Modul 2 Elektromagnetika Telekomunikasi Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

Revisi Februari 2002

EE 2053

Modul 2 Elektromagnetika Telekomunikasi

Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell Oleh : Nachwan Mufti Adriansyah, ST

Organisasi Modul 2 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell • A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral

page 3

• B. Persamaan I : Hukum Faraday

page 7

• C. Persamaan II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell page 12 • D. Persamaan III : Hukum Gauss Untuk Medan Listrik

page 20

• E. Persamaan IV : Hukum Gauss Untuk Medan Magnet

page 22

• F. Retarded Potentials

page 23

• G. Summary

page 27

Nachwan Mufti A

Modul 3 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

2

A. Persamaan Maxwell Bentuk Integral Review : Pendahuluan ... • Konsep yang mendasari semua fenomena dalam elektromagnetika • Persamaan bentuk integral di bawah menjelaskan arti fisis dari perilaku listrik dan magnit Hukum Faraday Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell Hukum Gauss Hukum Gauss

  d    E  dL   dt  B  dS     d    H  dL   J  dS  dt  D  dS    D  dS    V dV  Q  B  dS  0

Bacalah dan pahami rumus-rumus di atas, ulangi mempelajari tool matematika yang diperlukan (diferensial integral), vektor, dsb !! Nachwan Mufti A


!! 3

Persamaan Maxwell Bentuk Integral Review : Persamaan-Persamaan Penghubung...

  D  E

dimana,

   r  0 = permitivitas bahan / medium  r = permitivitas relatif bahan



  B  H

dimana,

   r  0 = permeabilitas bahan / medium  r = permeabilitas relatif bahan  0  4 .10 7

Nachwan Mufti A



1 12 Farad 9  0  8,854.10  10 meter 36



Henry meter




!! 4

Persamaan Maxwell Bentuk Integral Review : Parameter dan Satuan…. Simbol

 E  H  B

Keterangan Medan listrik Medan magnet

Satuan  Volt    meter    Ampere     meter 

Rapat fluks magnetik

 D

  Weber    meter persegi 

Rapat fluks listrik

V

Rapat muatan volume

 Coulomb     meter persegi   Coulomb    meter kubik  

Q 

Muatan listrik Rapat arus

J

Nachwan Mufti A


Coulomb   Ampere   meter persegi  

!! 5

Persamaan Maxwell Bentuk Integral Medan Statis vs Medan Dinamis... Medan Dinamis

Medan Statis

   d   E  dL   dt  B  dS     d    H  dL   J  dS  dt  D  dS    D  dS    V dV  Q  B  dS  0 Medan berubah terhadap waktu

Nachwan Mufti A

   E  dL  0

     H  d L   J  dS    D  dS    V dV  Q  B  dS  0

!! Modul 3 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

Medan tidak berubah terhadap waktu

6

B. Persamaan I Hukum Faraday    d   E  dL   dt  B  dS  E

 E

dS  E

 E  dB dt

Nachwan Mufti A

dL

Definisi Jika ada rapat fluks magnet (B) yang berubah terhadap waktu dan menembus suatu bidang yang dikelilingi lintasan tertutup, maka akan menghasilkan medan listrik (E) yang arahnya sesuai dengan arah lintasan tertutup tersebut ( mengelilingi bidang dS ). Arah rapat fluks magnetik (B) dan arah medan listrik (E), sesuai dengan aturan tangan kanan.

Dari persamaan tersebut juga dapat menjelaskan bahwa, Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan dapat menghasilkan medan listrik. Modul 3 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

7

Persamaan I Hukum Faraday Mari kita ulangi, Medan magnet yang berubah terhadap waktu akan dapat menghasilkan medan listrik. Atau, Fluks magnetik yang berubah terhadap waktu akan menyebabkan medan listrik

Electromotance Force (emf) / Gaya Gerak Listrik (ggl) •

Didefinisikan,

electromotance force   Persamaan Faraday !!

d dt

dimana,  = fluks magnetik

    BS     B S cos  BS

S adalah luas bidang yang ditembus oleh medan magnetik Nachwan Mufti A


8

Persamaan I Hukum Faraday Lihat persamaan berikut...

    B S cos  BS

Dari persamaan di atas kita dapat menyimpulkan bahwa fluks magnetik yang berubah terhadap waktu bisa disebabkan oleh : • Medan yang berubah terhadap waktu

• Luas bidang (yang ditembus medan magnet) berubah terhadap waktu  Jarang !!

Lihat gambar berikut...  arah E / I

• Sudut berubah terhadap waktu  Paling banyak dilakukan karena tinggal memutar loop saja

Nachwan Mufti A


emf / ggl

R

 B 9

Persamaan I Hukum Faraday Persamaan Faraday !!

electromotance force  

d dt

dimana,

       B  dS dan emf   E  dL

Sehingga,

  d   emf   E  dL   B  dS dt

!!

• Tanda minus (-) pada persamaan Faraday berarti : “ emf yang dihasilkan sedemikian hingga jika arus dihasilkan olehnya, maka fluks yang disebabkan arus ini akan cenderung melawan perubahan fluks asal “ • emf juga berbanding lurus terhadap jumlah lilitan N, sehingga dapat dinyatakan :

d emf   N dt

Nachwan Mufti A


10

Persamaan I Hukum Faraday Penurunan Bentuk Diferensial (Bentuk Titik) ... • Ingat Teorema Stokes !! , yang menjelaskan perubahan bentuk integrasi..

      H  dL     H  dS

      E  dL     E  dS

L

L





S





S

• Maka,

   d   E  dL   dt  B  dS     d     E  dS   dt  B  dS     B     E  dS   t  dS









Substitusi...

   B E   t

!!

Bentuk titik persamaan Maxwell I !! Nachwan Mufti A


11

C. Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell      d   H  dL   J  dS  dt  D  dS

     H  dL   J  dS  I

Hukum Ampere (th 1820 ..)

Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell (th 1864..)

 H

 H dS

 H

 H

  dD J dt Nachwan Mufti A

dL

Jika ada rapat arus J dan rapat fluks listrik D yang berubah terhadap waktu yang menembus suatu bidang dS yang dikelilingi lintasan tertutup, maka akan dihasilkan medan magnet (H) yang arahnya sesuai dengan lintasan teertutup tersebut ( mengelilingi bidang dS ).

Sama dengan Hukum Faraday, arah medan magnet (H) , rapat arus (J) dan rapat fluks listrik (D) , adalah sesuai dengan aturan tangan kanan. Continued... Modul 3 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

12

Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell Maxwell menemukan fenomena arus pergeseran tanpa melakukan eksperimen, tetapi dengan melakukan analisis matematis bentuk diferensial / bentuk titik Hukum Ampere.

Bagaimana analisis matematis yang telah dilakukan Maxwell ? •

Bentuk integral hukum Ampere

     H  dL   J  dS  I

Teorema Stokes

Maxwell (1864)

   H  J

      H  dL     H  dS



L



S

Bentuk diferensial Hukum Ampere

Masing-masing ruas persamaan didivergensikan ... Nachwan Mufti A


13

Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell

        H    J





Lihat identitas vektor ! … divergensi dari suatu pusaran/curl pasti adalah NOL

  J  0 • Persamaan di atas tidak berlaku untuk medan dinamis, karena pada medan dinamis berlaku Hukum

Kontinuitas dimana,

   v J   t Nachwan Mufti A

Artinya,

    v   H  J tidak berlaku untuk 0 t Modul 3 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

14


kemudian...

• Maxwell memberikan suku tambahan bada bentuk titik dari Hukum Ampere,

    H  J  G

Masing-masing ruas persamaan didivergensikan ...

         H    J  G           H    J    G

 

 





Lihat identitas vektor ! … divergensi dari suatu pusaran/curl pasti adalah NOL

=0

      G    J 15

      G    J

Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell    Hukum Kontinuitas,   J   v t

    v   v   G      t  t Ingat pengertian kita dahulu, bahwa… Divergensi dari rapat fluks listrik yang menembus suatu permukaan tertutup adalah sama dengan rapat muatan yang dilingkupi permukaan tertutup tersebut

    D  v       D D G    t t



Nachwan Mufti A



 Suku G

telah ditemukan !!

  D G t


(Maxwell : th 1864) 16

Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell • Kembali pada pemisalan sebelumnya, ,

    H  J  G

!!

    D  H  J  t

Dimana,

  D G t

Bentuk diferensial / bentuk titik dari Persamaan Maxwell II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell

Integrasi terhadap luas

      D    H  dS   J  dS    dS t S S

 S

Nachwan Mufti A




17


      D    H  dS   J  dS    dS t S S

 S



Jika kita terapkan Teorema Stokes…

      H  dL     H  dS



L

!!

     D   H  dL  S J  dS  S t  dS

Nachwan Mufti A



S

Bentuk integral Persamaan Maxwell II : Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell


18

Persamaan II Hukum Ampere & Arus Pergeseran Maxwell Jenis-Jenis Rapat Arus... • Lihat kembali persamaan Maxwell II bentuk titik berikut...

    D  H  J  t

Terdiri atas 2 macam rapat arus,

Rapat arus pergeseran / displacement current

1. Rapat arus konduksi   Merupakan gerakan J  E muatan (elektron bebas)  = konduktivitas 2. Rapat arus konveksi

  J v

Nachwan Mufti A

Merupakan gerakan rapat muatan Modul 3 Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

Ik

Id

 B 19

D. Persamaan III Hukum Gauss Untuk Medan Listrik    D  dS   V dV  Q  D

 D

 D

 D

 D

 D

 dS



 D

dS

 D

Q

 D

 D  D

Nachwan Mufti A

 D

 D

 D

 D

Jumlah total rapat fluks yang meninggalkan suatu permukaan tertutup sama dengan total muatan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup itu sendiri

Persamaan diatas juga menjelaskan fenomena bahwa suatu muatan listrik ( Q ) akan menjadi sumber timbulnya medan listrik / rapat fluks listrik


20

Persamaan III Hukum Gauss

   D  dS   V dV  Q Teorema Divergensi

     D  dS     D dv  VdV  Q



S

v



v

    D  v Bentuk titik Hukum Gauss untuk medan listrik

Nachwan Mufti A


21

E. Persamaan IV Hukum Gauss Untuk Medan Magnet Persamaan IV Hukum Gauss Untuk Medan Magnet

   B  dS  0

• Persamaan keempat Maxwell di atas menjelaskan bahwa tidak ada yang dinamakan muatan magnetik sebagai sumber medan magnetik. Adapun muatan listrik hanyalah akan menghasilkan medan listrik. • Medan magnetik hanya dihasilkan oleh medan listrik yang berubah terhadap waktu atau dihasilkan oleh muatan listrik yang berubah terhadap waktu seperti yang dijelaskan dari Hukum Ampere. Dengan teorema divergensi, didapat bentuk titik Hukum Gauss untuk medan magnet sbb : Nachwan Mufti A


  B  0

22

F. Retarded Potential Potensial sebagai fungsi waktu atau berubah terhadap waktu disebut sebagai Potensial Terlambat. Pokok bahasan ini sering digunakan dalam analisis masalah radiasi antena.

Pada analisis radiasi, potensial dievaluasi didaerah yang terpengaruh sumber, baik dekat maupun jauh dari sumber tersebut. Semakin jauh dari sumber, maka potensial semakin dirasakan terlambat terhadap potensial di sumber., karena memerlukan waktu untuk sampai di titik pengamatan. Sekarang mari kita amati untuk Keadaan

 V dV V 4R V   J dV Potensial Magnetik A Vektor 4R V Potensial Listrik Skalar

Nachwan Mufti A

statis / steady : Dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial Poisson, sbb


2 V  V 

2   A  J 23

Retarded Potential Untuk kondisi medan statis di atas, jika potensial listrik skalar (V) dan potensial magnetik vektor (A) dapat dihitung, maka kita bisa menghitung pula medan listrik dan magnet dari hubungan :

  E   V

(1)

dan

   B  A

(2)

Untuk Medan Dinamis... Kita perhatikan lagi persamaan di atas,     Pers. (2)

B  A

Pers. (1)

  E   V

     B     A  0





Hasil divergensi kedua ruas menunjukkan persamaan di atas memenuhi persamaan Maxwell, shg pers. (2) dapat dipakai untuk medan statis maupun dinamis

     E    V  0

 

Padahal, menurut pers. Maxwell I, untuk medan   berubah terhadap waktu,   E  0 Sehingga, perlu koreksi untuk medan dinamis 24

Retarded Potential

Misalkan ditambahkan suku vektor

Karena dinyatakan bahwa,

   B  A

koreksi (N) :

   E   V  N

Maka,

Dengan mengambil cross product untuk kedua ruas, didapatkan

       E     V    N 



 

0

Dengan mengingat Hk. Faraday ( Hk. Maxwell I)

     B E   N   t Nachwan Mufti A

    A      N     A    t t







Jadi, dapat dinyatakan bahwa :

  A N t

Jika kita kembalikan lagi pada pemisalan pertama di atas, didapatkan :

   A E   V  t


25

Retarded Potential Persamaan-persamaan untuk menghitung E dan H melalui penghitungan potensial dapat disubstitusikan kembali pada persamaan Maxwell, menghasilkan persamaanpersamaan potensial yang umum untuk medan berubah terhadap waktu seperti tabel di samping :

Medan statis

2 V  V  2   A  J

  E   V

  A  0    B  A

Nachwan Mufti A


Medan dinamis

2 V  2V  V   2  t  2 2   A  A  J   2  t   A E   V  t   V   A   t    B  A

26

G. Summary Bentuk Integral dan Bentuk Titik Persamaan Maxwell    d   E  dL   dt  B  dS      d  Hukum Ampere dan Arus Pergeseran Maxwell  H  dL   J  dS  dt  D  dS   Hukum Gauss untuk medan  D  dS    V dV  Q listrik Hukum Gauss untuk medan  B  dS  0

Hukum Faraday

magnet

Persamaan2 Penghubung

  D  E

Nachwan Mufti A

  B  H

  J C  E


   B E   t     D H  J  t     D  V   B  0

  J   27

Summary Persamaan2 Potensial Listrik dan Magnet Medan statis

2 V  V  2   A  J

  E   V

  A  0    B  A Nachwan Mufti A

Medan dinamis

2 V  2V  V   2  t  2 2   A  A  J   2  t   A E   V  t   V   A   t    B  A


28

Modul 2 Elektromagnetika Telekomunikasi Medan Berubah Terhadap Waktu dan Persamaan Maxwell

Recommend Documents