Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan
5.1.
Persamaan Linear Persamaan adalah pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang
cocok untuk bilangan nilai variable tertentu atau variable (yang tidak diketahui), dan penyelesaian persamaan adalah proses menentukan nilai tertentu ini. Jika pernyataan persamaan benar untuk semua nilai yang tidak diketahui, pernyataan itu identitas. Persamaan linear mencakup hanya satu variable (yang tidak diketahui) dengan pangkat tidak lebih tinggi daripada pertama. Persamaan linear diacu juga sebagai persamaan sederhana. Persamaan linier yang variabel berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung = (sama dengan). Pernyataan matematika yang ditandai dengan (=) yang tidak dapat dinyatakan benar atau salah. Pernyataan seperti ini biasa disebut pernyataan terbuka.
Solusi Persamaan sederhana (persamaan 1 variabel) Solusi persamaan sederhana terdiri dari penyederhanaan persamaan pada masing-masing ruas persamaan yang mengandung persamaan bentuk: ax + b = cx + d Æ ax – cx = d – b .:. x = ( d – b ) / (a – c) * Hukum – hukum yang berlaku untuk persamaan : 1. Sebelah kiri dan sebelah kanan sama dengan,boleh ditambah/dikurangi dengan bilangan yang sama. 2. Sebelah kiri dan sebelah kanan sama dengan,boleh dikali/dibagi dengan bilangan yang sama.
1
3. Bilangan /variabel sebelah kiri sama dengan,dapat dipindah ke sebelah kanan sama dengan begitupun sebaliknya, dengan ketentuan : -
Tanda tambah berubah menjadi kurang.
-
Tanda kurang berubah menjadi tambah.
-
Tanda kali berubah menjadi bagi.
-
Tanda bagi berubah menjadi kali.
Contoh: 1. Yudi membeli 30 buah apel seharga Rp. 57. 750; berapakah harga 1 buah apel? Berdasarkan permasalahan tersebut dapat dituliskan menjadi persamaan berikut: 33 x = 57750 x=
57.750 = 1750 33
berarti satu buah apel seharga Rp. 1.750; 2. Jika
6x + 7 + 5x – 2 + 4x – 1 = 36 + 7x
Maka
6x + 5x + 4 x – 7x = 36 – 7 + 2 + 1 8 x = 32 .:. x = 4
3. Jika 5(x – 1) + 3 (2x + 9) – 2 = 4 (3x – 1 ) + 2 (4x + 3) Maka
5x – 5 + 6x + 27 – 2 = 12x – 4 + 8x + 6 11x + 20 = 20x + 2 -9x = -18 .:. x = 2
Persamaan yang dianggap bukan persamaan yang sederhana dapat dikembangkan menjadi persamaan sederhana untuk memudahkan penyelesaiannya. Misal: 1.
(4x + 1)(x + 3) – (x+ 5)(x – 3) = (3x + 1)(x – 4) (4x2 + 13x + 3 ) – (x2 – 3x + 5x – 15) = (3x2 – 12x + x – 4) 3x2 + 11x + 18 = 3x2 – 11x – 4 22x = - 22 .:. x = -1
2
2.
(4x + 3) (3x – 1) – (5x – 3) (x + 2) = (7x + 9) (x – 3) (12x2 + 5x – 3) – (5x2 + 7x – 6) = (7x2 – 12x - 27) 7x2 – 2x + 3 = 7x2 – 12x – 27 10x = - 10x .:. x = -3
Untuk persamaan sederhana yang mencakup pecahan aljabar, langkah pertama adalah dengan cara mengeliminasi penyebut dengan mengalikan semua menggunakan KPK (persekutuan terkecil penyebut). Contoh: x + 2 _ x + 5 = 2x – 5 + x + 3 2
3
4
6
KPK 2, 3. 4 dan 6 adalah 12, maka 12( x + 2)
_ 12 (x + 5) = 12 (2x – 5) + 12( x + 3)
2
3
4
6
6(x + 2) – 4(x + 5) = 3(2x – 5 ) + 2(x + 3) 6x + 12 – 4x – 20 = 6x -15 + 2x + 6 -6x = -1 x= 1/6
Latihan dan Penyelesaian 1. selesaikan persamaan berikut ini:
4
+
x-3
2
=
x
6 . x-5
KPK penyebutnya adalah: x (x – 3)(x – 5) 4 x (x – 3)(x – 5)
+
x-3
2 x (x – 3)(x – 5) x
=
6 x (x – 3)(x – 5) . x-5
4x(x – 5) + 2(x – 3)(x – 5) = 6x(x – 3) 4x2 – 20x + 2x2 - 16x + 30 = 6x2 -18x 30 = 18x .:. x = 30/18
.:. x = 5/3
3
5.2.
Persamaan Linear Simultan dengan 2 variabel Persamaan ini memiliki tujuan yaitu mencari 2 variabel yang tidak diketahui
dari dua persamaan, biasanya ditulis dalam bentuk : -
ax+ by = p
-
cx + dy = r
dimana x dan y adalah variabel yang akan dicari nilainya sedangkan a, b, c, d, p dan r adalah bilangan yang diketahui. Persamaan ini dapat diselesaikan jika :
(a.d) – (b.c) ≠ 0
Untuk menyelesaikan persamaan dengan 2 variabel dapat diselesaikan dengan 3 metode penyelesaian, namun yang umum digunakan adalah 2 metode yaitu metode substitusi dan solusi dengan koefisien persamaan (eliminasi). 5.3.
Cara Grafik Untuk menentukan penyelesaian dengan cara grafik, gambar kedua
persamaan linier,kemudian tentukan titik potong antara kedua garis tersebut.Titik potong yang diperoleh merupakan penyelesaian persamaan dua variable tersebut. Ada tiga kemungkinan hubungan antara dua buah garis lurus
4
Dengan menggunakan cara grafik, kita dapat mengetahui apakah persamaan dua variabel mempunyai penyelesaian (satu atau tak terhingga banyaknya) atau tidak mempunyai penyelesaian. Akan tetapi, kadang-kadang cara grafik hanya memberikan penyelesaian yang berupa taksiran bukan penyelesaian eksak.
5.4.
Cara Substitusi Cara ini adalah dengan menjadikan variabel yang satu sebagai nilai variabel
yang lainnya, kemudian dimasukkan ke dalam persamaan yang lain. Contoh 1 : 5x + 2y = 14 3x – 4y = 24 Dari persamaan
(1) 5x +2y = 14 Æ 2y = 14 – 5x .:. y=
7
5x 2
5
Lalu variabel y ini dimasukan ke persamaan 2 : 3x – 4
7
5x
= 24
2
3x – 28 + 10x = 24 13x = 52 .:. x = 4 y= 7
5(4) 2
y= 7 – 10 = -3 .:. didapat x= 4 dan y= -3 Untuk mengecek kebenaran nilai-nilai yang diperoleh dapat dicobe dengan substitusi kedua nilai tersebut kedalam persamaan (1) dan persamaan (2). (1) 5(4) + 2(-3) = 14
Æ 20 – 6 = 14
(2) 3(4) – 4(-3) = 24
Æ 12 + 12 = 24
Contoh 2 : x + 2y = 8
persamaan 1
3x – 4y = -6
persamaan 2
Dari persamaan 1 : x + 2y = 8 dibuat menjadi x = 8 – 2y Lalu variabel x ini dimasukan ke persamaan 2 : 3x – 4y = -6 3 (8 – 2y) – 4y = -6 24 – 6y – 4y = -6 10y = -6 – 24 10y = -30 y=3 Lalu nilai y dimasukkan ke persamaan 1 atau persamaan 2 sehingga jika dimasukkan ke persamaan 1 :
6
x + 2y = 8 x + 2(3) = 8 x+6=8 x=8–6 =2 sehingga harga x = 2 dan y = 3
5.5.
Cara Eliminasi (koefisien persamaan) Cara ini adalah dengan menyamakan terlebih dahulu angka di depan variabel
yang akan dihilangkan, lalu dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh 1: x +2y = 8
pers.1
3x – 4y = -6
pers.2
Misal kita akan menghilangkan variabel y, maka kita harus menyamakan nilai di depan y terlebih dahulu, caranya pers.1 dikalikan dengan 2 dan pers.2 dikalikan dengan 1 sehingga diperoleh : x + 2y = 8
x2
2x + 4y = 16
3x – 4y = -6
x1
3x – 4y = -6
+
5x + 0 = 10 5x
= 10 x = 2
Lalu nilai x ini dimasukkan ke persamaan 1 atau persamaan 2, sehingga diperoleh harga y. Jika dimasukkan ke persamaan 1 : x + 2y = 8 2 + 2y = 8 2y = 6 y = 3 sehingga harga x = 2 dan y = 3 Diperoleh dari hasil yang sama seperti pada cara 1.
7
Contoh 2: 3x +2y = 16
pers.1
4x – 3y = 10
pers.2
Untuk menghilangkan variabel y, maka samakan koefien dari variabel y pada pers.1 dan pers. 2 dengan cara mengalikan dengan 3 persamaan 1 dan mengalikan dengan 2 persamaan 2, sehingga didapat: 3x +2y = 16
x3
9x + 6 y = 48
4x – 3y = 10
x2
8x – 6y = 20 = 68 +
17 x
x=4
Latihan: 1. 4(x + 5) – 6(2x + 3) = 3(x + 14) – 2(5 – x) + 9 2.
2x+1
-
2x+5
3
5
2
3.
x–2
3
+
x
x–1
= 2+
=
6 5
x– 4
4. Selesaikan dengan cara substitusi atau eliminasi a.
2x + 3y = 7 5x – 2y = 8
b.
4x + 2y = 5 3x + y = 9
========================
c.
8
