎞ . ⎟=− ∂t ⎠

(2.31)

Persamaan (2.29) bersesuaian dengan komponen z , sehingga dikalikan dengan komponen vektor kˆ . Persamaan (2.30) dikalikan dengan komponen vektor iˆ dan (2.31) dikalikan dengan komponen vektor ˆj . Kemudian ketiga persamaan ini ditambahkan sehingga didapatkan, ∂E y ⎞ ⎛ ∂E ⎟+ iˆ⎜⎜ z − ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂y

∂E ∂B ˆj ⎛⎜ ∂E x − ∂E z ⎞⎟ + kˆ⎛⎜ y − ∂E x ⎞⎟ = −iˆ ∂B x − ˆj y − kˆ ∂B z ⎜ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂t ∂t ∂t ⎝ ∂z

r r ∂B curl E = − ∂t atau

r r r ∂B ∇xE = − . ∂t

(2.32)


20

2.2 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell dalam medium dapat dirumuskan berdasarkan persamaan (2.7), (2.13), (2.23) dan (2.32) yang bila dirangkum kembali menjadi (Efendi, R, 2007) r r (1) ε 0 ∇ . E = ρ

(2.33)

v r (2) ∇ . B = 0

(2.34)

r r r ⎛r ∂E ⎞ ⎟ (3) ∇xB = μ 0 ⎜⎜ J + ε 0 ∂t ⎟⎠ ⎝

(2.35)

r r r ∂B (4) ∇xE = − . ∂t

(2.36)

r Dalam ruang hampa, rapat muatan ρ dan rapat arus J bernilai nol,

sehingga persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa adalah r r (1) ∇ . E = 0

(2.37)

v r (2) ∇ . B = 0

(2.38)

r r r ∂E (3) ∇xB = μ 0 ε 0 ∂t

(2.39)

r r r ∂B . (4) ∇xE = − ∂t

(2.40)

2.3 Teori Klasik Optik Nonlinear

Optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium nonlinear merupakan medium

r dimana vektor polarisasi P memberikan respon nonlinear terhadap medan listrik r gelombang elektromagnetik E .


21

2.3.1 Susceptibilitas Nonlinear

Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam

r bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik P diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang

r elektromagnetik E , ditulisakan seperti persamaan (1.1) (He and Liu, 1999) r r P = ε 0 χE

Dengan ε 0 permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan

r r linear antara P dan E pada persamaan (1.1) dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen.

r Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara P dan r E tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik. Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik (kristal), teramati adanya generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut

r r hubungan antara P dan E dituliskan seperti pada persamaan (1.2) r r rr rrr P = ε 0 [ χ (1) E + χ ( 2 ) EE + χ ( 3) EEE + .....]

dengan χ (1) , χ ( 2 ) , χ ( 3) , ... susceptibilitas orde-1 (linear), orde-2 (nonlinear), orde-3 (nonlinear) dan seterusnya. Pada abad terakhir, teori gelombang ganda dapat dikembangkan dengan teori klasik murni dan optik dijelaskan sama seperti optik linear. Hukum klasik optik lebih banyak mempelajari intensitas cahaya dan susceptibilitas nonlinear.


22

2.3.2 Model Atom Klasik Nonlinear 2.3.2.1 Gas Elektron Bebas

Gerak elektron tunggal pada sebuah plasma dibawah pengaruh gelombang cahaya terpolarisasi, (Bloembergen,1996) By =

dimana

Ex E = exp(ikz − iωt ) , c c

(2.41)

k = ωc −1 . Persamaan gerak untuk elektron tunggal pada plasma, m&x& = eE x − ec −1 z&B y − mx& / τ

Waktu

tumbukan

τ

(2.42)

m&y& = − my& / τ

(2.43)

m&z& = ec −1 x& B y − mz& / τ .

(2.44)

mendeskripsikan

redaman

gerak

statis.

Bila

x = x0 exp(ikz − iωt ) , maka,

dx = (−iω ) x0 exp(ikz − iωt ) = −iωx dt

(2.45)

d 2x = (−iω )(−iω ) x0 exp(ikz − iωt ) = −ω 2 x 2 dt

(2.46)

x& = &x& =

Sehingga substitusi persamaan (2.45) dan (2.46) ke dalam persamaan (2.42) menghasilkan pendekatan linear pertama, − mω 2 x = 2eE exp(ikz − iωt ) − ec −1 z& B y − m(−iωx) / τ

(2.47)

Jika z = z 0 exp(ikz − i 2ωt ) diekspansikan dengan menganggap (ikz − i 2ωt ) sangat kecil, maka dalam pendekatan linear nilai z = z 0 (konstanta), sehingga persamaan (2.47) menjadi


23

x(ω ) =

− eE exp(ikz − iωt ) . m(ω 2 + iωτ −1 )

(2.48)

Berdasarkan persamaan (2.48), nilai dari x& (ω ) , x& (ω ) =

dx(ω ) (−iω )(−eE exp(ikz − iωt )) iωeE exp(ikz − iωt ) = = dt m(ω 2 + iωτ −1 ) m(ω 2 + iωτ −1 )

(2.49)

Jika nilai z = z 0 exp(ikz − i 2ωt ) , maka z& =

dz = (−2iω ) z 0 exp(ikz − iωt ) = −2iωz dt

d 2z &z& = 2 = (−2iω )(−2iω ) z 0 exp(ikz − iωt ) = −4ω 2 z dt

(2.50)

(2.51)

Jika persamaan (2.49), (2.50) dan (2.51) disubstitusikan ke persamaan (2.44), maka pendekatan nonlinear orde terendahnya,

z (2ω ) =

− ie 2 E 2 exp(2ikz − 2iωt ) . m 2 c(4ω + 2iτ −1 )(ω 2 + iωτ −1 )

(2.52)

Momen dipol linear p = q.d ( q muatan, d jarak). Karena q = e dan d = x(ω ) , momen dipol dapat dituliskan menjadi ex(ω ) Dalam permasalahan ini lebih difokuskan pada polarisasi rata-rata dalam volume kecil dan indeks bias plasma. Jika densitas rata-rata elektron pada plasma adalah N 0 per cm 2 , maka besar polarisasi, Px (ω ) = χ (ω ) E x (ω ) = N 0 ex(ω ) .

(2.53)

Persamaan (2.48) dan (2.53) mempunyai penyelesaian susceptibilitas χ (ω ) ,

χ (ω ) =

− N 0e2 . m(ω 2 + iωτ −1 )

(2.54)


24

Jika frekuensi optik ωτ << 1 , maka χ (ω ) =

− N 0e2 , sehingga nilai susceptibilitas mω 2

plasma, (ε − 1) ω = 4πχ (ω ) = −4πN 0 e 2 / mω 2 .

(2.55)

Polarisasi nonlinear untuk frekuensi harmonik kedua diberikan oleh persamaan, Pz (2ω ) = χ (2ω ) E x (ω ) = N 0 ez (2ω )

(2.56)

Seperti langkah sebelumnya, persamaan (2.52) dan (2.56) mempunyai penyelesaian susceptibilitas,

− N 0 ie 3 E exp(ikz − iωt ) . χ (2ω ) = 2 m c(4ω + 2iτ −1 )(ω 2 + iωτ −1 )

(2.57)

Jika frekuensi optik ωτ << 1 , maka

χ (2ω ) =

− N 0 ie 3 E exp(ikz − iωt ) 4m 2 ω 3 c

(2.58)

sehingga nilai susceptibilitas plasma, (ε − 1) 2ω

− πN 0 ie 3 E exp(ikz − iωt ) . = 4πχ (2ω ) = m 2ω 3 c

(2.59)

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik

Untuk menghitung polarisasi linear dari sebuah medium, Drude dan Lorentz mendeskripsikan elektron sebagai partikel harmonik. Jika ditinjau gerak satu dimensi osilator harmonik dalam medan listrik dengan frekuensi ± ω1 dan ± ω 2 , maka persamaan geraknya adalah &x& + Γx& + ω 02 x + vx 2 = e / m( E1 exp(ik1 z − iω1t ) + E 2 exp(ik 2 z − iω 2 t )) .(2.60)


25

Jika digunakan pendekatan linear, maka persamaan (2.60) dapat diperoleh menjadi &x& + Γx& + ω 02 x = e / mE1 exp(ik1 z − iω1t ) ,

(2.61)

Jika x = x0 exp(ikz − iωt ) , maka dx = (−iω1 ) x0 exp(ik1 z − iω1t ) = −iω1 x dt

(2.62)

d 2x = (−iω1 )(−iω1 ) x0 exp(ik1 z − iω1t ) = −ω12 x , 2 dt

(2.63)

x& = &x& =

Sehingga persamaan (2.61) dengan substitusi persamaan (2.62) dan (2.63) menghasilkan x(ω1 ) =

eE1 exp(ik1 z − iω1t ) m(−ω12 − iΓω1 + ω 02 )

(2.64)

Dalam pendekatan linear orde terendah, terdapat bentuk frekuensi harmonik kedua 2ω1 , 2ω 2 , bentuk pada frekuensi nol menjelaskan penyebaran sinar oleh nonlinear kuadrat vx 2 ,dan jumlah antara 2 gelombang sinar adalah ω1 + ω 2 , sedang bedanya

ω1 − ω 2 . Untuk memperoleh nilai

χ (2ω1 )

digunakan

x = x0 exp(2ik1 z − iω1t ) , sehingga x& = −iω1 x 0 exp(2ik1 z − iω1t ) = −2iω1 x

(2.65)

&x& = (−2iω1 )(−2iω1 ) x0 exp(2ik1 z − iω1t ) = −4ω12 x

(2.66)

Jika persamaan (2.65) dan (2.66) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas kiri mengandung faktor 2ω , sedangkan ruas kanan mengandung faktor ω , sebagai konsekuensinya, ruas kanan dianggap nol. Sehingga persamaan (2.61) dengan menggunakan persamaan (2.65) dan (2.66) dapat dituliskan menjadi


26

&x& + Γx& + ω 02 x + vx 2 = 0 x(2ω1 ) = Jika dituliskan

− ve 2 E12 exp(2ik1 z − 2iω1t ) m(−ω12 − iΓω1 + ω 02 ) 2 (−4ω12 − 2iω1Γ + ω 02 )

(2.67)

D(ω ) = D ∗ (−ω ) = −ω 2 − iΓω + ω 02 , maka persamaan (2.67)

menjadi x(2ω1 ) =

− (e 2 / m 2 )vE12 exp(2ik 1 z − 2iω1 t )

D 2 (ω1 ) D(2ω1 )

.

(2.68)

Sedangkan untuk nilai x(ω1 − ω 2 ) , digunakan x = x 0 exp(i (k1 − k 2 ) z − i (ω1 − ω 2 )t ) sehingga x& = −i (ω1 − ω 2 ) x 0 exp(i (k1 − k 2 ) z − i (ω1 − ω 2 )t ) = −i (ω1 − ω 2 ) x

(2.69)

&x& = −i (ω1 − ω 2 ). − i (ω1 − ω 2 ) x 0 exp(i (k1 − k 2 ) z − i (ω1 − ω 2 )t ) (2.70)

= −(ω1 − ω 2 ) 2 x

Jika persamaan (2.69) dan (2.70) disubstitusikan ke persamaan (2.60), maka ruas kanan tidak sama dengan ruas kiri sebab pada ruas kanan tidak ada komponen yang mengandung faktor frekuensi (ω1 − ω 2 ) . Sebagai konsekuensinya, ruas kanan dapat dianggap bernilai nol, sehingga persamaan menghasilkan x(ω1 − ω 2 ) = −v

e 2 E1 E 2∗ exp(i (k1 − k 2 ) z − i(ω1 − ω 2 )t ) (2.71) m 2 (−ω12 − iΓω1 + ω 02 )(−ω 22 + iΓω 2 + ω 02 )(−(ω1 − ω 2 ) 2 − iΓ(ω1 − ω 2 ) + ω 02 )

Jika dituliskan D(ω ) = D ∗ (−ω ) = −ω 2 − iΓω + ω 02 , maka persamaan (2.71) dapat dituliskan menjadi x(ω1 − ω 2 ) =

− (e 2 / m 2 )vE1 E 2* exp[i (k1 − k 2 ) z − i (ω1 − ω 2 )t ] D(ω1 ) D * (ω 2 ) D(ω1 − ω 2 )

Persamaan untuk polarisasi nonlinear mengikuti (Bloembergen, 1996)

. (2.72)


27

Px (2ω ) = χ xxx (2ω , ω , ω ) E x2 (ω ) = N 0 ex(2ω ) . NL

(2.73)

Dari persamaan (2.68) dengan mengubah nilai ω1 menjadi ω kemudian disubstitusikan ke persamaan (2.73) diperoleh nilai susceptibilitas nonlinear,

χ xxx (2ω , ω , ω ) =

− N 0 (e 3 / m 2 )v exp(2ikz − 2iωt ) D 2 (ω ) D(2ω )

(2.74)

dengan xxx tensor susceptibilitas. Pernyataan yang sama dapat diturunkan untuk susceptibilitas χ xxx (ω1 − ω 2 , ω1 ,−ω 2 ) . Dispersi dari susceptibilitas nonlinear orde terendah dideskripsikan dengan frekuensi tiga. Dispersi ditambah mendekati resonansi

dominator satu. Jika sebagai contoh beda frekuensi sama dengan

frekuensi

resonansi

,

D(ω1 − ω 2 ) = iω 0 Γ

untuk

ω1 − ω 2 = ω 0 ,

maka

susceptibilitas beda frekuensi jauh lebih besar dibandingkan lainnya. Ketika ω1 − ω 2 sama atau mendekati frekuensi resonansi ω 0 , digunakan komponen fourier (2.72) dalam penghitungan nonlinear orde tertinggi selanjutnya. vx 2

bentuk

linear

menghasilkan

komponen

2ω1 − ω 2 , ω1 − 2ω 2 ,

dalam

penambahan ke bentuk frekuensi pertama ω1 dan − ω 2 . Sebagai contoh, untuk mendapatkan nilai x NL (ω 2 ) * ( NL menunjukkan sistem nonlinear), diselesaikan dengan langkah sebagai berikut, x NL (ω 2 ) * = x NL (−ω 2 ) = x NL (ω1 − ω 2 − ω1 )

(2.75)

dari persamaan (2.64) diubah ke dalam bentuk x(−ω1 ) =

eE1∗ exp(−ik1 z + iω1t ) eE1∗ exp(−ik1 z + iω1t ) = m(−ω12 + iΓω1 + ω 02 ) mD ∗ (ω1 )

dan persamaan (2.60) mengikuti,

(2.76)


28

&x& + Γx& + ω 02 x + vx(ω1 − ω 2 ) x(−ω1 ) = 0 ,

(2.77)

jika x = x0 exp(−ik 2 z + iω 2 t ) , maka x& = iω 2 x dan &x& = −ω 22 x

(2.78)

sehingga substitusi persamaan (2.72), (2.76) dan (2.78) ke persamaan (2.77) menghasilkan x NL (ω 2 ) * = x NL (−ω 2 ) =

(e 3 / m 3 ) v 2 ( D * (ω 2 )) 2 D(ω1 ) D(ω1 − ω 2 ) 2

E 2* E1

2

atau

χ xxxx (ω 2 = ω 2 + ω1 − ω1 ) =

N 0 (e 4 / m 3 )v 2 D 2 (ω 2 ) D(ω1 ) D * (ω1 − ω 2 ) 2

.

(2.79)

r 2.4 Operator Del ∇ r Operator del ∇ didefinisikan sebagai vektor operator diferensial parsial. r Dalam koordinat kartesian, operator ∇ dianggap sebagai sebuah vektor : r ∂ ∂ ∂ ∇ = iˆ + ˆj + kˆ ∂z ∂x ∂y

(2.80)

dimana iˆ, ˆj dan kˆ menyatakan vektor satuan sepanjang sumbu x, y dan z . r Jika diberikan sembarang medan skalar φ pada operator del ∇ , maka

dapat dibentuk sebuah medan vektor yang dinamakan gradien dari φ (grad φ ), ditulis sebagai (Halliday dan Resnick, 1984) r ∂φ ˆ ∂φ ˆ ∂φ + j +k . grad φ ≡ ∇ φ = iˆ ∂z ∂x ∂y

(2.81)


29

r Jika diberikan sebuah medan vektor A = Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ , maka perkalian titik r r r dari ∇ dan A menghasilkan medan skalar yang dinamakan divergensi dari A

r (div A ), dituliskan sebagai r r r ∂Ax ∂Ay ∂Az + + . div A ≡ ∇ . A = ∂y ∂x ∂z

(2.82)

r r Perkalian silang dari ∇ dan A menghasilkan medan vektor yang r r dinamakan curl dari A (curl A ), dituliskan sebagai

r r r ⎛ ∂A ∂Ay ⎞ ⎟+ curl A ≡ ∇xA = iˆ⎜⎜ z − ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂y

∂A ˆj⎛⎜ ∂Ax − ∂Az ⎞⎟ + kˆ⎛⎜ y − ∂Ax ⎞⎟ . ⎜ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂z

(2.83)

r Operator lain yang sering didapati adalah ∇ 2 , ditulis sebagai

r r r ∂2 ∂2 ∂2 ∇ 2 = ∇.∇ = 2 + 2 + 2 . ∂z ∂y ∂x

(2.84)

Jika persamaan ini digunakan pada sebuah medan skalar φ , maka diperoleh

r ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∇ 2φ = 2 + 2 + 2 . ∂z ∂y ∂x

(2.85)

r r r Untuk sebuah medan vektor A , operasi ∇ 2 A adalah r 2 r ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ ˆ ⎜ ∇ A = i ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ Ax + ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞ kˆ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ Az . ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x Untuk perkalian silang

2 2 2 ˆj ⎛⎜ ∂ + ∂ + ∂ ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎝

⎞ ⎟⎟ Ay + ⎠

(2.86)

r r r r ∇x∇xA atau curl curl A nilainya akan sama

r r r dengan − ∇ 2 A + grad div A , dapat dituliskan sebagai

r r r r curl curl A = − ∇ 2 A + grad div A .

(2.87)


30

2.5 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Orde dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. (Waluya, 2006)

2.5.1 Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu

Bentuk persamaan linear orde satu, (Ayres, 1986) dy + Py = Q dt

(2.88)

dimana P dan Q adalah fungsi t atau konstanta.

Karena

d dy dy ( ye Pt ) = e pt + yPe pt = e Pt ( + Py) = e Pt Q dt dt dt

maka ye Pt = ∫ Qe Pt dt y = e − Pt ∫ Qe Pt dt

(2.89)

2.5.2 Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial linear orde dua, d2y dy P0 2 + P1 + P2 y = Q dt dt dimana P0 ≠ 0, P1 , P2 dan Q adalah fungsi t atau konstanta.

(2.90)


31

2.5.2.1 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien Konstan

Dari persamaan (2.90), jika Q = 0 maka disebut dengan persamaan linear homogen yaitu persamaan linear yang suku-sukunya berderajat sama dalam y dan demikian juga turunan-turunannya. Bentuk persamaan linear homogen dengan koefisien-koefisien konstan, (Ayres, 1986) P0

d2y dy + P1 + P2 y = 0 2 dt dt

(2.91)

dimana P0 ≠ 0, P1 , P2 adalah konstanta. Untuk memudahkan penyelesaian, notasi

d dt

diganti dengan operator D .

Sehingga persamaan (2.91) menjadi P0 D 2 y + P1 Dy + P2 y = 0 atau ( P0 D 2 + P1 D + P2 ) y = 0 .

(2.92)

Sehingga nilai ( P0 D 2 + P1 D + P2 ) akan sama dengan nol. Dengan mencari nilai faktorisasinya diperoleh ( D − m1 )( D − m2 ) y = 0

(2.93)

m1 , m2 adalah akar-akar karakteristik. Jika m1 ≠ m2 maka,

y = C1e mit + C 2 e m2t dimana C1 dan C 2 adalah nilai konstanta.

(2.94)


32

2.5.2.2 Persamaan Linear dengan Koefisien-koefisien Konstan

Berdasar persamaan (2.90), dengan mengubah

d menjadi D , maka dt

( P0 D 2 + P1 D + P2 ) y = Q Dengan memfaktorkan nilai ( P0 D 2 + P1 D + P2 ) , diperoleh

Dengan u =

y=

1 1 Q ( D − m1 ) ( D − m2 )

(2.95)

y=

1 u. ( D − m1 )

(2.96)

1 du Q , dapat diubah menjadi − m2 u = Q dan berdasar ( D − m2 ) dt

persamaan (2.89), maka persamaan dapat diselesaikan menjadi u = e m 2 t ∫ Qe − m 2 t dt . Dari persamaan (2.96), y =

(2.97)

dy 1 u sehingga − m1 y = u , dengan dt ( D − m1 )

penyelesaian persamaan diferensial orde satu seperti persamaan (2.89), diperoleh y = e m1t ∫ ue − m1t dt .

(2.98)

Dengan substitusi persamaan (2.97) ke pesamaan (2.98), diperoleh y = e m1t ∫ e ( m2 − m1 ) t ∫ Qe − m2t dtdt .

(2.99)

Jika diselesaikan, persamaan (2.99) menjadi y = [C1e m1t + C 2 e m2t +

Q ]. m1 m2

(2.100)


BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Jenis Penelitian Jenis penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah penelitian studi pustaka.

3.2 Sarana Penelitian Sarana yang dibutuhkan dalam penulisan skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan persamaan Maxwell yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3 Langkah-Langkah Penelitian Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan Maxwell yang dapat diturunkan dari hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum induksi faraday. 2. Menelusuri bahan-bahan mengenai teori optik nonlinear yang ditinjau secara klasik. 3. Mempelajari persamaan diferensial orde dua. 4. Menguraikan persamaan Maxwell sehingga mendapatkan persamaan gelombang baik dalam ruang hampa maupun dalam medium.

33


5. Membuat grafik dari persamaan gelombang yang diperoleh baik dalam ruang hampa maupun dalam medium menggunakan program Maple 9. 6. Menyelesaikan

persamaan

gerak

dengan

menggunakan

persamaan

diferensial orde dua sehingga didapatkan persamaan yang nonlinear. 7. Membuat grafik dari persamaan nonlinear yang didapat dengan menggunakan program Maple 9. 8. Mengamati dan membandingkan grafik-grafik yang diperoleh. 9. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah dilakukan.


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Penurunan Persamaan Maxwell 4.1.1 Persamaan Gelombang Dari keempat persamaan Maxwell baik dalam ruang hampa maupun

dalam

medium yang diperoleh pada bab II, akan digunakan untuk memperoleh persamaan gelombang elektromagnetik dalam hampa dan dalam medium.

4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Ruang Hampa Keempat persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa, (1)

r r ∇. E =0

(4.1)

(2)

r r ∇.B= 0

(4.2)

(3)

r r r ∂E ∇xB = μ 0 ε 0 ∂t

(4.3)

(4)

r r r ∂B ∇xE = − ∂t

(4.4)

Untuk mendapatkan persamaan gelombang elektromagnet dalam ruang hampa r diambil curl dari curl E , dimana sesuai dengan persamaan (2.87) adalah r r r r curl curl E = − ∇ 2 E + grad div E r r r r r r r r ∇x (∇xE ) = − ∇ 2 E + ∇(∇.E ) r r berdasarkan persamaan (4.1) nilai ∇.E adalah nol, sehingga persamaan menjadi

35

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36 r r r r r ∇ x (∇ x E ) = − ∇ 2 E

r ∂2 ∂2 ∂2 Sesuai dengan persamaan (2.84), bahwa ∇ 2 = 2 + 2 + 2 , penyelesaian persamaan ∂x ∂y ∂z menjadi r r r r r r ⎛ ∂2E ∂2E ∂2E ⎞ ∇x∇xE = −⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x

(4.5)

r r r Hasil perkalian ∇x (∇xE ) ini sendiri mengikuti

r r r r r ∂B ∇x(∇xE ) = ∇x(− ) ∂t

r r r ∂ ∇x(∇xE ) = − (∇xB) ∂t r r r r ∂E 2 ∇x (∇xE ) = − μ 0 ε 0 2 ∂ t

(4.6)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke persamaan (4.6) diperoleh r r r r ∂2E ∂2E ∂2E ∂2E + = μ 0ε 0 2 + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t

(4.7)

r r Nilai vektor medan listrik E = E x iˆ + E y ˆj + E z kˆ . Jika dua komponen E bernilai nol yaitu

E x = E z = 0 , sedangkan E y ≠ 0 , maka persamaan (4.7) menjadi ∂2Ey ∂x 2

+

∂2Ey ∂y 2

+

∂2Ey ∂z 2

= μ 0ε 0

∂2Ey ∂t 2

(4.8)

dengan menganggap bahwa E y adalah fungsi-fungsi dari x dan t saja, persamaan (4.8) menjadi

∂2Ey ∂x 2

= μ 0ε 0

∂2Ey ∂t 2

(4.9)


37 Jika dianggap bahwa E y = E m sin( kx − ωt ) , maka dari persamaan (4.9), dihasilkan relasi

μ 0ε 0 = ( k / ω ) 2 . Karena μ 0 ε 0 = 1 / c 2 , maka untuk v = c dihasilkan relasi ω = kc sehingga bentuk E y = E m sin( kx − ωt )

(4.10)

dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.9). Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.10), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.1.

Ey

Gambar 4.1 Grafik hubungan E y dengan t dari persamaan (4.10) dengan Em = 1, k = 1 , ω = 30 . r Untuk mencari persamaan gelombang medan magnet B , digunakan langkah yang r sama. Dengan mengambil curl dari curl B ,


38 r r r r curl curl B = − ∇ 2 B + grad div B r r r r r r r r ∇x (∇xB ) = − ∇ 2 B + ∇ (∇.B ) r r r r r ∇x (∇xB ) = − ∇ 2 B.

r 2 ∂2 ∂2 ∂2 Nilai ∇ = 2 + 2 + 2 , sehingga penyelesaian persamaan menjadi ∂x ∂y ∂z r r r r r r ⎛ ∂2B ∂2B ∂2B ⎞ ∇x (∇xB ) = −⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟. ∂z ⎠ ∂y ⎝ ∂x

(4.11)

r r r Nilai perkalian untuk ∇x (∇xB ) ini sendiri mengikuti

r r r r r ∂E ) ∇x(∇xB ) = ∇x ( μ 0 ε 0 ∂t

= μ 0ε 0

r ∂ (∇xE ) ∂t

r ∂2B = − μ 0ε 0 2 ∂t

(4.12)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.11) ke persamaan (4.12), diperoleh r r r r ∂2B ∂2B ∂2B ∂2B = μ 0ε 0 2 . + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t

(4.13)

r r Nilai vektor medan listrik B = B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ . Jika dua komponen B bernilai nol yaitu B x = B y = 0 , sedangkan B z ≠ 0 , maka persamaan (4.13) menjadi

∂ 2 Bz ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz μ ε + + = 0 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t 2

(4.14)

dengan menganggap bahwa B z adalah fungsi-fungsi dari x dan t saja, maka persamaan (4.14) menjadi


39 ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz = μ 0ε 0 . ∂x 2 ∂t 2

(4.15)

Jika dianggap bahwa Bz = Bm sin(kx − ωt ) , maka dari persamaan (4.15) dihasilkan relasi

μ 0ε 0 = ( k / ω ) 2 . Karena μ 0 ε 0 = 1 / c 2 , maka untuk v = c dihasilkan relasi ω = kc sehingga bentuk

Bz = Bm sin(kx − ωt )

(4.16)

dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan (4.15). Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.16), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.2.

Bz

Gambar 4.2 Grafik hubungan B z dengan t dari persamaan (4.16), dengan Bm = 1 , k = 1 , ω = 30 .


40 4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Medium

Empat persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial untuk medan listrik dan medan magnetik yang berubah terhadap waktu dalam sebuah medium: r r

(1)

ε0 ∇ . E = ρ

(4.17)

(2)

r r ∇.B= 0

(4.18)

(3)

r r r ⎛r ∂E ⎞ ⎟ ∇xB = μ 0 ⎜⎜ J + ε 0 ⎟ ∂ t ⎝ ⎠

(4.19)

(4)

r r r ∂B ∇xE = − ∂t

(4.20)

Nilai curl curl E , berdasarkan persamaan (2.87) mengikuti r r r r r ∇x (∇xE ) = −∇ 2 E + grad div E r r r r r = −∇ 2 E + ∇ (∇.E )

dengan mensubstitusikan persamaan (4.17) ke persamaan ini, diperoleh

r r r r r r ∇x (∇xE ) = −∇ 2 E + ∇ρ / ε 0

.

(4.21)

Nilai perkalian curl curl E ini sendiri adalah r r r r r ⎛ ∂B ⎞ ∂ r r ⎟ = − (∇xB) ∇x(∇xE ) = ∇x⎜⎜ − ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠ r ∂E ⎞ ∂ ⎛r ⎟. = − μ 0 ⎜⎜ J + ε 0 ∂t ⎟⎠ ∂t ⎝ r r Jika J adalah σE , dengan σ adalah konduktivitas bahan, maka

r r r r r ∂E ∂2E ∇x(∇xE ) = − μ 0σ − μ 0ε 0 2 . ∂t ∂t

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.21) ke persamaan (4.22), maka diperoleh

(4.22)


41 r r r2 r r ∂E ∂2E − ∇ E + ∇ ρ / ε 0 = − μ 0σ − μ 0ε 0 2 . ∂t ∂t

(4.23)

r Nilai E = iˆE x + ˆjE y + kˆE z . Jika E x = E z = 0 , E y ≠ 0 , dan E y adalah fungsi dari x dan t saja, maka persamaan (4.23) menjadi

−

∂2Ey ∂x 2

∂E y ∂2Ey ∂ − μ 0ε 0 ( ρ / ε 0 ) = − μ 0σ . ∂x ∂t ∂t 2

+

(4.24)

Karena ρ / ε 0 adalah sebuah konstanta maka turunan ρ / ε 0 terhadap x bernilai nol, sehingga persamaan (4.24) menjadi ∂2Ey ∂x 2

= μ 0σ

∂E y ∂t

+ μ 0ε 0

∂2Ey ∂t 2

.

(4.25)

Dari persamaan (4.25) terlihat bahwa E y merupakan fungsi x dan t . Persamaan (4.25) dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel yaitu dengan menuliskan E y ( x, t ) = X ( x )T (t ).

(4.26)

sehingga diperoleh, ∂2Ey ∂x

2

∂2 X =T ∂x 2

,

∂2Ey ∂t

2

=X

∂ 2T ∂t 2

dan

∂E y ∂t

=X

∂T ∂t

(4.27)

substitusi persamaan (4.27) ke persamaan (4.25), menghasilkan T

∂2 X ∂ 2T ∂T μ ε = + μ 0σX X 0 0 2 2 ∂t ∂x ∂t

1 ∂2 X 1 ∂ 2T ∂T = + μ 0σ ( μ ε ) 0 0 2 2 X ∂x T ∂t ∂t

(4.28)


42 Dari persamaan (4.28), terlihat bahwa ruas kiri hanya fungsi x dan ruas kanan hanya fungsi t . Oleh sebab itu, ruas kiri dan ruas kanan persamaan (4.28) merupakan konstanta. Jika konstanta tersebut adalah k 2 , maka 1 ∂2 X = k2 X ∂x 2

atau ∂2 X − Xk 2 = 0. 2 ∂x

(4.29)

Berdasarkan persamaan (2.94), persamaan (4.29) menghasilkan

X ( x) = Ae kx + Be − kx

(4.30)

dengan A dan B konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika digunakan syarat batas X (0) = 0 , maka diperoleh B = − A , sehingga persamaan (4.30) menjadi

X ( x) = A(e kx − e− kx ) .

(4.31)

Dari persamaan (4.28), ruas kanan mempunyai bentuk ( μ 0ε 0

∂ 2T ∂T ) = k 2T + μ 0σ 2 ∂t ∂t

Dengan menggunakan metode operator D =

(4.32)

∂ , persamaan (4.32) dapat dituliskan ∂t

menjadi ( μ 0 ε 0 D 2 + μ 0σD − k 2 )T = 0

(4.33)

Dari persamaan (4.33) terlihat bahwa ( μ 0 ε 0 D 2 + μ 0σD − k 2 ) = 0 , sebab T ≠ 0 . Akarakar dari persamaan (4.33) adalah


43 − μ 0σ + μ 02σ 2 + 4 μ 0 ε 0 k 2

D1 =

D2 =

2μ 0ε 0 − μ 0σ − μ 02σ 2 + 4 μ 0 ε 0 k 2 2μ 0ε 0

.

Sesuai dengan persamaan (2.94), persamaan (4.33) mempunyai penyelesaian berbentuk

T (t ) = YeD1t + Ze D2t .

(4.34)

dengan Y dan Z konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika diberikan syarat batas T (0) = 0 , maka diperoleh Z = −Y , sehingga persamaan (4.34) menjadi

T (t ) = Y (e D1t − e D2t ) atau

T (t ) = Y (e

(

− μ 0σ + μ 02σ 2 + 4 μ0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

−e

(

− μ 0σ − μ02σ 2 + 4 μ 0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

).

(4.35)

Dari persamaan (4.31) dan (4.35), persamaan (4.26) menghasilkan, E y ( x, t ) = AY (e − e kx

− kx

(

)(e

− μ 0σ + μ 02σ 2 + 4 μ 0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

−e

(

− μ 0σ − μ 02σ 2 + 4 μ 0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

).

(4.36)

).

(4.37)

Jika dituliskan E 0 y = AY , maka persamaan (4.36) menjadi

E y ( x, t ) = E 0 y (e

kx

−e

− kx

(

)(e

− μ 0σ + μ 02σ 2 + 4 μ 0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

−e

(

− μ 0σ − μ 02σ 2 + 4 μ 0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

Grafik yang dapat dibuat dari persamaan (4.37) dengan menggunakan program Maple 9 ditunjukkan pada Gambar 4.3.


44

Ey

Gambar 4.3 Grafik 3 dimensi E y fungsi x dan t dari persamaan (4.37) , dengan E 0 y = 1 , μ 0 = 1,26 .10 −6 H/m, ε 0 = 8,85.10 −12 F/m,

σ = 1 ohm/m, k = 45 ,

r Untuk memperoleh persamaan gelombang B digunakan cara yang sama dengan r cara untuk mendapatkan persamaan (4.37). Dengan mengambil curl dari curl B ,

berdasarkan persamaan (2.87) mengikuti r r r r r r ∇x (∇xB ) = −∇ 2 B + grad div B r r = −∇ 2 B. r r r Nilai perkalian ∇x (∇xB ) ini sendiri adalah

(4.38)


45 r r r r r ⎛ r ∂E ⎞ ∇x(∇xB) = ∇x⎜⎜ μ 0 ( J + ε 0 )⎟ ∂t ⎟⎠ ⎝

r r ∂ r r = μ 0 (∇xJ ) + μ 0 ε 0 (∇xE ). ∂t

(4.39)

r r Jika nilai rapat arus J adalah σE , dengan σ konduktivitas, maka persamaan (4.39)

menjadi r r r r r ∂ r r ∇x(∇xB) = μ 0σ (∇xE ) + μ 0 ε 0 (∇xE ) ∂t r r ∂B ∂ ∂B = μ 0σ ( − ) + μ 0 ε 0 ( − ) ∂t ∂t ∂t

r r ⎛ ∂B ⎞ ∂2B ⎟. = −⎜⎜ μ 0 ε 0 2 + μ 0σ ⎟ ∂ t ∂ t ⎝ ⎠

(4.40)

Dari persamaan (4.39) dan (4.40), diperoleh r r r2r ∂2B ∂B . − ∇ B = μ 0 ε 0 2 + μ 0σ ∂t ∂t

(4.41)

r Nilai B = iˆB x + ˆjB y + kˆB z . Jika B x = B y = 0 , B z ≠ 0 , dan B z adalah fungsi dari x dan t

saja, maka persamaan (4.41) menjadi ∂ 2 Bz ∂ 2 Bz ∂B = + μ 0σ z . μ ε 0 0 2 2 ∂t ∂x ∂t

(4.42)

Persamaan (4.42) memiliki tipe yang sama dengan persamaan (4.25), sehingga penyelesaian persamaan (4.42) mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan (4.37), dengan mengubah E y menjadi B z didapatkan

B z ( x, t ) = B 0 y (e kx − e − kx )(e

(

− μ 0σ + μ 02σ 2 + 4 μ 0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

−e

(

− μ 0σ − μ 02σ 2 + 4 μ 0ε 0 k 2 2 μ 0ε 0

)t

).

(4.43)


46 Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan (4.43), maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.4.

Bz

Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi B z sebagai fungsi dari x dan t dari persamaan (4.43), dengan B0 y = 1 , μ 0 = 1,26.10 −6 H/m,

ε 0 = 8,85.10 −12 F/m, σ = 1 ohm/m, k = 45.

4.1.2 Persamaan Gerak

Persamaan Maxwell yang akan dijabarkan adalah persamaan Maxwell dalam ruang hampa. Perlu ditinjau keempat persamaan Maxwell, yaitu persamaan (4.1), (4.2), (4.3), dan (4.4).


47 r ∂ ∂ ∂ dan arah perambatan sinar ke arah sumbu x Jika nilai ∇ = iˆ + ˆj + kˆ ∂z ∂x ∂y

r r dengan komponen medan listrik E ke arah sumbu z dan komponen medan magnet B ke

arah sumbu y , maka penjabaran untuk persamaan (4.20) , iˆ r r ∂ ∇ xE = ∂rx Ex

ˆj ∂ ∂ry Ey

kˆ ∂ ∂rz Ez

r r r E x , E y dan E z masing-masing adalah medan listrik ke arah sumbu x , y dan z . Karena r r r medan listrik E hanya mengarah ke sumbu z saja, maka besarnya E x dan E y bernilai 0, sehingga iˆ r r ∂ ∇ xE = ∂x 0

ˆj ∂ ∂y 0

kˆ ∂ ∂rz E

r r ∂ E ∂ E − ˆj . = iˆ ∂y ∂x

(4.44)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.44) ke persamaan (4.20) maka didapatkan

r r v ∂ E ∂ E ∂B − ˆj = iˆ − ∂y ∂x ∂t

(4.45)

Jika diambil hanya ke arah sumbu y , maka dari persamaan (4.45) diperoleh r v ∂B ∂E = ∂t ∂x r v ∂B ∂E = 0. − ∂t ∂x

(4.46)


48 r r r ∂E Persamaan (4.3) mengikuti ∇xB = ε 0 .μ 0 , sedangkan perkalian silang antara ∂t

r r vektor operator del ∇ dan vektor medan magnet B dalam koordinat kartesian ini sendiri

adalah iˆ r r ∂ ∇ xB = ∂rx Bx

ˆj ∂ ∂ry By

kˆ ∂ ∂rz Bz

r r r B x , B y dan B z masing-masing adalah medan magnet ke arah sumbu x , y dan z . r r r Karena medan lstrik B hanya mengarah ke sumbu y saja, maka besarnya B x dan B z bernilai 0, sehingga iˆ r r ∂ ∇ xB = ∂x 0

ˆj ∂ ∂ry B

kˆ ∂ ∂z 0

r r ∂ ∂ B B = iˆ(0 − ) + ˆj (0 − 0) + kˆ( − 0) ∂z ∂x r r ∂B ˆ ∂B ˆ =− i+ k. ∂z ∂x

(4.47)

Persamaan (4.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.47), sehingga r r r ⎛r ∂E ⎞ ∂B ˆ ∂B ˆ ⎟ = − μ 0 ⎜⎜ J + ε 0 k. i+ ∂z ∂x ∂t ⎟⎠ ⎝

(4.48)

Jika diambil hanya kearah sumbu z , maka persamaan (4.48) menjadi r r ⎛r ∂E ⎞ ∂B ⎟ = . μ 0 ⎜⎜ J + ε 0 ⎟ ∂x ∂ t ⎝ ⎠

(4.49)


49

r r r dr Jika rapat arus J mempunyai persamaan J = Nq , maka persamaan (4.49) menjadi dt r r r ∂E q.N . dr ∂ B + = c02 ∂t ε 0 dt ∂x

(4.50)

dengan, q muatan elektronik, N jumlah elektron per satuan volume, c0 kecepatan cahaya, ε 0 permitivitas ruang hampa. Untuk melengkapi sistem, dibutuhkan hubungan r antara r dengan E . Elektron yang dikendalikan oleh medan E dan terjebak di dalam

sebuah sumur potensial akan menghasilkan gaya pulih nonlinear. Sehingga relasi antara r r dengan E dapat dituliskan sebagai m

dengan, m

d 2r + U ′( r ) = qE dt 2

(4.51)

massa, r perpindahan, t waktu, U ′(r ) turunan dari sumur potensial

terhadap koordinat r . diberikan nilai U (r ) =

1 mω 2 r 2 dan koordinat ( r ) juga fungsi waktu ( t ) maka 2 U ′(r ) =

dU = mω 2 r . dr

(4.52)

Jika persamaan (4.52) disubstitusikan ke persamaan (4.51) menghasilkan d 2r qE + ω 2r = 2 m dt

atau ( D 2 + ω 2 )r =

qE m

( D + iω )( D − iω )r =

qE . m

Penyelesaian dari persamaan (4.53) sesuai dengan persamaan (2.100) yaitu

(4.53)


50 r = C1e iωt + C 2 e −iωt +

qE ω 2m

(4.54)

dengan C1 dan C 2 adalah konstanta. Untuk melihat efek kualitatif dari persamaan (4.54), dapat dilihat pada Gambar 4.5 .

r

Gambar 4.5 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.54), dengan C1 = 1 , C 2 = 1 , q = 1 C, E = 1 N/C, m = 1 kg, ω = 45 .

Jika pada persamaan (4.51) ditambahkan redaman fungsi waktu U ′(t ) , maka persamaan menjadi m

dengan U ′(t ) =

d 2r + U ′( r ) + U ′(t ) = qE dt 2

(4.55)

dU dU dr = , dan substitusi persamaan (4.52) diperoleh dt dr dt U ′(t ) = mω 2 r

dr . dt

(4.56)


51 Persamaan (4.52) dan (4.56) disubstitusikan ke persamaan (4.55) sehingga diperoleh d 2r dr qE + ω 2r + ω 2 = . 2 dt m dt

Dengan menggunakan metode operator D =

(4.57)

d , dan dengan menganggap bahwa dt

ω 2 r = β , ω 2 = α persamaan (4.57) dapat dituliskan menjadi ( D 2 + βD + α )r =

qE m

(4.58)

Akar-akar dari persamaan ( D 2 + βD + α ) , D12 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

− β ± β 2 − 4α = 2 =

D1 =

1 (− β + β 2 − 4α ) 2

1 (− β ± β 2 − 4α ) 2 dan D2 =

1 (− β − β 2 − 4α ). 2

(4.59)

Hasil penyelesaian diferensial (4.58) sesuai dengan persamaan (2.100) dan dengan substitusi persamaan (4.59) menghasilkan r = [ C1 e

1 ( − β + β 2 − 4α ) t 2

+ C2e

1 ( − β − β 2 − 4α ) t 2

+

qE ]. α .m

(4.60)

Untuk melihat efek kualitatif dari persamaan (4.60), dapat dilihat pada Gambar 2.6, dengan C1 = 1 , C 2 = 1 , β = 1 , α = 1 , q = 1 C, E = 1 N/C, m = 1 kg,


52 r

Gambar 4.6 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.60), dengan C1 = 1 , C 2 = 1 , β = 1 , α = 1 , q = 1 C, E = 1 N/C, dan m = 1 kg, Untuk kasus gaya pemaksa dari luar berbentuk periodik, yang ditulis sebagai m.

d 2r + U ′(r ) + U ′(t ) = qE sin ωt. dt 2

(4.61)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.52) dan (4.56) ke persamaan (4.61), menghasilkan m

Dengan operator D =

dr d 2r + mω 2 r + mω 2 r = qE sin ωt. 2 dt dt

d , dan dengan menganggap bahwa dt

(4.62)

ω 2 r = β , ω 2 = α maka

persamaan (4.62) menjadi ( D 2 + βD + α )r =

qE sin ωt m

atau ( D − D1 )( D − D2 )r =

qE sin ωt . m

(4.63)


53 Hasil penyelesaian differensial persamaan (4.63) sesuai dengan persamaan (2.99) yaitu r = e D1t ∫ e ( D2 − D1 ) t ∫ Mengingat nilai sin(bx) =

qE sin ωt − D2t e (dt ) 2 . m

e ibx − e −ibx e iωt − e −iωt , maka sin(ωt ) dapat diubah menjadi 2i 2i

sehingga persamaan (4.64) menjadi r = e D1t ∫ e ( D2 − D1 )t ∫

= e D1t ∫ e ( D2 − D1 )t = e D1t

qE e iωt − e − iωt − D2t ( )e (dt ) 2 m 2i

qE e (iω − D2 ) t − e ( −iω − D2 ) t (dt ) 2 ∫ 2im

qE 1 1 e ( D2 − D1 ) t ( e ( iω − D2 ) t + e ( − iω − D2 ) t + A)( dt ) ∫ 2im iω − D 2 iω + D 2

=

qE D1t 1 1 e ∫( e ( iω − D1 ) t + e ( − iω − D1 ) t + Ae ( D2 − D1 ) t )(dt ) 2im iω − D 2 iω + D 2

=

qE D1t e (iω − D1 )t e ( − iω − D1 )t Ae ( D2 − D1 ) t e ( + + + B) 2im (iω − D2 )(iω − D1 ) (iω + D2 )(−iω − D1 ) ( D2 − D1 )

=

qE e (iω − D1 + D1 ) t e ( − iω − D1 + D1 )t [ + 2im (−ω 2 − iω ( D1 + D2 ) + D1 .D2 ) (ω 2 − iω ( D1 + D2 ) − D1 .D2 ) +

Ae ( D2 − D1 + D1 )t + Be D1t ]. ( D2 − D1 )

Dengan substitusi persamaan (4.59) menghasilkan qE e iωt e −iωt r= [ + 2im (−ω 2 − iω (− β ) + α ) (ω 2 − iω (− β ) − α ) +

Ae

1 ( − β − β 2 − 4α ) t 2

β 2 − 4α

(4.64)

+ Be

1 ( − β + β 2 − 4α ) t 2

]


54 qEe iωt qEe − iωt =[ + 2im(−ω 2 + iβω + α ) 2im(ω 2 + iβω − α ) 1

+

bila

qEAe 2

( − β − β 2 − 4α ) t

2im( β 2 − 4α )

qEA 2im β 2 − 4α

+ Be

1 ( − β + β 2 − 4α ) t 2

(4.65) ]

dianggap C 2 dan B dianggap C1 , maka persamaan (4.65) menjadi

qEe iωt qEe −iωt r =[ + 2im(−ω 2 + iβω + α ) 2im(ω 2 + iβω − α ) 1

+ C2 e 2 = [C1e

( − β − β 2 − 4α ) t

1 ( − β + β 2 − 4α ) t 2

1

+ C1e 2

+ C2e

( − β + β 2 − 4α ) t

]

1 ( − β − β 2 − 4α ) t 2

qEe iωt qEe −iωt ]. + + 2im(−ω 2 + iβω + α ) 2im(ω 2 + iβω − α )

Efek kualitatif dari persamaan (4.66), dapat ditinjau dari Gambar 4.7.

r

Gambar 4.7 Grafik hubungan r dengan t dari persamaan (4.66), dengan C1 = C 2 = 1 , β = 1 , α = 1 , q = 1 C, E = 1 N/C,

m = 1 kg, dan ω = 1.

(4.66)


55

4.2 Pembahasan

Penurunan persamaan Maxwell dalam ruang hampa menghasilkan persamaan gelombang yang ditunjukkan pada persamaan (4.10), dan (4.16), sedangkan penurunan persamaan Maxwell dalam medium menghasilkan persamaan gelombang (4.37), dan (4.43). Masing-masing efek kualitatifnya dapat ditinjau dari Gambar 4.1, 4.2, 4.3, dan 4.4. Dari Gambar 4.1 dan 4.2 menunjukkan bahwa untuk persamaan gelombang dalam ruang hampa bersifat linear, dapat dilihat dari adanya simpangan maksimum (Amplitudo) gelombang yang konstan. Gambar 4.3 dan 4.4 berupa garis lengkung yang menunjukkan bahwa persamaan gelombang dalam medium bersifat nonlinear. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari penelitian ini diketahui bahwa medium merupakan salah satu penyebab suatu sistem bersifat nonlinear. Berdasarkan persamaan (4.51) yang penyelesaiannya menghasilkan persamaan (4.54) menunjukkan bahwa persamaan gerak yang mempunyai fungsi sumur potensial akan menghasilkan suatu sistem yang linear, secara kualitatif dapat dilihat pada Gambar 4.5. Bila pada persamaan (4.51) ditambahkan redaman yang bergantung pada waktu t , ditunjukkan pada persamaan (4.55) dan penyelesaiannya menghasilkan persamaan (4.60) memperlihatkan bahwa sistem bersifat nonlinear, secara kualitatif dapat dilihat pada Gambar 4.6. Bila gaya pemaksa dari luar diberikan dalam bentuk sinusoidal seperi ditunjukkan dalam persamaan (4.61) yang penyelesaiannya menghasilkan persamaan (4.66) maka sistem berbentuk nonlinear dengan bentuk grafik seperti ditunjukkan pada Gambar 4.7. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari penelitian ini diketahui bahwa


56 pengaruh lain yang menyebabkan suatu sistem bersifat nonlinear adalah adanya gerak elektron yang mempunyai fungsi redaman bergantung waktu t .


BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian ini dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Dari persamaan Maxwell dapat dihasilkan efek nonlinear gelombang elektromagnetik jika ada medium (bahan) yang bersifat meredam amplitudo gelombang elektromagnetik. 2. Bentuk persamaan diferensial orde-2 homogen dan tak homogen terkait dengan efek linear dan nonlinear sistem fisis.

5.2 Saran Sebagaimana disebutkan pada batasan masalah bahwa peninjauan dalam penelitian ini dibatasi hanya dari sudut pandang fisika klasik, maka perlu dilakukan penelitian lebih lanjut terhadap efek nonlinear ditinjau dari sudut pandang mekanika kuantum.

57


DAFTAR PUSTAKA

Ayres, F., 1986, Persamaan Diferensial dalam Satuan SI Metriks, Jakarta : Erlangga. Waluya, S.B., 2006, Persamaan Diferensial, Yogyakarta: Graha Ilmu. Efendi, R., dkk., 2007, Medan Elektronika Terapan, Jakarta : Erlangga. Bloembergen, N., 1996, Nonlinear Optics, Fourth Edition, Singapura : World Scientific. Whitham, G.B., 1974, Linear and Nonlinear Waves, Canada : John Wiley. Halliday, D., dan Resnick, R., 1984, Fisika Edisi ke 3 Jilid 2, Jakarta: Erlangga. He, G.S. and Liu, S.H., 1999, Physics of Nonlinear Optics, Singapura : World Scientific.

58

PERSAMAAN MAXWELL DAN EFEK NONLINEAR

Recommend Documents