Bab 3 Solusi Persamaan Ricci Flow dalam Ruang Empat Dimensi Bersimetri Bola Berdasarkan bentuk kanonik metrik bersimetri bola (2.18), dapat dibuat sebuah metrik bersimetri bola yang bergantung parameter non-koordinat τ sebagai, ds2 = eν dt2 − eλ dr2 − f r2 dθ2 + sin2 θ dφ2 ,
(3.1)
dengan ν = ν (r,τ ), λ = λ (r,τ ), dan f = f (τ ). Rincian perhitungan besaranbesaran geometri seperti simbol Christoffel, tensor Ricci, skalar Ricci, tensor Einstein, dan identitas Bianchi terkontraksi yang diperoleh dari metrik tersebut diberikan pada Lampiran B.
3.1
Solusi Persamaan Ricci Flow
Persamaan Ricci flow untuk metrik (3.1) adalah 4 0 −λ γ 00 0 0 0 2ν + ν (ν − λ ) + ν e ν˙ = 4 r γ 4 00 0 0 0 0 λ˙ = −2ν − ν (ν − λ ) + λ e−λ 4 r n o γ r −f˙ = 2 1 − f e−λ 1 + (ν 0 − λ0 ) , r 2 9
(3.2) (3.3) (3.4)
3.1 Solusi Persamaan Ricci Flow
dengan notasi ”dot” menyatakan turunan terhadap parameter τ (ν˙ ≡
10 ∂ν , ∂τ
dan
seterusnya). Dengan menganggap bahwa ν(r, τ ) dan λ(r, τ ) dapat dipecah (separable), ν(r, τ ) = a(r) + b(τ )
(3.5)
λ(r, τ ) = c(r) + d(τ ), maka persamaan (3.2) hingga (3.4) dapat diubah menjadi ˙bed = γ 2a00 + a0 (a0 − c0 ) + 4 a0 e−c 4 r γ 4 0 −c d 00 0 0 0 ˙ −de = −2a − a (a − c ) + c e 4 r n h io γ r 0 −d −c 0 ˙ f = − 2 1 − fe e 1 + (a − c ) . r 2
(3.6) (3.7) (3.8)
Persamaan (3.6) dan (3.7) merupakan persamaan terkopel, ruas kiri hanya merupakan fungsi dari τ sementara ruas kanan fungsi dari r saja. Sehingga, berlaku γ 4 0 −c d 00 0 0 0 ˙ k1 = be = 2a + a (a − c ) + a e (3.9) 4 r dan 4 γ 0 00 0 0 0 ˙ = k2 = −de −2a − a (a − c ) + c e−c , 4 r d
(3.10)
dengan k1 dan k2 merupakan konstanta. Penjumlahan kedua persamaan tersebut menghasilkan γ k1 + k2 = b˙ − d˙ ed = (a0 + c0 ) e−c , r
(3.11)
dan pengurangan (3.10) dari (3.9) menghasilkan
˙ ˙ k1 − k2 = b + d ed γ 4 0 00 0 0 0 0 = 4a + 2a (a − c ) + (a − c ) e−c . 4 r
(3.12)
Dari kedua persamaan terakhir, dapat ditinjau dua kasus, masing-masing dengan k1 = −k2 (sebagai kasus khusus) dan k1 6= −k2 (kasus umum).
3.1 Solusi Persamaan Ricci Flow
3.1.1
11
Solusi Khusus (k1 = −k2 )
Untuk kasus dengan k1 = −k2 , persamaan (3.11) memberikan b=d
a = −c.
dan
(3.13)
Dari persamaan (3.9) dan (3.10), diperoleh b = d = ln (k1 τ + k3 ) .
(3.14)
dengan k3 merupakan konstanta integrasi. Substitusi (3.13) untuk nilai c dan (3.14) ke (3.12) menghasilkan 2k1 = γ
2a0 a +a + r 00
02
ea .
(3.15)
Dengan menuliskan a = ln y, persamaan terakhir dapat dituliskan sebagai 0
2k1 2y 0 y 00 r2 + 2y 0 r (y 0 r2 ) = y 00 + = = . γ r r2 r2
(3.16)
k1 2 k 4 2k1 3 r + k4 = y 0 r 2 ⇔ y = r − + k5 , 3γ 3γ r
(3.17)
Sehingga,
dengan k4 dan k5 merupakan konstanta integrasi. Dengan demikian, diperoleh k1 2 k4 a = −c = ln r − + k5 . (3.18) 3γ r Substitusi nilai a, b, c, dan d ke (3.8) memberikan f=
k1 τ + k3 . k5
Sehingga, bentuk metrik untuk kasus khusus ini adalah " −1 k 1 2 k4 k1 2 k4 2 2 ds = (k1 τ + k3 ) r − + k5 dt − r − + k5 dr2 3γ r 3γ r # r2 − dθ2 + sin2 θ dφ2 . k5
(3.19)
(3.20)
Dengan menganggap metrik saat τ = 0 sebagai kondisi awal, diperoleh k3 = 1. Selanjutnya, ditinjau keberlakuan identitas Bianchi pada metrik solusi khusus tersebut. Untuk sebuah metrik bersimetri bola bergantung parameter seperti diberikan
3.1 Solusi Persamaan Ricci Flow
12
oleh persamaan (3.1), keberlakuan identitas Bianchi yang terkontraksi ditentukan oleh tiga suku, 0 0 0 ν0 −2λ ν (ν + λ ) 11 ν−λ 00 G +e G =e (3.21) 2 2r " 00 λ 02 0 0 2 e − f 1 − f f λ λ λ λ ∂1 G11 + λ0 G11 = e−2λ − − 2 − 2 + 2 r r r r r3 # ν0 1 + f ν 00 λ0 ν 0 − − 2 (3.22) + 2 r r r 0 11 0 0 00 G ν 0 + λ0 f − eλ −2λ (λ − ν ) ν − 2ν −λ 22 = 2e 2 − f re G + (3.23) + r 4r 2r2 f r3 (rincian perhitungan diberikan pada bagian B.1 pada lampiran). Jika jumlah ketiga suku tersebut nol, maka identitas Bianchi terpenuhi. Persamaan (3.21) dengan sendirinya bernilai nol berdasarkan persamaan (3.13). Jumlah dari kedua suku yang lainnya (3.22 dan 3.23) adalah 2 (k5 −
1) f −2 k5−2
f −1 r3
k1 2 k4 r − + k5 . 3γ r
(3.24)
Sehingga, agar identitas Bianchi terpenuhi untuk semua τ dan r, haruslah k5 = 1. Pada
k1 γ
= 0 metrik khusus akan memenuhi solusi Schwarzschild jika k4 = 2m.
Dengan demikian, bentuk akhir solusi khusus ini adalah " −1 2m ξ 2 2m ξ 2 2 2 ds = (γξτ + 1) 1− + r dt − 1 − + r dr2 r 3 r 3 # 2 2 2 2 − r dθ + sin θ dφ . dengan ξ ≡
3.1.2
k1 γ
(3.25)
sebuah konstanta.
Solusi Umum (k1 6= −k2 )
Persamaan (3.11) dan (3.8) masing-masing dapat dimodifikasi menjadi
dan
k1 + k2 2 r = r (a0 + c0 ) e−c , γ
(3.26)
2ed 2ed f˙ 2 + r = 2e−c + r (a0 − c0 ) e−c . f γf
(3.27)
3.1 Solusi Persamaan Ricci Flow
13
Pengurangan (3.26) dari (3.27) menghasilkan ! 0 2ed f˙ k1 + k2 2ed + − r2 = 2e−c − 2rc0 e−c = 2 re−c . f γf γ
(3.28)
Integrasi persamaan terakhir menghasilkan e−c
ed f˙ k1 + k2 − f 2
ed k6 + + = f r
!
r2 . 3γ
(3.29)
Agar bersesuaian dengan hasil sebelumnya (solusi khusus), bahwa e−c = 1 −
2m ξ 2 + r , r 3
(3.30)
ed = 1, f
(3.31)
k6 = −2m,
(3.32)
1 = ξ. γ
(3.33)
haruslah berlaku
ed f˙ k1 + k2 − f 2
!
Substitusi (3.31) ke (3.33) menghasilkan, k1 + k2 f = γξ + τ + k7 = ed , 2
(3.34)
dengan k7 sebuah konstanta. Seperti kasus khusus, selanjutnya dipilih k7 = 1. Substitusi (3.34) ke (3.9) menghasilkan b=
2γξ ln f. 2γξ + k1 + k2
(3.35)
Substitusi (3.30) ke (3.26) memberikan Z a = −c +
1
k1 +k2 r γ dr. − 2m + 3ξ r2 r
(3.36)
Dapat dilakukan pemecahan (separasi) fraksi parsial,
1
k1 +k2 r γ − 2m + 3ξ r2 r
=
ρ1 ρ2 ρ3 + + (r − r1 ) (r − r2 ) (r − r3 )
dengan, r1 , r2 , dan r3 merupakan akar-akar dari 1−
2m ξ 2 + r =0 r 3
(3.37)
3.2 Pembahasan
14
dan ρ1 , ρ2 , dan ρ3 merupakan konstanta. Sehingga, a = −c + ρ1 ln (r − r1 ) + ρ2 ln (r − r2 ) + ρ3 ln (r − r3 ) .
(3.38)
Dengan demikian, bentuk akhir solusi umum ini adalah ds2 = F F k8 HXdt2 − X −1 dr2 − r2 dθ2 + sin2 θdφ2 ,
(3.39)
dengan H = (r − r1 )k8 (r − r2 )k9 (r − r3 )k10 2m ξ 2 + r r 3 k 1 + k2 F = 1 + γξ + τ 2 2γξ k8 = − 1. 2γξ + k1 + k2 X =1−
Identitas Bianchi yang terkontraksi akan terpenuhi oleh metrik ini jika, f −1 X 0 1 + 2f 1 f 2 −2 2 (Σ1 ) + F X Σ 1 − 2 Σ1 + Σ2 = 0, 4r X 4r 2r 2r
(3.40)
dengan 3 H 0 X ρi = Σ1 = H r − ri i=1 0 0 3 X ρi H =− Σ2 = 2. H (r − r ) i i=1
Sehingga, agar ∇α Gαβ = 0, haruslah Σ1 = 0 ⇔ H = konstan. Dengan merujuk pada persamaan (3.36) dan (3.37), diperoleh fakta bahwa H bernilai konstan hanya jika k1 = −k2 . Dengan kondisi ini, bentuk solusi umum tereduksi menjadi metrik solusi khusus.
3.2
Pembahasan
Metrik solusi persamaan Ricci flow dalam ruang empat dimensi bersimetri bola, seperti yang diberikan oleh persamaan (3.25) menggambarkan sebuah ruang yang
3.2 Pembahasan
15
berubah secara linear terhadap parameter τ . Menurut (2.20), jika dipilih γ > 0 maka metrik akan mengembang secara terus menerus. Dengan demikian, konstanta ξ haruslah bernilai positif. Jika γ = 0, diperoleh metrik yang konstan terhadap parameter τ . Hal ini sesuai dengan konsekuensi dari persamaan Ricci flow (2.20). Pada kasus γ = 0 ini, persamaan (3.9) akan memberikan k1 = 0 sehingga ξ =
k1 γ
bernilai konstan. Jika ξ = 0, maka k1 = γξ = 0, sehingga metrik tersebut menjadi konstan terhadap parameter τ . Menurut persamaan Ricci flow (2.20), metrik yang konstan terhadap parameter τ akan didapat jika γ = 0. Dengan demikian, berlaku ξ = 0 =⇒ k1 = 0 =⇒ γ = 0.
(3.41)
Pada kasus ξ = 0 ini, metrik (3.25) tereduksi menjadi metrik Schwarzschild (2.19). Dengan demikian, dalam ruang empat dimensi bersimetri bola, solusi persamaan Einstein merupakan solusi khusus dari persamaan Ricci flow pada kasus tidak ada aliran (no flow ). Bentuk metrik yang mirip dengan (3.25) juga didapatkan oleh F.W. Shu dan Y. G. Shen ketika memperkenalkan persamaan aliran geometri umum, dan memecahkannya untuk kasus aliran geometri hiperbolik (hyperbolic geometric flow ). Dengan metrik seperti di atas, sebuah lubang hitam dapat memiliki lebih dari satu horizon peristiwa [16]. Nilai komponen-komponen tak nol tensor Ricci yang didapat dari metrik (3.25) adalah, 2m ξ 2 =ξ 1− + r r 3 −1 2m ξ 2 = −ξ 1 − + r r 3
R00 R11
(3.42) (3.43)
R22 = −ξr2
(3.44)
R33 = −ξr2 sin2 θ.
(3.45)
Saat τ = 0, berlaku Rαβ = ξgαβ , yang menunjukkan bahwa solusi yang didapat termasuk metrik Einstein (yaitu metrik dengan Rαβ = κgαβ dengan κ sebuah kon-
3.2 Pembahasan
16
stanta, [13, 17]). Nilai skalar Ricci berubah terhadap parameter τ menurut, R = 4ξ (γξτ + 1)−1 .
(3.46)
Pada kasus γ < 0, metrik akan mencapai singularitas (suatu keadaan dengan kelengkungan takhingga) pada saat τ = |γ|ξ. Komponen-komponen tensor Einstein yang didapatkan dari metrik di atas adalah, 2m ξ 2 + r (3.47) G00 = −ξ 1 − r 3 −1 2m ξ 2 G11 = ξ 1 − + r (3.48) r 3 G22 = ξr2
(3.49)
G33 = ξr2 sin2 θ.
(3.50)
Dengan bentuk semacam ini, dipenuhi persamaan Einstein dengan konstanta kosmologi untuk kasus vakum (2.17), Gαβ − Λgαβ = 0,
(3.51)
jika ξ = −Λ. Karena ξ merupakan konstanta positif (sesuai analisis pada awal subbab 3.2), maka Λ = −ξ < 0. Divergensi tensor Einstein yang dibentuk dari metrik (3.25) bernilai nol. Dari segi geometri, hal ini menjamin berlakunya identitas Bianchi, sedangkan dari segi fisis hal tersebut menjamin berlakunya hukum kekekalan energi-momentum. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa solusi yang telah didapatkan valid secara geometri dan fisis.
