BM 112
SIMPOSIUM FISIKA NASIONAL 2014 (SFN XXVII), 16-17 Oktober 2014,Denpasar-Bali
Sistem Persamaan Diferensial Elektrokardiogram dengan Waktu Tunda untuk Simulasi Gelombang PQRST Suryasatriya Trihandaru Fakultas Sains dan Matematika, Progdi Fisika, Progdi Pendidikan Fisika, Universitas Kristen Satya Wacana
[email protected]
Abstrak Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal yang menggambarkan aliran arus ionik yang menyebabkan jantung berkontraksi dan berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan merekam perbedaan potensial antara beberapa elektroda yang diletakkan di kulit manusia. Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncak-puncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf PQRST. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan ventrikel. Telah ada beberapa model matematika EKG berupa sistem persamaan diferensial, misalnya model Zeeman (1972), dan model McSharry (2003). Model Zeeman menggambarkan trayektori atraktor EKG walaupun tidak merepresentasikan sinyal EKG, sedangkan model McSharry telah menambahkan fungsi eksplisit sinyal EKG kedalam persamaan atraktornya. Dalam studi sebelumnya, peneliti menyederhanakan trayektori atraktor EKG berupa lingkaran statis, dan dinamika EKG hanya direpresentasikan oleh sebuah persamaan diferensial mirip dengan yang diusulkan McSharry, dan menghasilkan sinyal yang representatif untuk EKG. Dalam makalah ini ditulis ide yang baru, yaitu bahwa fungsi sinyal EKG dibentuk melalui sistem persamaan diferensial dengan waktu tunda yang mirip dengan model peluruhan radioaktif dengan suatu sumber gaussian. Berbeda dengan McSharry yang memasukkan puncakpuncak sinyal yang disebut sebagai sinyal PQRST dengan fungsi eksplisit, di makalah ini PQRTS muncul karena ada sinyal pemicu dan dinamikanya muncul sesuai dengan model yang dibangun. Jadi, persamaan atraktor yang dimodelkan, baik oleh Zeeman maupun McSharry, di sini diganti dengan sinyal pemicu yang muncul secara periodik. Sinyal pemicu ini akan memicu terjadinya puncak-puncak PQRST. Hasil simulasi komputer berbasis metoda Runge Kutta untuk model yang baru ini memperlihatkan sinyal EKG yang mendekati data EKG dari seorang pasien. Kata kunci : Elektrokardiogram, pemodelan matematika, komputasi numerik
dengan huruf P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat peristiwa depolarisasi/ repolarisasi dari atrium dan ventrikel. Dalam bukunya [7], Soetopo menjelaskan arti penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat dilihat pada Gb 1 Gelombang P menggambarkan aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q menggambarkan awal dari fase depolarisasi ventrikel. Gelombang R dan S meng-gambarkan fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S secara bersama disebut sebagai kompleks QRS. Gelombang T menggambarkan repolarisasi ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T masih ada gelombang Ta yang menggambarkan proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada setelah T namun juga kecil. Di samping teknik-teknik pengukuran EKG yang memerlukan ketelitian tinggi, ternyata EKG diteliti juga melalui pemodelan matematika dan analisisnya, misal [1,2,3,4,5,6]. Dalam makalah ini ditinjau
1. PENDAHULUAN
Gambar 1. Profil satu siklus EKG
Sinyal EKG adalah sinyal listrik yang ada di jaringan tubuh manusia yang menggambarkan aliran arus ionik yang menyebabkan jantung berkontraksi dan berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan merekam perbedaan potensial antara dua elektroda yang diletakkan di kulit manusia. Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncak-puncak yang biasanya dilambangkan
566
SIMPOSIUM FISIKA NASIONAL 2014 (SFN XXVII), 16-17 Oktober 2014,Denpasar-Bali
model yang biasa dipakai yaitu model Zeeman [6] dan model McSharry [5]. Juga dibahas penyederhanaan model McSharry oleh Peneliti [3]. Zeeman memodelkan bagaimana jantung mempunyai siklus denyut dengan sistem persamaan diferensial yang disini disebut sebagai atraktor Zeeman. McSharry memodelkan atraktor yang lebih sederhana dan juga menambahkan secara explisit representasi gelombang PQRST dalam modelnya. Dengan menganggap atraktor McSharry berupa lingkaran, maka gelombang PQRST bisa ditulis hanya dalam sebuah persamaan diferensial biasa [3], dengan memanfaatkan model eksplisit McSharry. Pada makalah ini, gelombang PQRST tidak ditulis secara eksplisit seperti pada McSharry [5] atau [3], namun disusun melalui sistem persamaan diferensial biasa. Gelombang P dimodelkan seperti model peluruhan radioktif dengan sumber luar, namun dengan efek tunda. Gelombang Q juga berbentuk seperti model peluruhan dengan gelombang P sebagai sumber ekternalnya. Demikian juga gelombang R mempunyai sumber ekternal Q, begitu seterusnya. Masingmasing model mempunyai waktu tunda. Jadi sebuah sinyal luar akan memunculkan P, kemudian Q, R, S dan yang terakhir T.
1.5 1
x
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0
1
2
3
4
5
t
Gambar 2. Dinamika jantung menurut model Zeeman
McSharyy [5] memodelkan EKG dengan sistem tiga persamaan diferensial biasa, yaitu
x x y y y x
i2 z ai i exp 2 ( z z 0 ) iP ,Q , R , S ,T 2bi (2)
1 x2 y2 , i ( i ) mod 2 , arctan 2( y, x). Kecepatan sudut diberikan oleh dan fungsi dengan
kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan dengan frekuensi f yang berbentuk z0 (t ) A sin(2ft ) (3) Bagian pertama dan kedua Persamaan (2) membentuk trayektori yang mengitari sebuah atraktor pada bidang x,y. Dalam satu siklus dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z). Gb 3(a) menunjukkan kurva atraktor yang dibentuk oleh Persamaan (2) bagian kesatu dan kedua. Gb 3(b) menunjukkan trayektori lengkap dalam dimensi (x,y,z) yang disimulasikan dalam dua kali periode. Gb 3(c) menunjukkan sinyal sintesis EKG. Pada simulasi ini diambil z0=0.
2. KAJIAN LITERATUR Zeeman [6] memperkenalkan model EKG berupa sistem dinamis yang terdiri dari tiga persamaan diferensial sebagai berikut
x x 3 ax b a 2 x 2a b a 1
(1) dengan x berupa panjang jaringan otot hati (bisa bernilai negatif), suatu skalar positif, b adalah parameter yang menggambarkan kontrol kimia, x0 adalah panjang otot jantung awal dalam kondisi diastole, dan a adalah parameter yang berhubungan dengan tegangan di otot. Sebagai contoh, Gambar 2 memperlihatkan dinamika x terhadap t.
567
SIMPOSIUM FISIKA NASIONAL 2014 (SFN XXVII), 16-17 Oktober 2014,Denpasar-Bali
i2 a exp i i 2b2 ( z z0 ) iP ,Q , R , S ,T i (4) dengan i (t ) mod(2 ) i . Hasil simulasi Persamaan (4) dengan yang z
0.8 0.6 0.4
y
0.2 0
bervariasi terhadap waktu [3] [4], diberikan pada Gb 4.
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8
0.6
-1
-0.5
0 x
0.5
0.5
1
0.4
(a) z
0.3 0.2
0.15
0.1
R
z
0.1
0
0.05 0
T
S
-0.1 0
P
Q
1 0 -1 -1
y
x
0.1 0.08
RR
z
0.06 0.04
τ
g (t ) Ae (t (t ))
2
4
t
6
20
8
2
/( 2 s 2 )
(5) Parameter A merupakan amplitudo sinyal, parameter s adalah setengah lebar sinyal, dan posisi puncak sinyal terjadi pada saat . Agar sinyal ini terjadi secara periodik maka nilai berubah setiap siklusnya. Sinyal ini akan memicu terjadinya gelombang P melalui persamaan yang mirip dengan model peluruhan sebagai berikut (6) y P aP yP bP g (t P ) dengan P adalah waktu tunda antara sinyal dengan terjadinya gelombang P, dalam hal ini sinyal pemicu terjadi sebelum gelombang P. Selanjutnya, gelombang P akan memicu terjadinya gelombang Q dengan waktu tunda Q sebagai berikut
0 -0.02 0
15
3. PEMODELAN EKG Pemodelan EKG dengan waktu tunda dalam bentuk yang lain bisa diacu pada Lainscsek [1]. Berbeda dengan model McSharry, dalam makalah ini gelombang P,Q,R,S dan T masing-masing dimodelkan dengan sebuah persamaan diferensial biasa yang saling terhubung. Hanya ada satu sinyal yang bebas, berbentuk fungsi normal yang sempit dan terjadi secara periodik. Sebuah sinyal pembangkit gaussan bisa ditulis sebagai
(b)
0.02
10 t
Gambar 4. Simulasi Persamaan 4 dengan yang bervariasi dengan distribusi gamma.
-0.05 1 0
5
10
(c) Gambar 3. Simulasi Runge Kutta dari Persamaan (2). (a) adalah bentuk trayektori bagian kesatu dan kedua (b)
adalah kurva (x,y,z) (c) adalah represntasi EKG sintesis.
Di [3] Penulis menyederhanakan model McSharry dengan menganggap Gb 3(a) sebagai lingkaran, sehingga hanya Persamaan (2) bagian ketiga yang diperlukan, namun dengan modifikasi sebagai berikut
568
SIMPOSIUM FISIKA NASIONAL 2014 (SFN XXVII), 16-17 Oktober 2014,Denpasar-Bali
yQ aQ yQ bQ yP (t Q )
Gb. 5 menunjukkan sinyal pembangkit sesuai dengan Persamaan (5). Sinyal ini menghasilkan Gb. 6 menurut Persamaan (11). Terlihat di sini, dalam satu siklus semua gelombang PQRST muncul. Andaikan sinyal pembangkit datang lebih cepat daripada durasi sebuah siklus maka akan terjadi superposisi gelombang dengan gelombang pada siklus berikutnya seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7 dan 8. Pada Gb. 8 gelombang P siklus kedua muncul bersamaan dengan T pada sikulus pertama.
(7)
Begitu juga seterusnya, gelombang Q akan memicu R, geleombang R memicu S, dan gelombang S memicu T melalui persamaanpersamaan (8) y R aR yR bR yQ (t R )
y S aS yS bS yR (t S ) yT aT yT bT yS (t T )
(9)
(10) Sinyal EKG terbentuk oleh jumlahan dari gelombang P, Q, R, S, T sebagai berikut
-3
y y P yQ y R y S yT
12
(11)
x 10
10
Parameter ai dan bi (i={P,Q,R,S,T}) pada Persamaan (6-10) masing-masing menentukan tinggi dan lebar gelombang P, Q, R, S dan T.
8 6 4
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
2
Simulasi model EKG yang baru menunjukkan representasi sinyal EKG yang mirip dengan model yang lain [3], [5].
0 -2 0
-3
12
x 10
1
2
3
4
5
Gambar 7. Sinyal pembangkit yang lebih cepat datangnya dari durasi sebuah siklus menyebabkan superposisi dengan sikuls berikutnya (Gb. 8).
10 8
0.12 6 0.1 4 0.08 2 0.06 0 0.04 -2 0
1
2
3
4
5
0.02
Gambar 5. Bentuk sinyal Persamaan (5) yang periodik menghasilkan sinyal EKG pada Gb. 6.
0 -0.02 0
1
2
3
4
5
0.12
Gambar 8. Simulasi EKG dengan sinyal yang periodenya lebih cepat dari durasi sebuah siklus EKG seperti Gb 7 memperlihatkan tumpang tindih antara gelombang P dan T.
0.1 0.08 0.06
Pada Gb. 9 disimulasikan sinyal EKG dengan sinyal pembangkit yang diganggu oleh derau dengan amplitudo maksimum 10 persen dari amplitudo maksimum sinyal pembangkit. Kehadiran derau ini menyebabkan sinyal EKG sedikit lebih naik dari pada sinyal tanpa derau.
0.04 0.02 0 -0.02 0
1
2
3
4
5
Gambar 6. Simulasi EKG dengan sinyal seperti Gb 5 memperlihatkan gelombang PQRST.
569
SIMPOSIUM FISIKA NASIONAL 2014 (SFN XXVII), 16-17 Oktober 2014,Denpasar-Bali
Hasil simulasi yang diperlihatkan di Gb 511 menggunakan parameter dengan nilai-nilai yang tercantum di Tabel 1
0.12 0.1 0.08
Tabel 1. Nilai-nilai parameter simulasi
0.06
Gelombang P Q R S T Pembangkit
0.04 0.02 0 -0.02 0
1
2
3
4
5. KESIMPULAN Makalah ini berisi pemodelan EKG berupa sistem persamaan diferensial biasa, masing-masing persamaan menggambarkan dinamika gelombang P, Q, R, S dan T yang muncul karena dibangkitkan oleh sebuah fungsi pembangkit, namun terbangkitkan sesuai dengan waktu tunda masing-masing gelombang. Model EKG ini berbeda dari model-model EKG yang ada sebelumnya. Berbagai simulasi numerik memperlihatkan bahwa sinyal yang terbangkitkan dapat merepresentasikan sinyal EKG yang nyata.
-3
x 10 8
6
4
2
0 2
3
4
i 0,2 0,1 0,4 0,45 0,5
Tentunya bisa dibuat simulasi dengan berbagai variasi nilai parameter sesuai dengan yang diinginkan pembaca.
Tinggi rendah sinyal EKG bisa disimulasikan dengan memvariasikan amplitudo sinyal pembangkit seperti yang diperlihatkan pada Gb 10 dan 11.
1
bi 33,3 -33,3 -333,3 -1,67 -10 s=0,07
5
Gambar 9. Perbedaan EKG dengan sinyal pembangkit tanpa derau (lebih rendah) dengan yang berderau (lebih tinggi).
0
ai 30 30 30 15 15 A=0,01
5
6. UCAPAN TERIMA KASIH
Terimakasih kepada Universitas Kristen Satya Wacana yang telah membiayai presentasi makalah ini dan Program Studi Fisika Medis UKSW yang telah memberi dorongan untuk bekarya di dunia fisika medis.
Gambar 10. Sinyal pembangkit yang bervariasi akan memicu sinyal EKG yang bervariasi juga. Gb 11 adalah hasil dari pembangkit yang diperlihatkan ini.
0.1 0.08
7. REFERENSI 1. Claudia Lainscsek and Terrence, J. Sejnowski, Chaos 23, 023132 (2013). 2. Gil Gaspar M. Lobo Pinto, Nur Aji Wibowo, Suryasatriya Trihandaru, International Journal of Science and Research (IJSR), Volume 3 Issue 5, pp 24-28 (May 2014). 3. Suryasatriya Trihandaru, “Model Persamaan Diferensial Elektrokardiogram Dengan Interval Denyut Berdistribusi Gamma” in Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga,
0.06 0.04 0.02 0 -0.02 0
1
2
3
4
5
Gambar 11. Sinyal EKG yang dibangkitkan oleh sinyal pembangkit yang bervariasi amplitudonya (Gb10).
570
SIMPOSIUM FISIKA NASIONAL 2014 (SFN XXVII), 16-17 Oktober 2014,Denpasar-Bali
Vol 5, No.1, pp 270-274, ISSN :20870922 (21 Juni 2014). 4. Herlina D ,T , Parhusip, H.A., Trihandaru, S., Susanto, B, “Pola Distribusi Interval Denyut Jantung Dengan Memanfaatkan Jumlahan Fungsi Gauss Yang Dioptimasi Secara Nelder-Mead Simplex” in Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX FSM-UKSW, Vol.5, No.1, ISSN:2087-0922, pp.739-747, , 21 Juni 2014. 5. Patrick E. McSharry, Gari D. Clifford, Lionel Tarassenko, and Leonard A. Smith,
IEEE Transactions On Biomedical Engineering, VOL. 50, NO. 3, pp. 289294 (MARCH 2003). 6. Zeeman EC., Differential equations for the heartbeat and nerve impulse, Mathematics Institute, University of Warwick, Coventry, UK, 1972. 7. Soetopo Widjaja, EKG Praktis, Binarupa Aksara, PO BOX 69, Grogol, Jakarta Barat, Indonesia, 1990.
571
